En d’autres termes, $(\mathbf{T}(M), \varphi)$ est solution du problème d’application universelle (E, IV, p. 23), où $\Sigma$ est l’espèce de structure de $A$-algèbre, les $\alpha$-applications étant les applications $A$-linéaires du module $M$ dans une $A$-algèbre. On observera qu’il n’est pas question ici de graduation sur l’algèbre $\mathbf{T}(M)$.

Pour toute famille finie $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $n$ éléments de $M$, on a par définition du produit dans $\mathbf{T}(M)$, $x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n = \varphi(x_1) \varphi(x_2) \cdots \varphi(x_n)$; on a donc nécessairement $g(x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots x_n) = f(x_1) f(x_2) \cdots f(x_n)$ pour $n \geq 1$, et $g(\alpha) = \alpha e$ (si $e$ est l’élément unité de $E$) pour $\alpha \in A$, ce qui prouve l’unicité de $g$. Réciproquement, notons que, pour tout $n > 0$, l’application

de $M^n$ dans $E$ est $A$-multilinéaire; donc il lui correspond une application $A$-linéaire $g_n : \mathbf{T}^n(M) \to E$ telle que Définissons d’autre part l’application $g_0 : \mathbf{T}^0(M) \to E$ comme égale à $\eta_E$ (III, p. 6) autrement dit $g_0(\alpha) = \alpha e$ pour $\alpha \in A$. Soit $g$ l’unique application $A$-linéaire de $\mathbf{T}(M)$ dans $E$ dont la restriction à $\mathbf{T}^n(M)$ est $g_n$ ($n \geq 0$); il est immédiat que $g \circ \varphi = g_1 = f$, et il reste à vérifier que $g$ est un homomorphisme de $A$-algèbres. On a par construction $g(1) = e$, et il suffit, par linéarité, de voir que $g(uv) = g(u) g(v)$ pour $u \in \mathbf{T}^p(M)$ et $v \in \mathbf{T}^q(M)$ ($p > 0,\ q > 0$); or il résulte des formules (1) et (2) que cette relation est vraie lorsque $u = x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_p$ et $v = x_{p+1} \otimes \cdots \otimes x_{p+q}$ (où les $x_i$ appartiennent à $E$). Elle est donc vraie pour $u \in \mathbf{T}^p(M)$ et $v \in \mathbf{T}^q(M)$ par linéarité.

L’existence et l’unicité de $u'$ résultent de III, p. 56, prop. 1, appliquée à l’algèbre $T(N)$ et à l’application linéaire $\varphi_N \circ u : M \to T(N)$; comme

le fait que $u'$ soit un homomorphisme d’algèbres graduées résulte de la Remarque de III, p. 56.

L’homomorphisme $u'$ de la prop. 2 sera désormais noté $T(u)$. Si P est un A-module et $v : N \to P$ une application A-linéaire, on a

car $T(v) \circ T(u)$ est un homomorphisme d’algèbres qui rend commutatif le diagramme

On dit parfois que $T(u)$ est le prolongement canonique de $u$ à $T(M)$ (qui contient $M = T^1(M)$). On notera que la restriction $T^n(u) : T^n(M) \to T^n(N)$ n’est autre que l’application linéaire $u^{\otimes n} = u \otimes u \otimes \cdots \otimes u$ ($n$ fois), car on a

puisque $T(u)$ est un homomorphisme d’algèbres et $T^1(u) = u$; la restriction $T^0(u)$ à A est l’application identique. On dit que $T^n(u) = u^{\otimes n}$ est la puissance tensorielle $n$-ème de $u$.

En effet, $T^0(u) : T^0(M) \to T^0(N)$ est bijectif, et pour tout entier $n > 0$, $T^n(u) : T^n(M) \to T^n(N)$ est surjectif, comme on le voit par récurrence sur $n$ en utilisant II, p. 59, prop. 6; cette dernière proposition montre aussi, par récurrence sur $n$, que le noyau $S_n$ de $T^n(u)$ est le sous-module de $T^n(M)$ engendré par les produits $x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n$ où l’un au moins des $x_i$ appartient à $P$. Cela montre que le noyau $\mathfrak{J} = \bigoplus_{n \geq 1} \mathfrak{J}_n$ de $T(u)$ est l’idéal bilatère engendré par $P$ dans $T(M)$.

