Exercice 18, § 10

Soient $K$ un corps et $F$ le corps de fractions rationnelles $K(T)$. Le groupe $GL_2(K)$ opère sur $F$ par la loi $(\gamma f)(T) = f\left( \frac{aT + b}{cT + d} \right)$ pour $\gamma = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in GL_2(K)$ et $f \in F$. Le centre $K^*.I$ de $GL_2(K)$ opère trivialement, d’où, par passage au quotient, un homomorphisme de $PGL_2(K) = GL_2(K)/K^*.I$ dans le groupe des automorphismes de l’extension $F$ de $K$. Cet homomorphisme est bijectif (V, p. 142, exerc. 11). a) Soit $H$ un sous-groupe de $PGL_2(K)$ d’ordre fini $h$, et soit $E$ le corps des invariants de $H$, de sorte que $F = E(T)$ est une extension galoisienne de $E$ de groupe de Galois $H$ (V, p. 64, th. 3). Soit

le polynôme minimal de $T$ sur $E$. Pour tout $i$ tel que $0 \leq i \leq h$, ou bien $S_i(T) \in K$, ou bien $E = K(S_i(T))$. (Utiliser l’exerc. 11, a) de V, p. 149.) b) Pour tout $s \in H$, soit $\begin{pmatrix} a_s & c_s \\ b_s & d_s \end{pmatrix}$ un représentant dans $GL_2(K)$, et soit $H_0$ le sous-groupe de $H$ formé des $s$ tels que $c_s = 0$ ; soit $h_0 = \mathrm{Card}\ H_0$ et posons $R^H(T) = S_{h_0}(T)$. Montrer que $E = K(R^H(T))$ et que l’on a $R^H(T) = P(T)/Q(T)^{h_0}$ où $P$ est un polynôme de degré $h$ et $Q(T) = \prod_s (c_s T + d_s)$ où $s$ parcourt un système de représentants des classes $H_0s$ différentes de $H_0$ ; le degré de $Q$ est donc $(h/h_0) - 1$. c) Supposons que $K^*$ contienne un sous-groupe $\mu_n$ d’ordre fini $n$. Soit $C_n$ l’image dans $PGL_2(K)$ du sous-groupe de $GL_2(K)$ formé des matrices $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , a \in \mu_n$. Alors $C_n(X) = X^n - T^n$ et $R^{C_n}(T) = (-1)^{n+1} T^n$. d) Soit $w$ l’élément de $PGL_2(K)$ représenté par $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Alors $w^2 = 1$ et $wsw^{-1} = s^{-1}$ si $s$ est représenté par une matrice diagonale. Le sous-groupe $D_n$ de $PGL_2(K)$ engendré par $C_n$ et $w$ est donc d’ordre $2n$. On a $D_n(X) = (X^n - T^n) \left( X^n - \left( \frac{1}{T} \right)^n \right) = X^{2n} + (-1)^n R^{D_n}(T) X^n + 1$ où $R^{D_n}(T) = - ((-T)^n + (-T)^{-n})$. e) Soit $S$ le groupe d’ordre 3 dans $PGL_2(K)$ engendré par l’image $s$ de la matrice $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. On a $S(X) = (X - T) \left( X - \frac{1}{1 - T} \right) \left( X - \frac{T - 1}{T} \right)$ et $R^S(T) = \frac{T^3 - 3T + 1}{T^2 - T}$.

f) Supposons que K soit un corps fini à q éléments. Soit U l’image dans PGL_2(K) du groupe formé des matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}$, $b \in K$. Alors

Soit B le groupe engendré par C_{q-1} et U ; il est d’ordre $q(q - 1)$. On a