§ 10. Các mở rộng Galois

Trong suốt đoạn này, K ký hiệu một trường.

1. Định nghĩa các mở rộng Galois

Định lý 1

— Cho N là một mở rộng đại số của K và $\Gamma$ là nhóm các tự đẳng cấu của N giữ K bất biến. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: a) Mọi phần tử của N bất biến dưới $\Gamma$ đều thuộc ảnh của K trong N. b) N là một mở rộng tách được quasi-Galois của K. c) Với mỗi $x \in N$ , đa thức tối tiểu của x trên K phân rã trong $N[X]$ thành một tích các đa thức phân biệt bậc 1. Sự tương đương của b) và c) suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 6 (V, p. 40) và định nghĩa mở rộng quasi-Galois (V, p. 53, Định nghĩa 2). Ta đồng nhất K với ảnh chính tắc của nó trong N. $a) \Rightarrow c)$ : Giả sử K là trường các bất biến của $\Gamma$ . Cho $x \in N$ , với đa thức tối tiểu $f$ trên K và gọi A là tập hợp tất cả các nghiệm của f trong N. Đặt

g(X) = \prod_{y \in A} (X - y).

Mọi tự đẳng cấu

a \in \Gamma

cảm sinh một phép hoán vị của A, và do đó giữ bất biến các hệ số của đa thức

g \in N[X]

. Vì vậy ta có

g \in K[X]

và vì

g(x) = 0

, đa thức g là một bội của

f

trong

K[X]

(V, p. 16, Định lý 1). Hơn nữa,

f

và g đều là đơn thức đầu và g chia hết

f

(IV, p. 16, Mệnh đề 5); do đó ta có

f = g

, nghĩa là đa thức tối tiểu

f

của

x

trên

K

là một tích trong

N[X]

của các đa thức phân biệt bậc 1.

Trích dẫn đến 6 · Được trích dẫn bởi 4

Trích dẫn đến Hệ quả, V § 7, Định nghĩa 2, V § 9, Mệnh đề 5, IV § 2, Định lý 1, V § 3, Định lý 2 (Steinitz), V § 4, Hệ quả 1, V § 9

Được trích dẫn bởi Bài tập 15, § 1, Định nghĩa 1, Mệnh đề 6, Bổ đề 2, VIII § 17

c) ⇒ a): cho x là một phần tử của N không thuộc K. Ký hiệu Ω là một bao đóng đại số của K chứa N như một mở rộng con (V, p. 23, Định lý 2). Gọi f là đa thức tối tiểu của x trên K, có bậc ≥ 2 theo giả thiết, và gọi A là tập hợp các nghiệm của $f(X)$ trong N. Nếu điều kiện c) được thỏa mãn, ta có $f(X) = \prod_{y \in A} (X - y)$ và do đó (V, p. 53, Hệ quả 1) A là tập hợp các liên hợp của x trong Ω. Vì f có bậc ≥ 2, tồn tại trong A một phần tử $y \neq x$ , do đó tồn tại một tự đẳng cấu u của Ω giữ K bất biến sao cho $u(x) = y$ . Bây giờ theo giả thiết c), mở rộng N của K là quasi-Galois, do đó $u(N) = N$ (V, p. 54, Hệ quả 1); suy ra u cảm sinh một tự đẳng cấu a của N giữ K bất biến sao cho $\sigma(x) = y \neq x$ , nên K là trường các bất biến của Γ.

Định nghĩa 1

— Một mở rộng N của K được gọi là Galois nếu nó đại số và thỏa mãn các điều kiện tương đương a), b), c) của Định lý 1.

Trích dẫn đến 3

Trích dẫn đến Định lý 1, Mệnh đề 6, V § 7, V § 9. Các phần tử liên hợp và các mở rộng tựa-galois

Cho N là một trường, Γ là một nhóm các tự đẳng cấu của N và $N_0$ là trường các bất biến của Γ. Khi N là đại số trên $N_0$ thì nó là một mở rộng Galois của $N_0$ . Điều này không phải lúc nào cũng đúng: chẳng hạn, giả sử K là vô hạn và lấy N là trường các phân thức K(X); với mỗi $a \in K$ gọi $\sigma_a$ là tự đẳng cấu của K(X) biến $f(X)$ thành $f(X + a)$ . Tập hợp tất cả các $a$ là một nhóm các tự đẳng cấu của K(X), mà trường các bất biến của nó dễ thấy là K; tuy nhiên K(X) không đại số trên K.

Cho Ω là một bao đóng đại số của K, gọi A là một tập hợp các phần tử của Ω tách được trên K và B là tập hợp các phần tử liên hợp trên K của các phần tử của A. Khi đó B gồm các phần tử đại số và tách được trên K. Do đó (V, p. 39, Mệnh đề 6 và p. 56, Mệnh đề 5) trường K(B) là một mở rộng tách được quasi-Galois của K; nói cách khác, mở rộng quasi-Galois sinh bởi A (V, p. 55) là một mở rộng Galois của K; ta cũng sẽ nói rằng nó là mở rộng Galois của K sinh bởi tập con A của O.

Đặc biệt, trường phân rã trong Ω của một họ các đa thức tách được trên K, một bao đóng tách được của K, là các mở rộng Galois của K.

Mệnh đề 1

— Cho N là một mở rộng của K và $(N_i)_{i \in I}$ , một họ khác rỗng các mở rộng con của N. Đặt $E = \cap_{i \in I} N_i$ và $F = K \left( \bigcup_{i \in I} N_i \right)$ . Nếu tất cả các mở rộng N, đều là Galois trên K thì điều tương tự cũng đúng với E và F.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 3

Trích dẫn đến Mệnh đề 8, V § 7, Mệnh đề 4, V § 9

Được trích dẫn bởi Nhận xét, Hệ quả, V § 11, Nhận xét, VIII § 16

Trước hết E là đại số và tách được trên K (V, p. 36, Mệnh đề 1) và điều tương tự cũng đúng với F (V, p. 41, Mệnh đề 8). Hơn nữa, E và F là quasi-Galois trên K theo Mệnh đề 4 (V, p. 55).

Mệnh đề 2

— Cho N là một mở rộng Galois của K và E là một mở rộng con của N, có bậc hữu hạn trên K. Tồn tại một mở rộng con F của N chứa E, Galois và có bậc hữu hạn trên K.

Được trích dẫn bởi 5

Được trích dẫn bởi § 10. Các mở rộng Galois, Bổ đề 2, Bổ đề 4, VIII § 13, Định lý 1, VIII § 14, Định lý 6, VIII § 16

Vì N là quasi-Galois trên K, Hệ quả 1 của V, p. 56 chứng minh sự tồn tại của một mở rộng con quasi-Galois F của N chứa E và có bậc hữu hạn trên K. Vì N tách được trên K, điều tương tự cũng đúng với F (V, p. 36, Mệnh đề 1), do đó F là Galois trên K.

Mệnh đề 2 kéo theo kết quả sau: cho R là một bao đóng đại số của K và E₁, ..., Eₙ là các mở rộng đại số tách được có bậc hữu hạn trên K, được chứa trong R. Khi đó tồn tại một mở rộng Galois N của K, có bậc hữu hạn, được chứa trong R và chứa E₁, ..., Eₙ.

2. Nhóm Galois

Định nghĩa 2

Cho N là một mở rộng Galois của trường K. Nhóm gồm tất cả các tự đẳng cấu của N giữ K bất biến sẽ được gọi là nhóm Galois của N trên K và ký hiệu là Gal(N/K).

Trích dẫn đến 4

Trích dẫn đến Định lý 3, Mệnh đề 4, V § 6, Mệnh đề 3, V § 9, Nhận xét 3, V § 9

Cho N là một mở rộng Galois hữu hạn của K. Khi đó N là một mở rộng tách được và quasi-Galois hữu hạn của K. Do đó (V, p. 32, Mệnh đề 4 và V, p. 54, Mệnh đề 3), cấp của Gal(N/K) bằng [N : K]. Sau này ta sẽ chứng minh rằng nếu N là một mở rộng Galois của K sao cho Gal(N/K) hữu hạn, thì N có bậc hữu hạn trên K (V, p. 66, Định lý 3).

Cho Ω là một mở rộng đóng đại số của K và A là tập hợp các nghiệm trong Ω của một đa thức tách được f ∈ K[X]. Khi đó trường N = K(A) là một mở rộng Galois của K. Rõ ràng mọi tự đẳng cấu của N giữ K bất biến đều giữ A ổn định, và vì A sinh N trên K, ánh xạ a ↦ σ|A là một đẳng cấu của Gal(N/K) lên một nhóm con Γ của nhóm đối xứng S_A của tập hợp A, nhóm này sẽ được gọi là nhóm Galois của đa thức f. Từ Nhận xét 3 (V, p. 55) suy ra rằng nếu x và y thuộc A, các tính chất sau là tương đương:

a) x và y liên hợp trên K, b) x và y thuộc cùng một quỹ đạo dưới tác động của Γ, c) x và y là các nghiệm của cùng một nhân tử bất khả quy của f.

Đặc biệt, f bất khả quy khi và chỉ khi A khác rỗng và Γ tác động bắc cầu trên A.

Ví dụ 1

Giả sử đặc số của K khác 2 và cho N là một mở rộng bậc hai của K. Nếu x ∈ N − K, thì ta có N = K(x) và đa thức tối tiểu của x trên K có dạng f(X) = X² − aX + b, với a, b ∈ K. Do đó ta có f(X) = (X − x)(X − y), trong đó y = a − x, nên y liên hợp với x; vì f(X) tách được, mở rộng N là Galois. Nhóm Gal(N/K) có hai phần tử cảm sinh hai phép hoán vị của tập hợp {x, y}.

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Ví dụ 3

Ví dụ 2

Cho f = X³ + X² − 2X − 1 ∈ Q[X]. Đa thức f bất khả quy, vì nếu không, nó có một nghiệm x ∈ Q; viết x = a/b với a, b ∈ Z, a và b nguyên tố cùng nhau, ta phải có a(a² + ab − 2b²) = b³ và a³ = b(b² + 2ab − a²); nhưng điều này suy ra a chia hết cho b và b chia hết cho a, do đó x = ±1, điều này là không thể. Đặt ξ = e^{2\pi i / 7} ∈ C; khi đó đa thức f có các nghiệm α = ξ + ξ⁻¹, β = ξ² + ξ⁻², γ = ξ³ + ξ⁻³. Ta có β = a² − 2 và γ = a³ − 3α, do đó mở rộng Q(α) là Galois trên Q. Nhóm Galois của Q(α) trên Q là cyclic có cấp 3 và được sinh bởi một phần tử σ sao cho σ(α) = β, σ(β) = γ, σ(γ) = α. \

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Ví dụ 6

Ví dụ 3

Giả sử rằng $K = \mathbf{Q}$ và lấy $f = X^3 - 2$ . Dùng phân tích các số nguyên thành tích các nhân tử nguyên tố (I, p. 51), ta dễ dàng thấy rằng 2 không phải là lập phương của một phần tử của $\mathbf{Q}$ . Do đó đa thức $f$ là bất khả quy, vì nếu không, nó sẽ có một nghiệm trong $\mathbf{Q}$ . Cho $A = \{ x_1, x_2, x_3 \}$ là tập hợp các nghiệm của $f$ trong $\Omega$ và $\Gamma$ là nhóm Galois của $f$ . Nó tác động bắc cầu trên $A$ ; do đó cấp của nó chia hết cho ba. Mặt khác, thương $j = \frac{x_2}{x_1}$ khác 1 và ta có $j^3 = 1$ . Do đó $j$ thỏa mãn quan hệ $j^2 + j + 1 = 0$ ; nhưng đa thức $T^2 + T + 1 = \left( T + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}$ không có nghiệm trong $\mathbf{Q}$ , điều này cho thấy (Ví dụ 1) rằng $[\mathbf{Q}(j) : \mathbf{Q}] = 2$ . Vậy $[\mathbf{N} : \mathbf{Q}]$ chia hết cho 2, và suy ra cấp của $\Gamma$ chia hết cho 6. Vì $\Gamma$ được chứa trong nhóm $\mathfrak{S}_A$ có cấp 6, ta có $\Gamma = \mathfrak{S}_A$ .

