§ 10. Extensions galoisiennes

Dans tout ce paragraphe, on note K un corps.

1. Définition des extensions galoisiennes

Théorème 1

Soient N une extension algébrique de K et Γ le groupe des K-auto-morphismes de N. Les assertions suivantes sont équivalentes : a) Tout élément de N invariant par Γ appartient à l’image de K dans N. b) N est une extension quasi-galoisienne et séparable de K. c) Pour tout $x \in N$ , le polynôme minimal de x sur K se décompose dans N[X] en produit de polynômes distincts de degré 1.* L’équivalence de b) et c) résulte du cor. de la prop. 6 (V, p. 39) et de la définition des extensions quasi-galoisiennes (V, p. 52, déf. 2). Identifions K à son image canonique dans N. $a) \Rightarrow c)$ : supposons que K soit le corps des invariants de Γ. Soit $x \in N$ , de polynôme minimal f sur K et soit A l’ensemble des racines de f dans N. Posons

g(X) = \prod_{y \in A} (X - y).

Tout automorphisme

\sigma \in \Gamma

induit une permutation de A, donc laisse invariants les coefficients du polynôme

g \in N[X]

. On a donc

g \in K[X]

et comme

g(x) = 0

, le polynôme

g

est multiple de

f

dans

K[X]

(V, p. 15, th. 1). Par ailleurs,

f

g

sont unitaires et

g

divise

f

(IV, p. 15, prop. 5); on a donc

f = g

, c'est-à-dire que le polynôme minimal

f

x

sur

K

est produit dans

N[X]

de polynômes distincts de degré 1.

Cite 6 · Cité par 4

Cite Corollaire, V § 7, Définition 2, V § 9, Proposition 5, IV § 2, Théorème 1, V § 3, Théorème 2 (Steinitz), V § 4, Corollaire 1, V § 9

Cité par Exercice 15, § 1, Définition 1, Proposition 6, Lemme 2, VIII § 17

$c) \Rightarrow a)$ : soit $x$ un élément de $N$ n’appartenant pas à $K$ . Notons $\Omega$ une clôture algébrique de $K$ contenant $N$ comme sous-extension (V, p. 22, th. 2). Soit $f$ le polynôme minimal de $x$ sur $K$ , qui est de degré $\geq 2$ par hypothèse et soit $A$ l’ensemble des racines de $f(X)$ dans $N$ . Si la condition c) est satisfaite, on a $f(X) = \prod_{y \in A} (X - y)$ et par suite (V, p. 51, cor. 1), $A$ est l’ensemble des conjugués de $x$ dans $\Omega$ . Comme $f$ est de degré $\geq 2$ , il existe dans $A$ un élément $y \neq x$ , donc un $K$ -automorphisme $u$ de $\Omega$ tel que $u(x) = y$ . Or, sous les hypothèses de c), l’extension $N$ de $K$ est quasi-galoisienne, d’où $u(N) = N$ (V, p. 52, cor. 1); par suite, $u$ induit un $K$ -automorphisme $\sigma$ de $N$ tel que $\sigma(x) = y \neq x$ , et $K$ est le corps des invariants de $\Gamma$ .

Définition 1

On dit qu’une extension $N$ du corps $K$ est galoisienne si elle est algébrique et si elle satisfait aux conditions équivalentes a), b) et c) du théorème 1.

Cite 3

Cite Théorème 1, Proposition 6, V § 7, V § 9. Éléments conjugués et extensions quasi-galoisiennes

Soient $N$ un corps, $\Gamma$ un groupe d’automorphismes de $N$ et $N_0$ le corps des invariants de $\Gamma$ . Lorsque $N$ est algébrique sur $N_0$ , c’est une extension galoisienne de $N_0$ . Il n’en est pas toujours ainsi : par exemple, supposons $K$ infini et prenons pour $N$ le corps des fractions rationnelles $K(X)$ ; pour tout $a \in K$ , soit $\sigma_a$ l’automorphisme de $K(X)$ qui transforme $f(X)$ en $f(X + a)$ . L’ensemble des $\sigma_a$ est un groupe d’automorphismes de $K(X)$ dont on montre facilement que $K$ est le corps des invariants ; pourtant, $K(X)$ n’est pas algébrique sur $K$ .

Soit $\Omega$ une clôture algébrique de $K$ . Notons $A$ un ensemble d’éléments de $\Omega$ séparables sur $K$ et $B$ l’ensemble des conjugués sur $K$ des éléments de $A$ . Alors, $B$ se compose d’éléments algébriques et séparables sur $K$ . Par suite (V, p. 38, prop. 6, et p. 54, prop. 5), le corps $K(B)$ est une extension séparable et quasi-galoisienne de $K$ ; autrement dit, l’extension quasi-galoisienne engendrée par $A$ (V, p. 54) est une extension galoisienne de $K$ ; on dit aussi que c’est l’extension galoisienne de $K$ engendrée par la partie $A$ de $\Omega$ .

En particulier, le corps de décomposition dans $\Omega$ d’une famille de polynômes séparables sur $K$ , une clôture séparable de $K$ , sont des extensions galoisiennes de $K$ .

Proposition 1

Soient $N$ une extension de $K$ , et $(N_i)_{i \in I}$ une famille non vide de sous-extensions de $N$ . On pose $E = \bigcap_{i \in I} N_i$ et $F = K(\bigcup_{i \in I} N_i)$ . Si les extensions $N_i$ sont galoisiennes sur $K$ il en est de même de $E$ et $F$ .

Cite 2 · Cité par 3

Cite Proposition 8, V § 7, Proposition 4, V § 9

Cité par Remark, V § 10, Corollaire, V § 11, Remarque, VIII § 16

Tout d’abord $E$ est algébrique et séparable sur $K$ (V, p. 35, prop. 1) et il en est de même de $F$ (V, p. 40, prop. 8). De plus, $E$ et $F$ sont quasi-galoisiennes sur $K$ d’après la prop. 4 (V, p. 53).

Proposition 2

Soient $N$ une extension galoisienne de $K$ et $E$ une sous-extension de $N$ , de degré fini sur $K$ . Il existe une sous-extension $F$ de $N$ , contenant $E$ , galoisienne et de degré fini sur $K$ .

Cité par 5

Cité par § 10. Extensions galoisiennes, Lemme 2, Lemme 4, VIII § 13, Théorème 1, VIII § 14, Théorème 6, VIII § 16

Comme N est quasi-galoisienne sur K, le cor. 1 de V, p. 54, prouve l’existence d’une sous-extension quasi-galoisienne F de N contenant E et de degré fini sur K. Comme N est séparable sur K, il en est de même de F (V, p. 35, prop. 1), donc F est galoisienne sur K.

La prop. 2 entraîne le résultat suivant : soient Ω une clôture algébrique de K, et E₁, ..., Eₙ des extensions algébriques séparables de degré fini sur K, contenues dans Ω. Il existe une extension galoisienne N de K, de degré fini, contenue dans Ω et contenant E₁, ..., Eₙ.

2. Groupe de Galois

Définition 2

Soit N une extension galoisienne du corps K. On appelle groupe de Galois de N sur K, et l’on note Gal(N/K), le groupe des K-automorphismes de N.

Cite 4

Cite Théorème 3, Proposition 4, V § 6, Proposition 3, V § 9, Remarque 3, V § 9

Soit N une extension finie et galoisienne de K. Alors N est une extension finie séparable et quasi-galoisienne de K. Par suite (V, p. 31, prop. 4, et V, p. 52, prop. 3), l’ordre de Gal(N/K) est égal à [N : K]. On démontrera plus loin que si N est une extension galoisienne de K telle que Gal(N/K) soit fini, alors N est de degré fini sur K (V, p. 64, th. 3).

Soient Ω une extension algébriquement close de K, et A l’ensemble des racines dans Ω d’un polynôme séparable f ∈ K[X]. Le corps N = K(A) est une extension galoisienne de K. Il est clair que tout K-automorphisme de N laisse stable A, et comme A engendre N sur K, l’application σ ↦ σ|A est un isomorphisme de Gal(N/K) sur un sous-groupe Γ du groupe symétrique S_A de l’ensemble A qu’on appelle groupe de Galois du polynôme f. Il résulte de la remarque 3 (V, p. 53) que si x et y appartiennent à A, les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) x et y sont conjugués sur K, b) x et y appartiennent à la même orbite de Γ, c) x et y sont racines du même facteur irréductible de f. En particulier f est irréductible si et seulement si A est non vide et Γ opère transitivement sur A.

Exemple 1

Supposons la caractéristique de K différente de 2, et soit N une extension quadratique de K. Si x ∈ N − K, on a N = K(x), et le polynôme minimal de x sur K est de la forme f(X) = X² − aX + b, avec a, b ∈ K. On a alors f(X) = (X − x)(X − y) où y = a − x ; donc y est conjugué de x ; comme f(X) est séparable, l’extension N est galoisienne. Le groupe Gal(N/K) possède deux éléments qui induisent les deux permutations de l’ensemble {x, y}.

Cité par 1

Cité par Exemple 3

Exemple 2

\* Soit f = X³ + X² − 2X − 1 ∈ Q[X]. Le polynôme f est irréductible, car sinon il posséderait une racine x ∈ Q ; écrivant x = a/b, avec a, b ∈ Z, a et b étrangers, on aurait a(a² + ab − 2b²) = b³ et a³ = b(b² + 2ab − a²) ; mais cela implique que a divise b et b divise a, donc x = ± 1, ce qui est impossible. Soit ξ ≡ e^{2πi/7} ∈ C. Le polynôme f admet les racines α = ξ + ξ⁻¹, β = ξ² + ξ⁻², γ = ξ³ + ξ⁻³. On a β = α² − 2 et γ = α³ − 3α, donc l’extension Q(α) est galoisienne sur Q. Le groupe de Galois de Q(α) sur Q est cyclique d’ordre 3 et il est engendré par un élément σ tel que σ(α) = β, σ(β) = γ, σ(γ) = α. \

Cité par 1

Cité par Exemple 6

Exemple 3

Supposons que $K = \mathbf{Q}$ et prenons $f = X^3 - 2$ . Utilisant la décomposition des entiers en produit de facteurs premiers (I, p. 49), on voit facilement que 2 n’est pas le cube d’un élément de $\mathbf{Q}$ . Le polynôme $f$ est donc irréductible car sinon il possèderait une racine dans $\mathbf{Q}$ . Soient $A = \{ x_1, x_2, x_3 \}$ l’ensemble des racines de $f$ dans $\Omega$ et $\Gamma$ le groupe de Galois de $f$ . Il opère transitivement sur $A$ . Son ordre est donc divisible par trois. D’autre part le quotient $j = \frac{x_2}{x_1}$ est différent de 1 et l’on a $j^3 = 1$ . Donc $j$ vérifie la relation $j^2 + j + 1 = 0$ ; or le polynôme $T^2 + T + 1 = (T + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ n’a pas de racines dans $\mathbf{Q}$ , ce qui montre (cf. exemple 1) que $[\mathbf{Q}(j) : \mathbf{Q}] = 2$ . Donc $[\mathbf{N} : \mathbf{Q}]$ est divisible par 2 et par suite l’ordre de $\Gamma$ est divisible par 6. Comme $\Gamma$ est contenu dans le groupe $\mathfrak{S}_A$ d’ordre 6, on a $\Gamma = \mathfrak{S}_A$ .

