Exercice 5, § 16

Soient G un groupe, M un groupe non nécessairement commutatif muni d’un homomorphisme $\varphi : G\rightarrow$ Aut(M) ; pour $g\in G,m\in M$, on pose $^gm=\varphi (g)(m)$. On désigne encore par $H^0(G,M)$ le sous-groupe de M formé des éléments fixes par l’action de G ; son élément neutre est appelé élément distingué de $H^0(G,M)$. Soit $Z^1(G,M)$ l’ensemble des applications $c: G\rightarrow M$ satisfaisant à $c(gh) =c(g)^gc(h)$ pour $g, h$ dans G. Pour $c\in Z^1(G,M),m\in M$, l’application $g\rightarrow m c(g) (^gm)^{-1}$ appartient à $Z^1(G,M) :$ on définit ainsi une action du groupe M sur $Z^1(G,M)$. L’ensemble quotient est noté $H^1(G,M)$; il est muni d’un élément distingué, à savoir la classe de l’application constante de valeur 1. Si M est commutatif, l’ensemble $H^1(G,M)$ coïncide avec celui défini dans l’exerc. 1.

a) Soit N un deuxième groupe muni d’une action de G, et $u: M\rightarrow N$ un homomorphisme de groupes compatible avec les actions de G. Définir pour $i= 0,1$ des homomorphismes $H^i(u) : H^i(G,M)\rightarrow H^i(G,N)$, qui appliquent l’élément distingué de $H^i(G,M)$ sur celui de $H^i(G,N)$.

b) Soit $0\rightarrow M'\rightarrow^{\iota}M\rightarrow^{\pi}M''\rightarrow 0$ une suite exacte de groupes à opérateurs dans G. Soit $x''\in H^0(G,M'')$, et soit $x$ un élément de M tel que $\pi (x) =x''$; démontrer qu’il existe un élément $c'\in Z^1(G,M')$ tel que $\iota \circ c'(g) =g^{-1}c(g)$ pour tout $g\in G$, et que la classe de $c'$ dans $H^1(G,M')$ ne dépend que de $x''$; on la note $\partial (x'')$. Prouver que la suite

est exacte (on dit qu’une suite d’applications $G\rightarrow^iF\rightarrow^pE$, où l’ensemble E est muni d’un élément distingué $e$, est exacte en F si Im($i$) $=p^{-1}(e)$).

c) On suppose de plus que $M'$ est contenu dans le centre de M. Construire une application $\partial^1: H^1(G,M'')\rightarrow H^2(G,M')$ telle que l’image réciproque de l’élément neutre par $\partial^1$ soit l’image de $H^1(\pi )$. Définir par ailleurs une action du groupe $H^1(G,M')$ sur l’ensemble $H^1(G,M)$, telle que deux éléments soient conjugués pour cette action si et seulement s’ils ont même image par $H^1(\pi )$.

d) Soient K un corps commutatif, L une extension galoisienne finie de K, de groupe de Galois $G,n$ un entier. On fait opérer G sur le groupe $\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L)$ en posant, pour $\sigma \in G$ et A $= (a_{ij})\in \mathbf{G}\mathbf{L}_n$(L), $^{\sigma}A = (\sigma (a_{ij}))$. Déduire de V, p. 62, prop. 9 que l’ensemble $H^1(G,\mathbf{G}\mathbf{L}_n(L))$ est réduit à un élément (« théorème d’Hilbert 90 »).