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến I § 4. Nhóm và nhóm có toán tử, Ví dụ 1

Được trích dẫn bởi Ví dụ 6

Ví dụ 4

Giả sử $K$ có đặc số $p \neq 0$ và cho $K(T)$ là trường các phân thức hữu tỉ và $U = T^p - T$ . Đặt $E = K[U]$ và $F = K[T]$ , khi đó đa thức $f(X) = X^p - X - U$ của $E[X]$ có các nghiệm $T, T+1, ..., T+p-1$ trong $F$ . Cho $\sigma$ là tự đẳng cấu $K$ - của $F$ sao cho $\sigma(T) = T+1$ . Ta có $\sigma^i(T) = T+i$ và $\sigma(U) = U$ . Nhóm $G = \{ 1, \sigma, ..., \sigma^{p-1} \}$ là cyclic có cấp $p$ , và trường các bất biến của nó chứa $E$ ; vì $[F : E] \leq p$ , định lý Dedekind (V, p. 27, Hệ quả 2) suy ra rằng $E$ là trường các bất biến của $G$ và $[F : E] = p$ . Do đó đa thức $f$ bất khả quy trong $E[X]$ ; mở rộng $F$ của $E$ là Galois, nhóm Galois $G$ của nó là cyclic có cấp $p$ , và nhóm $\Gamma$ là nhóm các phép hoán vị cyclic của $T, T+1, ..., T+p-1$ .

Để xem một phép tổng quát hóa của ví dụ này, xem V, p. 93, Ví dụ 2.

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Hệ quả 2, V § 6

Ví dụ 5

Cho $F = K(X_1, ..., X_n)$ là trường các phân thức hữu tỉ theo $n$ bất định $X_1, ..., X_n$ với các hệ số trong $K$ . Đặt

s_k = \sum_{1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n} X_{i_1} ... X_{i_k}

với

1 \leq k \leq n

và

E = K(s_1, ..., s_n)

; ta ký hiệu đa thức

f(T)

là

T^n - s_1 T^{n-1} + \cdots + (-1)^n s_n .

Ta có

f(T) = \prod_{i=1}^n (T - X_i)

, do đó

F

là một trường phân rã của đa thức tách được

f(T) \in E[T]

. Hơn nữa, với mỗi phép hoán vị

a \in \mathfrak{S}_n

tồn tại duy nhất một tự đẳng cấu

K

-tự đẳng cấu

h_a

của

F

sao cho

h_a(X_i) = X_{a(i)}

với

1 \leq i \leq n

; ta có

h_a(s_k) = s_k

với

1 \leq k \leq n

, do đó

h_a

là một

E

-tự đẳng cấu của

F

. Nói cách khác,

F

là một mở rộng Galois của

E

và phép hạn chế lên tập hợp các nghiệm

\{ X_1, ..., X_n \}

của

f(T)

xác định một đẳng cấu từ

\mathrm{Gal}(F/E)

lên nhóm

\mathfrak{S}_n

. Đặc biệt,

E

gồm các phân thức hữu tỉ

f

sao cho

f(X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)}) = f(X_1, ..., X_n)

với mọi

\sigma \in \mathfrak{S}_n

(xem IV, p. 67, Hệ quả).

Được trích dẫn bởi 4

Được trích dẫn bởi V, p. 59, Example 5, Bài tập 10, § 10, Bài tập 5, § 10, Bài tập 7, § 10

Ví dụ 6

Giả sử rằng f là đơn thức với bậc > 0 và K có đặc số ≠ 2. Định nghĩa trên A một thứ tự toàn phần, ký hiệu bởi ≤, và đặt δ(f) = $\prod_{\alpha < \beta} (\beta - a)$ , $(\alpha, \beta) \in A \times A$ , và với mỗi $\sigma \in \mathfrak{S}_A$ đặt $\delta_\sigma(f) = \prod_{\alpha < \beta} (\sigma(\beta) - \sigma(\alpha))$ . Ta có $\delta_\sigma(f) = \varepsilon(u) \delta(f)$ , trong đó $\varepsilon(u)$ là dấu của $\sigma$ (I, p. 64) và $\delta(f) \neq 0$ . Với mọi $\tau \in \mathrm{Gal}(N/K)$ ta có $\tau(\delta(f)) = \delta_{\tau|_A}(f)$ . Do đó $\Gamma$ được chứa trong nhóm phản xứng $\mathfrak{A}_A$ khi và chỉ khi $\delta(f) \in K$ . Hơn nữa $\delta(f)^2 = \prod_{\alpha < \beta} (\beta - a)' = d(f)$ là biệt thức của đa thức f (IV, p. 81). Do đó $\Gamma \subset \mathfrak{A}_A$ khi và chỉ khi $d(f)$ là bình phương của một phần tử của K. Vì vậy trong Ví dụ 2 ta có $d(f) = 49 = 7^2$ và trong Ví dụ 3, $d(f) = -108$ (IV, p. 85).

Cho N là một mở rộng Galois của K và L là một mở rộng con của N, Galois trên K. Mọi K-tự đẳng cấu $\sigma$ của N cảm sinh một K-tự đẳng cấu $\sigma_L$ của L (V, p. 55, Nhận xét 1). Do đó ánh xạ $\sigma \mapsto \sigma_L$ là một đồng cấu của $\mathrm{Gal}(N/K)$ vào $\mathrm{Gal}(L/K)$ , gọi là đồng cấu hạn chế.

Trích dẫn đến 4

Trích dẫn đến I § 5. Các nhóm tác động trên một tập hợp, Ví dụ 2, Ví dụ 3, Nhận xét 1, V § 9

Mệnh đề 3

— Đồng cấu hạn chế của $\mathrm{Gal}(N/K)$ vào $\mathrm{Gal}(L/K)$ là toàn ánh.

Trích dẫn đến 3 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Định lý 2 (Steinitz), V § 4, Nhận xét 1, V § 9, Mệnh đề 1, V § 9

Được trích dẫn bởi § 10. Các mở rộng Galois, Hệ quả 4

Nói chung, xét hai mở rộng con L và L' của N, và một đẳng cấu K $u$ của L lên L'. Chọn một bao đóng đại số $\Omega$ của K chứa N như một mở rộng con (V, p. 23, Đ.lý 2). Có một tự đẳng cấu K $v$ của $\Omega$ trùng với $u$ trên L (V, p. 52, Mệnh đề 1), và vì N là một mở rộng quasi-Galois của K, $v$ cảm sinh một tự đẳng cấu K $\sigma$ của N (V, p. 55, Nhận xét 1). Nói cách khác, phần tử $\sigma$ của $\mathrm{Gal}(N/K)$ trùng với $u$ trên L.

3. Tôpô của nhóm Galois

Cho N là một mở rộng Galois của K và $\Gamma$ là nhóm Galois của N trên K. Ta trang bị cho N tôpô rời rạc, tập hợp $N^N$ của tất cả các ánh xạ từ N vào chính nó với tôpô tích của các tôpô rời rạc của các nhân tử ("tôpô của sự hội tụ đơn giản trong N") và nhóm $\Gamma$ với tôpô cảm sinh từ $N^N$ .

Cho A là tập hợp tất cả các mở rộng con của N có bậc hữu hạn trên K. Với $\sigma \in \Gamma$ và $E \in A$ ta sẽ viết $U_E(\sigma)$ cho tập hợp các phần tử $\tau$ của $\Gamma$ có cùng hạn chế như $\sigma$ lên E. Nếu $E = K(x_1, ..., x_n)$ , tập hợp $U_E(\sigma)$ gồm các phần tử $\tau \in \Gamma$ sao cho $\tau(x_i) = \sigma(x_i), ..., \tau(x_n) = \sigma(x_n)$ . Suy ra rằng họ $(U_F(\sigma))_{F \in \mathscr{F}}$ là một cơ sở của lọc các lân cận của $\sigma$ trong $\Gamma$ .

Khi N có bậc hữu hạn trên K, ta có $N \in A$ và $U_N(\sigma) = \{\sigma\}$ , do đó tôpô của $\mathrm{Gal}(N/K)$ là rời rạc; ta nhắc lại (V, p. 58), rằng nhóm $\mathrm{Gal}(N/K)$ là hữu hạn trong trường hợp này.

Mô tả này về tôpô của $\mathrm{Gal}(N/K)$ chỉ ra rằng đồng cấu hạn chế của $\mathrm{Gal}(N/K)$ lên $\mathrm{Gal}(L/K)$ là liên tục đối với mọi mở rộng con L của N là Galois trên N.

Cho $A$ là một tập con của $\Gamma$ . Nói rằng $A$ là mở có nghĩa là với mỗi $\sigma \in A$ tồn tại $E$ trong $A$ sao cho tập hợp $U_E(\sigma)$ được chứa trong $A$ . Bao đóng $\overline{A}$ của $A$ gồm tất cả các $\sigma \in \Gamma$ sao cho với mọi $E \in A$ tồn tại $\tau \in A$ có cùng hạn chế lên $E$ như $\sigma$ ; trường bất biến của $\overline{A}$ giống với trường bất biến của $A$ .

Cho $\varepsilon$ là phần tử trung hòa của $\Gamma$ và cho $A'$ là tập hợp các mở rộng con của $N$ là Galois và có bậc hữu hạn trên $K$ . Theo Mệnh đề 2 (V, p. 57), tập hợp $A'$ là đồng biên trong $A$ và họ $(U_E(\varepsilon))_{E \in A'}$ do đó là một cơ sở của bộ lọc các lân cận của $\varepsilon$ trong $\Gamma$ . Hơn nữa, với $E \in A'$ , tập hợp $U_E(E)$ là hạt nhân của đồng cấu hạn chế của $\mathrm{Gal}(N/K) = \Gamma$ vào $\mathrm{Gal}(E/K)$ . Vì $\mathrm{Gal}(E/K)$ hữu hạn, suy ra $U_{\Gamma}(\varepsilon)$ là một nhóm con vừa mở vừa đóng, chuẩn tắc và có chỉ số hữu hạn trong $\Gamma$ .

Rõ ràng ta có $U_{\Gamma}(\sigma) = \sigma U_{\Gamma}(\varepsilon) = U_{\Gamma}(\varepsilon) \sigma$ với $\sigma \in \Gamma$ và $E \in A'$ . Vì $U_{\Gamma}(\varepsilon)$ là một nhóm con chuẩn tắc của $\Gamma$ với mọi $E \in A'$ và họ $(U_E(\varepsilon))_{E \in A'}$ là một cơ sở các lân cận tại $\varepsilon$ , tôpô của $\Gamma$ tương thích với cấu trúc nhóm (Gen. Top., III, p. 223). Nói cách khác, ánh xạ $(\sigma, \tau) \mapsto \sigma \tau^{-1}$ của $\Gamma \times \Gamma$ vào $\Gamma$ là liên tục.

Mệnh đề 4

— Cho $N$ là một mở rộng Galois của $K$ . Khi đó nhóm Galois $\Gamma = \mathrm{Gal}(N/K)$ là compact và hoàn toàn không liên thông.

Trích dẫn đến 3

Trích dẫn đến Mệnh đề 1, V § 9, TG I § 11. Tính liên thông, TG I § 9. Các không gian compact và các không gian compact địa phương

Mọi phần tử $\sigma$ của $\Gamma$ có một cơ sở lân cận gồm các tập mở và đóng $U_E(\sigma)$ , do đó $\Gamma$ là hoàn toàn không liên thông (Gen. Top., I, p. 111). Ta có $\{\sigma\} = \bigcap_{E \in \Lambda} U_E(\sigma)$ , do đó $\Gamma$ là tách. Với mỗi $x \in N$ tập hợp các liên hợp $\sigma(x)$ của $x$ , khi $\sigma$ chạy qua $\Gamma$ , là hữu hạn vì $x$ là đại số trên $K$ (V, p. Hệ quả 1); do đó tất cả các phép chiếu của $\Gamma$ lên các không gian nhân tử của $N^N$ đều là các tập hữu hạn, và điều này chỉ ra rằng $\Gamma$ là tương đối compact trong $N^N$ (Gen. Top., I, p. 88). Còn lại là chỉ ra rằng $\Gamma$ là đóng trong $N^N$ . Bây giờ nếu $u$ thuộc bao đóng của $\Gamma$ trong $N^N$ , thì với mỗi cặp điểm $(x, y)$ của $N$ tồn tại $a \in \Gamma$ sao cho $u(x) = \sigma(x), \ u(y) = \sigma(y), \ u(x+y) = \sigma(x+y), \ u(xy) = \sigma(xy)$ , do đó $u(x+y) = u(x) + u(y)$ và $u(xy) = u(x)u(y)$ . Theo cùng một lập luận ta có $u(x) = x$ với mọi $x \in K$ , do đó $u$ là một $K$ -đồng cấu của $N$ vào $N$ ; vì $N$ là đại số trên $K$ , $u$ là một $K$ -tự đẳng cấu của $N$ (V, p. 52, Mệnh đề 1), do đó $u \in T$ .

