Exercice 10, § 2

a) Soient K un corps ordonnable, E une extension galoisienne de K. Montrer que, ou bien E est ordonnable, ou bien il existe une extension algébrique ordonnable F de K, contenue dans E, et telle que E soit extension quadratique de F (utiliser le th. 6 de V, p. 70). b) Montrer que le polynôme $X^4 + 2$ est irréductible sur $\mathbf{Q}$, et que, si K est l’extension de degré 4 de $\mathbf{Q}$ obtenue par adjonction à $\mathbf{Q}$ d’une racine de ce polynôme, K ne contient aucun sous-corps ordonnable distinct de $\mathbf{Q}$ (déterminer les sous-corps de K par la théorie de Galois).