§ 3. Đại số phân bậc

Các phân bậc được xét trong mục này sẽ có tập bậc là một monoïde giao hoán viết theo lối cộng mà phần tử đơn vị được ký hiệu bởi 0.

1. Đại số phân bậc

Định nghĩa 1

Cho $\Delta$ là một monoïde giao hoán, $A$ là một vành phân bậc kiểu $\Delta$ * (II, § 11, no. 2), $(A_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ là phân bậc của nó và E là một đại số trên A. Một phân bậc $(E_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ *kiểu $\Delta$ trên nhóm cộng E được gọi là tương thích với cấu trúc đại số trên A của E nếu nó tương thích cả với cấu trúc A-môđun lẫn với cấu trúc vành trên E, nói cách khác, nếu, với mọi $\lambda, \mu$ trong $\Delta$ ,

(1)

A_\lambda E_\mu \subset E_{\lambda + \mu}

(2)

E_\lambda E_\mu \subset E_{\lambda + \mu}.

Đại số trên A E, với phân bậc này, khi đó được gọi là một đại số phân bậc kiểu $\Delta$ trên vành phân bậc A.

Khi phân bậc trên A là tầm thường (nghĩa là (II, § 11, no. 1) $A_0 = A, A_\lambda = \{0\}$ với $\lambda \neq 0$ ), điều kiện (1) có nghĩa là các $E_\lambda$ là những A-môđun con của E. Điều này dẫn đến định nghĩa của khái niệm đại số phân bậc kiểu $\Delta$ trên một vành giao hoán không phân bậc $A$ : ta trang bị cho $A$ phân bậc tầm thường kiểu $\Delta$ rồi áp dụng định nghĩa trên.

Khi xét các đại số phân bậc trên $A$ $E$ có một phần tử đơn vị $e$ , luôn luôn hiểu rằng $e$ có bậc 0 (x. Bài tập 1).

Suy ra rằng nếu một phần tử khả nghịch $x \in E$ là thuần nhất và có bậc $p$ , thì nghịch đảo $x^{-1}$ của nó là thuần nhất và có bậc $-p$ : chỉ cần phân tích $x^{-1}$ thành một tổng các phần tử thuần nhất trong các hệ thức $x^{-1}x = xx^{-1} = e$ .

Cho $E$ và $E'$ là hai đại số phân bậc kiểu $\Delta$ trên một vành phân bậc $A$ kiểu $\Delta$ . Một đồng cấu đại số trên A $u : E \to E'$ được gọi là một đồng cấu đại số phân bậc nếu $u(E_\lambda) \subset E'_\lambda$ với mọi $\lambda \in \Delta$ (trong đó $(E_\lambda)$ và $(E'_\lambda)$ chỉ các phân bậc tương ứng của $E$ và $E'$ ); khi $E$ và $E'$ là kết hợp và có đơn vị còn $u$ bảo toàn đơn vị, điều kiện này có nghĩa là $u$ là một đồng cấu vành phân bậc (II, § 11, no. 2).

Cho $E$ là một đại số phân bậc trên $A$ kiểu $N$ . Ta đồng nhất $E$ với một đại số phân bậc trên $A$ kiểu $\mathbf{Z}$ bằng cách viết $E_n = \{0\}$ với $n < 0$ .

Nhận xét

Định nghĩa 1 cũng có thể được diễn giải bằng cách nói rằng $E$ là một A-môđun phân bậc và rằng ánh xạ tuyến tính trên A

m : E \otimes_A E \to E

xác định phép nhân trên $E$ (§ 1, no. 3), là thuần nhất bậc 0 khi $E \otimes_A E$ được trang bị phân bậc kiểu $\Delta$ (II, § 11, no. 5).

Do đó, việc định nghĩa một cấu trúc đại số $A$ phân bậc kiểu $\Delta$ trên vành phân bậc $A$ , với $E$ là $A$ -môđun phân bậc nền, tương đương với việc định nghĩa với mỗi cặp có thứ tự $(\lambda, \mu)$ các phần tử của $\Delta$ một ánh xạ $\mathbf{Z}$ -song tuyến tính

m_{\lambda \mu} : E_\lambda \times E_\mu \to E_{\lambda + \mu}

sao cho với mọi bộ ba chỉ số $(\lambda, \mu, \nu)$ và với $\alpha \in A_\lambda,\ x \in E_\mu,\ y \in E_\nu$ ,

\alpha . m_{\mu \nu}(x, y) = m_{\lambda + \mu, \nu}(\alpha x, y) = m_{\mu, \lambda + \nu}(x, \alpha y).

