§ 3. Algèbres graduées

Les graduations dont il sera question dans ce paragraphe auront pour ensemble de degrés un monoïde commutatif noté additivement et dont l’élément neutre est noté 0.

1. Algèbres graduées

Définition 1

Soient $\Delta$ un monoïde commutatif, $A$ un anneau commutatif gradué de type $\Delta$ (II, p. 164), $(A_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ sa graduation, $E$ une $A$ -algèbre. On dit qu’une graduation $(E_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ de type $\Delta$ sur le groupe additif $E$ est compatible avec la structure de $A$ -algèbre de $E$ si elle est compatible à la fois avec la structure de $A$ -module et avec la structure d’anneau de $E$ , autrement dit, si l’on a, quels que soient $\lambda, \mu$ dans $\Delta$ ,

Cite 2 · Cité par 1

Cite II § 11. Modules et anneaux gradués, Exercice 1, § 3

Cité par Remarque

(1)

A_\lambda E_\mu \subset E_{\lambda + \mu}

(2)

E_\lambda E_\mu \subset E_{\lambda + \mu}.

La $A$ -algèbre $E$ , munie de cette graduation, est alors appelée algèbre graduée de type $\Delta$ sur l’anneau gradué $A$ .

Lorsque la graduation de $A$ est triviale (c’est-à-dire (II, p. 163) que $A_0 = A$ , $A_\lambda = \{0\}$ pour $\lambda \neq 0$ ), la condition (1) signifie que les $E_\lambda$ sont des sous-A-modules de $E$ . Ceci conduit à définir la notion d’algèbre graduée de type $\Delta$ sur un anneau commutatif $A$ non gradué: on munit $A$ de la graduation triviale de type $\Delta$ et on applique la définition précédente.

Lorsque nous considérerons des $A$ -algèbres graduées $E$ ayant un élément unité $e$ , il sera toujours sous-entendu que $e$ est de degré 0 (cf. III, p. 183, exerc. 1).

On en conclut que si un élément inversible $x \in E$ est homogène et de degré $p$ , son inverse $x^{-1}$ est homogène et de degré $-p$ : il suffit en effet de décomposer $x^{-1}$ en somme d’éléments homogènes dans les relations $x^{-1}x = xx^{-1} = e$ .

Soient $E$ et $E'$ deux algèbres graduées de type $\Delta$ sur un anneau gradué $A$ de type $\Delta$ . On dit qu’un homomorphisme $u : E \to E'$ de $A$ -algèbres est un homomorphisme d’algèbres graduées si on a $u(E_\lambda) \subset E'_\lambda$ pour tout $\lambda \in \Delta$ (en désignant par $(E_\lambda)$ et $(E'_\lambda)$ les graduations respectives de $E$ et $E'$ ); lorsque $E$ et $E'$ sont associatives et unifères, et que $u$ est unifère, cette condition signifie que $u$ est un homomorphisme d’anneaux gradués (II, p. 166).

Soit $E$ une $A$ -algèbre graduée de type $\mathbf{N}$ . On identifie $E$ à une $A$ -algèbre graduée de type $\mathbf{Z}$ , en convenant que $E_n = \{0\}$ pour $n < 0$ .

Remarque

La définition 1 peut encore s’interpréter en disant que E est un A-module gradué et que l’application A-linéaire

m : E \otimes_A E \to E

qui définit la multiplication dans E (III, p. 5) est homogène de degré 0 lorsqu’on munit $E \otimes_A E$ de sa graduation de type $\Delta$ (II, p. 173).

Définir une structure de A-algèbre graduée de type $\Delta$ sur l’anneau gradué A, ayant E pour A-module gradué sous-jacent, revient donc à définir, pour chaque couple $(\lambda, \mu)$ d’éléments de $\Delta$ , une application $\mathbf{Z}$ -bilinéaire $m_{\lambda \mu} : E_\lambda \times E_\mu \to E_{\lambda + \mu}$ telle que pour tout triplet d’indices $(\lambda, \mu, \nu)$ et pour $\alpha \in A_\lambda$ , $x \in E_\mu$ , $y \in E_\nu$ , on ait $\alpha . m_{\mu, \nu}(x, y) = m_{\lambda + \mu, \nu}(\alpha x, y) = m_{\mu, \lambda + \nu}(x, \alpha y)$ .

