a) La caractéristique de K est un nombre premier p, et il existe un entier f $\geqslant 1$ tel que $q = p^f$.

b) Le groupe additif de K est somme directe de f groupes cycliques d’ordre p.

c) Le groupe multiplicatif de K est cyclique d’ordre $q - 1$.

Comme $\mathbf{Z}$ est infini et K fini, l’unique homomorphisme d’anneaux $\varphi : \mathbf{Z} \to K$ n’est pas injectif, et son noyau est un idéal premier de $\mathbf{Z}$, non réduit à 0. Par suite, la caractéristique de K est un nombre premier, et K est une algèbre sur le corps $\mathbf{F}_p$ à $p$ éléments (V, p. 3). Soit $f$ le degré de K sur $\mathbf{F}_p$. Si $f$ était infini, K contiendrait pour tout entier $n \geqslant 0$ un sous-espace de dimension $n$ sur $\mathbf{F}_p$, d’où $q \geqslant p^n$, ce qui est absurde. Par suite $f$ est fini. Le groupe additif de K est donc isomorphe à $(\mathbf{F}_p)^f$, d’où les assertions a) et b).

L’assertion c) résulte du lemme 1 (V, p. 75).

Pour tout $x \neq 0$ dans K, on a $x^{q-1} = 1$ puisque $K^*$ est un groupe fini d’ordre $q - 1$ (I, p. 49). On en déduit $x^q = x$ pour tout $x$ dans K. Le polynôme $X^q - X$ de $\mathbf{F}_p[X]$ est de degré $q$ et il a $q$ racines dans K, d’où

La prop. 2 résulte aussitôt de là.

Soit K’ un corps fini à $q$ éléments ; sa caractéristique est un nombre premier $p'$

$^1$ Conformément aux conventions de ce chapitre, on ne s’intéresse ici qu’aux corps finis commutatifs. En fait, tout corps fini est commutatif comme nous le verrons au chapitre VIII (cf. V, p. 160, exercice 14).

divisant $q = p^f$, d’où $p' = p$. Par suite, $K'$ est un corps de décomposition du polynôme $X^q - X$ de $F_p[X]$ (prop. 2); $K$ et $K'$ sont donc isomorphes (V, p. 21, cor.).

Lorsque $K = F_p$, la formule (1) se réduit à la relation

dans l’anneau de polynômes $\mathbf{Z}[X]$.

La formule (2) peut aussi s’écrire

En particulier, pour $X = 0$, on obtient (« formule de Wilson »)

a) Il existe une unique sous-extension $K_m$ de $\Omega$ qui soit de degré $m$ sur $K$.

b) Le corps $K_m$ a $q^m$ éléments et c’est l’ensemble des points fixes de l’automorphisme $x \mapsto x^{q^m}$ de $\Omega$.

c) On a $K_m = K(\zeta)$ pour tout générateur $\zeta$ du groupe cyclique $K_m^*$.

Soient $p$ la caractéristique de $K$ et $f$ le degré de $K$ sur $F_p$. On a $q^m = p^{f m}$, et l’application $x \mapsto x^{q^m}$ est donc un automorphisme du corps parfait $\Omega$ (V, p. 6, prop. 4). Par suite, l’ensemble $K_m$ des racines du polynôme $X^{q^m} - X$ de $K[X]$ est un sous-corps de $\Omega$. Comme la dérivée de $X^{q^m} - X$ est égale à $-1$, toutes les racines de ce polynôme sont simples (IV, p. 16, prop. 7), et $K_m$ a donc $q^m$ éléments. On en déduit $[K_m : K] = m$.

Soit maintenant $L$ une sous-extension de $\Omega$, de degré $m$ sur $K$. Comme espace vectoriel sur $K$, $L$ est isomorphe à $K^m$, donc a $q^m$ éléments. On a donc $x^{q^m} = x$ pour tout $x \in L$ (prop. 2), d’où $L \subset K_m$. Comme on a $[L : K] = [K_m : K] = m$, on a finalement $L = K_m$.

On a donc prouvé les assertions a) et b), et l’assertion c) est triviale.

On sait que $\overline{K}$ est une clôture algébrique de $K$ (V, p. 22, exemple 2), et il est clair que toute racine de l’unité dans $\Omega$ appartient à $\overline{K}$. Par ailleurs, soit $x \neq 0$ dans $\overline{K}$, de degré $m$ sur $K$. Si le corps $K$ a $q$ éléments, le corps $K(x)$ en a $q^m$, d’où $x^{q^m - 1} = 1$, et $x$ est une racine de l’unité dans $\Omega$.

