Bài tập 15, § 1

Cho K là một trường giao hoán có đặc số 0 chứa tất cả các căn đơn vị và sao cho tồn tại các mở rộng Galois của K mà nhóm Galois của chúng không giải được (xem ví dụ Đại số, Chương V, Phụ lục I, no. 1, Mệnh đề 2). Cho Ω là một bao đóng đại số của K và cho Ω_0 là tập hợp các phần tử z ∈ Ω sao cho mở rộng Galois của K sinh bởi z trong Ω có một nhóm Galois giải được.

(a) Chứng minh rằng Ω_0 là một nhóm con của Ω khác với Ω (xem Đại số, Chương V, § 10, no. 4, Định lý 1).

(b) Cho A là vành con của Ω[X] gồm các đa thức P sao cho P(0) ∈ R. Chứng minh rằng A không đóng nguyên nhưng mọi phần tử của trường phân thức Ω(X) mà một lũy thừa của nó thuộc A thì chính nó cũng thuộc A.