Cho $N$ là một mở rộng Galois của $K$ và $(N_i)_{i \in I}$ là một họ có hướng tăng của các mở rộng con của $N$ . Giả sử rằng $N_i$ là Galois trên $K$ với mọi $i \in I$ và $N = \bigcup_{i \in I} N_i$ . Với mỗi $i \in I$ , ký hiệu $\Gamma_i$ là nhóm Galois của $N_i$ trên $K$ ; với $i \leq j$ trong $I$ , ta có $N_i \subset N_j$ và đồng cấu hạn chế $\varphi_{ij}$ của $\Gamma_j$ vào $\Gamma_i$ được xác định. Nó liên tục và do đó họ $(\Gamma_i, \varphi_{ij})$ là một hệ ngược của các nhóm tôpô. Hơn nữa, với mỗi $i \in I$ , ký hiệu $\lambda_i$ là đồng cấu hạn chế của $\mathrm{Gal}(N/K)$ vào $\mathrm{Gal}(N_i/K) = \Gamma_i$ ; nó liên tục và ta có $\lambda_i = \varphi_{ij} \circ \lambda_j$ với $i \leq j$ , do đó họ $(\lambda_i)_{i \in I}$ xác định một đồng cấu liên tục $\Lambda$ của $\mathrm{Gal}(N/K)$ vào $\varprojlim \Gamma_i$ .

Mệnh đề 5

— Đồng cấu $\lambda$ của $\mathrm{Gal}(N/K)$ vào $\varprojlim \mathrm{Gal}(N_i/K)$ là một đẳng cấu của các nhóm tôpô.

Vì $\mathrm{Gal}(N/K)$ là compact, $\lambda$ liên tục và nhóm $\varprojlim \mathrm{Gal}(N_i/K)$ là tách được, chỉ cần chứng minh rằng $h$ là song ánh (Gen. Top., I, p. 87, Hệ quả 2). Cho $u = (u_i)_{i \in I}$ là một phần tử của $\varprojlim \mathrm{Gal}(N_i/K)$ ; với mỗi $i \in I$ , $u_i$ là một K-tự đẳng cấu của $N_i$ và $u_i$ là hạn chế của $u_j$ xuống $N_i$ với $i \leq j$ . Vì $N = \bigcup_{i \in I} N_i$ , tồn tại một phần tử duy nhất $\sigma$ của $\mathrm{Gal}(N/K)$ trùng với $u_i$ trên $N_i$ với mọi $i \in I$ . Do đó $\sigma$ là phần tử duy nhất của $\mathrm{Gal}(N/K)$ sao cho $\lambda(u) = u$ , suy ra $\lambda$ là song ánh.

Điều này áp dụng đặc biệt khi ta lấy họ $(N_i)$ là họ của tất cả các mở rộng con Galois hữu hạn của $N$ ; khi đó mỗi nhóm $\mathrm{Gal}(N_i/K)$ là rời rạc và hữu hạn. Nhóm tôpô $\mathrm{Gal}(N/K)$ do đó đẳng cấu với một giới hạn ngược có hướng của các nhóm hữu hạn, được trang bị tôpô rời rạc; đôi khi nhóm này được gọi là một nhóm tôpô profinite.

4. Hạ Galois

Trong mục này ta ký hiệu $N$ là một trường, $\Gamma$ là một nhóm các tự đẳng cấu của $N$ , $e$ là phần tử đơn vị của $\Gamma$ và $K$ là trường các bất biến của $\Gamma$ .

Cho $V$ là một không gian vectơ trên $N$ . Ta nhắc lại (II, p. 317) rằng một cấu trúc K trên $V$ là một không gian con K-vectơ $V_0$ của $V$ sao cho ánh xạ K-tuyến tính $\varphi : N \otimes_K V_0 \to V$ biến $h \otimes x$ thành $\lambda x$ là song ánh. Cho $V_0$ là một cấu trúc K như vậy; với mỗi $\sigma \in \Gamma$ ta đặt $u_\sigma = \varphi \circ (\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}) \circ \varphi^{-1}$ ; khi đó ta có $u_\sigma \left( \sum_{i \in I} \lambda_i e_i \right) = \sum_{i \in I} \sigma(\lambda_i) e_i$ với mọi họ các phần tử $\lambda_i$ của $N$ và $e_i$ của $V_0$ , do đó ta thu được các hệ thức

\begin{align*} u_\sigma(x + y) &= u_\sigma(x) + u_\sigma(y) \\ u_\sigma(\lambda x) &= \sigma(\lambda) u_\sigma(x) \\ u_\sigma \circ u_\tau &= u_{\sigma \tau} \\ u_e &= \mathrm{Id}_V \end{align*}

với

\sigma, \tau

thuộc

\Gamma

x, y

thuộc

V

và

\lambda

thuộc

N

Mệnh đề 6

— a) Cho $V$ là một không gian vectơ trên $N$ có một $K$ -*cấu trúc*. Đối với một vectơ $x \in V$ để hữu tỉ trên $K$ là điều kiện cần và đủ rằng $u_\sigma(x) = x$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ . Đối với một không gian con N-vectơ $W$ của $V$ để hữu tỉ trên $K$ là điều kiện cần và đủ rằng $u_\sigma(W) \subset W$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ .

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến II § 8. Hạn chế trường vô hướng trong không gian vectơ, Định lý 1

b) Cho $V_1$ và $V_2$ là hai không gian vectơ trên $N$ , mỗi không gian có một $K$ -*cấu trúc*. Đối với một ánh xạ tuyến tính $f$ của $V_1$ vào $V_2$ để hữu tỉ trên $K$ là điều kiện cần và đủ rằng $f(u_\sigma(x)) = u_\sigma(f(x))$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ và mọi $x \in V_1$ .

Rõ ràng $K$ là tập hợp các $x \in N$ sao cho $\sigma(xy) = x \sigma(y)$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ và mọi $y \in N$ . Do đó mệnh đề suy ra từ Định lý 1 (II, p. 324).

Hệ quả

— Cho $V_0$ là một không gian vectơ trên $K$ và cho $W$ là một không gian con-N vectơ của $N \otimes_K V_0$ . Giả sử rằng $W$ ổn định dưới các ánh xạ $\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ . Gọi $W_0$ là tập hợp các $x \in V_0$ sao cho $1 \otimes x \in W$ ; khi đó $W_0$ là không gian con-K vectơ duy nhất của $V_0$ sao cho $W = N \otimes_K W_0$ .

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 7

Chỉ cần nhận xét rằng tập hợp các phần tử có dạng $1 \otimes x \ (x \in V_0)$ là một cấu trúc-K trên $N \otimes_K V_0$ mà trên đó ta có $u_\sigma = \sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$ với $\sigma \in \Gamma$ .

Mệnh đề 7

— Cho $V$ là một không gian vectơ trên $N$ , $(u_\sigma)_\sigma$ , r là một họ các ánh xạ của $V$ vào chính nó thỏa mãn (1) đến (4) và $V_0$ là tập hợp các $x \in V$ sao cho $u_\sigma(x) = x$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ .

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 4

Trích dẫn đến Hệ quả, Hệ quả 2, V § 6

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 8, Mệnh đề 9, Bài tập 2, § 19, Mệnh đề 2, LIE IX Appendix 2

a) $V_0$ là một không gian con-K vectơ của $V$ và ánh xạ K-tuyến tính $\varphi$ từ $N \otimes_K V_0$ vào $V$ , biến $\lambda \otimes x$ thành $\lambda x$ , là đơn ánh.

b) Nếu $\Gamma$ hữu hạn, thì $\varphi$ là song ánh và $V_0$ là một cấu trúc-K trên $V$ .

Rõ ràng $V_0$ là một không gian con-K vectơ của $V$ .

Công thức $u_\sigma \circ \varphi = \varphi \circ (\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0})$ cho thấy hạt nhân $W$ của $\varphi$ ổn định dưới các ánh xạ $\sigma \otimes \mathrm{Id}_{V_0}$ ; do Hệ quả của Mệnh đề 6, do đó tồn tại một không gian con $W_0$ của $V_0$ sao cho $W = N \otimes_K W_0$ . Nếu $x$ thuộc $W_0$ thì ta có $x = \varphi(1 \otimes x) = 0$ , suy ra $W_0 = 0$ và do đó $W = 0$ . Điều này chứng minh a).

Giả sử $\Gamma$ là hữu hạn; ta phải chứng minh rằng $\varphi$ là toàn ánh, hay tương đương rằng $V_0$ sinh ra không gian vectơ N $V$ . Do đó, cho $f$ là một dạng N-tuyến tính trên $V$ mà hạn chế của nó lên $V_0$ bằng không. Cho $x \in V$ ; với mọi $A \in N$ phần tử $y, = \sum_{\sigma \in \Gamma} u_\sigma(\lambda x)$ của $V$ rõ ràng thuộc $V_0$ , do đó $f(y_\lambda) = 0$ , nghĩa là,

\sum_{\sigma \in \Gamma} f(u_\sigma(x)) \sigma(A) = 0.

Theo định lý Dedekind (V, p. 27, Hệ quả 2), do đó ta có

f(u_\sigma(x)) = 0

với mỗi

\sigma \in \Gamma

; đặc biệt, lấy

\sigma = \varepsilon

ta được

f(x) = 0

, điều này có nghĩa là

f = 0

. Điều này chứng minh b).

Cho $M$ là một không gian vectơ trên $N$ ; với mỗi $\sigma \in \Gamma$ , cho $M^\sigma$ là không gian vectơ trên $N$ có cùng nhóm cộng cơ sở như $M$ , với phép toán ngoài $(A, x) \mapsto \sigma(\lambda) x$ . Viết $V = \prod_{\sigma \in \Gamma} M^\sigma$ ; nhóm cộng cơ sở của $V$ là nhóm của tất cả các ánh xạ từ $\Gamma$ vào $M$ , với phép toán ngoài được định nghĩa bởi

(\lambda . h)(\sigma) = \sigma(\lambda) h(\sigma) \quad (\lambda \in N, h \in V, \sigma \in \Gamma).

(Tích

\sigma(\lambda) h(\sigma)

được tính trong không gian vectơ

M

.) Hơn nữa, ta định nghĩa trên

N \otimes_K M

một cấu trúc không gian vectơ trên

N

bởi công thức

\lambda \left( \sum_i \mu_i \otimes x_i \right) = \sum_i \lambda \mu_i \otimes x_i

Cuối cùng, ta ký hiệu

\psi

là ánh xạ K-tuyến tính từ

N \otimes_K M

vào

V

được đặc trưng bởi quan hệ

\psi(\lambda \otimes x)(\sigma) = \sigma(\lambda) . x

với

A \in N, x \in M

và

\sigma \in \Gamma

. Rõ ràng

\psi

là N-tuyến tính

Mệnh đề 8

— Ánh xạ N-tuyến tính $\psi$ từ $N \otimes_K M$ vào $V = \prod_{\sigma \in \Gamma} M^\sigma$ là đơn ánh, và là song ánh nếu $\Gamma$ *hữu hạn.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 3

Trích dẫn đến Mệnh đề 7

Được trích dẫn bởi Hệ quả, Nhận xét 1, Mệnh đề 1, LIE IX Appendix 2

Với mọi $a \in \Gamma$ , ta định nghĩa một ánh xạ $u_\sigma$ từ $V$ vào $V$ bởi

(u_\sigma h)(\tau) = h(\tau \sigma)

cho $h \in V$ và $\tau \in \Gamma$ . Việc kiểm tra (1)-(4) là ngay lập tức. Ký hiệu $V$ , tập hợp các $h \in V$ sao cho $u_\sigma(h) = h$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ . Với mỗi $x \in M$ , đặt $\theta(x)$ là ánh xạ hằng từ $\Gamma$ vào $M$ nhận giá trị $x$ ; khi đó $\theta$ là một K-đẳng cấu của $M$ lên $V$ . Nếu ta định nghĩa đồng cấu $\varphi : N \otimes_K V, \to V$ như trên, ta có $\psi = \varphi \circ (\mathrm{Id}_N \otimes \theta)$ và khi đó Mệnh đề 8 suy ra từ Mệnh đề 7.

