§ 1. Đa thức

1. Định nghĩa đa thức

Cho $I$ là một tập hợp. Ta nhắc lại (III, p. 452) rằng đại số giao hoán tự do trên $I$ trên $\mathbf{A}$ được ký hiệu bởi $\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$ hoặc $\mathbf{A}[X_i]_{i \in I}$. Các phần tử của đại số này được gọi là đa thức đối với các bất định $X_i$ (hoặc theo các bất định $X_i$) với các hệ số trong $\mathbf{A}$. Ta nhắc lại rằng bất định $X_i$ là ảnh chính tắc của $i$ trong đại số giao hoán tự do trên $I$ trên $\mathbf{A}$; đôi khi thuận tiện khi ký hiệu ảnh này bằng một ký hiệu khác như $X'_i, Y_i, T_i$, v.v. Quy ước này thường được đưa vào bằng một cụm từ như: « Cho $Y = (Y_i)_{i \in I}$ là một họ các bất định »; trong trường hợp này đại số các đa thức đang xét được ký hiệu bởi $\mathbf{A}[Y]$. Khi $I = \{1, 2, \ldots, n\}$, người ta viết $\mathbf{A}[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ thay cho $\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$.

Với $\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$ ta đặt

Khi đó $(X^\nu)_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$ là một cơ sở của $\mathbf{A}$-môđun $\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$. Các $X^\nu$ được gọi là đơn thức theo các bất định $X_i$. Với $\nu = 0$ ta thu được phần tử đơn vị của $\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$. Mọi đa thức $u \in \mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$ có thể được viết một cách duy nhất dưới dạng

trong đó $a_\nu \in \mathbf{A}$ và các $\alpha_\nu$ bằng không trừ một số hữu hạn; các $a_\nu$ được gọi là các hệ số của $u$; các $\alpha_\nu X^\nu$ được gọi là các số hạng của $u$ (thường phần tử $\alpha_\nu X^\nu$ được gọi là số hạng theo $X^\nu$), đặc biệt số hạng của $\alpha_0 X^0$, đồng nhất với $a_0$, được gọi là số hạng hằng của $u$. Khi $\alpha_\nu = 0$, ta nói, với sự lạm dụng ngôn ngữ, rằng $u$ không chứa phần tử theo $X^\nu$; đặc biệt khi $\alpha_0 = 0$, ta nói rằng $u$ là một đa thức không có số hạng hằng (III, p. 453). Mọi bội vô hướng của 1 được gọi là một đa thức hằng.

Cho B là một vành giao hoán và $\rho : A \to B$ là một đồng cấu vành. Ta xét $B[(X_i)_{i \in I}]$ như một đại số trên A thông qua $\rho$. Khi đó ánh xạ $\sigma$ từ $A[(X_i)_{i \in I}]$ vào $B[(X_i)_{i \in I}]$ biến đổi $\sum \alpha_\nu X^\nu$ thành $\sum \rho(\alpha_\nu) X^\nu$ là một đồng cấu các đại số trên A; nếu $u \in A[(X_i)_{i \in I}]$, đôi khi ta ký hiệu $^\rho u$ là ảnh của $u$ bởi đồng cấu này. Đồng cấu từ $B \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}]$ vào $B[(X_i)_{i \in I}]$ được $\sigma$ định nghĩa một cách chính tắc biến đổi, với mọi $i \in I$, $1 \otimes X_i$ thành $X_i$; đó là một đẳng cấu các đại số trên B (III, p. 449).

Cho M là một A-môđun tự do với cơ sở $(e_i)_{i \in I}$. Tồn tại chính xác một đồng cấu có đơn vị $\varphi$ từ đại số đối xứng $S(M)$ vào đại số $A[(X_i)_{i \in I}]$ sao cho $\varphi(e_i) = X_i$ với mỗi $i \in I$, và đồng cấu này là một đẳng cấu (III, p. 506). Đẳng cấu này được gọi là chính tắc. Nó cho phép ta áp dụng cho các đại số đa thức một số tính chất của các đại số đối xứng. Ví dụ, cho $(I_1), \ldots, L$ là một phân hoạch của I. Gọi $\varphi_\lambda$ là đồng cấu từ $P_\lambda = A[(X_i)_{i \in I_\lambda}]$ vào $P = A[(X_i)_{i \in I}]$ biến đổi $X_i$ (xét như phần tử của $P_\lambda$) thành $X_i$ (xét như phần tử của P). Khi đó các $\varphi_\lambda$ xác định một đồng cấu từ đại số $\bigotimes_{h \in L} P_\lambda$ vào đại số P, và đồng cấu này là một đẳng cấu (III, p. 503, Prop. 9).