Cite 2 · Cité par 1

Cite I § 4. Groupes et groupes à opérateurs, Exemple 1

Cité par Exemple 6

Exemple 4

Supposons $K$ de caractéristique $p \neq 0$ et soient $K(T)$ le corps des fractions rationnelles et $U = T^p - T$ . On pose $E = K(U)$ et $F = K(T)$ . Le polynôme $f(X) = X^p - X - U$ de $E[X]$ a les racines $T, T + 1, ..., T + p - 1$ dans $F$ . Soit $\sigma$ le $K$ -automorphisme de $F$ tel que $\sigma(T) = T + 1$ . On a $\sigma^i(T) = T + i$ et $\sigma(U) = U$ . Le groupe $G = \{ 1, \sigma, ..., \sigma^{p-1} \}$ est cyclique d’ordre $p$ , et son corps des invariants contient $E$ ; comme $[F : E] \leq p$ , le théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2) implique que $E$ est le corps des invariants de $G$ et que $[F : E] = p$ . Le polynôme $f$ est donc irréductible dans $E[X]$ ; l’extension $F$ de $E$ est galoisienne, son groupe de Galois $G$ est cyclique d’ordre $p$ , et le groupe $\Gamma$ est le groupe des permutations circulaires de $T, T + 1, ..., T + p - 1$ .

Pour une généralisation de cet exemple, voir V, p. 89, Exemple 2.

Cite 1

Cite Corollaire 2, V § 6

Exemple 5

Soit $F = K(X_1, ..., X_n)$ le corps des fractions rationnelles en $n$ indéterminées $X_1, ..., X_n$ à coefficients dans $K$ . Posons

s_k = \sum_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n} X_{i_1} ... X_{i_k}

pour

1 \leq k \leq n

E = K(s_1, ..., s_n)

; on note

f(T)

le polynôme

T^n - s_1 T^{n-1} + \cdots + (-1)^n s_n .

On a

f(T) = \prod_{i=1}^n (T - X_i)

de sorte que

F

est un corps de décomposition du polynôme séparable

f(T) \in E[T]

. De plus, pour toute permutation

\sigma \in \mathfrak{S}_n

, il existe un

K

-automorphisme

h_\sigma

F

et un seul tel que

h_\sigma(X_i) = X_{\sigma(i)}

pour

1 \leq i \leq n

; on a

h_\sigma(s_k) = s_k

pour

1 \leq k \leq n

, donc

h_\sigma

est un

E

-automorphisme de

F

. Autrement dit,

F

est une extension galoisienne de

E

, et par restriction à l’ensemble

\{ X_1, ..., X_n \}

des racines de

f(T)

, on définit un isomorphisme de

\mathrm{Gal}(F/E)

sur le groupe

\mathfrak{S}_n

. En particulier,

E

se compose des fractions rationnelles

f

telles que

f(X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)}) = f(X_1, ..., X_n)

pour tout

\sigma \in \mathfrak{S}_n

(cf. IV, p. 63, cor.).

Cité par 4

Cité par V, p. 59, Example 5, Exercice 10, § 10, Exercice 5, § 10, Exercice 7, § 10

Exemple 6

Supposons $f$ unitaire de degré $> 0$ et $K$ de caractéristique $\neq 2$ . Munissons $A$ d’un ordre total noté $\leq$ . Posons $\delta(f) = \prod_{\alpha < \beta} (\beta - \alpha), (\alpha, \beta) \in A \times A$ , et pour tout σ ∈ S_A posons δ_σ(f) = $\prod_{\alpha < \beta} (\sigma(\beta) - \sigma(\alpha))$ . On a $\delta_\sigma(f) = \varepsilon(\sigma) \delta(f)$ où $\varepsilon(\sigma)$ est la signature de $\sigma$ (I, p. 61), et $\delta(f) \neq 0$ . Pour tout $\tau \in \mathrm{Gal}(N/K)$ , on a $\tau(\delta(f)) = \delta_{\tau|A}(f)$ . Donc $\Gamma$ est contenu dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_A$ si et seulement si $\delta(f) \in K$ . Par ailleurs $\delta(f)^2 = \prod_{\alpha < \beta} (\beta - \alpha)^2 = d(f)$ est le discriminant du polynôme $f$ (IV, p. 76). Donc $\Gamma \subset \mathfrak{A}_A$ si et seulement si $d(f)$ est le carré d’un élément de $K$ . Ainsi dans l’exemple 2, on a $d(f) = 49 = 7^2$ et dans l’exemple 3, $d(f) = -108$ (IV, p. 81).

Soit $N$ une extension galoisienne de $K$ , et soit $L$ une sous-extension de $N$ galoisienne sur $K$ . Tout $K$ -automorphisme $\sigma$ de $N$ induit un $K$ -automorphisme $\sigma_L$ de $L$ (V, p. 53, remarque 1). Par suite, l’application $\sigma \mapsto \sigma_L$ est un homomorphisme de $\mathrm{Gal}(N/K)$ dans $\mathrm{Gal}(L/K)$ , appelé homomorphisme de restriction.

Cite 4

Cite I § 5. Groupes opérant sur un ensemble, Exemple 2, Exemple 3, Remarque 1, V § 9

Proposition 3

L’homomorphisme de restriction de Gal(N/K) dans Gal(L/K) est surjectif.

Cite 3 · Cité par 2

Cite Théorème 2 (Steinitz), V § 4, Remarque 1, V § 9, Proposition 1, V § 9

Cité par § 10. Extensions galoisiennes, Corollaire 4

Plus généralement, considérons deux sous-extensions $L$ et $L'$ de $N$ , et un $K$ -isomorphisme $u$ de $L$ sur $L'$ . Choisissons une clôture algébrique $\Omega$ de $K$ , contenant $N$ comme sous-extension (V, p. 22, th. 2). Il existe un $K$ -automorphisme $v$ de $\Omega$ qui coïncide avec $u$ sur $L$ (V, p. 50, prop. 1), et comme $N$ est une extension quasi-galoisienne de $K$ , $v$ induit un $K$ -automorphisme $\sigma$ de $N$ (V, p. 53, remarque 1). Autrement dit, l’élément $\sigma$ de $\mathrm{Gal}(N/K)$ coïncide avec $u$ sur $L$ .

3. Topologie du groupe de Galois

Soient $N$ une extension galoisienne de $K$ et $\Gamma$ le groupe de Galois de $N$ sur $K$ . On munit $N$ de la topologie discrète, l’ensemble $N^N$ des applications de $N$ dans $N$ de la topologie produit des topologies discrètes des facteurs (« topologie de la convergence simple dans $N$ ») et le groupe $\Gamma$ de la topologie induite par celle de $N^N$ .

Soit $\Lambda$ l’ensemble des sous-extensions de $N$ de degré fini sur $K$ . Pour $\sigma \in \Gamma$ et $E \in \Lambda$ , notons $U_E(\sigma)$ l’ensemble des éléments $\tau$ de $\Gamma$ qui ont même restriction que $\sigma$ à $E$ . Si $E = K(x_1, ..., x_n)$ , l’ensemble $U_E(\sigma)$ se compose des éléments $\tau$ de $\Gamma$ tels que $\tau(x_1) = \sigma(x_1), ..., \tau(x_n) = \sigma(x_n)$ . Il en résulte que la famille $(U_E(\sigma))_{E \in \Lambda}$ est une base du filtre des voisinages de $\sigma$ dans $\Gamma$ .

Lorsque $N$ est de degré fini sur $K$ , on a $N \in \Lambda$ et $U_N(\sigma) = \{ \sigma \}$ , donc la topologie de $\mathrm{Gal}(N/K)$ est discrète ; rappelons (V, p. 53, remarque) que le groupe $\mathrm{Gal}(N/K)$ est fini dans ce cas.

Cette description de la topologie de $\mathrm{Gal}(N/K)$ montre que l’*homomorphisme de restriction de Gal(N/K) sur Gal(L/K)* est continu pour toute sous-extension $L$ de $N$ , galoisienne sur $K$ .

Soit $A$ une partie de $\Gamma$ . Dire que $A$ est ouverte signifie que, pour tout $\sigma \in \overline{A}$ , il existe $E$ dans $\Lambda$ tel que l’ensemble $U_E(\sigma)$ soit contenu dans $A$ . L’*adhérence* $\overline{A}$ de $A$ se compose des $\sigma \in \Gamma$ tels que pour tout $E \in \Lambda$ , il existe $\tau \in A$ ayant même restriction à $E$ que $\sigma$ ; le corps des invariants de $\overline{A}$ est le même que celui de $A$ .

Soit ε l’élément neutre de Γ, et soit Λ’ l’ensemble des sous-extensions de N qui sont galoisiennes et de degré fini sur K. D’après la prop. 2 (V, p. 55), l’ensemble Λ’ est cofinal dans Λ et la famille $(U_E(\varepsilon))_{E \in \Lambda'}$ est donc une base du filtre des voisinages de ε dans Γ. De plus, pour E ∈ Λ’, l’ensemble $U_E(\varepsilon)$ est le noyau de l’homomorphisme de restriction de Gal(N/K) = Γ dans Gal(E/K). Comme le groupe Gal(E/K) est fini, il en résulte que $U_E(\varepsilon)$ est un sous-groupe ouvert et fermé, distingué et d’indice fini dans Γ.

On a évidemment $U_E(\sigma) = \sigma U_E(\varepsilon) = U_E(\varepsilon) \sigma$ pour $\sigma \in \Gamma$ et $E \in \Lambda'$ . Comme $U_E(\varepsilon)$ est un sous-groupe distingué de Γ pour tout $E \in \Lambda'$ , et que la famille $(U_E(\varepsilon))_{E \in \Lambda'}$ est une base de voisinages de ε, la topologie de Γ est compatible avec sa structure de groupe (TG, III, p. 5). Autrement dit, l’application $(\sigma, \tau) \mapsto \sigma\tau^{-1}$ de $\Gamma \times \Gamma$ dans Γ est continue.

Proposition 4

Soit N une extension galoisienne de K. Le groupe de Galois Γ = Gal(N/K) est compact et totalement discontinu.

Cite 3

Cite Proposition 1, V § 9, TG I § 11. Connexion, TG I § 9. Espaces compacts et espaces localement compacts

Tout élément σ de Γ a une base de voisinages formée des ensembles ouverts et fermés $U_E(\sigma)$ , donc Γ est totalement discontinu (TG, I, p. 83). On a $\{\sigma\} = \bigcap_{E \in \Lambda} U_E(\sigma)$ , donc Γ est séparé. Pour tout $x \in N$ , l’ensemble des conjugués $\sigma(x)$ de x, où σ parcourt Γ, est fini puisque x est algébrique sur K (V, p. 51, cor. 1); toutes les projections de Γ sur les espaces facteurs de $N^N$ sont donc des ensembles finis, ce qui prouve que Γ est relativement compact dans $N^N$ (TG, I, p. 64). Il reste à prouver que Γ est fermé dans $N^N$ . Or, si u est adhérent à Γ dans $N^N$ , pour tout couple $(x, y)$ de points de N, il existe $\sigma \in \Gamma$ avec $u(x) = \sigma(x), u(y) = \sigma(y), u(x + y) = \sigma(x + y), u(xy) = \sigma(xy)$ , d’où $u(x + y) = u(x) + u(y)$ et $u(xy) = u(x) u(y)$ . Par le même raisonnement, on a $u(x) = x$ pour $x \in K$ , donc u est un K-homomorphisme de N dans N; comme N est algébrique sur K, u est un K-automorphisme de N (V, p. 50, prop. 1), donc $u \in \Gamma$ .

Soient N une extension galoisienne de K et $(N_i)_{i \in I}$ une famille filtrante croissante de sous-extensions de N. On suppose que $N_i$ est galoisienne sur K pour tout $i \in I$ et que $N = \bigcup_{i \in I} N_i$ . Pour tout $i \in I$ , notons $\Gamma_i$ le groupe de Galois de $N_i$ sur K ; pour $i \leq j$ dans I, on a $N_i \subset N_j$ et l’homomorphisme de restriction $\varphi_{ij}$ de $\Gamma_j$ dans $\Gamma_i$ est défini. Il est continu et la famille $(\Gamma_i, \varphi_{ij})$ est donc un système projectif de groupes topologiques. Par ailleurs, pour tout $i \in I$ , notons $\lambda_i$ l’homomorphisme de restriction de Gal(N/K) dans Gal(N_i/K) = $\Gamma_i$ ; il est continu et l’on a $\lambda_i = \varphi_{ij} \circ \lambda_j$ pour $i \leq j$ , donc la famille $(\lambda_i)_{i \in I}$ définit un homomorphisme continu $\lambda$ de Gal(N/K) dans $\lim_{\leftarrow} \Gamma_i$ .

