§ 1. Polynômes

1. Définition des polynômes

Soit I un ensemble. Rappelons (III, p. 25) que l’algèbre commutative libre de I sur A se note $A[(X_i)_{i \in I}]$ ou $A[X_i]_{i \in I}$. Les éléments de cette algèbre sont appelés polynômes par rapport aux indéterminées $X_i$ (ou en les indéterminées $X_i$) à coefficients dans A. Rappelons que l’indéterminée $X_i$ est l’image canonique de $i$ dans l’algèbre commutative libre de I sur A ; il est parfois commode de désigner cette image par une autre notation, telle que $X'_i$, $Y_i$, $T_i$, etc. On annonce souvent cette convention par une phrase telle que : « Soit $Y = (Y_i)_{i \in I}$ une famille d’indéterminées » ; lorsqu’il en est ainsi, on note $A[Y]$ l’algèbre de polynômes considérée. Pour $I = \{1, 2, ..., n\}$, on écrit $A[X_1, X_2, ..., X_n]$ au lieu de $A[(X_i)_{i \in I}]$.

Pour $\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$, posons

Alors $(X^\nu)_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$ est une base du A-module $A[(X_i)_{i \in I}]$. Les $X^\nu$ s’appellent les monômes en les indéterminées $X_i$. Pour $v = 0$, on obtient l’élément unité de $A[(X_i)_{i \in I}]$. Tout polynôme $u \in A[(X_i)_{i \in I}]$ s’écrit d’une façon et d’une seule sous la forme

avec $\alpha_\nu \in A$ et les $\alpha_\nu$ nuls sauf pour un nombre fini d’indices ; les $\alpha_\nu$ s’appellent les coefficients de $u$ ; les $\alpha_\nu X^\nu$ s’appellent les termes de $u$ (l’élément $\alpha_\nu X^\nu$ étant souvent appelé le terme en $X^\nu$) ; en particulier le terme $\alpha_0 X^0$, identifié à $\alpha_0$, s’appelle le terme constant de $u$. Lorsque $\alpha_\nu = 0$, on dit, par abus de langage, que $u$ ne contient pas de terme en $X^\nu$ ; en particulier, quand $\alpha_0 = 0$, on dit que $u$ est un polynôme sans terme constant (III, p. 26). On appelle polynôme constant tout multiple scalaire de 1.

Soient B un anneau commutatif, et $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. Considérons $B[(X_i)_{i \in I}]$ comme une A-algèbre grâce à $\rho$. Alors l’application $\sigma$ de $A[(X_i)_{i \in I}]$ dans $B[(X_i)_{i \in I}]$ qui transforme $\sum \alpha_\nu X^\nu$ en $\sum \rho(\alpha_\nu) X^\nu$ est un homomorphisme de A-algèbres ; si $u \in A[(X_i)_{i \in I}]$, on note parfois $^\rho u$ l’image de $u$ par cet homomorphisme. L’homomorphisme de $B \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}]$ dans $B[(X_i)_{i \in I}]$ défini canoniquement par $\sigma$ transforme, pour tout $i \in I$, $1 \otimes X_i$ en $X_i$; c’est un isomorphisme de B-algèbres (III, p. 22).

Soit M un A-module libre de base $(e_i)_{i \in I}$. Il existe un homomorphisme unifère $\varphi$ et un seul de l’algèbre symétrique $S(M)$ dans l’algèbre $A[(X_i)_{i \in I}]$ tel que $\varphi(e_i) = X_i$ pour tout $i \in I$, et cet homomorphisme est un isomorphisme (III, p. 75). Cet isomorphisme est dit canonique. Cela permet d’appliquer aux algèbres de polynômes certaines propriétés des algèbres symétriques. Par exemple, soit $(\lambda_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une partition de I. Soit $\varphi_\lambda$ l’homomorphisme de $P_\lambda = A[(X_i)_{i \in I_\lambda}]$ dans $P = A[(X_i)_{i \in I}]$ qui transforme $X_i$ (considéré comme élément de $P_\lambda$) en $X_i$ (considéré comme élément de P). Alors les $\varphi_\lambda$ définissent un homomorphisme de l’algèbre $\bigotimes_{\lambda \in \Lambda} P_\lambda$ dans l’algèbre P, et cet homomorphisme est un isomorphisme (III, p. 73, prop. 9).