Hệ quả

— Cho $\psi$ là ánh xạ K-tuyến tính từ $N \otimes_K N$ vào không gian vectơ tích $N^\Gamma$ sao cho $\psi(x \otimes y)\,(a) = \sigma(x)\,y$ với $x,\,y$ thuộc $N$ và $\sigma \in \Gamma$ . Khi đó $\psi$ là đơn ánh và là song ánh khi $\Gamma$ *hữu hạn.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 3

Trích dẫn đến Mệnh đề 8

Được trích dẫn bởi § 10. Các mở rộng Galois, Nhận xét 2, Định lý 3

Đây là trường hợp riêng $M = N$ của Mệnh đề 8.

Nhận xét 1

Cho F là một mở rộng của K và $N$ là một mở rộng con của F, và cho $\Gamma$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của $N$ , mà K là trường bất biến. Mệnh đề 8 suy ra sự tồn tại của một đẳng cấu các K-đại số $0 : N \otimes_F F \to F^\Gamma$ được đặc trưng bởi $\theta(x \otimes y)\,(a) = \sigma(x)\,y$ với $x \in N,\,y \in F$ và $\sigma \in \Gamma$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 8

Nhận xét 2

Ký hiệu K, N và $\Gamma$ có cùng ý nghĩa như trước. Với mỗi số nguyên $n \geqslant 1$ , cho $A_n$ là tích tenxơ của n K-đại số đồng nhất với $N$ ; cho $B_n$ là tập hợp các ánh xạ từ $\Gamma^{n-1}$ vào $N$ . Bằng quy nạp theo $n$ , ta suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 8 sự tồn tại của một đẳng cấu $\varphi_n : A_n \to B_n$ , ánh xạ $x_1 \otimes \ldots \otimes x_n$ thành hàm $(\sigma_1, \ldots, a, ) \quad \sigma_1(x_1) \cdot \sigma_n(x_{n-1})\,x_n$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Hệ quả

5. Đối đồng điều Galois

Cho $N$ là một trường, $\Gamma$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của $N$ và K là trường bất biến của $\Gamma$ . Với mỗi số nguyên $n \geqslant 1$ , ta ký hiệu $\mathbf{GL}(n, N)$ là nhóm các ma trận vuông cấp $n$ với các hệ số trong $N$ và định thức khác không (II; p. 349). Ta cho nhóm $\Gamma$ tác động lên nhóm $\mathbf{GL}(n, N)$ theo quy tắc $\sigma(A) = (\sigma(a_{ij}))$ với $A = (a_{ij})$ .

Mệnh đề 9

— Cho $(U_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ là một họ các phần tử của $\mathbf{GL}(n, N)$ . Để tồn tại $A$ trong $GL(n, N)$ sao cho $U_\sigma = A^{-1}\,a(A)$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ là điều kiện cần và đủ để $U_{\sigma \tau} = U_\sigma \cdot \sigma(U_\tau)$ với $\sigma,\,\tau$ trong $\Gamma$ .

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến § 10. Các mở rộng Galois, Mệnh đề 7

Được trích dẫn bởi Hệ quả 2, Bài tập 5, § 16

Điều kiện là cần: nếu $U_\sigma = A^{-1}\,a(A)$ , thì ta có

U_\sigma \cdot \sigma(U_\tau) = A^{-1}\,\sigma(A)\,\sigma(A^{-1}\,\tau(A)) = A^{-1}\sigma\tau(A) = U_{\sigma \tau}.

Điều kiện là đủ: ta đồng nhất các phần tử của $N^n$ với các ma trận có $n$ hàng và một cột với các hệ số trong $N$ . Ta cho các nhóm $\Gamma$ tác động lên $N^n$ bởi

\sigma(x) = (\sigma(x_i))_{1 \leq i \leq n} \quad \text{với} \quad x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}.

Với mỗi

a \in \Gamma

, ta ký hiệu

u_\sigma

là ánh xạ

x \mapsto U_\sigma \cdot \sigma(x)

của

N^n

vào chính nó. Việc kiểm tra các Công thức (1) đến (3) của V, p. 62 là ngay lập tức. Hơn nữa ta có

u_\varepsilon \circ u_\varepsilon = u_\varepsilon

và vì

u_\varepsilon

là song ánh, ta có

u_\varepsilon = \mathrm{Id}_{N^n}

. Gọi

V_0

là tập hợp các vectơ

x \in N^n

sao cho

u_\sigma(x) = x

với mọi

\sigma \in \Gamma

. Theo Mệnh đề 7 (V, p. 63),

V_0

là một cấu trúc K trên

N^n

; đặc biệt tồn tại trong

V_0

các vectơ

b_1, \ldots, b_n

lập thành một cơ sở của

N^n

trên

N

. Do đó ma trận

B

có các cột

b_1, \ldots, b_n

là khả nghịch và quan hệ

u_\sigma(b_i) = b_i

với

1 \leq i \leq n

tương đương với

U_\sigma \cdot \sigma(B) = B

. Đặt

A = B^{-1}

, ta thu được

U_\sigma = A^{-1} \sigma(A)

với mọi

a \in \Gamma

Hệ quả 1

Cho $(c_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ , , , là một họ các phần tử khác không của $N$ . Để tồn tại $a \neq 0$ trong $N$ sao cho $c, = \sigma(a) \cdot a'$ với mọi $a \in \Gamma$ là điều kiện cần và đủ để $c_{\sigma \tau} = c_\sigma \cdot \sigma(c_\tau)$ với $\sigma, \tau$ trong $\Gamma$ .

Được trích dẫn bởi 2

Được trích dẫn bởi Bổ đề 4, V § 11, Mệnh đề 9, V § 11

Hệ quả 2

Cho $(c_\sigma)_{\sigma \in \Gamma}$ , $\Gamma$ là một họ các phần tử của $N$ . Để $b$ tồn tại trong $N$ sao cho $a, = \sigma(b) - b$ với mọi $a \in \Gamma$ , điều kiện cần và đủ là $a, = a, + \sigma(a_\tau)$ với $a, \tau$ thuộc $\Gamma$ .

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 9

Được trích dẫn bởi Bổ đề 4, V § 11, Mệnh đề 10, V § 11

Ta có $\sigma \tau(b) - b = [\sigma(b) - b]^+ \sigma[\tau(b) - b]$ với mọi $b$ thuộc $N$ và $a, \tau$ thuộc $\Gamma$ , do đó điều kiện là cần thiết.

Ngược lại, giả sử $a, = a, + \sigma(a_\tau)$ với mọi $a$ và $\tau$ thuộc $\Gamma$ . Đặt $U_\sigma = \begin{pmatrix} 1 & a_\sigma \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ với $\sigma \in \Gamma$ ; khi đó ta có $U_{\sigma \tau} = U_\sigma \cdot \sigma(U_\tau)$ với $\sigma, \tau$ thuộc $\Gamma$ ; theo Mệnh đề 9, do đó tồn tại một ma trận $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ có định thức khác không sao cho $\sigma(A) = A U_\sigma$ với mọi $a \in \Gamma$ ; viết quan hệ $\sigma(A) = A U_\sigma$ ta được

\begin{pmatrix} \sigma(x) & \sigma(y) \\ \sigma(z) & \sigma(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & x a_\sigma + y \\ z & z a_\sigma + t \end{pmatrix} \quad (\sigma \in \Gamma).

Đặc biệt,

x

và

z

thuộc

K

và ta có

\sigma(y) = x a_\sigma + y, \quad \sigma(t) = z a_\sigma + t \quad (\sigma \in \Gamma).

Nếu

x \neq 0

thì ta có

a, = \sigma(b) - b

với

b = x^{-1} y

; nếu

z \neq 0

, ta có cùng quan hệ với

b = z^{-1} t

. Bây giờ

x

và

z

không thể đồng thời bằng không vì

xt - yz = \det A \neq 0.

6. Định lý của Artin

Định lý 2 (Artin). — Cho $N$ là một trường, $\Gamma$ là một nhóm các tự đẳng cấu của $N$ và $K$ là trường các bất biến của $\Gamma$ . Cho $V$ là một không gian vectơ con trên K của $N$ có số chiều hữu hạn trên K. Khi đó mọi ánh xạ K-tuyến tính u của V vào N đều là một tổ hợp tuyến tính với các hệ số trong N của các hạn chế trên V của các phần tử của $\Gamma$ .

Cho u là một ánh xạ K-tuyến tính từ V vào N và cho $V_{(N)} = N \otimes_K V$ là không gian vectơ N dẫn xuất từ V bằng mở rộng vô hướng; ký hiệu $\tilde{u}$ là dạng tuyến tính N trên $V_{(N)}$ sao cho $\tilde{u}(x \otimes y) = x \cdot u(y)$ với $x \in N$ và $y \in V$ . Với mỗi $a \in \Gamma$ tồn tại một dạng tuyến tính N h trên $V_{(N)}$ sao cho $h_\sigma(x \otimes y) = x \sigma(y)$ với $x \in N$ và $y \in V$ . Ánh xạ chính tắc của $V_{(N)} = N \otimes_K V$ vào $N \otimes_K N$ là đơn ánh. Khi đó Hệ quả của Mệnh đề 8 (V, p. 64) cho thấy rằng giao của các hạt nhân của các dạng tuyến tính h trên $V_{(N)}$ được rút gọn về 0. Do đó (II, p. 302, Hệ quả 1) tồn tại $a_1, \ldots, \sigma_n$ trong $\Gamma$ và $a_1, \ldots, a_n$ trong $N$ sao cho $\tilde{u} = \sum_{i=1}^n a_i h_{\sigma_i}$ do đó $u(x) = \sum_{i=1}^n a_i \sigma_i(x)$ với mọi $x \in V$ .

Ta trang bị cho tập hợp $N^N$ gồm tất cả các ánh xạ từ N vào N tôpô tích của các tôpô rời rạc của các nhân. Định lý 2 có nghĩa là tập hợp các tổ hợp tuyến tính với các hệ số trong N của các phần tử của $\Gamma$ là trù mật trong tập hợp các ánh xạ K-tuyến tính từ N vào chính nó.

Định lý 3

— Cho N là một trường, $\Gamma$ là một nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của N và K là trường các bất biến của $\Gamma$ . Gọi n là lực lượng của $\Gamma$ . a) Ta có $[N : K] = n$ và N là một mở rộng Galois của K với nhóm Galois $\Gamma$ . b) Cho $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ là các phần tử của $\Gamma$ và $(x_1, \ldots, x_n)$ là một cơ sở của N trên K, khi đó $\det (\sigma_i(x_j)) \neq 0$ . c) Cho u là một ánh xạ K-tuyến tính từ N vào N. Tồn tại duy nhất một họ $(a_\sigma)_\sigma$ các phần tử của N sao cho $u(x) = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma(x)$ với mọi $x \in N$ .

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 7

Trích dẫn đến Hệ quả, Hệ quả 2, V § 6

Được trích dẫn bởi Hệ quả 2, AC V § 2, Định nghĩa 2, Bài tập 18, § 10, Bổ đề 2, Định nghĩa 3, V § 11, Mệnh đề 4, V § 12, Định lý 2, VIII § 16

Ta trang bị cho vành $N \otimes_K N$ cấu trúc đại số N mà phép toán ngoài được cho bởi $\lambda(x \otimes y) = x \otimes \lambda y$ với $\lambda, x, y$ trong N. Khi đó chiều của không gian vectơ N $NO, N$ là $[N : K]$ . Chiều của không gian vectơ tích N $N^\Gamma$ bằng n. Ánh xạ $\psi$ được định nghĩa trong Hệ quả của Mệnh đề 8 (V, p. 64) là một đẳng cấu N của $NO, N$ lên $N^\Gamma$ , do đó $[N : K] = n$ . Gọi A là nhóm các tự đẳng cấu K của N. Ta có $\Gamma \subset A$ , do đó K là trường các bất biến của A, và N là một mở rộng Galois của K. Hơn nữa, cấp của A nhiều nhất bằng $[N : K]$ theo định lý Dedekind (V, p. 27, Hệ quả 2) và vì cấp của $\Gamma$ bằng $[N : K]$ , ta có $\Gamma = A$ . Do đó $\Gamma$ là nhóm Galois của N trên K, và điều này chứng minh a).

