a) Đặc số của K là một số nguyên tố p, và tồn tại một số nguyên f \geq 1 sao cho q = p^f.

b) Nhóm cộng của K là tổng trực tiếp của f nhóm cyclic cấp p.

c) Nhóm nhân của K là cyclic cấp q - 1.

Vì Z là vô hạn và K hữu hạn, đồng cấu vành duy nhất \varphi : Z \to K không là đơn ánh và hạt nhân của nó là một iđêan nguyên tố của Z khác 0. Do đó đặc số của K là một số nguyên tố và K là một đại số trên trường \mathbf{F}_p có p phần tử (V, p. 2). Gọi f là bậc của K trên \mathbf{F}_p. Nếu f là vô hạn, thì với mỗi số nguyên n \geq 0, K sẽ chứa một không gian con có chiều n trên \mathbf{F}_p, do đó q \geq p^n, điều này là vô lý. Vậy f là hữu hạn. Nhóm cộng của K do đó đẳng cấu với (\mathbf{F}_p)^f, do đó suy ra các mệnh đề a) và b).

Mệnh đề c) suy ra từ Bổ đề 1 (V, p. 78).

1 Phù hợp với các quy ước của chương này, ở đây chúng ta sẽ chỉ xét các trường giao hoán hữu hạn. Thật vậy, mọi trường hữu hạn đều giao hoán, như ta sẽ thấy trong Chương VIII (x. V, p. 170, Bài tập 14).

Với mọi $x \neq 0$ trong $K$ ta có $x^{q-1} = 1$ vì $K^*$ là một nhóm hữu hạn cấp $q-1$ (I, p. 52). Suy ra $x^q = x$ với mỗi $x$ trong $K$. Đa thức $X^q - X$ của $\mathbf{F}_p[X]$ có bậc $q$ và có $q$ nghiệm trong $K$, do đó

Mệnh đề 2 suy ra ngay từ điều này.

Cho $K'$ là một trường hữu hạn có $q$ phần tử; đặc số của nó là một số nguyên tố $p'$ chia hết $q = p^f$, do đó $p' = p$. Vì vậy $K'$ là một trường phân rã của đa thức $X^q - X$ trong $\mathbf{F}_p[X]$ (Mệnh đề 2), và do đó $K$ và $K'$ đẳng cấu (V, p. 22, Hệ quả).

Khi $K = \mathbf{F}_p$, Công thức (1) thu gọn thành quan hệ

trong vành đa thức $\mathbf{Z}[X]$.

Công thức (2) cũng có thể được viết là

Đặc biệt với $X = 0$ ta thu được (« công thức Wilson »)

Bây giờ cho L là một mở rộng con của $\Omega$, có bậc $m$ trên $K$. Với tư cách là không gian vectơ trên $K$, $L$ đẳng cấu với $K^m$ nên có $q^m$ phần tử. Do đó ta có $x^{q^m} = x$ với mọi $x \in L$ (Mệnh đề 2), do đó $L \subset K_m$. Vì $[L : K] = [K_m : K] = m$, cuối cùng suy ra $L = K_m$.

Vậy ta đã chứng minh các khẳng định a) và b), còn c) là tầm thường.

Ta biết $K$ là một bao đóng đại số của $K$ (V, p. 22, Ví dụ 2) và hiển nhiên mọi nghiệm của đơn vị trong $\Omega$ đều thuộc $K$. Hơn nữa, với $x \neq 0$ trong $\overline{K}$, có bậc $m$ trên $K$, nếu $K$ có $q$ phần tử thì trường $K(x)$ có $q^m$ phần tử, do đó $x^{q^m - 1} = 1$, và vì thế $x$ là một nghiệm của đơn vị trong $\Omega$.

Cho $p$ là một số nguyên tố và gọi $\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ là trường có $p$ phần tử. Chọn một bao đóng đại số $\Omega$ của $\mathbf{F}_p$, sự tồn tại của nó suy ra từ định lý của Steinitz (V, p. 23, Th. 2). Gọi $f$ là một số nguyên dương và $q = p^f$. Theo Mệnh đề 3 tồn tại một trường con duy nhất của $\Omega$ có bậc $f$ trên $\mathbf{F}_p$; ta sẽ ký hiệu nó bởi $\mathbf{F}_q(\Omega)$ hoặc, do lạm dụng ký hiệu, bởi $\mathbf{F}_q$. Đó là trường con mở rộng duy nhất của $\Omega$ có bậc $f$ trên $\mathbf{F}_p$. Đó là trường con duy nhất của $\Omega$ có lực lượng $q$, và mọi trường có lực lượng $q$ đều đẳng cấu (không một cách chính tắc) với $\mathbf{F}_q$ (Hệ quả của Mệnh đề 2). Chú ý rằng $\mathbf{F}_q$ gồm các $x$ thuộc $\Omega$ sao cho $x^q = x$ và rằng $F, \subset \mathbf{F}_{q'}$ khi và chỉ khi $q'$ là một lũy thừa của $q$.