Cite 3

Cite Définition 1, II § 11. Modules et anneaux gradués, III § 1. Algèbres

Exemple 1

Soit B un anneau gradué de type $\Delta$ ; si on munit B de sa structure canonique de $\mathbf{Z}$ -algèbre (III, p. 2, Exemple 2), B est une A-algèbre graduée ( $\mathbf{Z}$ étant muni de la graduation triviale).

Cite 6

Cite III § 1. Algèbres, II § 11. Modules et anneaux gradués, III § 2. Exemples d’algèbres, III § 6. Algèbre symétrique, I § 7. Monoïdes libres, groupes libres, III § 5. Algèbre tensorielle, tenseurs

Exemple 2

Soient A un anneau commutatif gradué de type $\Delta$ , M un A-module gradué de type $\Delta$ . Supposons que tous les éléments du monoïde $\Delta$ soient simplifiables, ce qui permet (II, p. 175) de définir sur $\mathrm{Homgr}_A(M, M) = \mathrm{Endgr}_A(M)$ une structure de A-module gradué de type $\Delta$ ; comme cette graduation est compatible avec la structure d’anneau de $\mathrm{Endgr}_A(M)$ (II, p. 175), elle définit sur la A-algèbre $\mathrm{Endgr}_A(M)$ une structure de A-algèbre graduée unifère.

Exemple 3

Algèbre d’un magma. Soient S un magma et soit $\varphi : S \to \Delta$ un homomorphisme. Pour tout $\lambda \in \Delta$ , posons $S_\lambda = \varphi^{-1}(\lambda)$ ; on a alors $S_\lambda S_\mu \subset S_{\lambda + \mu}$ . Soient A un anneau commutatif gradué de type $\Delta$ , $(A_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ sa graduation; nous allons définir sur l’algèbre $E = A^{(S)}$ du magma S (III, p. 19) une structure de A-algèbre graduée. Pour cela, désignons par $E_\lambda$ le sous-groupe additif de E engendré par les éléments de la forme $\alpha . s$ tels que $\alpha \in A_\mu$ , $s \in S_\nu$ et $\mu + \nu = \lambda$ . Comme les $S_\lambda$ sont deux à deux disjoints, E est somme directe des $A_\mu S_\nu$ , donc aussi somme directe des $E_\lambda$ , et il est immédiat que les $E_\lambda$ vérifient les conditions (1) et (2) de III, p. 30 et définissent donc sur E la structure de A-algèbre graduée voulue. Si S admet un élément neutre $e$ , on supposera en outre que $\varphi(e) = 0$ . Un cas particulier est celui où la graduation de l’anneau A est triviale; alors $E_\lambda$ est le sous-A-module de E engendré par $S_\lambda$ . Plus particulièrement, si l’on prend $S = \mathbf{N}^{(I)}$ , $\Delta = \mathbf{N}$ et pour $\varphi$ l’application telle que $\varphi((n_i)) = \sum_{i \in I} n_i$ , l’anneau A étant muni de la graduation triviale, on obtient ainsi sur l’algèbre de polynômes $A[X_i]_{i \in I}$ une graduation pour laquelle le degré d’un polynôme homogène $\neq 0$ est le degré total défini dans III, p. 26 (cf. III, p. 73).

Prenons maintenant pour S le monoïde libre Mo(B) d’un ensemble B (I, p. 79), et pour $\varphi$ l’homomorphisme $\mathrm{Mo}(B) \to \mathbf{N}$ qui à chaque mot associe sa longueur. On obtient ainsi une structure de A-algèbre graduée sur l’algèbre associative libre de l’ensemble B (III, p. 21; cf. III, p. 62).

2. Sous-algèbres graduées, idéaux gradués d’une algèbre graduée

Soit E une algèbre graduée de type Δ sur un anneau gradué A de type Δ. Si F est une sous-A-algèbre de E qui est un sous-A-module gradué, alors la graduation (F_λ) de F est compatible avec sa structure de A-algèbre, puisque F_λ = F ∩ E_λ ; on dit dans ce cas que F est une sous-algèbre graduée de E, et l’injection canonique F → E est un homomorphisme d’algèbres graduées.

