Exercice 10, § 10

Soit K un corps parfait tel que, pour tout entier $n > 1$, il existe une extension galoisienne N de K telle que Gal(N/K) soit isomorphe au groupe alterné $\mathfrak{A}_n$; par exemple, pour tout corps k de caractéristique 0, le corps $K = k(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$ des fractions rationnelles à une infinité d’indéterminées possède cette propriété (V, p. 57, exemple 5). a) Soit A un ensemble fini d’entiers $> 1$, et soit $\Omega$ une clôture algébrique de K. On dit qu’un élément $x \in \Omega$ est A-constructible s’il existe une suite croissante $K = E_0 \subset E_1 \subset ... \subset E_r \subset \Omega$ d’extensions de K telles que chacun des degrés $[E_j : E_{j-1}]$ appartienne à A pour $1 \leq j \leq r$ et que $x \in E_r$. Montrer qu’il existe un élément maximal L dans l’ensemble des sous-extensions

E ⊂ Ω telles que tout x ∈ E soit A-constructible. Pour tout x ∉ L, montrer que le degré [L(x) : L] appartient à N − A.

b) Soit a le plus grand élément de A, et soit n un entier tel que n ≥ max(a + 1, 5). Montrer qu’il existe une extension M de L telle que [M : L] = n. (Observer d’abord qu’il existe un polynôme irréductible f ∈ K[X] de degré n tel que, si N est le corps de décomposition de f, Gal(N/K) soit isomorphe à $\mathfrak{A}_n$; soit y ∈ Ω une racine de f dans Ω et soit E = K(y). Montrer que l’on a nécessairement E ∩ L = K et par suite que L(E) répond à la question. Pour cela, raisonner par l’absurde en notant que les éléments de E ∩ L sont A-constructibles, et que la relation E ∩ L ≠ K entraînerait l’existence d’un sous-groupe distingué Γ de $\mathfrak{A}_n$ tel que 1 < ($\mathfrak{A}_n : \Gamma$) < n, ce qui contredit la simplicité de $\mathfrak{A}_n$ (I, p. 131, exerc. 16).)