Proposition 5

L’homomorphisme λ de Gal(N/K) dans $\lim_{\leftarrow} \mathrm{Gal}(N_i/K)$ est un isomorphisme de groupes topologiques.

Comme Gal(N/K) est compact, que λ est continu et que le groupe $\lim_{\leftarrow} \mathrm{Gal}(N_i/K)$ est séparé, il suffit de prouver que λ est bijectif (TG, I, p. 63, cor. 2). Soit $u = (u_i)_{i \in I}$ un élément de $\lim_{\leftarrow} \mathrm{Gal}(N_i/K)$ ; pour tout $i \in I$ , $u_i$ est un K-automorphisme de $N_i$ , et $u_i$ est la restriction de $u_j$ à $N_i$ pour $i \leq j$ . Comme on a $N = \bigcup_{i \in I} N_i$ , il existe un unique élément $\sigma$ de $\mathrm{Gal}(N/K)$ qui coïncide avec $u_i$ sur $N_i$ pour tout $i \in I$ . Alors $\sigma$ est l’unique élément de $\mathrm{Gal}(N/K)$ tel que $\lambda(\sigma) = u$ , donc $\lambda$ est bijectif.

Cela s’applique notamment lorsqu’on prend pour famille $(N_i)$ la famille de toutes les sous-extensions galoisiennes finies de $N$ ; alors chaque groupe $\mathrm{Gal}(N_i/K)$ est discret et fini. Le groupe topologique $\mathrm{Gal}(N/K)$ est donc isomorphe à une limite projective filtrante de groupes finis, munis de la topologie discrète ; on dit parfois que c’est un groupe topologique profini.

4. Descente galoisienne

Dans tout ce numéro, on note $N$ un corps, $\Gamma$ un groupe d’automorphismes de $N$ , $\varepsilon$ l’élément neutre de $\Gamma$ , et $K$ le corps des invariants de $\Gamma$ .

Soit $V$ un espace vectoriel sur $N$ . Rappelons (II, p. 119) qu’une $K$ -structure sur $V$ est un sous- $K$ -espace vectoriel $V_0$ de $V$ tel que l’application $K$ -linéaire $\varphi : N \otimes_K V_0 \to V$ qui transforme $\lambda \otimes x$ en $\lambda x$ soit bijective. Soit $V_0$ une telle $K$ -structure ; pour tout $\sigma \in \Gamma$ , on pose $u_\sigma = \varphi \circ (\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}) \circ \varphi^{-1}$ . On a alors $u_\sigma(\sum_{i \in I} \lambda_i e_i) = \sum_{i \in I} \sigma(\lambda_i) e_i$ pour toute famille d’éléments $\lambda_i$ de $N$ et $e_i$ de $V_0$ , d’où les relations

\begin{align*} (1) \quad &u_\sigma(x + y) = u_\sigma(x) + u_\sigma(y) \\ (2) \quad &u_\sigma(\lambda x) = \sigma(\lambda) u_\sigma(x) \\ (3) \quad &u_\sigma \circ u_\tau = u_{\sigma \tau} \\ (4) \quad &u_\varepsilon = \mathrm{Id}_V \end{align*}

pour

\sigma, \tau

dans

\Gamma

x, y

dans

V

\lambda

dans

N

Proposition 6

a) Soit $V$ un espace vectoriel sur $N$ muni d’une $K$ -structure. Pour qu’un vecteur $x \in V$ soit rationnel sur $K$ , il faut et il suffit qu’on ait $u_\sigma(x) = x$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ . Pour qu’un sous-N-espace vectoriel $W$ de $V$ soit rationnel sur $K$ , il faut et il suffit qu’on ait $u_\sigma(W) \subset W$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ .

Cite 2

Cite II § 8. Restriction du corps des scalaires dans les espaces vectoriels, Théorème 1

b) Soient $V_1$ et $V_2$ deux espaces vectoriels sur $N$ , munis chacun d’une $K$ -structure. Pour qu’une application linéaire $f$ de $V_1$ dans $V_2$ soit rationnelle sur $K$ , il faut et il suffit qu’on ait $f(u_\sigma(x)) = u_\sigma(f(x))$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ et tout $x \in V_1$ .

Il est clair que $K$ est l’ensemble des $x \in N$ tels que $\sigma(xy) = x \sigma(y)$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ et tout $y \in N$ . La proposition résulte alors du th. 1 (II, p. 125).

Corollaire

Soit $V_0$ un espace vectoriel sur $K$ et soit $W$ un sous-N-espace vectoriel de $N \otimes_K V_0$ . On suppose que $W$ est stable par les applications $\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ . Soit $W_0$ l’ensemble des $x \in V_0$ tels que $1 \otimes x \in W$ . Alors $W_0$ est l’unique sous-K-espace vectoriel de $V_0$ tel que $W = N \otimes_K W_0$ .

Cité par 1

Cité par Proposition 7

Il suffit de noter que l’ensemble des éléments de la forme $1 \otimes x$ ( $x \in V_0$ ) est une $K$ -structure sur $N \otimes_K V_0$ pour laquelle on a $u_\sigma = \sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$ pour $\sigma \in \Gamma$ .

Proposition 7

Soient V un espace vectoriel sur N, $(u_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ une famille d’applications de V dans V satisfaisant aux relations (1) à (4) et $V_0$ l’ensemble des $x \in V$ tels que $u_\sigma(x) = x$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ .

Cite 2 · Cité par 4

Cite Corollaire, Corollaire 2, V § 6

Cité par Proposition 8, Proposition 9, Exercice 2, § 19, Proposition 2, LIE IX Appendix 2

a) $V_0$ est un sous- $\mathbf{K}$ -espace vectoriel de V et l’application $\mathbf{K}$ -linéaire $\varphi$ de $N \otimes_K V_0$ dans V qui transforme $\lambda \otimes x$ en $\lambda x$ est injective.

b) Si $\Gamma$ est fini, alors $\varphi$ est bijective et $V_0$ est une $\mathbf{K}$ -structure sur V.

Il est clair que $V_0$ est un sous- $\mathbf{K}$ -espace vectoriel de V.

La formule $u_\sigma \circ \varphi = \varphi \circ (\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0})$ montre que le noyau W de $\varphi$ est stable par les applications $\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$ ; d’après le corollaire de la prop. 6, il existe donc un sous-espace $W_0$ de $V_0$ tel que $W = N \otimes_K W_0$ . Si $x$ appartient à $W_0$ , on a donc $x = \varphi(1 \otimes x) = 0$ , d’où $W_0 = 0$ et donc $W = 0$ . Ceci prouve a).

Supposons $\Gamma$ fini; il s’agit de prouver que $\varphi$ est surjective, ou encore que $V_0$ engendre le N-espace vectoriel V. Soit donc $f$ une forme N-linéaire sur V, dont la restriction à $V_0$ soit nulle. Soit $x \in V$ ; pour tout $\lambda \in N$ , l’élément $y_\lambda = \sum_{\sigma \in \Gamma} u_\sigma(\lambda x)$ de V appartient évidemment à $V_0$ , d’où $f(y_\lambda) = 0$ , c’est-à-dire $\sum_{\sigma \in \Gamma} f(u_\sigma(x)) \sigma(\lambda) = 0$ . D’après le théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2), on a donc $f(u_\sigma(x)) = 0$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ ; faisant en particulier $\sigma = \varepsilon$ , on trouve $f(x) = 0$ , c’est-à-dire $f = 0$ . Ceci prouve b).

Soit M un espace vectoriel sur N; pour tout $\sigma \in \Gamma$ , soit $M^\sigma$ l’espace vectoriel sur N ayant même groupe additif sous-jacent que M, avec la loi externe $(\lambda, x) \mapsto \sigma(\lambda)x$ . Posons $V = \prod_{\sigma \in \Gamma} M^\sigma$ ; le groupe additif sous-jacent de V est celui des applications de $\Gamma$ dans M, avec la loi externe définie par

(5)

(\lambda . h)(\sigma) = \sigma(\lambda) h(\sigma) \quad (\lambda \in N, h \in V, \sigma \in \Gamma).

(Le produit $\sigma(\lambda) h(\sigma)$ est calculé dans l’espace vectoriel M.) Par ailleurs on définit sur $N \otimes_K M$ une structure d’espace vectoriel sur N par la formule

\lambda (\sum_i \mu_i \otimes x_i) = \sum_i \lambda \mu_i \otimes x_i.

Enfin, on note $\psi$ l’application $\mathbf{K}$ -linéaire de $N \otimes_K M$ dans V caractérisée par la relation

(6)

\psi(\lambda \otimes x)(\sigma) = \sigma(\lambda) . x

pour

\lambda \in N, x \in M

\sigma \in \Gamma

. Il est immédiat que

\psi

est N-linéaire.

Proposition 8

L’application N-linéaire $\psi$ de $N \otimes_K M$ dans $V = \prod_{\sigma \in \Gamma} M^\sigma$ est injective, et elle est bijective si $\Gamma$ est fini.

Cite 1 · Cité par 3

Cite Proposition 7

Cité par Corollaire, Remarque 1, Proposition 1, LIE IX Appendix 2

Pour tout $\sigma \in \Gamma$ , on définit une application $u_\sigma$ de V dans V par

(7)

(u_\sigma h)(\tau) = h(\tau \sigma)

pour

h \in V

\tau \in \Gamma

. La vérification des formules (1) à (4) est immédiate. Notons

V_0

l’ensemble des

h \in V

tels que

u_\sigma(h) = h

pour tout

\sigma \in \Gamma

. Pour tout

x \in M

, soit

\theta(x)

l’application constante de

\Gamma

dans

M

de valeur

x

; alors

\theta

est un

K

-isomorphisme de

M

sur

V_0

. Définissons l’homomorphisme

\varphi : N \otimes_K V_0 \to V

comme plus haut; on a

\psi = \varphi \circ (\mathrm{Id}_N \otimes \theta)

, et la prop. 8 résulte alors de la prop. 7.

Corollaire

Soit $\psi$ l’application $K$ -linéaire de $N \otimes_K N$ dans l’espace vectoriel produit $N^\Gamma$ telle que $\psi(x \otimes y)(\sigma) = \sigma(x)\ y$ pour $x,\ y$ dans $N$ et $\sigma \in \Gamma$ . Alors $\psi$ est injective et elle est bijective si $\Gamma$ est fini.

Cite 1 · Cité par 3

Cite Proposition 8

Cité par § 10. Extensions galoisiennes, Remarque 2, Théorème 3

C’est le cas particulier $M = N$ de la proposition 8.

Remarque 1

Soient $F$ une extension de $K$ et $N$ une sous-extension de $F$ . Soit $\Gamma$ un groupe fini d’automorphismes de $N$ , dont $K$ soit le corps des invariants. La prop. 8 entraîne l’existence d’un isomorphisme de $K$ -algèbres $\theta : N \otimes_K F \to F^\Gamma$ caractérisé par $\theta(x \otimes y)(\sigma) = \sigma(x)\ y$ pour $x \in N,\ y \in F$ et $\sigma \in \Gamma$ .