Ví dụ

(1) Cho $B$ là một vành phân bậc kiểu $\Delta$ ; nếu $B$ được trang bị cấu trúc đại số $\mathbf{Z}$ chính tắc của nó (§ 1, no. 1, Ví dụ 2), thì $B$ là một đại số $A$ phân bậc ( $\mathbf{Z}$ được trang bị phép phân bậc tầm thường).

(2) Cho $A$ là một vành giao hoán phân bậc kiểu $\Delta$ và $M$ là một $A$ -môđun phân bậc kiểu $\Delta$ . Giả sử rằng mọi phần tử của monoïde $\Delta$ đều giản ước được, điều này cho phép (II, § 11, no. 6) định nghĩa trên $\mathrm{Homgr}_A(M, M) = \mathrm{Endgr}_A(M)$ một cấu trúc $A$ -môđun phân bậc kiểu $\Delta$ ; vì phép phân bậc này tương thích với cấu trúc vành trên $\mathrm{Endgr}_A(M)$ (II, § 11, no. 6), nó xác định một cấu trúc đại số $A$ phân bậc có đơn vị trên $A$ -đại số $\mathrm{Endgr}_A(M)$ .

(3) Đại số của một magma. Cho $S$ là một magma và $\phi : S \to \Delta$ là một đồng cấu. Với mọi $\lambda \in \Delta$ , đặt $S_\lambda = \phi^{-1}(\lambda)$ ; khi đó $S_\lambda S_\mu \subset S_{\lambda + \mu}$ . Cho $A$ là một vành giao hoán phân bậc kiểu $\Delta$ và $(A_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ là phép phân bậc của nó; ta sẽ định nghĩa một cấu trúc đại số $A$ phân bậc trên đại số $E = A^{(S)}$ của magma $S$ (§ 2, no. 6). Vì mục đích đó, gọi $E_{\lambda}$ là nhóm con cộng tính của $E$ sinh bởi các phần tử dạng $\alpha.s$ sao cho $\alpha \in A_{\mu}, s \in S_{\nu}$ và $\mu + \nu = \lambda$ . Vì các $S_{\lambda}$ từng đôi một rời nhau, $E$ là tổng trực tiếp của các $A_{\mu}S_{\nu}$ và do đó cũng là tổng trực tiếp của các $E_{\lambda}$ , và dễ thấy ngay rằng các $E_{\lambda}$ thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), vì vậy xác định trên $E$ cấu trúc đại số $A$ phân bậc mong muốn. Nếu $S$ có một phần tử đơn vị $e$ , cũng có thể giả sử rằng $\phi(e) = 0$ . Một trường hợp riêng là trường hợp phép phân bậc của vành $A$ là tầm thường; khi đó $E_{\lambda}$ là môđun con trên $A$ của $E$ sinh bởi $S_{\lambda}$ . Đặc biệt hơn, nếu ta lấy $S = \mathbf{N}^{(I)}, \Delta = \mathbf{N}$ và $\phi$ là ánh xạ sao cho $\phi((n_i)) = \sum_{i \in I} n_i$ , vành $A$ có phép phân bậc tầm thường, thì bằng cách đó thu được một phép phân bậc trên đại số đa thức $A[X_i]_{i \in I}$ , mà đối với nó bậc của một đa thức thuần nhất $\neq 0$ là tổng bậc được định nghĩa trong § 2, no. 9 (x. § 6, no. 6).

Bây giờ ta lấy $S$ là monoit tự do $Mo(B)$ của một tập hợp $B$ (I, § 7, no. 2) và $\phi$ là đồng cấu $Mo(B) \to \mathbf{N}$ gắn với mỗi từ độ dài của nó. Như vậy thu được một cấu trúc đại số $A$ phân bậc trên đại số kết hợp tự do của tập hợp $B$ (§ 2, no. 7; x. § 5, no. 5).

2. Đại số con phân bậc, iđêan phân bậc của một đại số phân bậc

Cho $E$ là một đại số phân bậc kiểu $\Delta$ trên một vành phân bậc $A$ kiểu $\Delta$ . Nếu $F$ là một đại số con trên $A$ của $E$ đồng thời là một môđun con trên $A$ phân bậc, thì phép phân bậc $(F_{\lambda})$ trên $F$ tương thích với cấu trúc đại số $A$ của nó, vì $F_{\lambda} = F \cap E_{\lambda}$ ; trong trường hợp này $F$ được gọi là một đại số con phân bậc của $E$ và đơn ánh chính tắc $F \to E$ là một đồng cấu đại số phân bậc.