Si $u : M \to N$ est une application linéaire injective, il n’est pas toujours vrai que $T(u)$ soit une application injective (III, p. 184, exerc. 1). Toutefois, il en est ainsi lorsque $u$ est une injection telle que $u(M)$ soit un facteur direct de $N$, car alors il existe une application linéaire $v : N \to M$ telle que $v \circ u$ soit l’application identique de $M$, et par suite $T(v \circ u) = T(v) \circ T(u)$ est l’application identique de $T(M)$, donc $T(u)$ est injective et son image (isomorphe à $T(M)$) est facteur direct de $T(N)$ (II, p. 20, prop. 15). Plus précisément:

Par hypothèse, il existe des sous-modules $N' \subset N$ et $P' \subset P$ tels que $N = N' \oplus (N \cap P)$, $P = P' \oplus (N \cap P)$; on a alors

et il existe, par hypothèse, un sous-module $M'$ de $M$ tel que

En particulier $N + P, N, P$ et $N \cap P$ sont facteurs directs dans $M$, ce qui entraîne, comme on l’a vu plus haut, que les homomorphismes canoniques $T(N + P) \to T(M)$, $T(N) \to T(M)$, $T(P) \to T(M)$, $T(N \cap P) \to T(M)$ sont injectifs. Les trois algèbres $T(N)$, $T(P)$ et $T(N \cap P)$ s’identifient donc à des sous-algèbres de $T(N + P)$ et cette dernière à une sous-algèbre de $T(M)$; posant $Q = N \cap P$, il reste à montrer que, si on identifie $T(Q)$, $T(N' \oplus Q)$ et $T(P' \oplus Q)$ à des sous-algèbres de $T(N' \oplus P' \oplus Q)$, on a

Or, considérons le diagramme commutatif

où les flèches horizontales sont les injections canoniques, et les flèches verticales les projections. On en déduit un diagramme commutatif

(7)

où $r$ et $s$ sont des homomorphismes surjectifs (III, p. 57, prop. 3) et $u$ et $v$ des homomorphismes injectifs. Cela étant, pour prouver (6), notons que le second membre est évidemment contenu dans le premier; il suffit donc de voir que si

alors on a $x \in T(Q)$. Or, la définition de l’homomorphisme $s$ montre que sa restriction à $T(P' \oplus Q)$ (identifié à une sous-algèbre de $T(N' \oplus P' \oplus Q)$) est l’application identique; l’hypothèse sur $x$ entraîne donc que $s(u(x)) = x$. Mais alors on a aussi $v(r(x)) = x$, autrement dit $x$ appartient à l’image de $T(Q)$ dans $T(P' \oplus Q)$, ce qu’il fallait démontrer.

Il est sous-entendu dans cet énoncé que pour tout sous-espace vectoriel $P$ de $M$, on identifie canoniquement $T(P)$ à une sous-algèbre de $T(M)$. Soit $z \in T(M)$; $z$ s’exprime comme combinaison linéaire d’éléments dont chacun est un produit fini d’éléments de $M = T^1(M)$; tous les éléments de $M$ qui interviennent dans ces produits engendrent un sous-espace vectoriel $Q$ de rang fini et l’on a $z \in T(Q)$. Soit $\mathscr{F}$ l’ensemble (non vide) des sous-espaces vectoriels $P$ de rang fini tels que $z \in T(P)$. Toute suite décroissante d’éléments de $\mathscr{F}$ est stationnaire, puisque ce sont des espaces vectoriels de rang fini. Donc $\mathscr{F}$ possède un élément minimal $N$ (E, III, p. 51). Il reste à voir que tout $P \in \mathscr{F}$ contient $N$; or, on a $z \in T(P) \cap T(N) = T(P \cap N)$ (III, p. 58, prop. 4); vu la définition de $N$, cela entraîne $N \cap P = N$, c’est-à-dire $P \supset N$.

On dit que le sous-espace $N$ de $M$ est associé à $z$.

de l’application B-linéaire $1_B \otimes \varphi_M : B \otimes_A M \to B \otimes_A T_A(M)$, est un isomorphisme de B-algèbres graduées.

Considérons les deux homomorphismes de A-algèbres : l’injection canonique $j : B = T^0(B \otimes_A M) \to T(B \otimes_A M)$ et l’homomorphisme

déduit (cf. formule (8)) de l’application A-linéaire canonique $i : M \to B \otimes_A M$. Comme $T^0(B \otimes_A M)$ est contenu dans le centre de $T(B \otimes_A M)$, on peut appliquer la prop. 5 de III, p. 36, et on obtient donc un homomorphisme de A-algèbres $\psi' : B \otimes_A T(M) \to T(B \otimes_A M)$ tel que, pour $\beta \in B, x_i \in M$ pour $1 \leq i \leq n$, on ait

ce qui montre aussitôt que $\psi'$ est aussi un homomorphisme de B-algèbres. Il suffit de prouver que $\psi \circ \psi'$ et $\psi' \circ \psi$ sont les applications identiques de $B \otimes_A T(M)$ et de $T(B \otimes_A M)$ respectivement. Or, ces deux algèbres sont engendrées par $B \otimes_A M$, et il est clair que $\psi \circ \psi'$ et $\psi' \circ \psi$ coïncident avec l’application identique dans $B \otimes_A M$, d’où la conclusion.