Soit $p$ un nombre premier, et soit $\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ le corps à $p$ éléments. Choisissons une clôture algébrique $\Omega$ de $\mathbf{F}_p$, dont l’existence résulte du théorème de Steinitz (V, p. 22, th. 2). Soient $f$ un entier positif et $q = q^f$. D’après la prop. 3, il existe un unique sous-corps de $\Omega$, qui soit de degré $f$ sur $\mathbf{F}_p$; on le notera $\mathbf{F}_q(\Omega)$, ou par abus de notations $\mathbf{F}_q$. C’est l’unique sous-extension de $\Omega$, qui soit de degré $f$ sur $\mathbf{F}_p$. C’est l’unique sous-corps de $\Omega$ de cardinal $q$, et tout corps de cardinal $q$ est isomorphe (non canoniquement) à $\mathbf{F}_q$ (cor. de la prop. 2). On notera que $\mathbf{F}_q$ se compose des $x$ dans $\Omega$ tels que $x^q = x$, et que l’on a $\mathbf{F}_q \subset \mathbf{F}_{q'}$ si et seulement si $q'$ est une puissance de $q$.

a) Le corps $\mathbf{K}_m$ est une extension galoisienne de $\mathbf{K}$, dont le groupe de Galois est le groupe cyclique d’ordre $m$ engendré par l’automorphisme $\sigma_q : x \mapsto x^q$.

b) Pour tout $x \in \mathbf{K}_m$, la norme de $x$ par rapport à $\mathbf{K}$ est égale à $x^{(q^m - 1)/(q - 1)}$.

c) Tout élément de $\mathbf{K}$ est la trace (resp. la norme) d’un élément de $\mathbf{K}_m$.

Soit $\Gamma$ le groupe cyclique d’automorphismes de $\mathbf{K}_m$ engendré par $\sigma_q$. Le corps des invariants de $\Gamma$ se compose des éléments $x$ de $\mathbf{K}_m$ tels que $x^q = x$, donc est égal à $\mathbf{K}$. Par suite, $\mathbf{K}_m$ est une extension galoisienne de $\mathbf{K}$, de groupe de Galois $\Gamma$, et ce dernier est d’ordre égal à $[\mathbf{K}_m : \mathbf{K}] = m$ (V, p. 64, th. 3). D’où a).

On a $\Gamma = \{ 1, \sigma_q, \sigma_q^2, \ldots, \sigma_q^{m-1} \}$; la norme d’un élément $x$ de $\mathbf{K}_m$ par rapport à $\mathbf{K}$ est donc $\mathrm{N}(x) = \prod_{i=0}^{m-1} \sigma_q^i(x) = x^{1 + q + \cdots + q^{m-1}}$ et l’on a $1 + q + \cdots + q^{m-1} = \frac{q^m - 1}{q - 1}$.

Ceci prouve b). Soit $\zeta$ un générateur du groupe cyclique $\mathbf{K}_m^*$; l’image de la norme $\mathrm{N} : \mathbf{K}_m^* \to \mathbf{K}^*$ est le sous-groupe cyclique de $\mathbf{K}^*$ engendré par l’élément $\xi = \mathrm{N}(\zeta) = \zeta^{(q^m - 1)/(q - 1)}$; comme $\zeta$ est d’ordre $q^m - 1$, $\xi$ est d’ordre $q - 1$, donc engendre $\mathbf{K}^*$. Ceci prouve que tout élément non nul de $\mathbf{K}$ est norme d’un élément non nul de $\mathbf{K}_m$; de plus, on a $0 = \mathrm{N}(0)$.

Enfin, comme $\mathbf{K}_m$ est une extension algébrique et séparable de $\mathbf{K}$, la trace est une forme linéaire non nulle sur l’espace vectoriel $\mathbf{K}_m$ sur $\mathbf{K}$ (V, p. 48, cor.) ; tout élément de $\mathbf{K}$ est donc trace d’un élément de $\mathbf{K}_m$.

Soit $\Gamma$ le sous-groupe de $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ engendré par $\sigma_q$. Pour tout entier $m > 0$, on a $\sigma_q^m(x) = x^{q^m}$ pour tout $x \in \overline{K}$, et par suite l’ensemble des points fixes de $\sigma_q^m$ est égal à $K_m$. Comme on a $K_m \neq \overline{K}$, on a $\sigma_q^m \neq 1$. Il existe par suite un isomorphisme $\pi_0$ de $\mathbf{Z}$ sur $\Gamma$ qui applique 1 sur $\sigma_q$.

Le corps des invariants de $\Gamma$ se compose des $x \in \overline{K}$ tels que $x^q = x$, donc est égal à $K$. Par suite (V, p. 65, lemme 2), le groupe $\Gamma$ est dense dans $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$. Comme toute sous-extension de $\overline{K}$ de degré fini sur $K$ est l’un des corps $K_m$, un système fondamental de voisinages de 1 dans $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ est formé des sous-groupes $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K_m)$. Il est clair que $\Gamma \cap \mathrm{Gal}(\overline{K}/K_m)$ est le groupe cyclique engendré par $\sigma_q^m$, donc est égal à $\pi_0(m\mathbf{Z})$.

D’après les remarques faites sur la topologie de $\hat{\mathbf{Z}}$, l’isomorphisme $\pi_0 : \mathbf{Z} \to \Gamma$ se prolonge de manière unique en un isomorphisme de groupes topologiques $\pi_K : \hat{\mathbf{Z}} \to \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$.

Soit $m \geq 1$ un entier ; il est immédiat que l’automorphisme de Frobenius de $\overline{K}$ relativement à $K_m$ est $\sigma_q^m$. On en déduit la relation

Par conséquent, compte tenu de la prop. 6 de V, p. 80 :