Notons d’abord que F est aussi le corps des invariants de l’adhérence $\overline{\Delta}$ de Δ dans Γ, et que $\overline{\Delta}$ est un sous-groupe distingué fermé de Γ. D’après V, p. 66, cor. 4, F est donc une extension galoisienne de K. De plus, le groupe de Galois de F sur K est isomorphe à $\Gamma / \overline{\Delta}$, donc est commutatif. Toute sous-extension de F est donc abélienne. Réciproquement, soit L une extension abélienne de K contenue dans E, et soit Π le groupe de Galois de E sur L. Comme L est galoisienne, Π est un sous-groupe distingué de Γ et le groupe de Galois de L sur K est isomorphe à $\Gamma / \Pi$ (V, p. 66, cor. 4). Par suite, $\Gamma / \Pi$ est commutatif et Π contient Δ ; d’où $L \subset F$.

Tout d’abord, E est extension galoisienne de K (V, p. 55, prop. 1). Si le corps F est défini comme dans la prop. 1, on a $E_i \subset F$ pour tout $i \in I$, d’où $F = E$.

On dit qu’une extension E de K est une clôture abélienne de K si c’est une extension abélienne de K, et si toute extension abélienne de K est isomorphe à une sous-extension de E. La prop. 1 entraîne l’existence d’une clôture abélienne de K : en effet, soit $K_s$ une clôture séparable de K, de groupe de Galois Γ et soit $(\overline{\Gamma}, \overline{\Gamma})$ l’adhérence du groupe dérivé de Γ ; notons $K_{ab}$ le corps des invariants de $(\overline{\Gamma}, \overline{\Gamma})$; comme toute extension algébrique séparable de K est isomorphe à une sous-extension de $K_s$ (V, p. 44, cor.), la prop. 1 montre que $K_{ab}$ est une clôture abélienne de K. Le groupe de Galois de $K_{ab}$ sur K est canoniquement isomorphe à $\Gamma / (\overline{\Gamma}, \overline{\Gamma})$. Démontrons maintenant l’unicité des clôtures abéliennes : soient E et E’ deux clôtures abéliennes de K ; il existe par définition des K-homomorphismes $u : E \to E'$ et $v : E' \to E$, et la prop. 1 (V, p. 50) entraîne $v(u(E)) = E$ et $u(v(E')) = E'$, donc $u$ est un K-isomorphisme de E sur E’. Tout autre K-isomorphisme de E sur E’ est de la forme $u_1 = \sigma_0 \circ u$ avec $\sigma_0 \in \mathrm{Gal}(E'/K)$; comme $\mathrm{Gal}(E'/K)$ est commutatif, l’isomorphisme $\sigma \mapsto u \circ \sigma \circ u^{-1}$ de $\mathrm{Gal}(E/K)$ sur $\mathrm{Gal}(E'/K)$ est indépendant de $u$; on l’appelle l’isomorphisme canonique de $\mathrm{Gal}(E/K)$ sur $\mathrm{Gal}(E'/K)$.

Il suffit de prouver la première assertion du théorème, qui résulte du lemme plus précis suivant :

Considérons $G$ comme un $\mathbf{Z}$-module ; on a $mx = 0$ pour tout $x \in G$, donc l’annulateur de $G$ est un idéal de la forme $r\mathbf{Z}$ où l’entier $r \geq 1$ divise $m$. On a donc $G \subset \mu_r(K)$. D’après le lemme 4 (V, p. 71) appliqué à $A = \mathbf{Z}$ et $M = G$, il existe un élément $x$ de $G$ d’ordre $r$ ; soit $G'$ le sous-groupe cyclique de $G$ engendré par $x$. On a $G' \subset \mu_r(K)$, Card $G' = r$ et Card $\mu_r(K) \leq r$ ; on a, par suite, $G' = \mu_r(K) \supset G$ et $G$ est cyclique d’ordre $r$, égal à $\mu_r(K)$. Comme $G$ est d’ordre $m$, on a $m = r$, d’où le lemme 1.

On a noté $\mathbf{Z}[1/p]$ le sous-anneau de $\mathbf{Q}$ engendré par $1/p$, c’est-à-dire l’ensemble des nombres rationnels de la forme $a/p^n$ avec $a \in \mathbf{Z}$ et $n \geq 1$ ; on a donc $\mathbf{Z}[1/p] = \mathbf{Z}$ si $K$ est de caractéristique 0.

