Montrons d’abord que les propriétés (AC), (AC') et (AC'') sont équivalentes. Il est clair que (AC) entraîne (AC''). Comme tout polynôme non constant de K[X] est divisible par un polynôme irréductible (IV, p. 13, prop. 13) et que tout polynôme de degré 1 dans K[X] admet évidemment une racine dans K, on voit que (AC'') entraîne (AC'). La condition (AC') entraîne par récurrence sur n que tout polynôme de degré n dans K[X] est produit de n polynômes de degré 1 (IV, p. 14, prop. 1), donc (AC') entraîne (AC).

Il reste à voir que les propriétés (AC'') et (AC''') sont équivalentes. Si (AC'') est vérifiée, tout élément d’un surcorps L de K algébrique sur K est de degré 1 (V, p. 15, th. 1), donc appartient à K, ce qui établit (AC'''). Réciproquement, soit f un polynôme irréductible de degré n ≥ 1 dans K[X] ; l’algèbre quotient K[X]/(f) est de degré n sur K, et c’est un corps, donc une extension algébrique de degré n de K (V, p. 17, prop. 2). Il est alors clair que (AC''') entraîne (AC'').

Soit $f$ un polynôme non constant dans $\overline{K}[X] \subset \Omega[X]$. Comme $\Omega$ est algébriquement clos, le polynôme $f$ a au moins une racine dans $\Omega$, et comme cette racine est algébrique sur $\overline{K}$, elle appartient à $\overline{K}$ (V, p. 19, prop. 4). Par suite, $\overline{K}$ satisfait à (AC').

Soit $K$ un corps fini ; posons $f(X) = 1 + \prod_{a \in K} (X - a)$. Le polynôme $f \in K[X]$ est non constant et l’on a $f(a) = 1$ pour tout $a \in K$. Le corps $K$ ne satisfait pas à (AC'), donc n’est pas algébriquement clos.

Théorème 1 (Steinitz). — Soient $K$ un corps, $E$ une extension algébrique de $K$ et $\Omega$ une extension algébriquement close de $K$. Il existe un $K$-homomorphisme de $E$ dans $\Omega$.

D’après V, p. 13, scholie, il existe un surcorps $\Omega'$ de $\Omega$ et un $K$-homomorphisme $u$ de $E$ dans $\Omega'$. Soit $x \in E$; comme $x$ est algébrique sur $K$, $u(x)$ est algébrique sur $u(K)$ et a fortiori sur $\Omega$ (V, p. 16, cor. 2); comme $\Omega$ est algébriquement clos, on a donc $u(x) \in \Omega$. Par suite, $u$ applique $E$ dans $\Omega$.

On peut supposer les polynômes $f_i$ unitaires (remarque 1). Soit $i \in I$ et soit $d_i$ le degré de $f_i$. D’après IV, p. 68, prop. 5, il existe une algèbre commutative $A_i$ sur $K$, non réduite à 0, et des éléments $\xi_{i,1}, ..., \xi_{i,d_i}$ de $A_i$ tels que :

a) l’algèbre $A_i$ est engendrée par $(\xi_{i,1}, ..., \xi_{i,d_i})$;

b) on a $f_i(X) = \prod_{k=1}^{d_i} (X - \xi_{i,k})$ dans $A_i[X]$.

Soit $A$ le produit tensoriel de la famille d’algèbres $(A_i)_{i\in I}$, et soit $\varphi_i$ l’homomorphisme canonique de $A_i$ dans $A$ (III, p. 42 ). L’algèbre $A$ est commutative et non réduite à 0 ; d’après le théorème de Krull (I, p. 99), il existe donc un idéal maximal $a$ de $A$ et $E = A/a$ est une extension du corps $K$.

Notons $\psi$ l’homomorphisme canonique de $A$ dans $E$ et posons $x_{i,k} = \psi(\varphi_i(\xi_{i,k}))$ pour $i \in I$ et $1 \leq k \leq d_i$. Comme l’algèbre $A$ est engendrée par $\bigcup_{i\in I} \varphi_i(A_i)$, l’extension $E$ est engendrée par la famille $(x_{i,k})$. De plus, on a $f_i(X) = \prod_{k=1}^{d_i} (X - x_{i,k})$ dans $E[X]$.

Par suite, $E$ est une extension de décomposition de la famille $(f_i)_{i\in I}$.

Soit $R_i$ l’ensemble des racines de $f_i$ dans $E$ et soit $R = \bigcup_{i\in I} R_i$. Comme $f_i$ est produit de polynômes du premier degré appartenant à $F[X]$, on a $R_i \subset F$. D’après la déf. 2, on a $F = K(R)$. On prouve de même que l’on a $F' = K(R)$.

Cela résulte de la prop. 5 et de V, p. 12, cor. de la prop. 4.

$^1$ Prendre par exemple $K = \mathbf{Q}$ et $f = X^3 - 2$.

La condition est nécessaire d’après (AC). Réciproquement, supposons que Ω soit algébrique sur K et que tout polynôme non constant dans K[X] soit produit dans Ω[X] de polynômes de degré 1. Soit Ω′ une extension algébrique de Ω et soit $x \in \Omega'$. Comme x est algébrique sur Ω et que Ω est algébrique sur K, x est algébrique sur K (V, p. 18, prop. 3). Soit f le polynôme minimal de x sur K. Par hypothèse, le polynôme $f \in K[X]$ se décompose dans Ω[X] en produit de polynômes de degré 1, d’où $x \in \Omega$. On a donc $\Omega' = \Omega$ et le corps Ω est algébriquement clos, car il satisfait à (AC''').

a) Si Ω est algébriquement close, toute extension algébrique de K est isomorphe à une sous-extension de Ω.

b) Réciproquement, supposons que toute extension algébrique de degré fini de K soit isomorphe à une sous-extension de Ω. Alors Ω est algébriquement close.

L’assertion a) résulte du th. 1 (V, p. 20). Plaçons-nous sous les hypothèses de b) et considérons un polynôme non constant $f \in K[X]$. Soit E un corps de décomposition de f (V, p. 21, prop. 4) : comme E est algébrique de degré fini sur K (V, p. 17, th. 2), on peut supposer que E est une sous-extension de Ω. Le polynôme f est alors produit de polynômes de degré 1 dans Ω[X] et la prop. 6 montre que Ω est algébriquement close.

Nous pouvons maintenant prouver l’existence et l’unicité (à un isomorphisme près) de la clôture algébrique d’un corps.

D’après la prop. 6, une clôture algébrique de K n’est autre qu’une extension de décomposition de l’ensemble des polynômes non constants dans K[X]. Le th. 2 résulte alors de V, p. 21, prop. 4, et de V, p. 21, cor.