Cite 1

Cite Proposition 8

Remarque 2

Les notations $K, N$ et $\Gamma$ ont la signification précédente. Pour tout entier $n \geqslant 1$ , soit $A_n$ le produit tensoriel de $n$ $K$ -algèbres identiques à $N$ ; soit $B_n$ l’ensemble des applications de $\Gamma^{n-1}$ dans $N$ . Par récurrence sur $n$ , on déduit du corollaire de la prop. 8 l’existence d’un isomorphisme $\varphi_n : A_n \to B_n$ transformant $x_1 \otimes \ldots \otimes x_n$ en la fonction $(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}) \mapsto \sigma_1(x_1) \ldots \sigma_{n-1}(x_{n-1})\ x_n$ .

Cite 1

Cite Corollaire

5. Cohomologie galoisienne

Soient $N$ un corps, $\Gamma$ un groupe fini d’automorphismes de $N$ et $K$ le corps des invariants de $\Gamma$ . Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $\mathbf{GL}(n, N)$ le groupe des matrices carrées d’ordre $n$ , à coefficients dans $N$ et de déterminant non nul (II, p. 149). On fait opérer le groupe $\Gamma$ sur le groupe $\mathbf{GL}(n, N)$ par la règle $\sigma(A) = (\sigma(a_{ij}))$ pour $A = (a_{ij})$ .

Proposition 9

Soit $(U_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ une famille d’éléments de $\mathbf{GL}(n, N)$ . Pour qu’il existe $A$ dans $\mathbf{GL}(n, N)$ avec $U_\sigma = A^{-1} \cdot \sigma(A)$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ , il faut et il suffit que l’on ait $U_{\sigma \tau} = U_\sigma \cdot \sigma(U_\tau)$ pour $\sigma, \tau$ dans $\Gamma$ .

Cite 2 · Cité par 2

Cite § 10. Extensions galoisiennes, Proposition 7

Cité par Corollaire 2, Exercice 5, § 16

La condition est nécessaire : si l’on a $U_\sigma = A^{-1} \cdot \sigma(A)$ , on a

U_\sigma \cdot \sigma(U_\tau) = A^{-1} \cdot \sigma(A) \ \sigma(A^{-1} \cdot \tau(A)) = A^{-1} \sigma \tau(A) = U_{\sigma \tau}.

La condition est suffisante : on identifie les éléments de

N^n

aux matrices à

n

lignes et une colonne à coefficients dans

N

. On fait agir le groupe

\Gamma

sur

N^n

par

\sigma(x) = (\sigma(x_i))_{1 \leqslant i \leqslant n} \text{ pour } x = (x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}.

Pour tout

\sigma \in \Gamma

, on note

u_\sigma

l’application

x \mapsto U_\sigma \cdot \sigma(x)

N^n

dans lui-même. La vérification des formules (1) à (3) de V, p. 60, est immédiate. De plus, on a

u_\varepsilon \circ u_\varepsilon = u_\varepsilon

et comme

u_\varepsilon

est bijective, on a

u_\varepsilon = \mathrm{Id}_{N^n}

. Soit

V_0

l’ensemble des vecteurs

x \in N^n

tels que

u_\sigma(x) = x

pour tout

\sigma \in \Gamma

. D’après la prop. 7 (V, p. 61),

V_0

est une

K

-structure sur

N^n

; en particulier, il existe dans

V_0

des vecteurs

b_1, \ldots, b_n

formant une base de

N^n

sur

N

. La matrice

B

ayant pour colonnes

b_1, \ldots, b_n

est donc inversible, et la relation

u_\sigma(b_i) = b_i

pour

1 \leqslant i \leqslant n

équivaut à

U_\sigma \cdot \sigma(B) = B

. Posant

A = B^{-1}

, on obtient

U_\sigma = A^{-1} \sigma(A)

pour tout

\sigma \in \Gamma

Corollaire 1

Soit $(c_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ une famille d’éléments non nuls de $\mathbf{N}$ . Pour qu’il existe $a \neq 0$ dans $\mathbf{N}$ tel que $c_\sigma = \sigma(a) \cdot a^{-1}$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ , il faut et il suffit qu’on ait $c_{\sigma \tau} = c_\sigma \cdot \sigma(c_\tau)$ pour $\sigma, \tau$ dans $\Gamma$ .

Cité par 2

Cité par Lemma 4, V § 11, Proposition 9, V § 11

Corollaire 2

Soit $(a_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ une famille d’éléments de $\mathbf{N}$ . Pour qu’il existe $b$ dans $\mathbf{N}$ avec $a_\sigma = \sigma(b) - b$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ , il faut et il suffit que l’on ait $a_{\sigma \tau} = a_\sigma + \sigma(a_\tau)$ pour $\sigma, \tau$ dans $\Gamma$ .

Cite 1 · Cité par 2

Cite Proposition 9

Cité par Lemma 4, V § 11, Proposition 10, V § 11

On a $\sigma \tau(b) - b = [\sigma(b) - b] + \sigma[\tau(b) - b]$ pour tout $b$ dans $\mathbf{N}$ , et $\sigma, \tau$ dans $\Gamma$ , d’où la nécessité.

Réciproquement, supposons qu’on ait $a_{\sigma \tau} = a_\sigma + \sigma(a_\tau)$ quels que soient $\sigma$ et $\tau$ dans $\Gamma$ . Posons $U_\sigma = \begin{pmatrix} 1 & a_\sigma \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour $\sigma \in \Gamma$ . On a alors $U_{\sigma \tau} = U_\sigma \cdot \sigma(U_\tau)$ pour $\sigma, \tau$ dans $\Gamma$ ; d’après la prop. .9, il existe donc une matrice $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ de déterminant non nul, telle que $\sigma(A) = AU_\sigma$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ ; en explicitant la relation $\sigma(A) = AU_\sigma$ , on trouve

\begin{pmatrix} \sigma(x) & \sigma(y) \\ \sigma(z) & \sigma(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & xa_\sigma + y \\ z & za_\sigma + t \end{pmatrix} \quad (\sigma \in \Gamma).

En particulier, $x$ et $z$ appartiennent à $\mathbf{K}$ et l’on a

\sigma(y) = xa_\sigma + y, \quad \sigma(t) = za_\sigma + t \quad (\sigma \in \Gamma).

Si $x \neq 0$ , on a $a_\sigma = \sigma(b) - b$ avec $b = x^{-1}y$ ; si $z \neq 0$ , on a la même relation avec $b = z^{-1}t$ . Or $x$ et $z$ ne sont pas tous deux nuls puisque l’on a

xt - yz = \det A \neq 0.

6. Le théorème d’Artin

Théorème 2 (Artin)

Soient $\mathbf{N}$ un corps, $\Gamma$ un groupe d’automorphismes de $\mathbf{N}$ et $\mathbf{K}$ le corps des invariants de $\Gamma$ . Soit $V$ un sous- $\mathbf{K}$ -espace vectoriel de $\mathbf{N}$ , de dimension finie sur $\mathbf{K}$ . Alors toute application $\mathbf{K}$ -linéaire $u$ de $V$ dans $\mathbf{N}$ est combinaison linéaire à coefficients dans $\mathbf{N}$ de restrictions à $V$ d’éléments de $\Gamma$ .

Soit $u$ une application $\mathbf{K}$ -linéaire de $V$ dans $\mathbf{N}$ et soit $V_{(\mathbf{N})} = \mathbf{N} \otimes_{\mathbf{K}} V$ le $\mathbf{N}$ -espace vectoriel déduit de $V$ par extension des scalaires; notons $\tilde{u}$ la forme $\mathbf{N}$ -linéaire sur $V_{(\mathbf{N})}$ telle que $\tilde{u}(x \otimes y) = x \cdot u(y)$ pour $x \in \mathbf{N}$ et $y \in V$ . Pour tout $\sigma \in \Gamma$ , il existe une forme $\mathbf{N}$ -linéaire $h_\sigma$ sur $V_{(\mathbf{N})}$ telle que $h_\sigma(x \otimes y) = x \sigma(y)$ pour $x \in \mathbf{N}$ et $y \in V$ . L’application canonique de $V_{(\mathbf{N})} = \mathbf{N} \otimes_{\mathbf{K}} V$ dans $\mathbf{N} \otimes_{\mathbf{K}} \mathbf{N}$ est injective. Le cor. de la prop. 8 (V, p. 62) montre alors que l’intersection des noyaux des formes linéaires $h_\sigma$ sur $V_{(\mathbf{N})}$ est réduite à 0. Par suite (II, p. 104, cor. 1), il existe $\sigma_1, ..., \sigma_n$ dans $\Gamma$ et $a_1, ..., a_n$ dans $\mathbf{N}$ tels que $\tilde{u} = \sum_{i=1}^n a_i h_{\sigma_i}$ , d’où $u(x) = \sum_{i=1}^n a_i \sigma_i(x)$ pour tout $x \in V$ .

Munissons l’ensemble $\mathbf{N}^\mathbf{N}$ de toutes les applications de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{N}$ de la topologie produit des topologies discrètes des facteurs. Le th. 2 signifie que l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients dans $\mathbf{N}$ des éléments de $\Gamma$ est dense dans l’ensemble des applications $\mathbf{K}$ -linéaires de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{N}$ .

Théorème 3

Soient $\mathbf{N}$ un corps, $\Gamma$ un groupe fini d’automorphismes de $\mathbf{N}$ et $\mathbf{K}$ le corps des invariants de $\Gamma$ . Soit $n$ le cardinal de $\Gamma$ . a) *On a $[\mathbf{N} : \mathbf{K}] = n$ et $\mathbf{N}$ est une extension galoisienne de $\mathbf{K}$ , de groupe de Galois $\Gamma$ . b) *Soient $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ les éléments de $\Gamma$ et $(x_1, \ldots, x_n)$ une base de $\mathbf{N}$ sur $\mathbf{K}$ . Alors on a $\det (\sigma_i(x_j)) \neq 0$ . c) *Soit $u$ une application $\mathbf{K}$ -linéaire de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{N}$ . Il existe une unique famille $(a_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ d’éléments de $\mathbf{N}$ telle que $u(x) = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma(x)$ pour tout $x \in \mathbf{N}$ .

Cite 2 · Cité par 7

Cite Corollaire, Corollaire 2, V § 6

Cité par Corollaire 2, AC V § 2, Définition 2, Exercice 18, § 10, Lemme 2, Définition 3, V § 11, Proposition 4, V § 12, Théorème 2, VIII § 16

On munit l’anneau $\mathbf{N} \otimes_\mathbf{K} \mathbf{N}$ de la structure de $\mathbf{N}$ -algèbre dont la loi externe est caractérisée par $\lambda(x \otimes y) = x \otimes \lambda y$ pour $\lambda, x, y$ dans $\mathbf{N}$ . Alors la dimension du $\mathbf{N}$ -espace vectoriel $\mathbf{N} \otimes_\mathbf{K} \mathbf{N}$ est égale à $[\mathbf{N} : \mathbf{K}]$ . La dimension du $\mathbf{N}$ -espace vectoriel produit $\mathbf{N}^\Gamma$ est égale à $n$ . L’application $\psi$ définie dans le cor. de la prop. 8 (V, p. 62) est un $\mathbf{N}$ -isomorphisme de $\mathbf{N} \otimes_\mathbf{K} \mathbf{N}$ sur $\mathbf{N}^\Gamma$ , d’où $[\mathbf{N} : \mathbf{K}] = n$ . Soit $\Delta$ le groupe des $\mathbf{K}$ -automorphismes de $\mathbf{N}$ . On a $\Gamma \subset \Delta$ , donc $\mathbf{K}$ est le corps des invariants de $\Delta$ , et $\mathbf{N}$ est extension galoisienne de $\mathbf{K}$ . De plus, l’ordre de $\Delta$ est au plus égal à $[\mathbf{N} : \mathbf{K}]$ d’après le théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2) et comme l’ordre de $\Gamma$ est égal à $[\mathbf{N} : \mathbf{K}]$ , on a $\Gamma = \Delta$ . Donc $\Gamma$ est le groupe de Galois de $\mathbf{N}$ sur $\mathbf{K}$ . Ceci prouve a). Avec les notations de b), posons $f_i = \psi(x_i \otimes 1)$ ; on a $f_i(\sigma) = \sigma(x_i)$ pour $1 \leq i \leq n$ et $\sigma \in \Gamma$ . Comme $\psi$ est un isomorphisme de $\mathbf{N}$ -espaces vectoriels, la suite $(f_1, \ldots, f_n)$ est une base de $\mathbf{N}^\Gamma$ sur $\mathbf{N}$ , d’où $\det(f_j(\sigma_i)) \neq 0$ , c’est-à-dire

\det (\sigma_i(x_j)) \neq 0.