Soit $(\nu_n)_{n \geq 1}$ la suite strictement croissante formée de tous les entiers qui ne sont pas divisibles par $p$ si $p \neq 1$ ; posons $\lambda_n = \nu_1 \nu_2 \ldots \nu_n$, et désignons par $H_n$ le groupe des racines $\lambda_n$-ièmes de l’unité ; on a $H_{n+1} \supset H_n$ et $\mu_\infty(K) = \bigcup_n H_n$. Comme $H_n$ est cyclique d’ordre $\lambda_n$ (th. 1), il existe une suite $(\alpha_n)_{n \geq 1}$ de racines de l’unité telle que $\alpha_n$ engendre $H_n$ et que $\alpha_n = \alpha_{n+1}^{v_n + 1}$.

Par ailleurs, soit $\beta_n$ la classe modulo $\mathbf{Z}[1/p]$ de $1/\lambda_n$, et soit $H'_n$ le sous-groupe cyclique de $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}[1/p]$ engendré par $\beta_n$. Il est immédiat qu’on a $\beta_n = v_{n+1} \beta_{n+1}$ et $H'_n$ est d’ordre $\lambda_n$, car $\lambda_n$ n’est pas divisible par $p$ si $p \neq 1$. Il existe donc pour tout $n \geq 1$ un isomorphisme $\varphi_n : H_n \to H'_n$ tel que $\varphi_n(\alpha_n) = \beta_n$ et les relations $\alpha_n = \alpha_{n+1}^{v_n + 1}$, $\beta_n = v_{n+1} \beta_{n+1}$ montrent que $\varphi_{n+1}$ prolonge $\varphi_n$. Finalement, il existe un unique isomorphisme $\varphi$ de $\mu_\infty(K)$ sur $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}[1/p]$ prolongeant les isomorphismes $\varphi_n$, c’est-à-dire tel que $\varphi(\alpha_n) = \beta_n$ pour tout $n \geq 1$.

Avec les notations du cor. 1, tout élément de G a un ordre fini qui est un diviseur $d$ de $n$, et il y a $\varphi(d)$ tels éléments pour $d$ fixé.

Le calcul de $\varphi(n)$ repose sur les deux formules :

(2) $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ si $m$ et $n$ sont premiers entre eux,

(3) $\varphi(p^a) = p^{a-1}(p-1)$ ($p$ premier, $a \geqslant 1$).

La première résulte immédiatement de ce que les anneaux $\mathbf{Z}/mn\mathbf{Z}$ et $(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}) \times (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})$ sont isomorphes (I, p. 107), et que l’on a $(\mathbf{A} \times \mathbf{B})^* = \mathbf{A}^* \times \mathbf{B}^*$ pour deux anneaux $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$. Pour prouver (3), remarquons que les diviseurs positifs de $p^a$ sont $1, p, p^2, \ldots, p^a$; par conséquent, l’entier $k$ n’a pas d’autre diviseur commun avec $p^a$ que 1 si et seulement s’il n’est pas divisible par $p$; comme il y a $p^{a-1}$ multiples de $p$ compris entre 0 et $p^a - 1$, on a bien (3).

Les formules (2) et (3) entraînent aussitôt

où $p$ parcourt l’ensemble des diviseurs premiers de $n$.

On dit qu’une racine $n$-ième de l’unité est primitive si elle est d’ordre $n$; s’il existe une telle racine $\zeta$, le groupe $\mu_n(\mathbf{K})$ est d’ordre $n$ et il est engendré par $\zeta$. \* Par exemple, les racines primitives $n$-ièmes de l’unité dans $\mathbf{C}$ sont les nombres $e^{2\pi i k/n}$ avec $0 \leqslant k < n$ et $k$ premier à $n$. \* Le cor. 1 de la prop. 3 entraîne le résultat suivant.

Soit $\overline{\mathbf{Q}}$ une clôture algébrique du corps $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels. Soit $n \geq 1$ un entier. On définit le polynôme cyclotomique $\Phi_n$ de niveau $n$ par

où $S_n$ est l’ensemble des racines primitives $n$-ièmes de l’unité dans $\overline{\mathbf{Q}}$. Le polynôme $\Phi_n$ est de degré $\varphi(n)$ (prop. 4). Il est clair que $\Phi_n(X)$ est invariant par tout automorphisme de $\overline{\mathbf{Q}}$, donc appartient à $\mathbf{Q}[X]$. Comme tout élément $\zeta$ de $S_n$ est racine du polynôme $X^n - 1$, le polynôme $\Phi_n(X)$ divise $X^n - 1$, et le lemme suivant montre que $\Phi_n(X)$ est un polynôme unitaire à coefficients entiers.

