Exercice 9, § 11

Soit K un corps de caractéristique $p > 0$. a) Soit E une extension cyclique de K, de degré $p^e$, et soit $\sigma$ un K-automorphisme engendrant le groupe Gal(E/K). Soit F le corps de degré $p^{e-1}$ sur K tel que $K \subset F \subset E$; si l’on pose $m = p^{e-1}$, montrer qu’il existe $\theta \in E$, racine d’un polynôme irréductible $X^p - X - \alpha$ de F[X], tel que $E = F(\theta)$ et $\sigma^m(\theta) = \theta + 1$. Montrer qu’on a aussi $E = K(\theta)$ et $\sigma(\theta) = \theta + \beta$ où $\beta \in F$ est tel que $\sigma(\alpha) - \alpha = \beta^p - \beta$ et $\mathrm{Tr}_{F/K}(\beta) = 1$. b) Inversement, soient F une extension cyclique de K, de degré $p^{e-1}$ (avec $e > 1$), $\sigma$ un K-automorphisme de F engendrant Gal(F/K). Montrer qu’il existe deux éléments $\alpha, \beta$ de F tels que $\mathrm{Tr}_{F/K}(\beta) = 1$ et $\sigma(\alpha) - \alpha = \beta^p - \beta$ (utiliser le th. 3 de V, p. 81 et le cor. de la prop. 1 de V, p. 48). En déduire que, pour tout $c \in K$, le polynôme $X^p - X - \alpha - c$ est irréductible dans $F[X]$; si $\theta$ est une racine de ce polynôme dans une clôture algébrique $\Omega$ de $F_2$, montrer qu’il existe un $K$-homomorphisme $\bar{\sigma}$ de $E = F(\theta)$ dans $\Omega$ prolongeant $\sigma$ et tel que $\bar{\sigma}(\theta) = \theta + \beta$; en conclure que $E$ est une extension cyclique de $K$, de degré $p^e$, que $\bar{\sigma}$ engendre $\mathrm{Gal}(E/K)$ et que $E = K(\theta)$. Montrer enfin que toute extension cyclique de $K$ de degré $p^e$, contenant $F$, est corps de décomposition d’un polynôme $X^p - X - \alpha - c$ de $F[X]$ pour un $c \in K$ convenable.