Ceci prouve b). Enfin, l’assertion c) résulte du th. 2 (V, p. 63) qui prouve l’*existence* d’une famille

(a_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}

telle que

u(x) = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma(x)

(pour tout

x \in \mathbf{N}

), et du théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2) qui prouve l’unicité de

(a_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}

7. Le théorème fondamental de la théorie de Galois

Théorème 4

Soient $\mathbf{N}$ une extension galoisienne de $\mathbf{K}$ et $\Gamma$ son groupe de Galois. Soit $\mathscr{K}$ l’ensemble des sous-extensions de $\mathbf{N}$ et soit $\mathscr{G}$ l’ensemble des sous-groupes fermés de $\Gamma$ . Pour tout sous-groupe $\Delta \in \mathscr{G}$ , on note $k(\Delta)$ le corps des invariants de $\Delta$ et pour tout sous-corps $E \in \mathscr{K}$ , on note $g(E)$ le groupe des $E$ -automorphismes de $\mathbf{N}$ . Alors $\Delta \mapsto k(\Delta)$ est une bijection de $\mathscr{G}$ sur $\mathscr{K}$ , et $E \mapsto g(E)$ est la bijection réciproque.* A) La relation $E = k(g(E))$ (pour $E \in \mathscr{K}$ ) résulte du lemme plus précis suivant :

Cité par 2

Cité par § 10. Extensions galoisiennes, Lemme 5

Lemme 1

Soit $E$ une sous-extension de $\mathbf{N}$ . Alors $\mathbf{N}$ est extension galoisienne de $E$ , et $\mathrm{Gal}(\mathbf{N}/E)$ est un sous-groupe fermé de $\mathrm{Gal}(\mathbf{N}/\mathbf{K})$ , avec la topologie induite.* Soit $x \in \mathbf{N}$ ; le polynôme minimal $f$ de $x$ sur $E$ divise dans $E[X]$ le polynôme minimal $g$ de $x$ sur $\mathbf{K}$ (V, p. 16, cor. 2). Comme $\mathbf{N}$ est galoisienne sur $\mathbf{K}$ , le polynôme $g$ est produit dans $\mathbf{N}[X]$ de facteurs distincts de degré 1 ; il en est donc de même de $f$ , donc $\mathbf{N}$ est galoisienne sur $E$ .

Cite 1 · Cité par 2

Cite Corollaire 2, V § 3

Cité par § 10. Extensions galoisiennes, Lemme 2

Soient $\Gamma$ le groupe de Galois de $\mathbf{N}$ sur $K$ et $\Delta$ celui de $\mathbf{N}$ sur $E$ . Par définition, $\Delta$ est le sous-groupe de $\Gamma$ formé des $\sigma$ tels que $\sigma(x) = x$ pour tout $x \in E$ . Or, pour tout $x \in E$ , l’application $\sigma \mapsto \sigma(x)$ de $\Gamma$ dans l’espace discret $\mathbf{N}$ est continue, donc $\Delta$ est fermé dans $\Gamma$ . Soit $\sigma \in \Gamma$ . Pour $x_1, \ldots, x_n$ dans $\mathbf{N}$ , soit $U(x_1, \ldots, x_n)$ l’ensemble des $\tau \in \Gamma$ tels que $\tau(x_i) = \sigma(x_i)$ pour $1 \leq i \leq n$ ; posons

V(x_1, \ldots, x_n) = U(x_1, \ldots, x_n) \cap \Delta.

Alors la famille des ensembles

U(x_1, \ldots, x_n)

(resp.

V(x_1, \ldots, x_n)

) est une base de voisinages de

\sigma

dans

\Gamma

(resp.

\Delta

). Donc la topologie de

\Delta

est induite par celle de

\Gamma

B) La relation $\Delta = g(k(\Delta))$ (pour $\Delta \in \mathscr{G}$ ) résulte du lemme plus précis suivant :

Lemme 2

Soit $\Delta$ un sous-groupe de $\Gamma$ . Soit $E$ le corps des invariants de $\Delta$ . Alors le groupe de Galois de $\mathbf{N}$ sur $E$ est l’adhérence de $\Delta$ dans $\Gamma$ .

Cite 4 · Cité par 1

Cite Lemme 1, Proposition 2, Corollaire 2, V § 6, Théorème 3

Cité par Proposition 5, V § 12

Le groupe de Galois de $\mathbf{N}$ sur $E$ est fermé dans $\Gamma$ (lemme 1) et contient $\Delta$ , donc il contient l’adhérence $\overline{\Delta}$ de $\Delta$ . Soit $\sigma$ un $E$ -automorphisme de $\mathbf{N}$ et soient $x_1, \ldots, x_n$ dans $\mathbf{N}$ . Comme $\mathbf{N}$ est galoisien sur $E$ (lemme 1), il existe (V, p. 55, prop. 2) une sous-extension $\mathbf{N}_0$ de $\mathbf{N}$ , galoisienne et de degré fini sur $E$ , contenant $x_1, \ldots, x_n$ . Soit $\Delta_0$ l’image du sous-groupe $\Delta$ de $\mathrm{Gal}(\mathbf{N}/E)$ par l’homomorphisme de restriction de $\mathrm{Gal}(\mathbf{N}/E)$ dans $\mathrm{Gal}(\mathbf{N}_0/E)$ . Comme $[\mathbf{N}_0 : E]$ est fini, le théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2) montre que $\mathrm{Gal}(\mathbf{N}_0/E)$ est fini. Donc $\Delta_0$ est fini, et comme $E$ est le corps des invariants de $\Delta_0$ , on a $\Delta_0 = \mathrm{Gal}(\mathbf{N}_0/E)$ (V, p. 64, th. 3). En particulier, $\Delta_0$ contient la restriction de $\sigma$ à $\mathbf{N}_0$ . Il existe donc $\tau \in \Delta$ tel que $\sigma$ et $\tau$ aient même restriction à $\mathbf{N}_0$ , d’où $\sigma(x_1) = \tau(x_1), \ldots, \sigma(x_n) = \tau(x_n)$ . Par suite, $\sigma$ est adhérent à $\Delta$ dans $\Gamma$ , donc $\mathrm{Gal}(\mathbf{N}/E) \subset \overline{\Delta}$ .

Corollaire 1

Soient $E$ et $E'$ deux sous-corps de $\mathbf{N}$ contenant $K$ ; on a $E \subset E'$ si et seulement si l’on a $g(E) \supset g(E')$ . Si $\Delta$ et $\Delta'$ sont deux sous-groupes fermés de $\Gamma$ , on a $\Delta \subset \Delta'$ si et seulement si $k(\Delta) \supset k(\Delta')$ .

Cité par 3

Cité par Corollaire 2, Corollaire 5, Corollaire 1

En effet les deux bijections réciproques $E \mapsto g(E)$ et $\Delta \mapsto k(\Delta)$ sont décroissantes.

Corollaire 2

Soit $(E_i)_{i \in I}$ une famille de sous-corps de $\mathbf{N}$ contenant $K$ ; posons $L = \bigcap_{i \in I} E_i$ et $M = K(\bigcup_{i \in I} E_i)$ . Alors $g(L)$ est le plus petit sous-groupe fermé de $\Gamma$ contenant $\bigcup_{i \in I} g(E_i)$ et l’on a $g(M) = \bigcap_{i \in I} g(E_i)$ .

Cite 1 · Cité par 1

Cite Corollaire 1

Cité par Corollaire 6

La première assertion résulte du cor. 1 et la deuxième est immédiate.

Corollaire 3

Pour $i = 1, 2$ , soit $E_i$ un sous-corps de $\mathbf{N}$ contenant $K$ et soit $\Delta_i = g(E_i)$ . Pour tout $\sigma \in \Gamma$ , les relations $\sigma(E_1) = E_2$ et $\sigma \Delta_1 \sigma^{-1} = \Delta_2$ sont équivalentes.

Cité par 2

Cité par Corollaire 4, Proposition 13

En effet, on a $\tau \in g(\sigma(E_1))$ si et seulement si l’on a $\tau \sigma(x) = \sigma(x)$ , c’est-à-dire $\sigma^{-1} \tau \sigma(x) = x$ , pour tout $x \in E_1$ ; ceci équivaut encore à $\sigma^{-1} \tau \sigma \in \Delta_1$ , d’où $g(\sigma(E_1)) = \sigma \Delta_1 \sigma^{-1}$ .

Corollaire 4

Soit $E$ un sous-corps de $N$ contenant $K$ et soit $\Delta = g(E)$ . Pour que $E$ soit galoisien sur $K$ , il faut et il suffit que $\Delta$ soit un sous-groupe distingué de $\Gamma$ . S’il en est ainsi, l’homomorphisme de restriction de $\Gamma$ dans $\mathrm{Gal}(E/K)$ définit par passage au quotient un isomorphisme de groupes topologiques de $\Gamma / \Delta$ sur $\mathrm{Gal}(E/K)$ .

Cite 5 · Cité par 5

Cite Corollaire 3, Proposition 1, V § 9, Proposition 3, V § 9, Proposition 3, Corollaire 2, TG I § 9

Cité par § 10. Extensions galoisiennes, Corollaire 6, Définition 1, V § 11, Définition 3, V § 11, Proposition 1, V § 11

Comme $N$ est séparable sur $K$ , il en est de même de $E$ (V, p. 35, prop. 1). Par suite, $E$ est galoisien sur $K$ si et seulement s’il est quasi-galoisien sur $K$ ; ceci signifie aussi qu’on a $\sigma(E) = E$ pour tout $K$ -automorphisme $\sigma$ de $N$ (V, p. 50, prop. 1 et p. 52, prop. 3). D’après le cor. 3, ceci équivaut à $\sigma \Delta \sigma^{-1} = \Delta$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ .

L’homomorphisme de restriction $\varphi : \mathrm{Gal}(N/K) \to \mathrm{Gal}(E/K)$ est continu et surjectif (V, p. 58, prop. 3), et son noyau est évidemment égal à $\Delta = \mathrm{Gal}(N/E)$ . Comme $\Gamma$ est compact, l’homomorphisme de $\Gamma / \Delta$ sur $\mathrm{Gal}(E/K)$ déduit de $\varphi$ par passage au quotient est un isomorphisme de groupes topologiques (TG, I, p. 63, cor. 2).

Corollaire 5

Soit $E$ un sous-corps de $N$ contenant $K$ . Pour que $E$ soit de degré fini sur $K$ , il faut et il suffit que $g(E)$ soit ouvert dans $\Gamma$ . S’il en est ainsi, l’indice $(\Gamma : g(E))$ est fini et égal à $[E : K]$ .

Cite 5 · Cité par 2

Cite § 10. Extensions galoisiennes, Corollaire 1, Théorème 2 (Steinitz), V § 4, Proposition 4, V § 6, Proposition 1, V § 9

Cité par Lemme 5, Théorème 6, VIII § 16

Pour que $g(E)$ soit ouvert, il faut et il suffit qu’il existe une sous-extension $F$ de $N$ , de degré fini sur $K$ , telle que, avec les notations de V, p. 58, $g(E)$ contienne $U_F(\mathrm{Id}_N) = g(F)$ . La relation $g(E) \supset g(F)$ équivaut à $E \subset F$ d’après le cor. 1 (V, p. 65), d’où la première assertion du cor. 5.

