Ta sẽ chỉ ra rằng khi giả sử $A$ là étale, biệt thức của $A$ đối với mọi cơ sở $(x_1, \ldots, x_n)$ của $A$ trên $K$ đều khác không; điều này đặc biệt sẽ thiết lập kéo theo $a) \Rightarrow b)$. Theo (4), với ký hiệu ở trên, chỉ cần chỉ ra rằng ma trận U là khả nghịch, hay tương đương, rằng hệ phương trình tuyến tính

chỉ có nghiệm $\lambda_1 = \cdots = A, = 0$ trong L. Bây giờ quan hệ (5) kéo theo $\sum_{i=1}^n \lambda_i u_i(x) = 0$ với mọi $x \in A$, do đó $\lambda_i = 0$ với $1 \leq i \leq n$, theo định lý về tính độc lập tuyến tính của các đồng cấu (V, p. 27, ĐL. 1).

Sự tương đương của b) và c) là hệ quả của bổ đề tổng quát sau đây:

Ta có $\Delta \neq 0$ khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính

chỉ có nghiệm $A, = \cdots = A, = 0$ trong K. Nếu đặt $x = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i$, thì hệ trên tương đương với $B(x, v_j) = 0$ với $1 \leq j \leq n$, hay cũng tương đương, vì $(v_1, \ldots, v_n)$ là một cơ sở của V trên K, với $B(x, y) = 0$ với mọi $y \in V$, do đó suy ra bổ đề.

Ta hãy chứng minh rằng điều kiện c) kéo theo A là rút gọn. Cho x là một phần tử lũy linh của A: với mọi $y \in A$ phần tử xy là lũy linh, và do đó tự đồng cấu $L_{xy}$ của không gian vectơ A là lũy linh. Bây giờ bổ đề sau đây kéo theo $\mathrm{Tr}(xy) = 0$ với mọi $y \in A$, do đó $x = 0$ dưới giả thiết c).

Với mỗi số nguyên $n \geq 0$ gọi $V_n$ là ảnh của $u^n$. Vì $u$ lũy linh, tồn tại một số nguyên $r \geq 0$ sao cho $V_0 = V, V_r = 0$ và $V_i \neq V_{i+1}$ với $0 \leq i < r - 1$. Gọi d, là chiều của $V_{i-1}$ (với $1 \leq i \leq r$). Tồn tại một cơ sở $(x_1, \ldots, x_d)$ của V sao cho các vectơ $x_j$ với $d - d_i < j \leq d$ tạo thành một cơ sở của $V_{i-1}$ (với $1 \leq i \leq r$). Ta có $u(V_{i-1}) \subset V_i$ và do đó các phần tử đường chéo của ma trận của $u$ đối với cơ sở $(x_1, \ldots, x_n)$ đều bằng không. Vậy $\mathrm{Tr}(u) = 0$ và bổ đề được chứng minh.

Sau cùng ta hãy chứng minh rằng b) kéo theo a). Cho $(x_1, \ldots, x_n)$ là một cơ sở của A trên K sao cho $D_{A/K}(x_1, \ldots, x_n) \neq 0$. Cho K' là một mở rộng của K, A' là K'-đại số dẫn xuất từ A bằng mở rộng vô hướng và $x'_i = 1 \otimes x_i$ với $1 \leq i \leq n$. Theo Công thức (2) (V, p. 47) ta có $D_{A'/K'}(x'_1, \ldots, x'_n) \neq 0$. Áp dụng kết quả trên cho A' ta thấy rằng A' là rút gọn, do đó đại số A là étale (V, p. 34, ĐL. 4).

Điều kiện là cần theo Mệnh đề 1. Ngược lại, giả sử tồn tại $a \in E$ sao cho $\mathrm{Tr}_{E/K}(a) \neq 0$. Với $x \neq 0$ cho trước trong E, nếu đặt $y = a x'$, thì $\mathrm{Tr}_{E/K}(xy) \neq 0$. Bây giờ Mệnh đề 1 cho thấy E là một đại số étale trên K, do đó là một mở rộng tách được của K.

Mệnh đề 3 suy ra trực tiếp từ Hệ quả của Mệnh đề 2 và bổ đề sau:

Theo Hệ quả (IV, p. 11), dãy $(1, x, ..., x^{d-1})$ là một cơ sở của A ; hơn nữa ta có

Do đó ma trận biểu diễn phép nhân bởi x đối với cơ sở $(1, x, ..., x^{d-1})$ của $A$ có dạng sau đây (ta lấy $d = 5$ để cố định ý tưởng):

Vết của ma trận này rõ ràng là $-a$; định thức có thể được tính bằng cách khai triển theo hàng đầu tiên, và khi đó ta được

Trong phần còn lại của Số này, ta ký hiệu E là một mở rộng bậc hữu hạn của K và ký hiệu $x$ là một phần tử của E. Ta sẽ chỉ ra cách tính chuẩn và vết của $x$ trong các trường hợp khác nhau.

a) Trường hợp của một mở rộng tách được: giả sử E là tách được bậc $n$ trên K, ký hiệu $\Omega$ là một bao đóng đại số của K và ký hiệu $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ là $n$ K-đồng cấu phân biệt của E vào R. Theo Công thức (3) ($V$, p. 48), ta có trong R

b) Trường hợp của một mở rộng căn p: giả sử K có đặc số $p > 0$ và mở rộng E là căn p; tồn tại một số nguyên $e \geq 0$ sao cho $[E:K] = p^e$ ($V$, p. 26, Prop. 4). Nếu $f$ là chiều cao của $x$ trên K, thì đa thức tối tiểu của $x$ trên K là $X^{p^f} - x^{p^f}$ ($V$, p. 24, Prop. 1). Theo Mệnh đề 3 ta có $N_{E/K}(x) = (x^{p^f})^{p^e/p^f}$, do đó

Đối với vết, ta được $\text{Tr}_{E/K}(x) = -p^{e-f} a$, trong đó $a$ là hệ số của $X^{p^f-1}$ trong đa thức $X^{p^f} - x^{p^f}$; nói cách khác, ta có

c) Trường hợp tổng quát: ta có thể tóm tắt việc tính chuẩn và vết trong mệnh đề sau:

Cho E, là bao đóng tách được tương đối của K trong E; khi đó $E_s$ là một mở rộng tách được bậc $n$ của K và $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ cảm sinh các K-đồng cấu phân biệt của E, vào R; hơn nữa, E là một mở rộng căn p của E, bậc p$^e$ ($V$, p. 44, Prop. 13 and p. 46). Vậy Mệnh đề 4 suy ra từ các Công thức (6), (7), (13), (14) và (12).