Exercice 7, § 10

Soit N une extension galoisienne d’un corps K telle que Gal(N/K) soit isomorphe au groupe symétrique $S_n$ (V, p. 57, exemple 5), n étant un entier non premier ; on identifie Gal(N/K) et $S_n$. Soient $\Gamma_1$ le sous-groupe de $S_n$ d’ordre $(n - 1)$! laissant invariant le nombre 1, et $\Gamma_2$ le sous-groupe cyclique de $S_n$, d’ordre n, engendré par le cycle (1, 2, ..., n) (I, p. 131, exerc. 12). Soient E_1, E_2 les corps des invariants des sous-groupes $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ respectivement. Montrer que E_1 et E_2 sont linéairement disjoints sur K, qu’il n’existe aucun corps F tel que K ⊂ F ⊂ E_1 autre que K et E_1, mais qu’il existe des corps F' tels que E_2 ⊂ F' ⊂ N, distincts de E_2 et de N (utiliser les exerc. 13 et 14 de I, p. 131).