Bài tập 10, § 10

Cho K là một trường hoàn hảo sao cho với mọi số nguyên $n > 1$ đều tồn tại một mở rộng Galois N của K sao cho $\mathrm{Gal}(N/K)$ đẳng cấu với nhóm phản xứng $\mathfrak{A}_n$; ví dụ, với mọi trường k có đặc số 0, trường $K = k(X_e)_{e \in \mathbf{N}}$ các phân thức hữu tỉ theo vô số ẩn có tính chất này (V, p. 59, Ví dụ 5). a) Cho A là một tập hợp hữu hạn các số nguyên $> 1$ và cho $\Omega$ là một bao đóng đại số của K. Một phần tử $x \in \Omega$ được gọi là A-dựng được nếu tồn tại một dãy tăng $K = E_0 \subset E_1 \subset \ldots \subset E_r \subset \Omega$ các mở rộng của K sao cho mỗi bậc $[E_j : E_{j-1}]$ đều thuộc A với $1 \leq j \leq r$ và $x \in E_r$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một phần tử cực đại L trong tập hợp các mở rộng con $E \subset \Omega$ sao cho mỗi $x \in E$ đều là A-dựng được. Với mỗi $x \notin L$, hãy chỉ ra rằng bậc $[L(x) : L]$ thuộc $N - A$. b) Cho a là phần tử lớn nhất của A và cho $n$ là một số nguyên sao cho $n \geq \max(a + 1, 5)$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một mở rộng M của L sao cho $[M : L] = n$. (Trước hết hãy nhận xét rằng tồn tại một đa thức bất khả quy $f \in K[K]$ bậc $n$ sao cho nếu N là trường phân rã của f thì $\mathrm{Gal}(N/K)$ đẳng cấu với $\mathfrak{A}_n$; cho $y \in \Omega$ là một nghiệm của f trong $\Omega$ và đặt $E = K(y)$. Hãy chỉ ra rằng tất yếu có $E \cap L = K$ và do đó $L(E)$ là trường cần tìm. Lập luận bằng phản chứng, lưu ý rằng các phần tử của $E \cap L$ là A-dựng được và quan hệ $E \cap L \neq K$ sẽ kéo theo sự tồn tại của một nhóm con chuẩn tắc $\Gamma$ của $\mathfrak{A}_n$ sao cho $1 < (\mathfrak{A}_n : \Gamma) < n$, điều này mâu thuẫn với tính đơn của $\mathfrak{A}_n$ (I, p. 143, Ex. 16).)