Cho E là một A-môđun, và đặt $E \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}] = E[(X_i)_{i \in I}]$. Các phần tử của A-môđun $E[(X_i)_{i \in I}]$ được gọi là các đa thức theo các ẩn $X_i$ với hệ số trong E. Một đa thức như vậy chỉ có thể được viết theo đúng một cách dưới dạng $\sum_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}} e_\nu \otimes X^\nu$, trong đó $e_\nu \in E$ và các $e_\nu$ bằng không trừ một số hữu hạn chỉ số; ta thường viết $e_\nu X^\nu$ thay cho $e_\nu \otimes X^\nu$.

2. Bậc

Cho $P = A[(X_i)_{i \in I}]$ là một đại số đa thức. Với mỗi số nguyên $n \in \mathbf{N}$, gọi $P_n$ là môđun con của P sinh bởi các đơn thức $X^\nu$ sao cho $|\nu| = \sum_{i \in I} \nu_i$ bằng n. Khi đó $(P_n), \ldots$ là một phân bậc biến $A[(X_i)_{i \in I}]$ thành một đại số phân bậc kiểu $\mathbf{N}$ (III, p. 459). Các phần tử thuần nhất bậc $n$ trong $A[(X_i)_{i \in I}]$ đôi khi được gọi là các dạng bậc $n$ đối với các ẩn $X_i$.

Khi ta xét bậc của các đa thức không thuần nhất, ta sẽ quy ước ghép thêm vào tập hợp $\mathbf{N}$ các số tự nhiên một phần tử ký hiệu là $-\infty$ và mở rộng quan hệ thứ tự cùng phép cộng của $\mathbf{N}$ lên $\mathbf{N} \cup \{-\infty\}$ theo các quy ước sau đây, trong đó $n \in \mathbf{N}$,

Cho $u = \sum_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}} \alpha_\nu X^\nu$ là một đa thức. Thành phần thuần nhất $u_n$ bậc n của $u$ (đối với phân bậc kiểu N được định nghĩa ở trên) bằng $\sum_{|\nu|=n} \alpha_\nu X^\nu$, và rõ ràng ta có $u = \sum_{n \in \mathbf{N}} u_n$. Nếu $u \neq 0$, thì các $u_n$ không phải tất cả đều bằng không, và ta định nghĩa bậc (hoặc tổng bậc) của $u$, ký hiệu $\deg u$, là số lớn nhất trong các số $n$ sao cho $u_n \neq 0$; nói cách khác (III, p. 453), bậc của $u$ là số lớn nhất trong các số nguyên $|\nu|$ ứng với các đa chỉ số $\nu$ sao cho $a_\nu \neq 0$. Khi $u = 0$, bậc của $u$ theo quy ước là $-\infty$. Với mọi số nguyên $p \in \mathbf{N}$, quan hệ $\deg u \leq p$ do đó tương đương với « $a_\nu = 0$ với mọi đa chỉ số $\nu$ sao cho $|\nu| > p$ »; do đó tập hợp các đa thức $u$ sao cho $\deg u \leq p$ là một A-môđun con của $A[(X_i)_{i \in I}]$, bằng $P_0 + P_1 + \ldots + P_p$ với các ký hiệu ở trên.

Cho E là một A-môđun. Họ $(E \otimes P_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một phân bậc kiểu N của môđun $E[(X_i)_{i \in I}] = E \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}]$ các đa thức với hệ số trong E. Ta mở rộng cho trường hợp này các quy ước đã dùng ở trên đối với bậc của các đa thức không thuần nhất.

3. Phép thế

Cho E là một đại số kết hợp có đơn vị trên $\mathscr{A}$ và $x = (x_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử của E giao hoán từng đôi một. Cho $X = (X_i)_{i \in I}$ là một họ các ẩn. Theo III, Prop. 7, p. 449, tồn tại một đồng cấu có đơn vị duy nhất $f$ từ $\mathscr{A}[X]$ vào $E$ sao cho $f(X_i) = x_i$ với mọi $i \in I$. Ảnh của một phần tử $u$ của $\mathscr{A}[X]$ qua $f$ được viết là $u(x)$ và được gọi là phần tử của E thu được bằng cách thay $x_i$ cho $X_i$ trong $u$, hoặc cũng là giá trị của $u$ với $X_i = x_i$. Đặc biệt, $u = u((X_i)_{i \in I})$. Nếu $I = \{1, \ldots, n\}$, ta viết $u(x_1, \ldots, x_n)$ thay cho $u((x_i)_{i \in I})$. Tổng quát hơn, nếu M là một A-môđun và nếu o là một phần tử của

thì ta ký hiệu ảnh của $v$ trong $M \otimes_A E = M_{(E)}$ qua ánh xạ $1_M \otimes f$ là $v(x)$.