Với ký hiệu của b), đặt $f_i = \psi(x_i \otimes 1)$ ; ta có $f_i(\sigma) = \sigma(x_i)$ với $1 \leq i \leq n$ và $\sigma \in \Gamma$ . Vì $\psi$ là một đẳng cấu của các không gian vectơ N, dãy $(f_1, \ldots, f_n)$ là một cơ sở của N trên N, do đó $\det (f_j(\sigma_i)) \neq 0$ , nghĩa là,

\det (\sigma_i(x_j)) \neq 0

Điều này chứng minh b).

Cuối cùng, c) suy ra từ Định lý 2 (V, p. 65), định lý chứng minh sự tồn tại của một họ (a,,), ,, sao cho $u(x) = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma(x)$ (với mọi $x \in N$ ), và từ định lý Dedekind (V, p. 27, Hệ quả 2), định lý chứng minh tính duy nhất của (a,,), , $\Gamma$ .

7. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois

Định lý 4

— Cho N là một mở rộng Galois của K và $\Gamma$ là nhóm Galois của nó. Gọi $\mathscr{K}$ là tập hợp các mở rộng con của N và $\mathscr{G}$ là tập hợp các nhóm con đóng của $\Gamma$ . Với mỗi nhóm con $A \in \mathscr{G}$ , ta ký hiệu $k(\Delta)$ là trường các bất biến của A và với mỗi trường con $E \in \mathscr{K}$ , ta ký hiệu $g(E)$ là nhóm các tự đẳng cấu E của N. Khi đó $A \mapsto k(\Delta)$ là một song ánh của $\mathscr{G}$ lên $\mathscr{K}$ , và $E \mapsto g(E)$ là song ánh ngược.

Được trích dẫn bởi 2

Được trích dẫn bởi § 10. Các mở rộng Galois, Bổ đề 5

A) Quan hệ $E = k(g(E))$ (với $E \in \mathscr{K}$ ) là một hệ quả của bổ đề chính xác hơn sau đây:

Bổ đề 1

Cho E là một mở rộng con của N. Khi đó N là một mở rộng Galois của E và $\mathrm{Gal}(N/E)$ là một nhóm con đóng của $\mathrm{Gal}(N/K)$ với tôpô cảm sinh.

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Hệ quả 2, V § 3

Được trích dẫn bởi § 10. Các mở rộng Galois, Bổ đề 2

Cho $x \in N$ ; đa thức tối tiểu f của x trên E chia trong $E[X]$ đa thức tối tiểu $g$ của x trên K (V, p. 17, Hệ quả 2). Vì N là Galois trên K, đa thức g là một tích trong $N[X]$ của các nhân tử phân biệt bậc 1; do đó f cũng như vậy và N là Galois trên E.

Gọi $\Gamma$ là nhóm Galois của N trên K và A là nhóm Galois của N trên E. Theo định nghĩa, A là nhóm con của $\Gamma$ gồm tất cả các $\sigma$ sao cho $\sigma(x) = x$ với mọi $x \in E$ . Bây giờ, với mỗi $x \in E$ , ánh xạ $\sigma \mapsto \sigma(x)$ từ $\Gamma$ vào không gian rời rạc N là liên tục, do đó D là đóng trong $\Gamma$ . Cho $\sigma \in \Gamma$ ; với $x_1, \ldots, x_n$ thuộc N, gọi $U(x_1, \ldots, x_n)$ là tập hợp tất cả các $\tau \in \Gamma$ sao cho $\tau(x_i) = \sigma(x_i)$ với $1 \leq i \leq n$ ; đặt

V(x_1, \ldots, x_n) = U(x_1, \ldots, x_n) \cap \Delta.

Khi đó họ các tập hợp $U(x_1, \ldots, x_n)$ (tương ứng $V(x_1, \ldots, x_n)$ ) là một cơ sở các lân cận của $\sigma$ trong $\Gamma$ (tương ứng A). Do đó tôpô trên A là tôpô cảm sinh bởi $\Gamma$ .

B) Quan hệ $A = g(k(\Delta))$ (với $A \in g$ ) là một hệ quả của bổ đề chính xác hơn sau đây:

Bổ đề 2

Cho A là một nhóm con của $\Gamma$ . Gọi E là trường các bất biến của A; khi đó nhóm Galois của N trên E là bao đóng của A trong $\Gamma$ .

Trích dẫn đến 4 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Bổ đề 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 2, V § 6, Định lý 3

Được trích dẫn bởi Mệnh đề 5, V § 12

Nhóm Galois của N trên E đóng trong $\Gamma$ (Bổ đề 1) và chứa A, do đó nó chứa bao đóng $\bar{\Delta}$ của A. Cho $\sigma$ là một E-tự đẳng cấu của N và cho $x_1, \ldots, x_n$ thuộc N. Vì N là Galois trên E (Bổ đề 1) nên tồn tại (V, p. 57, Mệnh đề 2) một phần mở rộng con $N_0$ của N, Galois, có bậc hữu hạn trên E và chứa $x_1, \ldots, x_n$ . Cho $A_0$ là ảnh của nhóm con A của $\mathrm{Gal}(N/E)$ qua đồng cấu hạn chế của $\mathrm{Gal}(N/E)$ vào $\mathrm{Gal}(N_0/E)$ . Vì $[N_0 : E]$ là hữu hạn, định lý của Dedekind (V, p. 27, Hệ quả 2) cho thấy $\mathrm{Gal}(N_0/E)$ là hữu hạn. Do đó $A_0$ là hữu hạn, và vì E là trường bất biến của $A_0$ , ta có $\Delta_0 =$

Gal(N_0/E) (V, p. 66, Định lý 3). Đặc biệt, $\Delta_0$ chứa phần hạn chế của $\sigma$ trên $N_0$ . Vậy tồn tại $\tau \in A$ sao cho $\sigma$ và $\tau$ có cùng phần hạn chế trên $N_0$ , do đó $\sigma(x_1) = \tau(x_1), \ldots, \sigma(x_n) = \tau(x_n)$ . Suy ra $\sigma$ là một điểm giới hạn của $A$ trong $\Gamma$ , và do đó $\mathrm{Gal}(N/E) \subset \overline{\Delta}$ .

Hệ quả 1

Cho E và E' là hai trường con của N chứa K; khi đó E $\subset$ E' nếu và chỉ nếu g(E) $\supset$ g(E'). Nếu A và A' là hai nhóm con đóng của $\Gamma$ , thì A $\subset$ A' nếu và chỉ nếu k( $\Delta$ ) $\supset$ k( $\Delta'$ ).

Được trích dẫn bởi 3

Được trích dẫn bởi Hệ quả 2, Hệ quả 5, Hệ quả 1

Vì hai song ánh nghịch đảo $E \rightleftharpoons g(E)$ và $A \rightleftharpoons k(\Delta)$ đều phản đảo ngược theo bao hàm.

Hệ quả 2

Cho $(E_i)_{i \in I}$ là một họ các trường con của N chứa K; đặt $L = \bigcap_{i \in I} E_i$ và $M = K\left( \bigcup_{i \in I} E_i \right)$ . Khi đó g(L) là nhóm con đóng nhỏ nhất chứa $U_{i \in I} g(E_i)$ và ta có $g(M) = \bigcap_{i \in I} g(E_i)$ .

Trích dẫn đến 1 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Hệ quả 1

Được trích dẫn bởi Hệ quả 6

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Hệ quả 1 và mệnh đề thứ hai là ngay lập tức.

Hệ quả 3

Cho i = 1, 2, đặt $E_i$ là một trường con của N chứa K và cho $\Delta_i = g(E_i)$ . Với mọi $\sigma \in \Gamma$ các quan hệ $\sigma(E_1) = E_2$ và $\sigma \Delta_1 \sigma^{-1} = \Delta_2$ là tương đương.

Được trích dẫn bởi 2

Được trích dẫn bởi Hệ quả 4, Mệnh đề 13

Vì ta có $\tau \in g(\sigma(E_1))$ nếu và chỉ nếu $\tau \sigma(x) = \sigma(x)$ , tức là $\sigma^{-1} \tau \sigma(x) = x$ , với mọi $x \in E_1$ ; điều đó có nghĩa là $\sigma^{-1} \tau \sigma \in \Delta_1$ , do đó $g(\sigma(E_1)) = \sigma \Delta_1 \sigma^{-1}$ .

Hệ quả 4

Cho E là một trường con của N chứa K và cho $A = g(E)$ . Để E là Galois trên K thì điều kiện cần và đủ là A phải là một nhóm con chuẩn tắc của $\Gamma$ . Khi điều này xảy ra, đồng cấu hạn chế của $\Gamma$ vào $\mathrm{Gal}(E/K)$ xác định, qua phép qua thương, một đẳng cấu nhóm tôpô của $\Gamma / \Delta$ lên $\mathrm{Gal}(E/K)$ .

Trích dẫn đến 5 · Được trích dẫn bởi 5

Trích dẫn đến Hệ quả 3, Mệnh đề 1, V § 9, Mệnh đề 3, V § 9, Mệnh đề 3, Hệ quả 2, TG I § 9

Được trích dẫn bởi § 10. Các mở rộng Galois, Hệ quả 6, Định nghĩa 1, V § 11, Định nghĩa 3, V § 11, Mệnh đề 1, V § 11

Vì N tách được trên K, điều tương tự cũng đúng với E (V, p. 36, Mệnh đề 1). Do đó E là Galois trên K khi và chỉ khi E là quasi-Galois trên K; điều này cũng có nghĩa là $\sigma(E) = E$ với mọi K-tự đẳng cấu $\sigma$ của N (V, p. 52, Mệnh đề 1 và p. 54, Mệnh đề 3). Theo Hệ quả 3 điều này tương đương với $\sigma \Delta \sigma^{-1} = A$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ .

Đồng cấu hạn chế $\varphi : \mathrm{Gal}(N/K) \to \mathrm{Gal}(E/K)$ là liên tục và toàn ánh (V, p. 60, Mệnh đề 3) và hạt nhân của nó rõ ràng bằng $A = \mathrm{Gal}(N/E)$ . Vì $\Gamma$ là compact, đồng cấu của $\Gamma / \Delta$ lên $\mathrm{Gal}(E/K)$ cảm sinh từ $\varphi$ qua phép chuyển sang thương là một đẳng cấu của các nhóm tôpô (Gen. Top., I, p. 87, Hệ quả 2).

Hệ quả 5

Cho E là một trường con của N chứa K. Để E có bậc hữu hạn trên K thì cần và đủ là g(E) mở trong $\Gamma$ . Khi đó, chỉ số $(\Gamma : g(E))$ là hữu hạn và bằng [E : K].

Trích dẫn đến 5 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến § 10. Các mở rộng Galois, Hệ quả 1, Định lý 2 (Steinitz), V § 4, Mệnh đề 4, V § 6, Mệnh đề 1, V § 9

Được trích dẫn bởi Bổ đề 5, Định lý 6, VIII § 16

Để $g(E)$ mở thì cần và đủ là tồn tại một phần mở rộng con F của N, có bậc hữu hạn trên K, sao cho theo ký hiệu của V, p. 60.

g(E) chứa $U_F(\mathrm{Id}_N) = g(F)$ . Quan hệ $g(E) \supset g(F)$ tương đương với $E \subset F$ theo Hệ quả 1 (V, p. 68), do đó có khẳng định thứ nhất của Hệ quả 5.

Giả sử rằng $[E : K]$ là hữu hạn. Cho $\Omega$ là một bao đóng đại số của $K$ chứa $N$ như một phần mở rộng con (V, p. 23, Định lý 2) và cho $\mathscr{H}$ là tập các $K$ -đồng cấu của $E$ vào $\Omega$ . Mỗi phần tử của $\mathscr{H}$ đều được cảm sinh bởi một $K$ -tự đẳng cấu của $\Omega$ (V, p. 52, Mệnh đề 1), và vì $N$ là quasi-Galois trên $K$ , ánh xạ $\sigma \mapsto \sigma|_E$ từ $\Gamma$ vào $\mathscr{H}$ là toàn ánh. Để $\sigma$ và $\sigma'$ trong $\Gamma$ có cùng hạn chế trên $E$ thì cần và đủ là $\sigma^{-1}\sigma' \in g(E)$ , do đó Card $A? = (\Gamma : g(E))$ . Cuối cùng vì E là một đại số étale trên K, ta có Card $\mathscr{H} = [E : K]$ (V, p. 32, Mệnh đề 4), nên kết luận là $(\Gamma : g(E)) = [E : K]$ .