Posons pour simplifier $E = T_A(M)$, $E' = \varprojlim T_{A_\alpha}(M_\alpha)$, et soit

le $A_\alpha$-homomorphisme canonique. Il est clair que les applications $A_\alpha$-linéaires composées $M_\alpha \xrightarrow{\varphi_{M_\alpha}} T_{A_\alpha}(M_\alpha) \xrightarrow{g_\alpha} E'$ forment un système inductif, et il y a donc une application $A$-linéaire et une seule $u = \varprojlim (g_\alpha \circ \varphi_{M_\alpha}) : M \to E'$ telle que $u \circ f_\alpha = g_\alpha \circ \varphi_{M_\alpha}$ pour tout $\alpha$. Cette application se factorise elle-même d’une seule manière (III, p. 56, prop. 1) en $M \xrightarrow{\varphi_M} E \xrightarrow{h} E'$, où $h$ est un homomorphisme de $A$-algèbres. Il suffira de prouver que $h \circ f' = 1_{E'}$, et $f' \circ h = 1_E$.

Notons pour cela que, pour tout indice $\alpha$, on a (III, p. 60, formule (8))

d’où, par l’assertion d’unicité de III, p. 56, prop. 1, $h \circ f'_\alpha = g_\alpha$ pour tout $\alpha$; on en tire $(h \circ f') \circ g_\alpha = g_\alpha$ pour tout $\alpha$, donc $h \circ f' = 1_{E'}$ par définition d’une limite inductive.

D’autre part, on a, en vertu de III, p. 60, formule (8),

d’où de nouveau $f' \circ u = \varphi_M$ par définition d’une limite inductive; on en conclut que $f' \circ h \circ \varphi_M = \varphi_M$, et la propriété d’unicité de III, p. 56, prop. 1 donne $f' \circ h = 1_E$.

On peut aussi démontrer la prop. 6 en observant que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a un isomorphisme canonique de $A$-modules $\varprojlim T^n_{A_\alpha}(M_\alpha) \to T^n_A(M)$, comme il résulte par récurrence sur $n$ de II, p. 93, prop. 7. Il est immédiat de vérifier que ces isomorphismes sont les restrictions de $f'$.

Les éléments de cette base sont évidemment homogènes, et la table de multiplication est donnée par

en notant $st$ la suite d’éléments de $L$ obtenue par juxtaposition des suites $s$ et $t$ (I, p. 79).

On voit que la base $(e_s)$ de $\mathscr{T}(M)$, munie de la loi multiplicative (10), est canoniquement isomorphe au monoïde libre construit sur l’ensemble $L$ (I, p. 79), l’isomorphisme s’obtenant en faisant correspondre à chaque mot $s$ de ce monoïde l’élément $e_s$. On en conclut (III, p. 22) que l’algèbre tensorielle $\mathscr{T}(M)$ d’un module libre $M$ muni d’une base dont $L$ est l’ensemble d’indices, est canoniquement isomorphe à l’algèbre associative libre de $L$ sur $A$. En particulier (III, p. 22, prop. 7) pour toute application $f : L \to E$ de $L$ dans une $A$-algèbre $E$, il existe un homomorphisme $\tilde{f} : \mathscr{T}(M) \to E$ de $A$-algèbres et un seul tel que $\tilde{f}(e_\lambda) = f(\lambda)$.

En effet, $M$ est facteur direct d’un $A$-module libre $N$ (II, p. 39, prop. 4), donc $\mathscr{T}(M)$ est facteur direct de $\mathscr{T}(N)$ (III, p. 58); comme $\mathscr{T}(N)$ est libre (th. 1), cela montre que $\mathscr{T}(M)$ est projectif (II, p. 39).

On a vu au début de ce n° que $\mathscr{T}(M)$ est somme directe des $\mathscr{T}^{\alpha, n}(M)$, et le fait qu’il s’agisse d’une graduation compatible avec la structure d’algèbre résulte aussitôt des définitions. Si $(\mathscr{{T}'}^{\alpha, n})$ est une autre graduation de type $\Delta \times \mathbf{N}$ sur

T(M), compatible avec la structure d’algèbre, et telle que $T^{\alpha,1}(M) = T^{\prime\alpha,1}$ pour $\alpha \in \Delta$, il résulte aussitôt des définitions que l’on aura, pour tout $n \geq 1$ et tout $\alpha \in \Delta$, $T^{\alpha,n}(M) \subset T^{\prime\alpha,n}$; mais puisque $T(M)$ est aussi somme directe des $T^{\alpha,n}(M)$, cela entraîne $T^{\prime\alpha,n} = T^{\alpha,n}(M)$ (II, p. 18, Remarque).