Bài tập 7, § 10

Cho N là một mở rộng Galois của một trường K sao cho $\mathrm{Gal}(N/K)$ đẳng cấu với nhóm đối xứng $S_n$ (V, p. 59, Ví dụ 5), trong đó n là một số nguyên không nguyên tố; đồng nhất $\mathrm{Gal}(N/K)$ và $S_n$. Gọi $\Gamma_1$ là nhóm con của $S_n$ có cấp $(n-1)!$ để số 1 bất biến và gọi $\Gamma_2$ là nhóm con cyclic của $S_n$ có cấp n sinh bởi chu trình $(1, 2, ..., n)$ (I, p. 142, Bài tập 12). Gọi $E_1, E_2$ lần lượt là trường bất biến của các nhóm con $\Gamma_1, \Gamma_2$. Chứng minh rằng $E_1$ và $E_2$ rời nhau tuyến tính trên K, rằng không tồn tại trường F nào khác K và $E_1$ sao cho $K \subset F \subset E_1$ nhưng lại tồn tại các trường $F'$ phân biệt với $E_2$ và N sao cho $E_2 \subset F' \subset N$ (dùng Bài tập 13 của I, p. 142 và Bài tập 14, I, p. 143).