a) L’algèbre $A$ est étale.

b) Il existe une base de $A$ dont le discriminant est non nul.

c) Pour tout $x \neq 0$ dans $A$, il existe $y$ dans $A$ tel que $\mathrm{Tr}_{A/K}(xy) \neq 0$.

De plus, lorsque ces conditions sont remplies, le discriminant d’une base quelconque de $A$ est non nul.

Nous allons montrer que, $A$ étant supposée étale, le discriminant de $A$ par rapport à une base quelconque $(x_1, ..., x_n)$ de $A$ sur $K$ est non nul ; ceci établira en particulier l’implication $a) \Rightarrow b)$. D’après (4) et avec les notations précédentes, il suffit de montrer que la matrice $U$ est inversible, ou encore que le système d’équations linéaires

n’admet que la solution $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$ dans $L$. Or la relation (5) entraîne

d’où $\lambda_i = 0$ pour $1 \leq i \leq n$ d’après le théorème d’indépendance linéaire des homomorphismes (V, p. 26, th. 1).

L’équivalence de b) et c) résulte du lemme général suivant :

On a $\Delta \neq 0$ si et seulement si le système d’équations linéaires

n’admet que la solution $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$ dans $K$. Si l’on pose $x = \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i$, le système précédent équivaut à $B(x, v_j) = 0$ pour $1 \leq j \leq n$, ou encore, comme $(v_1, ..., v_n)$ est une base de $V$ sur $K$, à $B(x, y) = 0$ pour tout $y \in V$, d’où le lemme.

Montrons que la condition c) entraîne que $A$ est réduite. Soit $x$ un élément nilpotent de $A$; pour tout $y \in A$, l’élément $xy$ de $A$ est nilpotent, et par suite l’endomorphisme $L_{xy}$ de l’espace vectoriel $A$ est nilpotent. Le lemme suivant entraîne alors $\mathrm{Tr}(xy) = 0$ pour tout $y \in A$, d’où $x = 0$ sous l’hypothèse c).

Pour tout entier $n \geq 0$, soit $V_n$ l’image de $u^n$. Comme $u$ est nilpotent, il existe un entier $r \geq 0$ tel que $V_0 = V, V_r = 0$ et $V_i \neq V_{i+1}$ pour $0 \leq i \leq r - 1$. Soit d_i la dimension de V_{i-1} (pour $1 \leq i \leq r$). Il existe une base $(x_1, ..., x_d)$ de V telle que les vecteurs $x_j$ avec $d - d_i < j \leq d$ forment une base de $V_{i-1}$ (pour $1 \leq i \leq r$). On a $u(V_{i-1}) \subset V_i$ et par suite les éléments diagonaux de la matrice de $u$ dans la base $(x_1, ..., x_d)$ sont nuls. On a alors $\operatorname{Tr}(u) = 0$, d’où le lemme.

Montrons enfin que b) entraîne a). Soit $(x_1, ..., x_n)$ une base de A sur K telle que $D_{A/K}(x_1, ..., x_n) \neq 0$. Soient K' une extension de K, A' la K'-algèbre déduite de A par extension des scalaires et $x'_i = 1 \otimes x_i$ pour $1 \leq i \leq n$. D’après la formule (2) (V, p. 46), on a $D_{A'/K'}(x'_1, ..., x'_n) \neq 0$. En appliquant le résultat précédent à A', on voit que A' est réduite. L’algèbre A est donc étale (V, p. 34, th. 4).

La condition est nécessaire d’après la prop. 1. Inversement, supposons qu’il existe $a \in E$ tel que $\operatorname{Tr}_{E/K}(a) \neq 0$. Soit $x \neq 0$ dans E ; si l’on pose $y = ax^{-1}$, on a $\operatorname{Tr}_{E/K}(xy) \neq 0$. La prop. 1 montre alors que E est une algèbre étale sur K, donc une extension séparable de K.

La prop. 3 résulte aussitôt du cor. de la prop. 2 et du lemme suivant :

D’après le cor. (IV, p. 10), la suite $(1, x, ..., x^{d-1})$ est une base de $A$; on a par ailleurs

La matrice qui exprime la multiplication par $x$ par rapport à la base $(1, x, ..., x^{d-1})$ de $A$ est donc de la forme suivante (on a fait $d = 5$ pour fixer les idées) :

La trace de cette matrice est visiblement égale à $-a_1$; le déterminant se calcule en développant par rapport à la première ligne, et l’on trouve

Dans la suite de ce numéro, on note $E$ une extension de degré fini de $K$ et $x$ un élément de $E$. Nous allons indiquer comment calculer la norme et la trace de $x$ dans divers cas.

a) Cas d’une extension séparable : supposons $E$ séparable de degré $n$ sur $K$, notons $\Omega$ une clôture algébrique de $K$ et $\sigma_1, ..., \sigma_n$ les $n$ $K$-homomorphismes distincts de $E$ dans $\Omega$. D’après la formule (3) (V, p. 46), on a dans $\Omega$

b) Cas d’une extension radicielle : supposons $K$ de caractéristique $p > 0$ et l’extension $E$ radicielle ; il existe un entier $e \geqslant 0$ tel que $[E : K] = p^e$ (V, p. 25, prop. 4). Si $f$ est la hauteur de $x$ sur $K$, le polynôme minimal de $x$ sur $K$ est $X^{p^f} - x^{p^f}$ (V, p. 23, prop. 1). D’après la prop. 3, on a $\mathrm{N}_{E/K}(x) = (x^{p^f})^{p^e/p^f}$; d’où

Pour la trace, on trouve $\mathrm{Tr}_{E/K}(x) = -p^{e-f} a$, où $a$ est le coefficient de $X^{p^f-1}$ dans le polynôme $X^{p^f} - x^{p^f}$; autrement dit, on a

c) Cas général : on peut résumer le calcul de la norme et de la trace dans la proposition suivante :

Soit $E_s$ la fermeture séparable de $K$ dans $E$; alors $E_s$ est une extension séparable de degré $n$ de $K$, et $\sigma_1, ..., \sigma_n$ induisent des $K$-homomorphismes distincts de $E_s$ dans $\Omega$; de plus, $E$ est une extension radicielle de $E_s$, de degré $p^e$ (V, p. 42, prop. 13 et p. 45). La prop. 4 résulte alors des formules (6), (7), (13), (14) et (12).