Soit E un A-module. On pose $E \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}] = E[(X_i)_{i \in I}]$. Les éléments du A-module $E[(X_i)_{i \in I}]$ s’appellent polynômes en les indéterminées $X_i$ à coefficients dans E. Un tel polynôme s’écrit d’une façon et d’une seule $\sum_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}} e_\nu \otimes X^\nu$, où $e_\nu \in E$ et où les $e_\nu$ sont nuls sauf pour un nombre fini d’indices ; le plus souvent, on écrira $e_\nu X^\nu$ pour $e_\nu \otimes X^\nu$.

2. Degrés

Soit $P = A[(X_i)_{i \in I}]$ une algèbre de polynômes. Pour tout entier $n \in \mathbf{N}$, soit $P_n$ le sous-module de P engendré par les monômes $X^\nu$ tels que $|\nu| = \sum_{i \in I} \nu_i$ soit égal à $n$. Alors $(P_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est une graduation qui fait de $A[(X_i)_{i \in I}]$ une algèbre graduée de type $\mathbf{N}$ (III, p. 31). Les éléments homogènes de degré $n$ de $A[(X_i)_{i \in I}]$ sont parfois appelés formes de degré $n$ par rapport aux indéterminées $X_i$.

Lorsqu’il sera question de degré de polynômes non homogènes, nous conviendrons généralement d’adjoindre à l’ensemble $\mathbf{N}$ des entiers naturels un élément noté $-\infty$ et de prolonger à $\mathbf{N} \cup \{-\infty\}$ la relation d’ordre et l’addition de $\mathbf{N}$ par les conventions suivantes, où $n \in \mathbf{N}$,

Soit $u = \sum_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}} \alpha_\nu X^\nu$ un polynôme. La composante homogène $u_n$ de degré $n$ de $u$ (pour la graduation de type $\mathbf{N}$ définie ci-dessus) est égale à $\sum_{|\nu|=n} \alpha_\nu X^\nu$, et l’on a évidemment $u = \sum_{n \in \mathbf{N}} u_n$. Lorsque $u \neq 0$, les $u_n$ ne sont pas tous nuls, et l’on appelle degré (ou degré total) de $u$, et l’on note $\deg u$, le plus grand des entiers $n$ tels que $u_n \neq 0$; autrement dit (III, p. 26), le degré de $u$ est le plus grand des entiers $|\nu|$ pour les multiindices $\nu$ tels que $\alpha_\nu \neq 0$. Lorsque $u = 0$, le degré de $u$ est égal par convention à $-\infty$. Pour tout entier $p \in \mathbf{N}$, la relation $\deg u \leq p$ équivaut donc à « $\alpha_\nu = 0$ pour tout multiindice $\nu$ tel que $|\nu| > p$ » ; l’ensemble des polynômes $u$ tels que $\deg u \leq p$ est donc un sous-A-module de $A[(X_i)_{i \in I}]$, égal à $P_0 + P_1 + \cdots + P_p$ avec les notations ci-dessus.

Soit E un A-module. La famille $(E \otimes P_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est une graduation de type $\mathbf{N}$ du module $E[(X_i)_{i \in I}] = E \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}]$ des polynômes à coefficients dans E. On étend à ce cas les conventions adoptées plus haut pour le degré des polynômes non homogènes.

3. Substitutions

Soient E une algèbre associative unifère sur A, $x = (x_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments de E deux à deux permutables. Soit $X = (X_i)_{i \in I}$ une famille d’indéterminées. D’après III, p. 22, prop. 7, il existe un unique homomorphisme unifère $f$ de $A[X]$ dans E tel que $f(X_i) = x_i$ pour tout $i \in I$. L’image d’un élément $u$ de $A[X]$ par $f$ se note $u(x)$ et s’appelle l’élément de E déduit par substitution des $x_i$ aux $X_i$ dans $u$, ou la valeur de $u$ pour les valeurs $x_i$ des $X_i$, ou encore la valeur de $u$ pour $X_i = x_i$. En particulier, $u = u((X_i)_{i \in I})$. Si $I = \{1, ..., n\}$, on écrit $u(x_1, ..., x_n)$ au lieu de $u((x_i)_{i \in I})$. Plus généralement, si M est un A-module et si $v$ est un élément de

on note $v(x)$ l’image de $v$ dans $M \otimes_A E = M_{(E)}$ par l’application $1_M \otimes f$.

