Bài tập 18, § 10

Cho K là một trường và F là trường các phân thức hữu tỉ K(T). Nhóm GL₂(K) tác động trên F theo luật (yf)(T) = f $\left( \frac{aT + b}{cT + d} \right)$, với y = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ∈ GL₂(K) và f ∈ F. Tâm K* . I của GL₂(K) tác động tầm thường, do đó ta thu được, bằng cách chuyển sang thương, một đồng cấu từ PGL₂(K) = GL₂(K)/K* . I vào nhóm tự đẳng cấu của mở rộng F của K. Đồng cấu này là song ánh (V, p. 148, Ex. 11). a) Cho H là một nhóm con của PGL₂(K) cấp hữu hạn h, và cho E là trường bất biến của H, sao cho F = E(T) là một mở rộng Galois của E với nhóm Galois H (V, p. 66, Th. 3). Đặt

là đa thức tối tiểu của T trên E. Với mỗi i sao cho 0 ≤ i ≤ h, hoặc S_i(T) ∈ K, hoặc E = K(S_i(T)). (Dùng Ex. 11, a) của V, p. 157.) b) Với mỗi s ∈ H, cho $\begin{pmatrix} a_s & b_s \\ c_s & d_s \end{pmatrix}$ là một đại diện trong GL₂(K) và cho H₀ là nhóm con của H gồm những s mà cₛ = 0; đặt h₀ = Card H₀ và đặt R^H(T) = S_{h₀}(T). Hãy chứng minh rằng E = K(R^H(T)) và rằng R^H(T) = P(T)/Q(T)^{h₀} trong đó P là một đa thức bậc h và Q(T) = $\prod_s (c_s T + d_s)$ trong đó s chạy qua một hệ đại diện của các lớp kề H₀s khác H₀; do đó bậc của Q là (h/h₀) − 1. c) Giả sử rằng K* chứa một nhóm con μₙ cấp hữu hạn n. Cho C, là ảnh trong PGL₂(K) của nhóm con của GL₂(K) gồm các ma trận $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, a ∈ μₙ. Khi đó C, (X) = Xⁿ − Tⁿ và R^{Cₙ}(T) = (−1)^{n+1} Tⁿ. d) Cho w là phần tử của PGL₂(K) được biểu diễn bởi $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Khi đó w² = 1 và wsw⁻¹ = s⁻¹ nếu s được biểu diễn bởi một ma trận đường chéo. Vậy nhóm con Dₙ của PGL₂(K) sinh bởi Cₙ và w có cấp 2n. Ta có Dₙ(X) = (Xⁿ − Tⁿ) $\left( X^n - \left( \frac{1}{T} \right)^n \right)$ = X^{2n} + (−1) R^{Dₙ}(T) + 1 trong đó R^{Dₙ}(T) = − ((−T)ⁿ + (−T)⁻ⁿ).

e) Cho S là nhóm cấp 3 trong PGL_2(K) sinh bởi ảnh của ma trận $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Ta có $S(X) = (X - T) \left( X - \frac{1}{T-1} \right) \left( X - \frac{T+1}{T-1} \right)$ và $R^s(T) = \frac{T^3 - 3T + 1}{T^2 - 1}$

f) Giả sử rằng K là một trường hữu hạn với q phần tử. Cho U là ảnh trong PGL_2(K) của nhóm gồm tất cả các ma trận $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}$, $b \in K$. Khi đó

Cho B là nhóm sinh bởi $C_{q-1}$ và U; nó có cấp q(q - 1). Ta có