Hệ quả 6

— Với $i = 1, 2$ cho $E_i$ là một phần mở rộng con của $N$ và $\Gamma_i$ là nhóm Galois của $N$ trên $E_i$ . Các điều kiện sau là tương đương: a) Nhóm $\Gamma$ là tích trực tiếp của các nhóm con $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ . b) Các phần mở rộng $E_1$ và $E_2$ là Galois trên $K$ , ta có $E_1 \cap E_2 = K$ và

K(E_1 \cup E_2) = N .

Trích dẫn đến 4 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Mệnh đề 15, I § 4, Hệ quả 2, Hệ quả 4, Hệ quả 1, TG I § 6

Được trích dẫn bởi Nhận xét, Hệ quả 2

Để $\Gamma$ là tích trực tiếp của các nhóm con $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ , điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa mãn (I, p. 48, Prop. 15): (i) các nhóm con $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ là chuẩn tắc trong $\Gamma$ ; (ii) $\Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \{ \varepsilon \}$ , trong đó $\varepsilon$ là phần tử đơn vị của $\Gamma$ ; (iii) $\Gamma = \Gamma_1 . \Gamma_2$ .

Bây giờ (i) có nghĩa là $E_1$ và $E_2$ là Galois trên $K$ (Hệ quả 4). Theo Hệ quả 2, điều kiện (ii) tương đương với $N = K(E_1 \cup E_2)$ , và cuối cùng nếu (i) và (ii) được thỏa mãn, $\Gamma_1 \Gamma_2$ là nhóm con nhỏ nhất của $\Gamma$ chứa $\Gamma_1 \cup \Gamma_2$ ; nó đóng vì $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ compact và ánh xạ $(a, \tau) \mapsto \sigma \tau$ từ $\Gamma_1 \times \Gamma_2$ vào $\Gamma$ là liên tục (Gen. Top., I, p. 63, Cor. 1). Hệ quả 2 giờ đây cho thấy (iii) tương đương với $E_1 \cap E_2 = K$ , và điều này chứng minh sự tương đương của a) và b).

Nhận xét

Với ký hiệu của Hệ quả 6, giả sử các điều kiện a) và b) được thỏa mãn. Các đồng cấu hạn chế $\varphi_i : \Gamma \to \mathrm{Gal}(E_i/K)$ với $i = 1, 2$ cảm sinh các đẳng cấu nhóm tôpô

\Psi_1 : \Gamma_2 \to \mathrm{Gal}(E_1/K) , \quad \Psi_2 : \Gamma_1 \to \mathrm{Gal}(E_2/K)

Theo a), ta thấy rằng ánh xạ

\sigma \mapsto (\varphi_1(\sigma), \varphi_2(\sigma))

là một đẳng cấu nhóm tôpô từ

\mathrm{Gal}(N/K)

lên

\mathrm{Gal}(E_1/K) \times \mathrm{Gal}(E_2/K)

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Hệ quả 6

8. Đổi trường cơ sở

Cho $N$ là một mở rộng Galois của $K$ và $\Gamma$ là nhóm Galois của $N$ trên $K$ ; hơn nữa, cho $N'$ là một mở rộng Galois của $K'$ với nhóm Galois $\Gamma'$ . Ta sẽ đồng nhất $K$ (tương ứng $K'$ ) với ảnh của nó trong $N$ (tương ứng $N'$ ). Cho $u$ là một đồng cấu của $K$ vào $K'$ và $v$ là một đồng cấu của $N$ vào $N'$ mà hạn chế của nó lên $K$ bằng $u$ (cf.

Hình 1). Cho $\sigma \in \Gamma'$ ; vì $u(K) \subset K'$ , $a$ là một $u(K)$ -tự đẳng cấu của $N'$ ; hơn nữa $v(N)$ là một mở rộng Galois của $u(K)$ , do đó $a$ cảm sinh một $u(K)$ -tự đẳng cấu của $v(N)$ (V, p. 55, Nhận xét 1). Nói cách khác, với mọi $\sigma \in \Gamma'$ tồn tại một phần tử duy nhất $v^*(\sigma)$ của $\Gamma$ sao cho

(8)

v \circ v^*(\sigma) = \sigma \circ v .

![Biểu đồ cho thấy các ánh xạ v và u giữa N, N', K, K'](fig. 1)

Ánh xạ $v^*$ là một đồng cấu từ $\mathrm{Gal}(N'/K')$ vào $\mathrm{Gal}(N/K)$ . Với mọi $x \in N$ , ánh xạ $a \mapsto v^*(o)(x) = v^{-1}(\sigma(v(x)))$ từ $\Gamma'$ vào không gian rời rạc $N$ là liên tục, nên $v^*$ là liên tục.

Ba trường hợp riêng sau đây là quan trọng:

a) Nếu $F$ là một mở rộng Galois của $K$ và $E$ là một mở rộng con của $F$ , ta biết (V, p. 67, Bổ đề 1) rằng $F$ là một mở rộng Galois của $E$ . Hãy áp dụng điều vừa nói vào trường hợp $N = F$ , $K' = E$ , $N' = F$ và $v = \mathrm{Id}_F$ . Khi đó $v^*$ chỉ là đơn ánh chính tắc

j : \mathrm{Gal}(F/E) \to \mathrm{Gal}(F/K) .

Điều này đôi khi được gọi là đồng cấu lạm phát.

b) Giả sử thêm rằng $E$ là Galois trên $K$ . Hãy áp dụng điều vừa nói vào trường hợp $N = E$ , $K' = K$ , $N' = F$ và $v$ là đơn ánh chính tắc của $E$ vào $F$ . Khi đó $v^*$ chỉ là đồng cấu hạn chế

\pi : \mathrm{Gal}(F/K) \to \mathrm{Gal}(E/K)

Ta biết (V, p. 60, Mệnh đề 3) rằng $\pi$ là toàn ánh, với hạt nhân $\mathrm{Gal}(F/E)$ và rằng bằng cách lấy thương, nó xác định một đẳng cấu nhóm tôpô từ $\mathrm{Gal}(F/K)/\mathrm{Gal}(F/E)$ lên $\mathrm{Gal}(E/K)$ (V, p. 68, Hệ quả 4).

c) Giả sử rằng $v^{-1}(K') = K$ và $N' = K'(v(N))$ ; ta hãy chứng minh rằng đồng cấu

v^* : \mathrm{Gal}(N'/K') \to \mathrm{Gal}(N/K) ,

is một đẳng cấu nhóm tôpô, đôi khi gọi là phép tịnh tiến. Vì nhóm $\mathrm{Gal}(N'/K')$ là compact, nhóm $\mathrm{Gal}(N/K)$ là tách biệt và $v^*$ là liên tục; do đó chỉ cần (Gen. Top., I, p. 87, Hệ quả 2) chứng minh rằng $v^*$ là song ánh. Bây giờ mọi phần tử $\sigma$ của hạt nhân của $v^*$ là một tự đẳng cấu của $N'$ cảm sinh đồng nhất trên $K'$ và trên $v(N)$ , suy ra $a = \epsilon$ vì $N' = K'(v(N))$ ; do đó $v^*$ là đơn ánh. Hơn nữa, ảnh của $v^*$ là một nhóm con đóng $A$ của $\mathrm{Gal}(N/K)$

(Gen. Top., I, p. 81, ibid.) và trường bất biến của $A$ bằng $v^{-1}(K') = K$ ; vì vậy ta có $A = \mathrm{Gal}(N/K)$ (V, p. 67, Định lý 4) và do đó $v^*$ là toàn ánh.

Trường hợp tổng quát có thể được quy về các trường hợp trước bằng hợp thành. Trước hết ta nhận thấy rằng $K'(v(N))$ là trường bất biến trong $N'$ của hạt nhân $A$ của $v^*$ ; vì $A$ là một nhóm con chuẩn tắc của $\mathrm{Gal}(N'/K')$ , nên phần mở rộng $K'(v(N))$ của $K'$ là Galois (V, p. 68, Hệ quả 4). Do đó $v^*$ là hợp thành của các đồng cấu

\mathrm{Gal}(N'/K') \to \mathrm{Gal}(K'(u(N))/K') \xrightarrow{\psi} \mathrm{Gal}(N/v^{-1}(K')) \xrightarrow{j} \mathrm{Gal}(N/K);

trong dãy này $\pi$ là đồng cấu hạn chế liên kết với bộ ba $K' \subset K'(u(N)) \subset N'$ , $\psi$ là đẳng cấu dịch chuyển liên kết với bình phương trung tâm của biểu đồ (Hình 2) và $j$ là đồng cấu lạm phát liên kết với bộ ba $K \subset v^{-1}(K') \subset N$ .

Định lý sau cho thông tin chi tiết hơn về cấu trúc của các đẳng cấu dịch chuyển.

!Biểu đồ cho thấy các mở rộng và các phép dịch chuyển

Hình 2

Định lý 5

Cho $N'$ là một mở rộng của $K$ được sinh bởi hai mở rộng con $K'$ và $N$ . Giả sử rằng $N$ là Galois trên $K$ , với nhóm Galois $\Gamma$ và rằng $K' \cap N = K$ . Khi đó mở rộng $N'$ của $K'$ là Galois và đồng cấu chính tắc $\varphi$ của $K' \otimes_K N$ vào $N'$ là một đẳng cấu. Cho $\sigma \in \mathrm{Gal}(N/K)$ và cho $\sigma'$ là phần tử của $\mathrm{Gal}(N'/K')$ tương ứng với nó dưới đẳng cấu dịch chuyển; khi đó ta có $\sigma' \circ \varphi = \varphi \circ (\mathrm{Id}_{K'} \otimes u)$ .

Trích dẫn đến 4 · Được trích dẫn bởi 5

Trích dẫn đến Mệnh đề 10, V § 7, Hệ quả 4, V § 9, Hệ quả 1, V § 3, § 10. Các mở rộng Galois

Được trích dẫn bởi Bài tập 2, § 10, Bài tập 4, § 10, Mệnh đề 13, Hệ quả 2, Mệnh đề 1, V § 17

Chúng ta có $N' = K'(N)$ và $N$ là đại số và tách được trên $K$ ; do đó (V, p. 42, Mệnh đề 10), mở rộng $N'$ của $K'$ là đại số và tách được. Theo Hệ quả 4 của V, p. 54, mở rộng $N'$ của $K'$ là quasi-Galois. Vì vậy mở rộng $N'$ của $K'$ là Galois. Theo c) ở trên, ánh xạ $\sigma \mapsto \sigma|_N$ là một đồng cấu $\lambda$ từ $\mathrm{Gal}(N'/K')$ lên $\mathrm{Gal}(N/K)$ .

Ta có $N = K'[N]$ vì $N$ là đại số trên $K$ (V, p. 18, Hệ quả 1), do đó $\varphi$ là toàn ánh. Nếu $a$ thuộc $\mathrm{Gal}(N/K)$ , ta có

\lambda^{-1}(\sigma) \circ \varphi = \varphi \circ (\mathrm{Id}_{K'} \otimes \sigma).

Do đó hạt nhân của $\varphi$ ổn định dưới các ánh xạ $\mathrm{Id}_{K'} \otimes \sigma$ , nên có dạng $K' \otimes_K N_0$ với $N_0 \subset N$ (V, p. 63, Hệ quả). Với $x$ trong $N_0$ ta có $x = \varphi(1 \otimes x) = 0$ , do đó $N_0 = 0$ và vì thế $\varphi$ là đơn ánh.

Hệ quả 1

Cho $E'$ là một trường con của $N'$ chứa $K'$ . Tồn tại duy nhất một trường con $E$ của $N$ chứa $K$ và sao cho $E' = K'(E)$ . Ta có $E = E' \cap N$ .

