Exercice 15, § 1

Soit $K$ un corps commutatif de caractéristique $0$, contenant toutes les racines de l’unité, et tel qu’il existe des extensions galoisiennes de K dont le groupe de Galois ne soit pas résoluble (cf. par exemple Alg., chap. V, App. I, n° 1, prop. 2). Soit $\Omega$ une clôture algébrique de K, et soit $\Omega_0$ l’ensemble des éléments $z \in \Omega$ tels que l’extension galoisienne de K engendrée par $z$ dans $\Omega$ admette un groupe de Galois résoluble.

a) Montrer que $\Omega_0$ est un sous-corps de $\Omega$ distinct de $\Omega$ (cf. Alg., chap. V, § 10, n° 4, th. 1).

b) Soit A le sous-anneau de $\Omega[X]$ formé des polynômes P tels que $P(0) \in \Omega_0$. Montrer que A n’est pas intégralement clos, mais que tout élément de son corps des fractions $\Omega(X)$ dont une puissance appartient à A est lui-même dans A.