Soit $a$ (resp. $b$) le plus petit des entiers $\alpha \geq 1$ (resp. $\beta \geq 1$) tels que $\alpha g$ (resp. $\beta h$) ait tous ses coefficients entiers ; posons $g' = ag$ et $h' = bh$ et montrons par l’absurde que l’on a $a = b = 1$. Sinon, il existerait un diviseur premier $p$ de $ab$. Si $u \in \mathbf{Z}[X]$, notons $\bar{u}$ le polynôme à coefficients dans le corps $F_p$ obtenu par réduction modulo $p$ des coefficients de $u$. On a $g'h' = abf$, d’où $\bar{g}'\bar{h}' = 0$; comme l’anneau $F_p[X]$ est intègre (IV, p. 9, prop. 8), on a donc $\bar{g}' = 0$ ou $\bar{h}' = 0$. Autrement dit, $p$ divise tous les coefficients de $g'$ ou tous ceux de $h'$ et ceci contredit les hypothèses faites.

On a la relation

En effet, on a $X^n - 1 = \prod_{\zeta \in \mu_n(\mathbf{Q})} (X - \zeta)$ et les ensembles $S_d$ pour $d$ divisant $n$ forment une partition de $\mu_n(\mathbf{Q})$.

La formule (6) détermine $\Phi_n(X)$ lorsqu’on connaît les $\Phi_d(X)$ pour tous les diviseurs $d < n$ de $n$; comme $\Phi_1(X) = X - 1$, on a ainsi un procédé de récurrence pour calculer $\Phi_n$. Par exemple pour $p$ premier, on a

d’où

et

Donnons les valeurs des polynômes $\Phi_n(X)$ pour $1 \leqslant n \leqslant 12$:

Les valeurs de $\Phi_1, \Phi_2, \Phi_3, \Phi_4, \Phi_5, \Phi_7, \Phi_8, \Phi_9$ et $\Phi_{11}$ résultent directement des formules (7); on a $\Phi_1 \Phi_2 \Phi_3 \Phi_6 = X^6 - 1$ et $\Phi_1 \Phi_2 \Phi_3 \Phi_4 \Phi_6 \Phi_{12} = X^{12} - 1$, d’où

Les cas $n = 6$ et $n = 10$ se traitent de manière analogue.

Notons $S_n$ l’ensemble des racines de $\Phi_n$ dans $K_s$. D’après la formule (6), l’ensemble $\mu_n(K_s)$ est réunion des $S_d$ pour $d$ divisant $n$. Toute racine primitive $n$-ième de l’unité appartient donc à $S_n$, et le lemme résulte de la prop. 4 (V, p. 77).

D’après le lemme 3, on a $R_n(K) = K(\zeta)$ pour toute racine $\zeta$ de $\Phi_n(X)$ et par suite $\Phi_n(X)$ est irréductible dans $K[X]$ si et seulement si le degré $\varphi(n)$ de $\Phi_n(X)$ est égal à $[R_n(K) : K]$. Par ailleurs, le groupe de Galois de $R_n(K)$ sur $K$ est d’ordre $[R_n(K) : K]$ et il est isomorphe au sous-groupe de $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ image de $\chi_n$. La prop. 6 résulte alors de ce que $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ est d’ordre $\varphi(n)$.

Théorème 2 (Gauss). — Soient $\overline{\mathbf{Q}}$ une clôture algébrique de $\mathbf{Q}$ et $n \geq 1$ un entier. a) Le polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$ est irréductible dans $\mathbf{Q}[X]$. b) Le degré de $R_n(\mathbf{Q})$ sur $\mathbf{Q}$ est égal à $\varphi(n)$. c) L’homomorphisme $\chi_n$ de $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ dans $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$ est surjectif, et définit par passage au quotient un isomorphisme de $\mathrm{Gal}(R_n(\mathbf{Q})/\mathbf{Q})$ sur $(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^*$.

Compte tenu de la prop. 6, il suffit de prouver l’assertion c). Tout entier $r$ premier à $n$ est le produit de nombres premiers $p_1, \ldots, p_s$ ne divisant pas $n$ ; il suffit donc de prouver que pour tout nombre premier $p$ ne divisant pas $n$, l’application $x \mapsto x^p$ de $\mu_n(\mathbf{Q})$ dans lui-même se prolonge en un automorphisme de $R_n(\mathbf{Q})$. Il suffira de prouver que, si $\zeta$ est une racine primitive $n$-ième de l’unité, le polynôme minimal $f$ de $\zeta$ sur $\mathbf{Q}$ est égal au polynôme minimal $g$ de $\zeta^p$ sur $\mathbf{Q}$.

Raisonnons par l’absurde en supposant $f \neq g$. Les polynômes $f$ et $g$ sont unitaires et irréductibles dans $\mathbf{Q}[X]$ et divisent $X^n - 1$, et il existe donc $u \in \mathbf{Q}[X]$ tel que $X^n - 1 = fgu$ (IV, p. 13, prop. 13). Le lemme 2 (V, p. 78) montre que $f, g$ et $u$ sont à coefficients entiers. Notons $\bar{v}$ le polynôme à coefficients dans $\mathbf{F}_p$ déduit d’un polynôme $v \in \mathbf{Z}[X]$ par réduction modulo $p$. On a donc $X^n - 1 = \bar{f} \bar{g} \bar{u}$ dans $\mathbf{F}_p[X]$.