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Hệ quả 1

Đặt $E = E' \cap N$ , khi đó $E' \supset K'(E)$ . Bây giờ đặt $\Gamma = \mathrm{Gal}(N/K)$ và $A = \mathrm{Gal}(N/E)$ , và định nghĩa $\Gamma'$ và $A'$ tương tự. Ánh xạ $A : a \mapsto a|_N$ là một đẳng cấu của $\Gamma'$ lên $\Gamma$ và đồng thời của $A'$ lên $A$ ; nói cách khác, $A'$ gồm những $\sigma \in \Gamma'$ sao cho $\lambda(\sigma)$ thuộc $A$ . Nếu $\sigma \in \Gamma'$ để nguyên các phần tử của $K'(E)$ , ta có $\lambda(\sigma) \in A$ , do đó $a \in A'$ và $a$ để nguyên các phần tử của $E'$ ; theo Hệ quả 1 của V, p. 68 ta suy ra $K'(E) \supset E'$ .

Chúng ta đã chứng minh đẳng thức $E' = K'(E)$ , do đó $\varphi^{-1}(E') = K' \otimes_K E$ . Nếu $F$ là một trường con của $N$ chứa $K$ và sao cho $E' = K'(F)$ , ta cũng có $\varphi^{-1}(E') = K' \otimes_K F$ , do đó $F = E$ .

Hệ quả 2

Cho $N$ là một mở rộng Galois của $K$ . Giả sử nhóm Galois $\Gamma$ của $N$ trên $K$ là tích trực tiếp của hai nhóm con đóng $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ và ký hiệu $E_i$ là trường các bất biến của $\Gamma_i$ với $i = 1, 2$ . Khi đó đồng cấu chính tắc của $E_1 \otimes_K E_2$ vào $N$ là một đẳng cấu.

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến Hệ quả 6, Định lý 5

Ta có $E_1 \cap E_2 = K$ và $N = K(E_1 \cup E_2)$ theo Hệ quả 6 (V, p. 69), và do đó chỉ cần áp dụng Định lý 5.

Nhận xét

Cho $K$ và $K'$ là hai trường và $u$ là một đồng cấu của $K$ vào $K'$ . Cho $K_s$ (resp. $K'_s$ ) là một bao đóng tách được (V, p. 45, Prop. 14) của $K$ (resp. $K'$ ) và $\Pi$ (resp. $\Pi'$ ) là nhóm Galois của $K_s$ trên $K$ (resp. $K'_s$ trên $K'$ ). Vì $K_s$ là một mở rộng đại số tách được của $K$ và mở rộng $(K'_s, u)$ của $K$ là đóng tách được, tồn tại (V, p. 45, Cor.) một đồng cấu $v$ của $K_s$ vào $K'_s$ kéo dài $u$ . Từ $v$ ta thu được một đồng cấu liên tục $v^*$ của $\Pi'$ vào $\Pi$ . Cho $v_1$ là một mở rộng khác của $u$ ; vì $K_s$ là một mở rộng quasi-Galois của $K$ , tồn tại một phần tử $a_s$ của $\Pi$ sao cho $v_1 = v \circ a_s$ . Ta kết luận rằng $v_1^*(\tau) = \sigma_0^{-1} v^*(\tau) \sigma_0$ với mọi $\tau \in \Pi$ .

Trích dẫn đến 2

Trích dẫn đến V § 7. Mở rộng đại số tách được, Mệnh đề 14, V § 7

9. Định lý cơ sở chuẩn

Cho $N$ là một mở rộng Galois của $K$ , với nhóm Galois $\Gamma$ . Ta đồng nhất $\Gamma$ với cơ sở chính tắc của đại số nhóm $K^{(\Gamma)}$ (III, p. 446); khi đó $N$ có thể được xem như một $K^{(\Gamma)}$ -môđun trái (III, p. 447, Ví dụ), do đó

u \cdot x = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma(x) \quad \text{với} \quad x \in N \quad \text{và} \quad u = \sum_{\sigma \in \Gamma} a_\sigma \sigma \quad \text{trong} \quad K^{(\Gamma)}.

Nếu $N$ có bậc hữu hạn trên $K$ , thì nhóm $\Gamma$ là hữu hạn theo định lý của Dedekind (V, p. 27, Hệ quả 2) và ta có thể định nghĩa phần tử $t = \sum_{\sigma \in \Gamma} a$ trong $K^{(\Gamma)}$ ; khi đó ta có

\mathrm{Tr}_{N/K}(x) = \sum_{\sigma \in \Gamma} \sigma(x),

nghĩa là, $\mathrm{Tr}_{N/K}(x) = t \cdot x$ với mọi $x \in N$ .

Từ nay, hãy giả sử rằng $N$ có bậc hữu hạn trên $K$ . Cho $x \in N$ , để $\{x\}$ là một cơ sở của $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ -môđun $N$ thì cần và đủ rằng họ $(\sigma(x))_{\sigma \in \Gamma}$ là một cơ sở của $N$ trên $K$ . Một cơ sở như thế được gọi là một cơ sở chuẩn của $N$ trên $K$ .

Định lý 6

Cho $N$ là một mở rộng Galois có bậc hữu hạn trên $K$ và cho $\Gamma$ là nhóm Galois của $N$ trên $K$ . Khi đó tồn tại một cơ sở chuẩn của $N$ trên $K$ ; nói cách khác, môđun $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ của $N$ là tự do hạng 1.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 3

Trích dẫn đến V § 2. Mở rộng, § 10. Các mở rộng Galois

Được trích dẫn bởi Bài tập 10, § 2, Nhận xét 3, VIII § 16, Định lý 2, LIE V § 5

Ta sẽ đưa ra hai chứng minh cho mệnh đề này. Chứng minh thứ nhất dùng bổ đề sau đây, bổ đề này sẽ được chứng minh ở Chương VIII (§ 2, No. 5).

\* Bổ đề 3. — Cho $A$ là một K-đại số, $M_1$ và $M_2$ là hai A-môđun có hạng hữu hạn trên $K$ và giả sử rằng tồn tại một mở rộng $L$ của $K$ sao cho các môđun $L \otimes_K M_1$ và $L \otimes_K M_2$ trên vành $L \otimes_K A$ là đẳng cấu. Khi đó các A-môđun $M_1$ và $M_2$ đẳng cấu.

Ta sẽ áp dụng Bổ đề 3 trong trường hợp $A = \mathbf{K}^{(\Gamma)}$ , $M_1 = N$ , $M_2 = A$ , và $L = N$ . Theo Hệ quả của V, p. 64 tồn tại một K-đẳng cấu $\varphi$ của $N \otimes_K N$ lên $N \otimes_K \mathbf{K}^{(\Gamma)}$ gửi $x \otimes y$ thành $\sum x u^1(y) \otimes \sigma$ . Rõ ràng rằng $\varphi$ là một đẳng cấu của các $N \otimes_K \mathbf{K}^{(\Gamma)}$ -môđun, nên định lý suy ra từ Bổ đề 3.

Cho chứng minh thứ hai ta sẽ dùng mệnh đề sau:

Mệnh đề 10

Cho $x \in N$ , khi đó để $\{x\}$ lập thành một cơ sở của $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ -môđun $N$ thì cần và đủ là $\det(\sigma \tau(x))_{\sigma, \tau \in \Gamma} \neq 0$ .

Trích dẫn đến 3

Trích dẫn đến Mệnh đề 14, II § 7, Định lý 2 (Nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức đại số), IV § 2, IV § 5. Tenxơ đối xứng và các ánh xạ đa thức

Vì $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ và $N$ có cùng chiều trên $K$ , nói rằng $\{x\}$ là một cơ sở của $N$ trên $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ nghĩa là ánh xạ $a \mapsto ax$ từ $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ vào $N$ là đơn ánh. Điều này lại có nghĩa là ánh xạ $b \mapsto b(1 \otimes x)$ từ $N \otimes_K \mathbf{K}^{(\Gamma)}$ vào $N \otimes_K N$ là đơn ánh (II, p. 306, Mệnh đề 14). Bây giờ có một đẳng cấu của các $N \otimes_K \mathbf{K}^{(\Gamma)}$ -môđun từ $N \otimes_K N$ lên $N \otimes_K \mathbf{K}^{(\Gamma)}$ gửi $1 \otimes x$ thành $\sum \sigma^{-1}(x) \otimes \sigma$ . Suy ra rằng $\{x\}$ là một cơ sở của $N$ trên $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ khi và chỉ khi, với mọi họ phần tử khác không $(n_\tau)$ của $N$ ta có $\left( \sum n_\tau \otimes \tau \right) \left( \sum \sigma^{-1}(x) \otimes \sigma \right) \neq 0$ . Nhưng hệ thức cuối cùng này có nghĩa là tồn tại $\sigma \in \Gamma$ sao cho $\sum n_\tau \sigma^{-1}(x) \neq 0$ , do đó mệnh đề.

\* A) Giả sử rằng $K$ là vô hạn; ánh xạ $x \mapsto \det(\sigma \tau(x))$ của $N$ vào $N$ là một ánh xạ đa thức trên $K$ (IV, p. 54). Bằng cách mở rộng vô hướng từ $K$ sang $N$ , ta thu được một ánh xạ tương ứng cho không gian vectơ trên $N$ $N \otimes_K N$ và ta vừa thấy rằng ánh xạ sau không đồng nhất bằng 0 (vì $N \otimes_K N$ là tự do hạng 1 trên $N \otimes_K \mathbf{K}^{(\Gamma)}$ ). Vậy tồn tại $x \in N$ sao cho $\det(\sigma \tau(x)) \neq 0$ (IV, p. 18, Định lý 2); nói chung hơn, từ cùng tài liệu tham khảo này ta có:

Mệnh đề 11

— Giả sử K là vô hạn và cho P : N → K là một ánh xạ đa thức không đồng nhất bằng 0 trên K. Tồn tại x ∈ N sao cho P(x) ≠ 0 và {x} là một cơ sở của N trên $\mathbf{K}^{(\Gamma)}$ .

B) Giả sử K là hữu hạn. Theo Mệnh đề 4 (V, p. 95) $^1$ mọi mở rộng có bậc hữu hạn trên K đều có một nhóm Galois cyclic. Vì vậy nói chung hơn, ta xét trường hợp mà nhóm $\Gamma$ là cyclic cấp n; ta ký hiệu $\gamma$ là một phần tử sinh của $\Gamma$ .

Bổ đề sau là một trường hợp riêng của các kết quả tổng quát hơn được chứng minh trong Chương VII. Vành $A$ hoặc là vành $\mathbf{Z}$ của các số nguyên hoặc là vành $K[X]$ của các đa thức trên trường $K$ .

Bổ đề 4

Cho M là một A-môđun xoắn được sinh bởi một số hữu hạn phần tử $x_1, ..., x_h$ ; khi đó tồn tại một phần tử x của M mà linh hóa tử (II, p. 219) của nó bằng linh hóa tử của M.

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến II § 1. Môđun, I § 4. Nhóm và nhóm có toán tử

Được trích dẫn bởi Bổ đề 1, V § 11

Trong cả hai trường hợp, $A$ là một miền nguyên và mọi iđêan của $A$ đều chính. Khi $A = \mathbf{Z}$ (resp. $A = K[X]$ ), ta ký hiệu bởi $\mathscr{P}$ tập hợp các số nguyên tố (resp. tập hợp các đa thức monic bất khả quy trong $K[X]$ ). Với mỗi phần tử $a \neq 0$ của $A$ khi đó tồn tại một phần tử khả nghịch $u$ của $A$ và một họ $(v_p(a))_{p \in \mathscr{P}}$ , có giá hữu hạn, của các số nguyên dương sao cho $a = u \prod_{p \in \mathscr{P}} p^{v_p(a)}$ và $u$ cùng các số nguyên $v_p(a)$ được xác định duy nhất (I, p. 51 và IV, p. 13, Mệnh đề 13).

Cho $a_i$ là linh hóa tử của $x_i$ , (với $1 \leq i \leq h$ ) và $a$ là linh hóa tử của M; cho $a_1, ..., a_h, a$ là các phần tử khác 0 của $A$ sao cho $a_i = Aa_i$ , và $a = Aa$ ; vì $a = a_1 \cap ... \cap a_h$ , suy ra từ điều vừa nói rằng

v_p(a) = \sup_{1 \leq i \leq h} v_p(a_i) \quad \text{cho mọi } p \in \mathscr{P}.

Ta viết $a$ dưới dạng $up_1^{n(1)} ... p_r^{n(r)}$ , với $p_1, ..., p_r$ phân biệt trong $\mathscr{P}$ , $n(1) > 0, ..., n(r) > 0$ và $u$ là một phần tử khả nghịch của $A$ . Cho $j = 1, ..., r$ ; theo (10) tồn tại một số nguyên $c(j)$ sao cho $1 \leq c(j) \leq h$ và $v_{p_j}(a_{c(j)}) = n(j)$ ; tồn tại $b_j$ trong $A$ sao cho $a_{c(j)} = p_j^{n(j)} b_j$ và phần tử $y_j = b_j x_{c(j)}$ có linh hóa tử là iđêan $Ap_j^{n(j)}$ .