Si l’homomorphisme $u \mapsto u(x)$ de $A[X]$ dans E est injectif, on dit que la famille x est algébriquement libre sur A, ou que les $x_i$ sont algébriquement indépendants sur A. Cela signifie aussi que les monômes $x^\nu$ ($\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$) sont linéairement indépendants sur A.

Si $\lambda$ est un homomorphisme unifère de E dans une A-algèbre associative unifère $E'$, on a

(1)

Soit $u \in A[X]$. Si E est commutative, l’application $x \mapsto u(x)$ de $E^I$ dans E s’appelle la fonction polynomiale définie par $u$ (et l’algèbre E) ; on la note parfois $\tilde{u}$ (ou même simplement $u$).

Soit $Y = (Y_j)_{j \in J}$ une autre famille d’indéterminées. Prenons pour E l’algèbre de polynômes $A[Y]$. Soit $u \in A[X]$; pour $i \in I$, soit $g_i \in A[Y]$ et posons $g = (g_i)_{i \in I}$; soit $u(g) \in A[Y]$ le polynôme obtenu par substitution des polynômes $g_i$ aux $X_i$ dans le polynôme $u$. Soit $y = (y_j)_{j \in J}$ une famille d’éléments deux à deux permutables d’une A-algèbre associative unifère $E'$; appliquons (1) en prenant pour $\lambda$ l’homomorphisme $g \mapsto g(y)$ de E dans $E'$; on obtient :

(2)

Si $f = (f_i)_{i \in I} \in (A[(X_j)_{j \in J}])^J$ et $g = (g_j)_{j \in J} \in (A[(Y_k)_{k \in K}])^J$, on note $f \circ g$, ou $f(g)$, la famille de polynômes $(f_i(g))_{i \in I} \in (A[(Y_k)_{k \in K}])^I$. Si l’on désigne par $\tilde{f}$ l’application $x \mapsto (f_i(x))_{i \in I}$ de ${E'}^J$ dans ${E'}^I$ (où $E'$ est une A-algèbre unifère associative et commutative), la relation (2) entraîne

(3)

Si $h = (h_k)_{k \in K} \in (A[(Z_l)_{l \in L}])^K$, il résulte de (2) que :

(4)

4. Différentielles et dérivations

Soit $B = A[(X_i)_{i \in I}]$. D’après III, p. 134, il existe, pour tout $i \in I$, une A-dérivation $D_i$ de B et une seule telle que

Le polynôme $D_i P$ s’appelle la dérivée partielle de $P$ par rapport à $X_i$; on le note aussi $D_{X_i} P$, ou $\frac{\partial P}{\partial X_i}$, ou $P'_{X_i}$. D’après III, p. 123, formule (21), on a, si $v = (\nu_j) \in \mathbf{N}^{(I)}$,

On déduit de (6) que $D_i D_j = D_j D_i$ quels que soient $i, j \in I$. Pour $v = (\nu_i)_{i \in I} \in \mathbf{N}^{(I)}$, on pose $D^\nu = \prod_{i \in I} D_i^{\nu_i}$ et $\nu! = \prod_{i \in I} (\nu_i!)$. Munissons $\mathbf{N}^{(I)}$ de l’ordre produit. On a

Lorsque $P$ est un polynôme en une seule indéterminée $X$, l’unique dérivée partielle de $P$ se note $DP$ ou $\frac{dP}{dX}$ ou $P'$, et s’appelle simplement la dérivée de $P$.

Soit à nouveau $B = A[(X_i)_{i \in I}]$. D’après III, p. 134, le B-module $\Omega_A(B)$ des A-différentielles de B admet pour base la famille $(dX_i)_{i \in I}$ des différentielles des $X_i$. Soit $\partial_i$ la forme coordonnée d’indice $i$ relativement à cette base sur $\Omega_A(B)$. Alors l’application $u \mapsto \langle \partial_i, du \rangle$ de B dans B est une dérivation de B qui transforme $X_i$ en 1 et $X_j$ en 0 pour $j \neq i$, donc est $D_i$; autrement dit, on a

pour tout $u \in B$. Si I est fini, $(D_i)_{i \in I}$ est une base du B-module des dérivations de B.

5. Diviseurs de zéro dans un anneau de polynômes