Bài tập 5, § 16

Cho G là một nhóm và M là một nhóm không nhất thiết Abel được trang bị một đồng cấu $\varphi : G\rightarrow$ Aut(M); với $g\in G$ và $m\in M$, đặt $^gm=\varphi (g)(m)$. Ký hiệu bằng $H^0(G,M)$ nhóm con của M gồm các phần tử bất biến dưới tác động của G; phần tử đơn vị của nó được gọi là phần tử được đánh dấu hay được phân biệt của $H^0(G,M)$. Cho $Z^1(G,M)$ là tập hợp các ánh xạ $c: G\rightarrow M$ thỏa mãn $c(gh) =c(g)^gc(h)$ với $g, h$ trong G. Với $c\in Z^1(G,M)$ và $m\in M$, ánh xạ $g\mapsto m c(g) (^gm)^{-1}$ thuộc $Z^1(G,M)$; điều này xác định một tác động của nhóm M lên $Z^1(G,M)$. Tập thương được ký hiệu là $H^1(G,M)$; nó được trang bị một phần tử được đánh dấu, tức là lớp của ánh xạ hằng với giá trị 1. Nếu M là Abel, thì tập $H^1(G,M)$ trùng với tập được định nghĩa trong Bài tập 1.

a) Cho N là một nhóm thứ hai được trang bị một tác động của G và $u: M\rightarrow N$ là một đồng cấu nhóm tương thích với các tác động của G. Với $i= 0,1$, hãy định nghĩa các đồng cấu $H^i(u) : H^i(G,M)\rightarrow H^i(G,N)$ sao cho gửi phần tử được đánh dấu của $H^i(G,M)$ đến phần tử được đánh dấu của $H^i(G,N)$.

b) Cho $0\rightarrow M'\rightarrow^{\iota}M\rightarrow^{\pi}M''\rightarrow 0$ là một dãy khớp các nhóm có tác động trong G. Cho $x''\in H^0(G,M'')$, và cho $x$ là một phần tử của M sao cho $\pi (x) =x''$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $c'\in Z^1(G,M')$ sao cho $\iota \circ c'(g) =g^{-1}c(g)$ với mọi $g\in G$ và lớp của $c'$ trong $H^1(G,M')$ chỉ phụ thuộc vào $x''$; ta ký hiệu lớp đó bởi $\partial (x'')$. Chứng minh rằng dãy

là khớp (một dãy các ánh xạ $G\rightarrow^iF\overset{p}{\rightarrow}E$, trong đó tập hợp E được trang bị một phần tử được đánh dấu $e$, được gọi là khớp trong F nếu Im($i$) $=p^{-1}(e)$).

c) Giả sử, hơn nữa, rằng $M'$ được chứa trong tâm của M. Hãy xây dựng một ánh xạ $\partial^1: H^1(G,M'')\rightarrow H^2(G,M')$ sao cho ảnh ngược của phần tử đơn vị bởi $\partial^1$ là ảnh của $H^1(\pi )$. Cũng định nghĩa một tác động của nhóm $H^1(G,M')$ lên tập hợp $H^1(G,M)$ sao cho hai phần tử liên hợp đối với tác động này khi và chỉ khi chúng có cùng ảnh bởi $H^1(\pi )$.

d) Cho K là một trường giao hoán, L là một mở rộng Galois hữu hạn của K với nhóm Galois G, và $n$ là một số nguyên. Cho G tác động lên nhóm $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)$ bằng cách đặt $^{\sigma}A= (\sigma (a_{ij}))$ với $\sigma \in G$ và A $= (a_{ij})\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)$. Suy ra từ V, §10, No. 5, p. 64, Mệnh đề 9 rằng tập hợp $H^1(G,\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))$ chỉ còn một phần tử (“định lý 90 của Hilbert”).