Ta sẽ chứng minh rằng linh hóa tử b của $y = y_1 + ... + y_r$ bằng linh hóa tử a của M. Dù sao ta cũng có $a \subset b$ , nên b có dạng $Ap_1^{m(1)} ... p_r^{m(r)}$ với $0 \leq m(j) \leq n(j)$ cho $1 \leq j \leq r$ . Nếu ta có $a \neq b$ , thì sẽ tồn tại một số nguyên j sao cho $1 \leq j \leq r$ và $m(j) < n(j)$ , và do đó $d_j = a/p_j$ sẽ triệt tiêu $y$ . Nay ta có $d_j y_k = 0$ với $k \neq j$ , do đó suy ra $d_j y_j = 0$ ; nhưng linh hóa tử của $y_j$ là $Ap_j^{m(j)}$ và $d_j$ không phải là một bội của $p_j^{m(j)}$ . Vậy giả thiết $a \neq b$ là vô lý.

$^1$ Người đọc có thể dễ dàng tự thuyết phục rằng định lý cơ sở chuẩn không được dùng ở đâu trước chứng minh của mệnh đề đó.

Ta sẽ áp dụng Bổ đề 4 cho trường hợp $A$ là vành đa thức $K[X]$ và $M$ là nhóm Abel $N$ với phép toán ngoài được xác định bởi $a \cdot x = \sum_{k=0}^m c_k \gamma^k(x)$ với $a = \sum_{k=0}^\infty c_k X^k$ trong $K[X]$ và $x \in N$ . Gọi $a$ là linh hóa tử của $M$ , khi đó $\gamma^n = 1$ , do đó đa thức $X^n - 1$ thuộc $a$ . Lấy $F \in a$ ; theo IV, p. 11, Hệ quả, tồn tại các phần tử $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$ của $K$ và $G \in K[X]$ sao cho

F(X) = c_0 + c_1 X + \cdots + c_{n-1} X^{n-1} + (X^n - 1) G(X).

Vậy ta có $c_0 + c_1 \gamma + \ldots + c_{n-1} \gamma^{n-1} = 0$ trong $\operatorname{Hom}_K(N, N)$ và vì các tự đẳng cấu $1, \gamma, \gamma^2, \ldots, \gamma^{n-1}$ của $N$ là phân biệt, định lý của Dedekind (V, p. 27, Hệ quả 2) suy ra rằng $c_0 = c_1 = \ldots = c_{n-1} = 0$ . Cuối cùng, ta có

F(X) = (X^n - 1) G(X), \quad \text{tức là, } a = (X^n - 1) K[X].

Theo Bổ đề 4 tồn tại một phần tử $x$ của $N$ có linh hóa tử trong $K[X]$ bằng $(X^n - 1) K[X]$ . Vì các đơn thức $1, X, \ldots, X^{n-1}$ lập thành một cơ sở của một không gian con vectơ của $K[X]$ bổ sung cho $(X^n - 1) K[X]$ (IV, p. 11, Hệ quả), nên các phần tử $x, \gamma(x), \ldots, \gamma^{n-1}(x)$ của $N$ là độc lập tuyến tính trên $K$ . Vì $[N : K] = n$ (V, p. 66, Định lý 3), nên dãy $(x, \gamma(x), \ldots, \gamma^{n-1}(x))$ do đó là một cơ sở chuẩn của $N$ trên $K$ .

10. Các $\Gamma$ -tập hợp hữu hạn và các đại số etale

Cho $K_s$ là một bao đóng tách được của $K$ (V, p. 45, Mệnh đề 14) và $\Gamma$ là nhóm Galois của $K$ , trên $K$ . Ta hiểu một $\Gamma$ -*tập hợp* là một tập hợp $X$ với một tác động $(\sigma, x) \mapsto \sigma x$ của nhóm $\Gamma$ sao cho nhóm ổn định của mỗi điểm của $X$ là một nhóm con mở của $\Gamma$ . Điều đó cũng tương đương với việc nói rằng ánh xạ $(\sigma, x) \mapsto \sigma x$ của $\Gamma \times X$ vào $X$ là liên tục khi $X$ được trang bị tôpô rời rạc.

Cho $X$ là một $\Gamma$ -tập hợp hữu hạn. Ta định nghĩa một tác động của $\Gamma$ lên đại số trên $K$ $K_s^X$ gồm các ánh xạ của $X$ vào $K_s$ bởi công thức

u_\sigma f(x) = \sigma(f(\sigma^{-1}x))

với $\pi \in \Gamma, f \in K_s^X$ và $x \in X$ . Gọi $\Theta(X)$ là tập các phần tử bất biến của $\Gamma$ trong $K_s^X$ ; đây là đại số con trên $K$ của $K_s^X$ gồm các ánh xạ $f : X \to K_s$ sao cho $f(\sigma x) = \sigma(f(x))$ với $\sigma \in \Gamma$ và $x \in X$ .

Bổ đề 5

Cho $X$ là một $\Gamma$ -tập hợp hữu hạn và cho $x_1, \ldots, x_n$ là các điểm của $X$ sao cho các quỹ đạo $\Gamma x_1, \ldots, \Gamma x_n$ tạo thành một phân hoạch của $X$ . Với $1 \leq i \leq n$ cho $\Delta_i$ là nhóm ổn định của $x_i$ trong $\Gamma$ và cho $L_i$ là trường bất biến của $A_i$ . Khi đó $L_1, \ldots, L_n$ là các mở rộng tách được bậc hữu hạn của $K$ , và ánh xạ $f \mapsto (f(x_1), \ldots, f(x_n))$ là một đẳng cấu đại số trên $K$ từ $\Theta(X)$ lên $L_1 \times \ldots \times L_n$ .

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 1

Trích dẫn đến Hệ quả 5, Định lý 4

Được trích dẫn bởi Nhận xét 6, VIII § 16

Theo giả thiết, các nhóm con $A_i, \ldots, A_n$ của $\Gamma$ là mở và Hệ quả 5 của V, p. 68, cho thấy rằng các mở rộng con $L_1, \ldots, L_n$ của $K$ đều có bậc hữu hạn trên $K$ . Rõ ràng chúng là tách được; bây giờ mệnh đề cuối cùng của Bổ đề 5 suy ra ngay lập tức.

Từ Bổ đề 5 và Định lý 4 (V, p. 34f.) ta thu được ngay lập tức kết quả sau.

Mệnh đề 12

— Với mọi $\Gamma$ -tập hợp hữu hạn $X$ đại số $\Theta(X)$ là êtan trên $K$ , có bậc bằng lực lượng của $X$ . Hơn nữa, mọi đại số êtan trên $K$ đều đẳng cấu với một đại số có dạng $\Theta(X)$ .

Được trích dẫn bởi 1

Được trích dẫn bởi Nhận xét 6, VIII § 16

Nhận xét

a) Dễ dàng chứng minh rằng với mọi đồng cấu đại số trên $K$ $\varphi$ từ $\Theta(X)$ vào $K$ , tồn tại một phần tử duy nhất $x$ của $X$ sao cho $\varphi(f) = f(x)$ với mọi $f \in \Theta(X)$ .

2) Cho $X$ và $Y$ là hai $\Gamma$ -tập hợp hữu hạn. Cho $\mathfrak{T}_\Gamma(X, Y)$ là tập hợp các ánh xạ $u$ từ $X$ vào $Y$ sao cho $u(\sigma x) = \sigma u(x)$ với mọi $\sigma \in \Gamma$ và mọi $x \in X$ . Với $u \in \mathfrak{T}_\Gamma(X, Y)$ ta định nghĩa một đồng cấu đại số trên $K$ $u^*: \Theta(Y) \to \Theta(X)$ bởi $u^*(f) = f \circ u$ . Với mọi đồng cấu $\Psi$ từ $\Theta(Y)$ vào $\Theta(X)$ tồn tại một phần tử duy nhất $u$ của $\mathfrak{T}_\Gamma(X, Y)$ sao cho $\Psi = u^*$ .

11. Cấu trúc của các mở rộng quasi-Galois

Mệnh đề 13

— Cho $N$ là một mở rộng quasi-Galois của $K$ . Ký hiệu $N_r$ là trường bất biến của nhóm tất cả các $K$ -tự đẳng cấu của $N$ và ký hiệu $N_s$ là bao đóng đại số tách được tương đối của $K$ trong $N$ ( $V$ , p. 44). Khi đó:

Trích dẫn đến 2 · Được trích dẫn bởi 2

Trích dẫn đến Hệ quả 3, Định lý 5

Được trích dẫn bởi Bài tập 20, § 10, Mệnh đề 1, V § 17

a) $N_r$ là bao đóng $p$ -căn tương đối của $K$ trong $N$ ( $V$ , p. 25).

b) $N$ , là một mở rộng Galois của $K$ và mọi $K$ -tự đẳng cấu của $N_s$ đều mở rộng một cách duy nhất thành một $N_r$ -tự đẳng cấu của $N$ .

c) Các trường $N_r$ và $N$ , rời tuyến tính trên $K$ và ta có $N = K[N, \cup N_s]$ ; nói cách khác, đồng cấu chính tắc từ $N_r \otimes_K N$ , vào $N$ là một đẳng cấu.

Cho $\Omega$ là một bao đóng đại số của $K$ chứa $N$ như một mở rộng con ( $V$ , p. 23, Định lý 2). Mọi $K$ -tự đẳng cấu của $\Omega$ đều cảm sinh ra một tự đẳng cấu của $N$ vì $N$ là quasi-Galois. Do đó mọi phần tử của $N_r$ đều bất biến dưới nhóm các $K$ -tự đẳng cấu của $\Omega$ , suy ra $p$ -căn trên $K$ ( $V$ , p. 53, Hệ quả 3). Ngược lại mọi phần tử của $N$ mà là $p$ -căn trên $K$ đều rõ ràng bất biến dưới mọi $K$ -tự đẳng cấu của $N$ và do đó thuộc $N_r$ . Điều này chứng minh a).

Every $K$ -tự đẳng cấu của $\Omega$ đưa $N$ vào $N$ , do đó $N_r$ vào $N_r$ , nên $N_r$ là một mở rộng quasi-Galois của $K$ ( $V$ , p. 54, Mệnh đề 3). Suy ra $N_s$ là một mở rộng Galois của $K$ . Mọi phần tử của $N_r \cap N$ , là đại số tách được và $p$ -căn trên $K$ , nên thuộc $K$ ( $V$ , p. Hệ quả 3); vì vậy ta có $K_r \cap K_s = K$ . Bây giờ $N$ là $p$ -căn trên $N_r$ ( $V$ , p. 44, Mệnh đề 13) và đại số tách được trên $N_r$ ( $V$ , p. 56, Định lý 1) nên vừa $p$ -căn vừa tách được trên $K(N_r \cup N_s)$ . Do đó ta có $N = K(N_r \cup N_s)$ ( $V$ , p. 39, Hệ quả 3) và các mệnh đề b), c) suy ra từ Định lý 5 ( $V$ , p. 71).

Hệ quả

— Cho $p$ là số mũ đặc số của $K$ , $\overline{K}$ là một bao đóng đại số của $K$ , $K_s$ , là bao đóng tách được tương đối của $K$ trong $\overline{K}$ và $K^{p^{-\infty}}$ là bao đóng hoàn hảo của $K$ . Khi đó đồng cấu chính tắc của $K^{p^\infty} \otimes K_s$ vào $\overline{K}$ là một đẳng cấu.

Nhận xét

Cho $R$ (tương ứng $S$ ) là một mở rộng $p$ -căn (tương ứng đại số tách được) của $K$ . Khi đó đại số $R \otimes_K S$ là một trường : vì $R$ (tương ứng $S$ ) đẳng cấu với một mở rộng con của $K^{p^\infty}$ (tương ứng $K_s$ ) và chỉ cần áp dụng hệ quả trên và Mệnh đề 1 của $V$ , p. 17.

Trích dẫn đến 1

Trích dẫn đến Mệnh đề 1

Bài tập

Xem các bài tập của § 10.