Supposons $[E : K]$ fini. Soit $\Omega$ une clôture algébrique de $K$ contenant $N$ comme sous-extension (V, p. 22, th. 2) et soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des $K$ -homomorphismes de $E$ dans $\Omega$ . Tout élément de $\mathscr{H}$ est induit par un $K$ -automorphisme de $\Omega$ (V, p. 50, prop. 1), et comme $N$ est quasi-galoisienne sur $K$ , l’application $\sigma \mapsto \sigma|E$ de $\Gamma$ dans $\mathscr{H}$ est surjective. Pour que $\sigma \in \Gamma$ et $\sigma' \in \Gamma$ aient même restriction à $E$ , il faut et il suffit qu’on ait $\sigma^{-1} \sigma' \in g(E)$ , d’où $\mathrm{Card} \, \mathscr{H} = (\Gamma : g(E))$ . Enfin, comme $E$ est une algèbre étale sur $K$ , on a $\mathrm{Card} \, \mathscr{H} = [E : K]$ (V, p. 31, prop. 4). En conclusion, on a $(\Gamma : g(E)) = [E : K]$ .

Corollaire 6

Pour $i = 1, 2$ , soient $E_i$ une sous-extension de $N$ et $\Gamma_i$ le groupe de Galois de $N$ sur $E_i$ . Les conditions suivantes sont équivalentes : a) Le groupe $\Gamma$ est produit direct des sous-groupes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ . b) Les extensions $E_1$ et $E_2$ sont galoisiennes sur $K$ , on a $E_1 \cap E_2 = K$ et

K(E_1 \cup E_2) = N.

Cite 4 · Cité par 2

Cite Proposition 15, I § 4, Corollaire 2, Corollaire 4, Corollaire 1, TG I § 6

Cité par Remark, V § 10, Corollaire 2

Pour que $\Gamma$ soit produit direct des sous-groupes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ , il faut et il suffit que les conditions suivantes soient remplies (A, I, p. 46, prop. 15) : (i) les sous-groupes $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ sont distingués dans $\Gamma$ ; (ii) on a $\Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \{ \varepsilon \}$ , où $\varepsilon$ est l’élément neutre de $\Gamma$ ; (iii) on a $\Gamma = \Gamma_1 . \Gamma_2$ .

Or (i) signifie que $E_1$ et $E_2$ sont galoisiennes sur $K$ (cor. 4). D’après le cor. 2, la condition (ii) équivaut à $N = K(E_1 \cup E_2)$ . Enfin si (i) et (ii) sont vérifiées, $\Gamma_1 \Gamma_2$ est le plus petit sous-groupe de $\Gamma$ contenant $\Gamma_1 \cup \Gamma_2$ ; il est fermé car $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ sont compacts et l’application $(\sigma, \tau) \mapsto \sigma \tau$ de $\Gamma_1 \times \Gamma_2$ dans $\Gamma$ est continue (TG, I, p. 63, cor. 1). Le cor. 2 montre alors que (iii) équivaut à $E_1 \cap E_2 = K$ . Ceci prouve l’équivalence de a) et b).

Remarque

Avec les notations du cor. 6, supposons les conditions a) et b) remplies. Les homomorphismes de restriction $\varphi_i : \Gamma \to \mathrm{Gal}(E_i/K)$ pour $i = 1, 2$ induisent des isomorphismes de groupes topologiques

\Psi_1 : \Gamma_2 \to \mathrm{Gal}(E_1/K) , \quad \Psi_2 : \Gamma_1 \to \mathrm{Gal}(E_2/K) .

D’après a), on voit que l’application $\sigma \mapsto (\varphi_1(\sigma), \varphi_2(\sigma))$ est un isomorphisme de groupes topologiques de $\mathrm{Gal}(N/K)$ sur $\mathrm{Gal}(E_1/K) \times \mathrm{Gal}(E_2/K)$ .

8. Changement du corps de base

Soient $N$ une extension galoisienne de $K$ et $\Gamma$ le groupe de Galois de $N$ sur $K$ ; soit aussi $N'$ une extension galoisienne d’un corps $K'$ , de groupe de Galois $\Gamma'$ . On identifie $K$ (resp. $K'$ ) à son image dans $N$ (resp. $N'$ ). Soient $u$ un homomorphisme

\begin{array}{ccc} N & \xrightarrow{v} & N' \\ | & & | \\ K & \xrightarrow{u} & K' \end{array}

Fig. 1.

de $K$ dans $K'$ et $v$ un homomorphisme de $N$ dans $N'$ , dont la restriction à $K$ soit égale à $u$ (cf. fig. 1). Soit $\sigma \in \Gamma'$ ; comme on a $u(K) \subset K'$ , $\sigma$ est un $u(K)$ -automorphisme de $N'$ ; de plus, $v(N)$ est extension galoisienne de $u(K)$ , donc $\sigma$ induit un $u(K)$ -automorphisme de $v(N)$ (V, p. 53, remarque 1). Autrement dit, pour tout $\sigma \in \Gamma'$ , il existe un unique élément $v^*(\sigma)$ de $\Gamma$ tel que

v \circ v^*(\sigma) = \sigma \circ v .

L’application $v^*$ est un homomorphisme de $\mathrm{Gal}(N'/K')$ dans $\mathrm{Gal}(N/K)$ . Pour tout $x \in N$ , l’application $\sigma \mapsto v^*(\sigma)(x) = v^{-1}(\sigma(v(x)))$ de $\Gamma'$ dans l’espace discret $N$ est continue, donc $v^*$ est continue.

Trois cas particuliers sont importants :

a) Si $F$ est une extension galoisienne de $K$ et $E$ une sous-extension de $F$ , on sait (V, p. 64, lemme 1) que $F$ est extension galoisienne de $E$ . Appliquons ce qui précède au cas où $N = F, K' = E, N' = F$ et $v = \mathrm{Id}_F$ . Alors $v^*$ n’est autre que l’injection canonique

j : \mathrm{Gal}(F/E) \to \mathrm{Gal}(F/K) .

On l’appelle parfois l’homomorphisme d’inflation.

b) Supposons de plus que $E$ soit galoisienne sur $K$ . Appliquons ce qui précède au cas où $N = E, K' = K, N' = F$ et où $v$ est l’injection canonique de $E$ dans $F$ . Alors $v^*$ n’est autre que l’homomorphisme de restriction

\pi : \mathrm{Gal}(F/K) \to \mathrm{Gal}(E/K) .

On sait (V, p. 58, prop. 3) que $\pi$ est surjectif, de noyau $\mathrm{Gal}(F/E)$ , et définit par passage au quotient un isomorphisme de groupes topologiques de $\mathrm{Gal}(F/K)/\mathrm{Gal}(F/E)$ sur $\mathrm{Gal}(E/K)$ (V, p. 66, cor. 4).

c) Supposons que l’on ait $v^{-1}(K') = K$ et $N' = K'(v(N))$ . Montrons que l’homomorphisme

v^*: \mathrm{Gal}(N'/K') \to \mathrm{Gal}(N/K),

est un isomorphisme de groupes topologiques, appelé parfois la translation. En effet, le groupe $\mathrm{Gal}(N'/K')$ est compact, le groupe $\mathrm{Gal}(N/K)$ est séparé et $v^*$ est continu ; il suffit donc (TG, I, p. 63, cor. 2) de prouver que $v^*$ est bijectif. Or tout élément $\sigma$ du noyau de $v^*$ est un automorphisme de $N'$ qui induit l’identité sur $K'$ et sur $v(N)$ , donc $\sigma = \varepsilon$ puisque $N' = K'(v(N))$ ; par suite, $v^*$ est injectif. Par ailleurs, l’image de $v^*$ est un sous-groupe fermé $\Delta$ de $\mathrm{Gal}(N/K)$ (TG, I, p. 63, ibid.) et le corps des invariants de $\Delta$ est égal à $v^{-1}(K') = K$ ; par suite, on a $\Delta = \mathrm{Gal}(N/K)$ (V, p. 64, th. 4), donc $v^*$ est surjectif.

Le cas général se ramène par composition aux précédents. Remarquons tout d’abord que $K'(v(N))$ est le corps des invariants dans $N'$ du noyau $\Delta$ de $v^*$ ; comme $\Delta$ est un sous-groupe distingué de $\mathrm{Gal}(N'/K')$ , l’extension $K'(v(N))$ de $K'$ est galoisienne (V, p. 66, cor. 4). Alors $v^*$ est composé des homomorphismes

\mathrm{Gal}(N'/K') \xrightarrow{\pi} \mathrm{Gal}(K'(v(N))/K') \xrightarrow{\psi} \mathrm{Gal}(N/v^{-1}(K')) \xrightarrow{j} \mathrm{Gal}(N/K);

dans cette suite, $\pi$ est l’homomorphisme de restriction associé au triplet $K' \subset K'(v(N)) \subset N'$ , $\psi$ est l’isomorphisme de translation associé au carré central du diagramme (fig. 2) et $j$ est l’homomorphisme d’inflation associé au triplet $K \subset v^{-1}(K') \subset N$ .

\begin{array}{ccc} N & \to & K'(v(N)) \to N' \\ \uparrow & & \uparrow \\ K & \to & v^{-1}(K') \to K' \end{array}

Fig. 2.

Le théorème suivant précise la structure des isomorphismes de translation.

Théorème 5

Soient $N'$ une extension de $K$ , engendrée par deux sous-extensions $K'$ et $N$ . On suppose que $N$ est galoisienne sur $K$ , de groupe de Galois $\Gamma$ et que $K' \cap N = K$ . Alors l’extension $N'$ de $K'$ est galoisienne et l’homomorphisme canonique $\varphi$ de $K' \otimes_K N$ dans $N'$ est un isomorphisme. Soit $\sigma \in \mathrm{Gal}(N/K)$ et soit $\sigma'$ l’élément de $\mathrm{Gal}(N'/K')$ qui lui correspond par l’isomorphisme de translation ; on a $\sigma' \circ \varphi = \varphi \circ (\mathrm{Id}_{K'} \otimes \sigma)$ .

Cite 4 · Cité par 5

Cite Proposition 10, V § 7, Corollaire 4, V § 9, Corollaire 1, V § 3, § 10. Extensions galoisiennes

Cité par Exercice 2, § 10, Exercice 4, § 10, Proposition 13, Corollaire 2, Proposition 1, V § 17

On a $N' = K'(N)$ et $N$ est algébrique et séparable sur $K$ ; donc (V, p. 41, prop. 10), l’extension $N'$ de $K'$ est algébrique et séparable. D’après le cor. 4 de V, p. 53, l’extension $N'$ de $K'$ est quasi-galoisienne. Par suite, l’extension $N'$ de $K'$ est galoisienne. D’après c) ci-dessus, l’application $\sigma \mapsto \sigma|N$ est un isomorphisme $\lambda$ de $\mathrm{Gal}(N'/K')$ sur $\mathrm{Gal}(N/K)$ .

On a $N' = K'[N]$ puisque $N$ est algébrique sur $K$ (V, p. 18, cor. 1), donc $\varphi$ est surjectif. Si $\sigma$ appartient à $\mathrm{Gal}(N/K)$ , on a

\lambda^{-1}(\sigma) \circ \varphi = \varphi \circ (\mathrm{Id}_{K'} \otimes \sigma)

Par suite, le noyau de $\varphi$ est stable par les applications $\mathrm{Id}_{K'} \otimes \sigma$ , donc de la forme $K' \otimes_K N_0$ avec $N_0 \subset N$ (V, p. 60, cor.). Pour $x$ dans $N_0$ , on a $x = \varphi(1 \otimes x) = 0$ , d’où $N_0 = 0$ et donc $\varphi$ est injectif.