a) Trường $\mathbf{K}_m$ là một mở rộng Galois của $K$ mà nhóm Galois là nhóm cyclic cấp $m$ sinh bởi tự đẳng cấu $\sigma_q : x \mapsto x^q$.

b) Với mỗi $x \in \mathbf{K}_m$, chuẩn của $x$ đối với $K$ bằng $x^{(q^m - 1)/(q - 1)}$.

c) Mọi phần tử của $K$ đều là vết (resp. chuẩn) của một phần tử của $\mathbf{K}_m$.*

Cho $\Gamma$ là nhóm cyclic các tự đẳng cấu của $\mathbf{K}_m$ sinh bởi $\sigma_q$. Trường bất biến của $\Gamma$ gồm các phần tử $x$ của $\mathbf{K}_m$ sao cho $x^q = x$, do đó bằng $K$. Vậy $\mathbf{K}_m$ là một mở rộng Galois của $K$ với nhóm Galois $\Gamma$, và nhóm sau có cấp bằng $[K_m : K] = m$ (V, p. 66, Định lý 3). Do đó suy ra a).

Ta có $\Gamma = \{1, \sigma_q, \sigma_q^2, \ldots, \sigma_q^{m-1}\}$; do đó chuẩn của một phần tử $x$ của $\mathbf{K}_m$ đối với $K$ là $N(x) = \prod_{i=0}^{m-1} \sigma_q^i(x) = x^{1 + q + \cdots + q^{m-1}}$ và ta có $1 + q + \cdots + q^{m-1} = \frac{q^m - 1}{q - 1}$. Điều này chứng minh b). Cho $\xi$ là một phần tử sinh của nhóm cyclic $\mathbf{K}_m^*$; ảnh của chuẩn $N : \mathbf{K}_m^* \to K^*$ là nhóm con cyclic của $K^*$ được sinh bởi phần tử $\xi = N(\xi) = \xi^{(q^m - 1)/(q - 1)}$; vì $\xi$ có cấp $q^m - 1$, nên $\xi$ có cấp $q - 1$, và do đó sinh ra $K^*$. Điều này chứng minh rằng mọi phần tử khác không của K đều là chuẩn của một phần tử khác không của K; hơn nữa, ta có $0 = N(0)$.

Sau cùng, vì $K_m$ là một mở rộng đại số tách được của K, vết là một dạng tuyến tính khác không trên không gian vectơ $K_m$ trên K (V, p. 49, Hệ quả) ; do đó mọi phần tử của K đều là vết của một phần tử của $K_m$.

Cho $\Gamma$ là nhóm con của $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ sinh bởi $\sigma_q$. Với mọi số nguyên $m > 0$ ta có $\sigma_q^m(x) = x^{q^m}$ với mọi $x \in \bar{K}$, do đó tập hợp các điểm bất động của $\sigma_q^m$ bằng $K$. Vì $K \neq \bar{K}$, ta có $\sigma_q^m \neq 1$. Vậy tồn tại một đẳng cấu $\pi_0$ của $\mathbf{Z}$ lên $\Gamma$ gửi 1 tới $\sigma_q$.

Trường bất biến của $\Gamma$ gồm các $x \in K$ sao cho $x^q = x$, nên bằng $K$. Do đó (V, p. 67, Bổ đề 2) nhóm $\Gamma$ là trù mật trong $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$. Vì mọi mở rộng con của $\bar{K}$ có bậc hữu hạn trên $K$ đều là một trong các trường $K_m$, các nhóm con $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K_m)$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 1 trong $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$. Rõ ràng $\Gamma \cap \mathrm{Gal}(\bar{K}/K_m)$ là nhóm cyclic sinh bởi $\sigma_q^m$, do đó bằng $\pi_0(m\mathbf{Z})$.

Từ các nhận xét ở trên về tôpô của $\mathbf{Z}$, đẳng cấu $\pi_0 : \mathbf{Z} \to \Gamma$ mở rộng theo một cách duy nhất thành một đẳng cấu của các nhóm tôpô $\pi_K : \mathbf{Z} \to \mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$.

Cho $m \geq 1$ là một số nguyên; hiển nhiên tự đẳng cấu Frobenius của $\bar{K}$ đối với $K$ là $\sigma_q^m$. Do đó ta thu được quan hệ

Vì vậy, có tính đến Mệnh đề 6 của V, p. 84 :