Tương tự, nếu $a$ là một iđêan trái (resp. phải) của $E$ mà là một A-môđun con phân bậc, thì $E_{\lambda}a_{\mu} \subset a_{\lambda+\mu}$ (resp. $a_{\lambda}E_{\mu} \subset a_{\lambda+\mu}$ ), vì $a_{\lambda} = a \cap E_{\lambda}$ ; khi đó $a$ được gọi là một iđêan phân bậc của đại số $E$ . Nếu $b$ là một iđêan hai phía phân bậc của $E$ thì phân bậc thương trên môđun $E/b$ là tương thích với cấu trúc đại số trên $E/b$ và đồng cấu chính tắc $E \to E/b$ là một đồng cấu đại số phân bậc.

Nếu $u : E \to E'$ là một đồng cấu đại số phân bậc, thì $\operatorname{Im}(u)$ là một đại số con phân bậc của $E'$ , $\operatorname{Ker}(u)$ là một iđêan hai phía phân bậc của $E$ và song ánh $E/\operatorname{Ker}(u) \to \operatorname{Im}(u)$ liên kết với $u$ một cách chính tắc là một đẳng cấu đại số phân bậc.

Mệnh đề 1

Cho $A$ là một vành giao hoán phân bậc kiểu $\Delta$ , $E$ một đại số trên $A$ phân bậc kiểu $\Delta$ và $S$ một tập hợp các phần tử thuần nhất của $E$ . Khi đó đại số con trên $A$ (resp. iđêan trái, iđêan phải, iđêan hai phía) sinh bởi $S$ là một đại số con phân bậc (resp. iđêan phân bậc).*.

Đại số con của $E$ sinh bởi $S$ là A-môđun con sinh bởi các tích hữu hạn của các phần tử của $S$ , mà các tích này là thuần nhất; tương tự, iđêan trái (resp. phải) sinh bởi $S$ là A-môđun con sinh bởi các phần tử có dạng $u_1(u_2(\ldots(u_n s))\ldots)$ (resp. $(\ldots((s u_n) u_{n-1})\ldots) u_2$ ) $u_1$ ) trong đó s ∈ S và các u_j ∈ E là thuần nhất (n tùy ý) và các tích này là thuần nhất, do đó trong trường hợp này kết luận suy ra theo II, § 11, no. 3, Mệnh đề 2); sau cùng iđêan hai phía sinh bởi S là hợp của dãy (\mathfrak{I}_n)_{n \geq 1}, trong đó \mathfrak{I}_1 là iđêan trái sinh bởi S và \mathfrak{I}_{2n} (resp. \mathfrak{I}_{2n+1}) là iđêan phải (resp. trái) sinh bởi \mathfrak{I}_{2n-1} (resp. \mathfrak{I}_{2n}), điều này hoàn tất chứng minh.

3. Giới hạn trực tiếp của các đại số phân bậc

Cho (A_\alpha, \phi_{\beta \alpha}) là một hệ trực tiếp có hướng các vành giao hoán phân bậc kiểu \Delta (II, § 11, no. 3, Nhận xét 3) và với mỗi \alpha cho E_\alpha là một đại số trên A_\alpha phân bậc kiểu \Delta; với \alpha \leq \beta cho f_{\beta \alpha}: E_\alpha \to E_\beta là một A_\alpha-đồng cấu của các đại số phân bậc và giả sử rằng f_{\gamma \alpha} = f_{\gamma \beta} \circ f_{\beta \alpha} với \alpha \leq \beta \leq \gamma; khi đó ta sẽ gọi (E_\alpha, f_{\beta \alpha}) là một hệ trực tiếp có hướng các đại số phân bậc kiểu \Delta trên hệ trực tiếp có hướng (A_\alpha, \phi_{\beta \alpha}) các vành giao hoán phân bậc kiểu \Delta. Khi đó ta biết (II, § 11, no. 3) rằng E = \lim \to E_\alpha có một cách chính tắc một cấu trúc môđun phân bậc kiểu \Delta trên vành phân bậc A = \lim \to A_\alpha và một phép nhân sao cho E^\lambda E^\mu \subset E^{\lambda + \mu} (trong đó (E^\lambda) ký hiệu phân bậc trên E); khi đó phép nhân này và cấu trúc A-môđun phân bậc trên E xác định trên E một cấu trúc đại số trên A phân bậc kiểu \Delta; E, với cấu trúc này, được gọi là giới hạn trực tiếp của hệ trực tiếp (E_\alpha, f_{\beta \alpha}) các đại số phân bậc. Các đồng cấu chính tắc E_\alpha \to E là các A_\alpha-đồng cấu của các đại số phân bậc. Hơn nữa, nếu F là một đại số trên A phân bậc kiểu \Delta và (u_\alpha) là một hệ trực tiếp các A_\alpha-đồng cấu u_\alpha: E_\alpha \to F, thì u = \lim \to u_\alpha là một A-đồng cấu của các đại số phân bậc.

Bài tập

Xem bài tập của § 3.