Corollaire 1

Soit $E'$ un sous-corps de $N'$ contenant $K'$ . Il existe un unique sous-corps $E$ de $N$ , contenant $K$ et tel que $E' = K'(E)$ . On a $E = E' \cap N$ .

Cite 1

Cite Corollaire 1

Posons $E = E' \cap N$ , d’où $E' \supset K'(E)$ . Posons $\Gamma = \mathrm{Gal}(N/K)$ et $\Delta = \mathrm{Gal}(N/E)$ , et définissons de manière analogue $\Gamma'$ et $\Delta'$ . L’application $\hat{\lambda} : \sigma \mapsto \sigma|N$ est un isomorphisme de $\Gamma'$ sur $\Gamma$ , et aussi de $\Delta'$ sur $\Delta$ ; autrement dit, $\Delta'$ se compose des $\sigma \in \Gamma'$ tels que $\hat{\lambda}(\sigma)$ appartienne à $\Delta$ . Si $\sigma \in \Gamma'$ laisse fixes les éléments de $K'(E)$ , on a $\hat{\lambda}(\sigma) \in \Delta$ , d’où $\sigma \in \Delta'$ et $\sigma$ laisse fixes les éléments de $E'$ ; d’après le cor. 1 de V, p. 65, on a donc $K'(E) \supset E'$ .

On a prouvé l’égalité $E' = K'(E)$ , d’où $\varphi^{-1}(E') = K' \otimes_K E$ . Si $F$ est un sous-corps de $N$ contenant $K$ et tel que $E' = K'(F)$ , on a de même $\varphi^{-1}(E') = K' \otimes_K F$ , d’où $F = E$ .

Corollaire 2

Soit $N$ une extension galoisienne de $K$ . On suppose que le groupe de Galois $\Gamma$ de $N$ sur $K$ est produit direct de deux sous-groupes fermés $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ , et l’on note $E_i$ le corps des invariants de $\Gamma_i$ pour $i = 1, 2$ . L’homomorphisme canonique de $E_1 \otimes_K E_2$ dans $N$ est un isomorphisme.

Cite 2

Cite Corollaire 6, Théorème 5

On a $E_1 \cap E_2 = K$ et $N = K(E_1 \cup E_2)$ d’après le cor. 6 (V, p. 66), et il suffit alors d’appliquer le théorème 5.

Remarque

Soient $K$ et $K'$ deux corps et $u$ un homomorphisme de $K$ dans $K'$ . Soit $K_s$ (resp. $K'_s$ ) une clôture séparable (V, p. 44, prop. 14) de $K$ (resp. $K'$ ) et $\Pi$ (resp. $\Pi'$ ) le groupe de Galois de $K_s$ sur $K$ (resp. $K'_s$ sur $K'$ ). Comme $K_s$ est une extension algébrique et séparable de $K$ , et que l’extension $(K'_s, u)$ de $K$ est séparablement close, il existe (V, p. 44, cor.) un homomorphisme $v$ de $K_s$ dans $K'_s$ prolongeant $u$ . On déduit de $v$ un homomorphisme continu $v^*$ de $\Pi'$ dans $\Pi$ . Soit $v_1$ un autre prolongement de $u$ . Comme $K_s$ est une extension quasi-galoisienne de $K$ , il existe un élément $\sigma_0$ de $\Pi$ tel que $v_1 = v \circ \sigma_0$ . On en déduit $v_1^*(\tau) = \sigma_0^{-1} v^*(\tau) \sigma_0$ pour tout $\tau \in \Pi$ .

9. Théorème de la base normale

Soit $N$ une extension galoisienne de $K$ , de groupe de Galois $\Gamma$ . Identifions $\Gamma$ à la base canonique de l’algèbre de groupe $K^{(\Gamma)}$ (III, p. 19); on peut considérer $N$ comme un $K^{(\Gamma)}$ -module à gauche (III, p. 20, exemple), de sorte qu’on a

u \cdot x = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma(x) \text{ pour } x \in N \text{ et } u = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma \text{ dans } K^{(\Gamma)}.

Si $N$ est de degré fini sur $K$ , le groupe $\Gamma$ est fini d’après le théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2), et l’on peut définir l’élément $t = \sum_{\sigma \in \Gamma} \sigma$ de $K^{(\Gamma)}$ ; on a alors

\operatorname{Tr}_{N/K}(x) = \sum_{\sigma \in \Gamma} \sigma(x),

c’est-à-dire $\operatorname{Tr}_{N/K}(x) = t.x$ pour tout $x \in N$ .

Définissons une action à droite de $\Gamma$ sur $N$ par $x^\sigma = \sigma^{-1}(x)$ . De manière analogue, on peut considérer le groupe multiplicatif $N^*$ comme un $\mathbf{Z}^{(\Gamma)}$ -module à droite, la loi externe étant notée $(x, u) \mapsto x^u$ . Par exemple, la notation $x^{2\sigma + 3\tau + \pi}$ , où $\sigma, \tau, \pi$ sont des éléments de $\Gamma$ , désigne le produit $(x^\sigma)^2 \cdot (x^\tau)^3 \cdot x^\pi$ . Si $N$ est de degré fini sur $K$ , et si $t = \sum_{\sigma \in \Gamma} \sigma$ comme plus haut, on a $N_{N/K}(x) = \prod_{\sigma \in \Gamma} x^\sigma$ , c’est-à-dire $N_{N/K}(x) = x^t$ pour tout $x \in N^*$ .

Supposons désormais $N$ de degré fini sur $K$ . Soit $x \in N$ ; pour que $\{ x \}$ soit une base du $K^{(\Gamma)}$ -module $N$ , il faut et il suffit que la famille $(\sigma(x))_{\sigma \in \Gamma}$ soit une base de $N$ sur $K$ . On dit qu’une telle base est une base normale de $N$ sur $K$ .

Théorème 6

Soit $N$ une extension galoisienne de degré fini sur $K$ et soit $\Gamma$ le groupe de Galois de $N$ sur $K$ . Il existe une base normale de $N$ sur $K$ . Autrement dit, le $K^{(\Gamma)}$ -module $N$ est libre de rang 1.

Cite 2 · Cité par 3

Cite V § 2. Extensions, § 10. Extensions galoisiennes

Cité par Exercice 10, § 2, Remarque 3, VIII § 16, Théorème 2, LIE V § 5

Nous donnerons deux démonstrations de cet énoncé. La première utilise le lemme suivant qui sera démontré au chapitre VIII (§ 2, n° 5). \* Lemme 3. — Soient $A$ une $K$ -algèbre, $M_1$ et $M_2$ deux $A$ -modules de rang fini sur $K$ . On suppose qu’il existe une extension $L$ de $K$ telle que les modules $L \otimes_K M_1$ et $L \otimes_K M_2$ sur l’anneau $L \otimes_K A$ soient isomorphes. Alors les $A$ -modules $M_1$ et $M_2$ sont isomorphes.

On appliquera le lemme 3 au cas où $A = K^{(\Gamma)}$ , $M_1 = N$ , $M_2 = A_s$ et $L = N$ D’après le cor. de V, p. 62, il existe un $K$ -isomorphisme $\varphi$ de $N \otimes_K N$ sur $N \otimes_K K^{(\Gamma)}$ qui transforme $x \otimes y$ en $\sum_{\sigma \in \Gamma} x \sigma^{-1}(y) \otimes \sigma$ . Il est immédiat que $\varphi$ est un isomorphisme de $N \otimes_K K^{(\Gamma)}$ -modules, et le théorème résulte alors du lemme 3. \*

Pour la deuxième démonstration, nous utiliserons la proposition suivante :

Proposition 10

Soit $x \in N$ . Pour que $\{ x \}$ soit une base du $K^{(\Gamma)}$ -module $N$ , il faut et il suffit que $\det(\sigma \tau(x))_{\sigma, \tau \in \Gamma}$ soit non nul.

Cite 3

Cite Proposition 14, II § 7, Théorème 2 (principe du prolongement des identités algébriques), IV § 2, IV § 5. Tenseurs symétriques et applications polynomiales

Comme $K^{(\Gamma)}$ et $N$ ont même dimension sur $K$ , dire que $\{ x \}$ est une base de $N$ sur $K^{(\Gamma)}$ signifie que l’application $a \mapsto ax$ de $K^{(\Gamma)}$ dans $N$ est injective. Cela signifie aussi que l’application $b \mapsto b(1 \otimes x)$ de $N \otimes_K K^{(\Gamma)}$ dans $N \otimes_K N$ est injective (II, p. 108, prop. 14). Or, il existe un isomorphisme de $N \otimes_K K^{(\Gamma)}$ -modules de $N \otimes_K N$ sur $N \otimes_K K^{(\Gamma)}$ qui transforme $1 \otimes x$ en $\sum_{\sigma} \sigma^{-1}(x) \otimes \sigma$ . Il s’ensuit que $\{ x \}$ est une base de $N$ sur $K^{(\Gamma)}$ si et seulement si, pour toute famille non nulle $(n_\tau)_{\tau \in \Gamma}$ d’éléments de $N$ , on a $(\sum n_\tau \otimes \tau)(\sum \sigma^{-1}(x) \otimes \sigma) \neq 0$ . Mais cette dernière relation signifie qu’il existe $\tau \in \Gamma$ tel que $\sum n_\tau \sigma^{-1} \tau(x) \neq 0$ , d’où la proposition.

A) Supposons K infini ; l’application $x \mapsto \det(\sigma \tau(x))$ de N dans N est polynômiale sur K (IV, p. 51). Par extension des scalaires de K à N elle donne l’application analogue pour le N-espace vectoriel $N \otimes_K N$ , et on vient de voir que cette dernière n’est pas identiquement nulle (puisque $N \otimes_K N$ est bien libre de rang 1 sur $N \otimes_K K^{(\Gamma)}$ ). Il existe donc $x \in N$ tel que $\det(\sigma \tau(x)) \neq 0$ (IV, p. 17, th. 2) ; plus généralement, d’après la même référence on a :

Proposition 11

Supposons K infini, et soit $P : N \to K$ une application polynômiale sur K non nulle. Il existe $x \in N$ tel que $P(x) \neq 0$ et que $\{ x \}$ soit une base de N sur $K^{(\Gamma)}$ .

B) Supposons K fini. D’après la prop. 4 (V, p. 91) $^1$ toute extension de degré fini de K a un groupe de Galois cyclique. Nous allons donc considérer plus généralement le cas où le groupe $\Gamma$ est cyclique d’ordre $n$ ; on note $\gamma$ un générateur de $\Gamma$ .

Le lemme suivant est un cas particulier de résultats plus généraux démontrés au chapitre VII. L’anneau A est, soit l’anneau $\mathbf{Z}$ des entiers rationnels, soit l’anneau de polynômes $K[X]$ sur le corps K.

Lemme 4

Soit M un A-module de torsion engendré par un nombre fini d’éléments $x_1, \ldots, x_h$ . Il existe alors un élément x de M dont l’annulateur (II, p. 28) est égal à l’annulateur de M.

Cite 2 · Cité par 1

Cite II § 1. Modules, I § 4. Groupes et groupes à opérateurs

Cité par Lemme 1, V § 11

Dans les deux cas, A est un anneau intègre et tout idéal de A est principal. Lorsque $A = \mathbf{Z}$ (resp. $A = K[X]$ ), on note $\mathscr{P}$ l’ensemble des nombres premiers (resp. l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles de $K[X]$ ). Pour tout élément $a \neq 0$ de A, il existe alors un élément inversible u de A et une famille $(v_p(a))_{p \in \mathscr{P}}$ à support fini d’entiers positifs tels que $a = u \prod_{p \in \mathscr{P}} p^{v_p(a)}$ , et u et les entiers $v_p(a)$ sont déterminés de manière unique (I, p. 49 et IV, p. 13, prop. 13).