Nếu đồng cấu $u \mapsto u(x)$ từ $\mathscr{A}[X]$ vào E là đơn ánh, ta nói rằng họ $x$ là đại số tự do trên $\mathscr{A}$, hoặc rằng các $x_i$ là độc lập đại số trên $\mathscr{A}$. Điều đó cũng có nghĩa là các đơn thức $x^{\nu}$ ($\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$) độc lập tuyến tính trên $\mathscr{A}$.

Nếu $\lambda$ là một đồng cấu có đơn vị từ E vào một A-đại số kết hợp có đơn vị E', ta có

vì $\lambda \circ f$ là một đồng cấu từ $\mathscr{A}[X]$ vào E' biến $X_i$ thành $\lambda(x_i)$.

Cho $u \in \mathscr{A}[X]$. Nếu $E$ là giao hoán, ánh xạ $x \mapsto u(x)$ từ $E^1$ vào E được gọi là hàm đa thức xác định bởi $u$ (và đại số $E$) ; đôi khi ta sẽ ký hiệu nó bởi $\tilde{u}$ (hoặc thậm chí chỉ bởi $u$).

Cho $Y = (Y_j)_{j \in J}$ là một họ ẩn khác, và lấy cho E đại số đa thức $\mathscr{A}[Y]$. Với $u \in \mathscr{A}[X]$, lấy $g_i \in \mathscr{A}[Y]$ với $i \in I$ và đặt $g = (g_i)_{i \in I}$; gọi $u(g) \in \mathscr{A}/[Y]$ là đa thức thu được bằng cách thay các đa thức $g_i$ vào chỗ $X_i$ trong $u$. Cho $y = (y_j)_{j \in J}$ là một họ các phần tử hoán vị từng đôi một của một $A$-đại số kết hợp có đơn vị E' ; áp dụng (1) và lấy cho $\mathscr{A}$ đồng cấu $g \mapsto g(y)$ từ $E$ vào $E'$, ta được

Nếu $f = (f_i)_{i \in I} \in (\mathscr{A}[(X_j)_{j \in J}])^I$ và $g = (g_j)_{j \in J} \in (\mathscr{A}[(Y_k)_{k \in K}])^J$, ta ký hiệu bởi $f \circ g$ hoặc $f(g)$ họ các đa thức $(f_i(g))_{i \in I} \in (\mathscr{A}[(Y_k)_{k \in K}])^I$. Nếu ta ký hiệu bởi $\tilde{f}$ ánh xạ $x \mapsto (f_i(x))_{i \in I}$ từ ${E'}^J$ vào ${E'}^I$ (trong đó $E'$ là một $A$-đại số có đơn vị, kết hợp và giao hoán), thì quan hệ (2) kéo theo

Nếu $h = (h_k)_{k \in K} \in (A[(Z_l)_l \bullet_L])^K$, thì từ (2) suy ra rằng:

4. Vi phân và phép dẫn xuất

Cho $B = A[(X_i)_{i \in I}]$, khi đó theo III, p. 569 với mỗi $i \in I$ tồn tại một và chỉ một A-đạo hàm $D_i$ của B sao cho

Lại cho $B = A[(X_i)_{i \in I}]$; theo III, p. 569 B-môđun các A-vi phân của $B$, $\Omega_A(B)$, có họ $(dX_i)_{i \in I}$ các vi phân của các $X_i$ làm cơ sở. Gọi $\partial_i$ là dạng tọa độ chỉ số $i$ đối với cơ sở này trên $\Omega_A(B)$. Khi đó ánh xạ $u \mapsto (\partial_i, du)$ từ B vào chính nó là một đạo hàm của B biến $X_i$ thành 1 và $X_j$ thành 0 với $j \neq i$, và do đó là $D_i$; nói cách khác, ta có

5. Ước của không trong một vành đa thức