De même, si a est un idéal à gauche (resp. à droite) de E qui soit un sous-A-module gradué, on a E_λ a_μ ⊂ a_{λ+μ} (resp. a_λ E_μ ⊂ a_{λ+μ}), puisque a_λ = a ∩ E_λ ; on dit alors que a est un idéal gradué de l’algèbre E. Si b est un idéal bilatère gradué de E, la graduation quotient sur le module E/b est compatible avec la structure d’algèbre de E/b, et l’homomorphisme canonique E → E/b est un homomorphisme d’algèbres graduées.

Si u : E → E' est un homomorphisme d’algèbres graduées, Im(u) est une sous-algèbre graduée de E', Ker(u) un idéal bilatère gradué de E, la bijection E/Ker(u) → Im(u) canoniquement associée à u étant un isomorphisme d’algèbres graduées.

Proposition 1

Soient A un anneau commutatif gradué de type Δ, E une A-algèbre graduée de type Δ, S un ensemble d’éléments homogènes de E. Alors la sous-A-algèbre (resp. l’idéal à gauche, l’idéal à droite, l’idéal bilatère) engendrée par S (resp. engendré par S) est une sous-algèbre graduée (resp. un idéal gradué).

Cite 1 · Cité par 1

Cite Proposition 2, II § 11

Cité par Lemma 1, LIE II § 2

La sous-algèbre de E engendrée par S est le sous-A-module engendré par les produits finis d’éléments de S, qui sont homogènes; de même, l’idéal à gauche (resp. à droite) engendré par S est le sous-A-module engendré par les éléments de la forme u_1(u_2(...(u_n s))...) (resp. (...((s u_n) u_{n-1})...) u_2) u_1, où s ∈ S et les u_j ∈ E sont homogènes (n quelconque) et ces produits sont homogènes, d’où dans ce cas la conclusion en vertu de II, p. 167, prop. 2; enfin l’idéal bilatère engendré par S est la réunion de la suite (J_n)_{n ≥ 1}, où J_1 est l’idéal à gauche engendré par S, J_{2n} (resp. J_{2n+1}) l’idéal à droite (resp. à gauche) engendré par J_{2n-1} (resp. J_{2n}), ce qui termine la démonstration.

3. Limites inductives d’algèbres graduées

Soit (A_α, φ_{βα}) un système inductif filtrant d’anneaux commutatifs gradués de type Δ (II, p. 170, Remarque 3), et pour chaque α, soit E_α une A_α-algèbre graduée de type Δ; pour α ≤ β, soit f_{βα} : E_α → E_β un A_α-homomorphisme d’algèbres graduées, et supposons que l’on ait f_{γα} = f_{γβ} ◦ f_{βα} pour α ≤ β ≤ γ; nous dirons alors que (E_α, f_{βα}) est un système inductif filtrant d’algèbres graduées de type Δ sur le système inductif filtrant (A_α, φ_{βα}) d’anneaux commutatifs graduées de type Δ. On sait alors (II, p. 170) que E = lim → E_α est canoniquement muni d’une structure de module gradué de type Δ sur l’anneau gradué A = lim → A_α, et d’une multiplication telle que E^λ E^μ ⊂ E^{λ+μ} (en désignant par (E^λ) la graduation de E);

donc cette multiplication et la structure de A-module gradué de E définissent sur E une structure de A-\emph{algèbre graduée de type} $\Delta$ ; on dit que E, muni de cette structure, est la \emph{limite inductive} du système inductif $(E_\alpha,\ f_{\beta\alpha})$ d’algèbres graduées. Les homomorphismes canoniques $E_\alpha \to E$ sont alors des $A_\alpha$ -homomorphismes d’algèbres graduées. En outre, si F est une A-algèbre graduée de type $\Delta$ et $(u_\alpha)$ un système inductif de $A_\alpha$ -homomorphismes $u_\alpha : E_\alpha \to F$ , $u = \lim u_\alpha$ est un A-homomorphisme d’algèbres graduées.

Exercices

See the exercises for § 3.