Par ailleurs, on a $g(\zeta^p) = 0$ et $g(X^p)$ est donc multiple de $f(X)$ dans $\mathbf{Q}[X]$. D’après le lemme 2, il existe $h \in \mathbf{Z}[X]$ tel que $g(X^p) = f(X).h(X)$. Or on a $v(X^p) = v(X)^p$ pour tout polynôme $v \in \mathbf{F}_p[X]$. Par réduction modulo $p$, on obtient donc $\bar{g}^p = \bar{f}\bar{h}$. Si $v$ est un polynôme unitaire irréductible dans $\mathbf{F}_p[X]$ divisant $\bar{f}$, il divise donc $\bar{g}$. Comme $\bar{f}\bar{g}$ divise $X^n - 1$, on voit que $v^2$ divise $X^n - 1$ dans $\mathbf{F}_p[X]$. Ceci est absurde car le polynôme $X^n - 1$ est séparable dans $\mathbf{F}_p[X]$.

On peut montrer que, pour toute extension abélienne E de degré fini sur $\mathbf{Q}$, il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que E soit isomorphe à une sous-extension de $R_n(\mathbf{Q})$. \* Autrement dit, le corps $\mathbf{Q}(\mu_\infty(\mathbf{C}))$ est une clôture abélienne de $\mathbf{Q}$. \* (« Théorème de Kronecker-Weber ».)

Prouvons d’abord un lemme. Lemme 4. — Soient $\Gamma$ un groupe cyclique d’ordre $n$, $\sigma$ un générateur de $\Gamma$ et M un groupe commutatif sur lequel opère $\Gamma$ de façon que $\gamma.(m + m') = \gamma.m + \gamma.m'$ pour tous $\gamma \in \Gamma, m, m' \in M$. Soit $Z$ l’ensemble des applications $f$ de $\Gamma$ dans $M$ satisfaisant à la relation

Posons $u(f) = f(\sigma)$ pour $f \in Z$ et $t(m) = \sum_{\tau \in \Gamma} \tau . m$ pour $m \in M$. Alors la suite

est exacte.

Soit $f \in Z$; faisant $\tau = \tau' = 1$ dans (10), on obtient $f(1) = 0$. De plus, on déduit par récurrence sur $m \geqslant 0$ la relation

On a $\sigma^n = 1$, d’où $f(\sigma^n) = 0$; la relation précédente avec $m = n$ équivaut à l’égalité $t(u(f)) = 0$, d’où $\operatorname{Im} u \subset \operatorname{Ker} t$. En outre, il résulte de (11) que $\operatorname{Ker} u = 0$.

Soit $m \in M$ tel que $t(m) = 0$, c’est-à-dire $m + \sigma . m + \cdots + \sigma^{n-1} . m = 0$. Définissons l’application $f$ de $\Gamma$ dans $M$ par

pour $0 \leqslant j \leqslant n - 1$. On laisse au lecteur le soin d’établir la relation (10). On a évidemment $m = f(\sigma)$, d’où $\operatorname{Im} u \supset \operatorname{Ker} t$.

Le lemme étant prouvé, soient $y \in E^*$ et $x = y / \sigma(y)$; on a $N_{E/K}(\sigma(y)) = N_{E/K}(y)$, d’où $N_{E/K}(x) = 1$. Réciproquement, soit $x$ dans $E^*$ tel que $N_{E/K}(x) = 1$; d’après le lemme 4 appliqué à $M = E^*$, il existe une famille d’éléments $(c_\tau)_{\tau \in \Gamma}$ de $E^*$ satisfaisant à la relation $c_{\tau \tau'} = c_\tau . \tau(c_{\tau'})$ pour $\tau, \tau'$ dans $\Gamma$, et $c_\sigma = x$. D’après le cor. 1 de la prop. 9 (V, p. 63), il existe $y \in E^*$ avec $c_\tau = y / \tau(y)$ pour tout $\tau \in \Gamma$, d’où en particulier $x = c_\sigma = y / \sigma(y)$. Si $y_1 \in E^*$ vérifie la relation $x = y_1 / \sigma(y_1)$, on a

donc $y_1 y^{-1}$ appartient à $K^*$ puisque $\sigma$ engendre le groupe de Galois de $E$ sur $K$. Ceci prouve a).

L’assertion b) se déduit de manière analogue du cor. 2 de la prop. 9 (V, p. 63).