Soient $a_i$ l’annulateur de $x_i$ (pour $1 \leq i \leq h$ ) et a l’annulateur de M. Soient $a_1, \ldots, a_h, a$ des éléments non nuls de A tels que $a_i = Aa_i$ et $a = Aa$ ; comme on a $a = a_1 \cap \ldots \cap a_h$ , il résulte de ce qui précède qu’on a

v_p(a) = \sup_{1 \leq i \leq h} v_p(a_i) \quad \text{pour tout } p \in \mathscr{P}.

Écrivons $a$ sous la forme $up_1^{n(1)} \cdots p_r^{n(r)}$ avec $p_1, \ldots, p_r$ distincts dans $\mathscr{P}$ , des entiers $n(1) > 0, \ldots, n(r) > 0$ et un élément inversible u de A. Soit $j = 1, \ldots, r$ ; d’après la formule (10), il existe un entier $c(j)$ tel que $1 \leq c(j) \leq h$ et $v_{p_j}(a_{c(j)}) = n(j)$ ; il existe $b_j$ dans A avec $a_{c(j)} = p_j^{n(j)} b_j$ , et l’élément $y_j = b_j x_{c(j)}$ a pour annulateur l’idéal $Ap_j^{n(j)}$ .

Montrons que l’annulateur b de $y = y_1 + \cdots + y_r$ est égal à l’annulateur a de M. On a en tout cas $a \subset b$ , donc b est de la forme $Ap_1^{m(1)} \cdots p_r^{m(r)}$ avec $0 \leq m(j) \leq n(j)$

1 Le lecteur vérifiera aisément que le théorème de la base normale n’est utilisé nulle part avant la démonstration de cette proposition.

pour $1 \leq j \leq r$ . Si l’on avait $a \neq b$ , il existerait un entier $j$ tel que $1 \leq j \leq r$ et $m(j) < n(j)$ et par suite $d_j = a/p_j$ annulerait $y$ . Or on a $d_j y_k = 0$ pour $k \neq j$ , d’où l’on déduirait $d_j y_j = 0$ ; mais l’annulateur de $y_j$ est $A p_j^{m(j)}$ et $d_j$ n’est pas multiple de $p_j^{m(j)}$ . L’hypothèse $a \neq b$ est donc absurde.

Nous appliquerons le lemme 4 au cas où $A$ est l’anneau de polynômes $K[X]$ , et où $M$ est le groupe commutatif $N$ muni de la loi externe définie par

a . x = \sum_{k=0}^{\infty} c_k \gamma^k(x) \text{ pour } a = \sum_{k=0}^{\infty} c_k X^k \text{ dans } K[X] \text{ et } x \in N.

On a

\gamma^n = 1

, donc le polynôme

X^n - 1

appartient à

a

. Soit

F \in a

; d’après IV, p. 10, cor., il existe des éléments

c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}

K

G \in K[X]

tels que

(11) \quad F(X) = c_0 + c_1 X + \cdots + c_{n-1} X^{n-1} + (X^n - 1) G(X).

On a alors

c_0 + c_1 \gamma + \cdots + c_{n-1} \gamma^{n-1} = 0

dans

\operatorname{Hom}_K(N, N)

, et comme les automorphismes

1, \gamma, \gamma^2, \ldots, \gamma^{n-1}

N

sont distincts, le théorème de Dedekind (V, p. 27, cor. 2) entraîne

c_0 = c_1 = \cdots = c_{n-1} = 0

. Finalement, on a

F(X) = (X^n - 1) G(X), \text{ c’est-à-dire } a = (X^n - 1) K[X].

D’après le lemme 4, il existe un élément

x

N

dont l’annulateur dans

K[X]

est égal à

(X^n - 1) K[X]

. Comme les monômes

1, X, \ldots, X^{n-1}

forment la base d’un sous-espace vectoriel de

K[X]

supplémentaire de

(X^n - 1) K[X]

(IV, p. 10, cor.) les éléments

x, \gamma(x), \ldots, \gamma^{n-1}(x)

N

sont linéairement indépendants sur

K

. Comme on a

[N : K] = n

(V, p. 64, th. 3), la suite

(x, \gamma(x), \ldots, \gamma^{n-1}(x))

est donc une base (normale) de

N

sur

K

10. $\Gamma$ -ensembles finis et algèbres étalées

Soient $K_s$ une clôture séparable de $K$ (V, p. 44, prop. 14) et $\Gamma$ le groupe de Galois de $K_s$ sur $K$ . On appelle $\Gamma$ -ensemble un ensemble $X$ muni d’une action $(\sigma, x) \mapsto \sigma x$ du groupe $\Gamma$ , telle que le stabilisateur de tout point de $X$ soit un sous-groupe ouvert de $\Gamma$ . Il revient au même de dire que l’application $(\sigma, x) \mapsto \sigma x$ de $\Gamma \times X$ dans $X$ est continue lorsqu’on munit $X$ de la topologie discrète.

Soit $X$ un $\Gamma$ -ensemble fini. On définit une action du groupe $\Gamma$ sur la $K$ -algèbre $K_s^X$ des applications de $X$ dans $K_s$ par la formule

(12) \quad u_\sigma f(x) = \sigma(f(\sigma^{-1} x))

pour

\sigma \in \Gamma

f \in K_s^X

x \in X

. Soit

\Theta(X)

l’ensemble des invariants de

\Gamma

dans

K_s^X

; c’est la sous-

K

-algèbre de

K_s^X

formée des applications

f : X \to K_s

telles que

f(\sigma x) = \sigma(f(x))

pour

\sigma \in \Gamma

x \in X

Lemme 5

Soit $X$ un $\Gamma$ -ensemble fini et soient $x_1, \ldots, x_n$ des points de $X$ tels que les orbites $\Gamma x_1, \ldots, \Gamma x_n$ forment une partition de $X$ . Pour $1 \leq i \leq n$ , soit $\Delta_i$ le stabilisateur de $x_i$ dans $\Gamma$ , et soit $L_i$ le corps des invariants de $\Delta_i$ . Alors $L_1, \ldots, L_n$ sont des extensions séparables de degré fini de $K$ , et l’application $f \mapsto (f(x_1), \ldots, f(x_n))$ est un isomorphisme de $K$ -algèbres de $\Theta(X)$ sur $L_1 \times \cdots \times L_n$ .

Cite 2 · Cité par 1

Cite Corollaire 5, Théorème 4

Cité par Remarque 6, VIII § 16

Par hypothèse, les sous-groupes $\Delta_1, \ldots, \Delta_n$ de $\Gamma$ sont ouverts et le cor. 5 de V, p. 66, montre que les sous-extensions $L_1, \ldots, L_n$ de $K_s$ sont de degré fini sur $K$ . Elles sont évidemment séparables. La dernière assertion du lemme 5 est immédiate.

Du lemme 5 et du th. 4 (V, p. 34), on déduit immédiatement le résultat suivant.

Proposition 12

Pour tout $\Gamma$ -ensemble fini $X$ , l’algèbre $\Theta(X)$ est étale sur $K$ , de degré égal au cardinal de $X$ . De plus, toute algèbre étale sur $K$ est isomorphe à une algèbre de la forme $\Theta(X)$ .

Cité par 1

Cité par Remarque 6, VIII § 16

Remarque 1

On montre facilement que pour tout homomorphisme de $K$ -algèbres $\varphi$ de $\Theta(X)$ dans $K_s$ , il existe un unique élément $x$ de $X$ tel que $\varphi(f) = f(x)$ pour tout $f \in \Theta(X)$ .

Remarque 2

Soient $X$ et $Y$ deux $\Gamma$ -ensembles finis. Soit $\mathfrak{F}_\Gamma(X, Y)$ l’ensemble des applications $u$ de $X$ dans $Y$ telles que $u(\sigma x) = \sigma u(x)$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ et tout $x \in X$ . Pour $u \in \mathfrak{F}_\Gamma(X, Y)$ , on définit un homomorphisme de $K$ -algèbres $u^*: \Theta(Y) \to \Theta(X)$ par $u^*(f) = f \circ u$ . Pour tout homomorphisme $\Psi$ de $\Theta(Y)$ dans $\Theta(X)$ , il existe un unique élément $u$ de $\mathfrak{F}_\Gamma(X, Y)$ tel que $\Psi = u^*$ .

11. Structure des extensions quasi-galoisiennes

Proposition 13

Soit $N$ une extension quasi-galoisienne de $K$ . On note $N_r$ le corps des invariants du groupe des $K$ -automorphismes de $N$ et $N_s$ la fermeture algébrique séparable de $K$ dans $N$ (V, p. 42). Alors : a) $N_r$ est la fermeture radicielle de $K$ dans $N$ (V, p. 24). b) $N_s$ est une extension galoisienne de $K$ et tout $K$ -automorphisme de $N_s$ se prolonge de manière unique en un $N_r$ -automorphisme de $N$ . c) Les corps $N_r$ et $N_s$ sont linéairement disjoints sur $K$ et l’on a $N = K[N_r \cup N_s]$ ; autrement dit, l’homomorphisme canonique de $N_r \otimes_K N_s$ dans $N$ est un isomorphisme.

Cite 2 · Cité par 2

Cite Corollaire 3, Théorème 5

Cité par Exercice 20, § 10, Proposition 1, V § 17

Soit $\Omega$ une clôture algébrique de $K$ , contenant $N$ comme sous-extension (V, p. 22, th. 2). Tout $K$ -automorphisme de $\Omega$ induit un automorphisme de $N$ puisque $N$ est quasi-galoisienne. Par suite, tout élément de $N_r$ est invariant par le groupe des $K$ -automorphismes de $\Omega$ , donc est radiciel sur $K$ (V, p. 51, cor. 3). Réciproquement, tout élément de $N$ radiciel sur $K$ est évidemment invariant par tout $K$ -automorphisme de $N$ , donc appartient à $N_r$ . Ceci prouve a).

Tout $K$ -automorphisme de $\Omega$ applique $N$ dans $N$ , donc $N_s$ dans $N_s$ , et $N_s$ est donc une extension quasi-galoisienne de $K$ (V, p. 52, prop. 3). Par suite, $N_s$ est une extension galoisienne de $K$ . Tout élément de $N_r \cap N_s$ est algébrique séparable et radiciel sur $K$ , donc appartient à $K$ (V, p. 38, cor. 3) ; on a donc $N_r \cap N_s = K$ . Or $N$ est radiciel sur $N_s$ (V, p. 42, prop. 13) et algébrique séparable sur $N_r$ (V, p. 54, th. 1), donc à la fois radiciel et séparable sur $K(N_r \cup N_s)$ . On a donc $N = K(N_r \cup N_s)$ (V, p. 38, cor. 3) et les assertions b) et c) résultent du th. 5 (V, p. 68).

Corollaire

Soient $p$ l’exposant caractéristique de $K$ , $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$ , $K_s$ la fermeture séparable de $K$ dans $\overline{K}$ et $K^{p^{-\infty}}$ la clôture parfaite de $K$ . Alors l’homomorphisme canonique de $K^{p^{-\infty}} \otimes K_s$ dans $K$ est un isomorphisme.

Remarque

Soit $R$ (resp. $S$ ) une extension radicielle (resp. algébrique séparable) de $K$ . Alors l’algèbre $R \otimes_K S$ est un corps : en effet, $R$ (resp. $S$ ) est isomorphe à une sous-extension de $K^{p^{-\infty}}$ (resp. $K_s$ ) et il suffit d’appliquer le cor. ci-dessus et la prop. 1 de V, p. 17.

Exercices

See the exercises for § 10.