Bài tập 9, § 11

Cho K là một trường có đặc số $p > 0$. a) Cho E là một mở rộng cyclic bậc $p^e$ của K và cho $\sigma$ là một K-tự đẳng cấu sinh nhóm Gal(E/K). Cho F là trường bậc $p^{e-1}$ trên K sao cho $K \subset F \subset E$; nếu $m = p^{e-1}$, hãy chứng minh rằng tồn tại $0 \in E$, nghiệm của một đa thức bất khả quy $X^p - X - \alpha$ của F[X] sao cho $E = F(\theta)$ và $\sigma^m(\theta) = 0 + 1$. Hãy chứng minh rằng ta cũng có $E = K(\theta)$ và $\sigma(\theta) = 0 + \beta$ trong đó $\beta \in F$ sao cho $\sigma(\alpha) - \alpha = \beta^p - \beta$ và $\operatorname{Tr}_{F/K}(\beta) = 1$. b) Ngược lại, cho F là một mở rộng cyclic bậc $p^{e-1}$ của K (với $e > 1$), $\sigma$ là một K-tự đẳng cấu của F sinh Gal(F/K). Hãy chứng minh rằng tồn tại hai phần tử $a, \beta$ của F sao cho $\operatorname{Tr}_{F/K}(\beta) = 1$ và $\sigma(\alpha) - a = \beta^p - \beta$ (dùng Định lý 3 của V, p. 85 và Hệ quả của Mệnh đề 1 của V, p. 49). Suy ra rằng với mọi $c \in K$ đa thức $X^p - X - a - c$ là bất khả quy trong F[X]; nếu 0 là một nghiệm của đa thức này trong một bao đóng đại số $\Omega$ của F, hãy chứng minh rằng tồn tại một K-đồng cấu $a$ của $E = F(\theta)$ vào $\Omega$ mở rộng $\sigma$ và sao cho $\bar{\sigma}(\theta) = 0 + \beta$; kết luận rằng E là một mở rộng cyclic bậc $p^e$ của K, rằng a sinh Gal(E/K) và rằng $E = K(0)$. Cuối cùng hãy chứng minh rằng mọi mở rộng cyclic bậc $p^e$ của K chứa F đều là trường phân rã của một đa thức $X^p - X - \alpha - c$ của F[X] với một $c \in K$ thích hợp.