§ 16. Autres descriptions du groupe de Brauer

§ 16. Autres descriptions du groupe de brauer

Dans ce paragraphe, si F est un groupe abélien et $g$ un automorphisme de F, on note $g.f$ pour $g(f)$ .

1. $\tau$ -extensions de groupes

Dans ce numéro, on fixe un groupe G, un groupe abélien F noté multiplicativement et un homomorphisme de groupes $\tau$ de G dans le groupe Aut(F) des automorphismes du groupe F. On note $e$ l’élément neutre de G et 1 l’élément neutre de F.

Rappelons (I, p. 62) qu’une extension $\mathscr{E}$ de G par F est un triplet $(\Gamma , \iota , \pi )$ , où Γ est un groupe, $\pi : \Gamma \rightarrow G$ est un homomorphisme surjectif et $\iota$ un homomorphisme injectif de F dans Γ tel que Im( $\iota$ ) $=$ Ker( $\pi$ ). Soit $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ une telle extension. Pour tout $\gamma \in \Gamma$ , l’application $\varphi_{\gamma}: F\rightarrow F$ définie par

\iota (\varphi_{\gamma}(f)) =\gamma \iota (f)\gamma^{-1}

pour tout $f\in F$ est un automorphisme de F. Comme F est commutatif, pour tout $f\in F$ , l’automorphisme défini par $\iota (f)$ est l’application identique de F. Par passage au quotient, on obtient un homomorphisme Int $_{\mathscr{E}}$ de G dans Aut(F) caractérisé par

$\gamma \iota (f)\gamma^{-1}=\iota$ (Int $_{\mathscr{E}}(\pi (\gamma )).f$ )

pour $\gamma \in \Gamma$ et $f\in F$ .

On appelle $\tau$ -extension de G par F une extension $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ telle que Int $_{\mathscr{E}}$ soit égal à $\tau$ , c’est-à-dire vérifiant la relation

\gamma \iota (f)\gamma^{-1}=\iota (\tau (\pi (\gamma )).f) \tag{1}

pour $\gamma \in \Gamma$ et $f\in F$ . Si $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ et $\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ')$ sont des $\tau$ -extensions, un morphisme de $\tau$ -extensions de $\mathscr{E}$ dans $\mathscr{E}'$ est un morphisme d’extensions de $\mathscr{E}$ dans $\mathscr{E}'$ (I, p. 63), c’est-à-dire un homomorphisme de groupes $u: \Gamma \rightarrow \Gamma '$ tel que $\pi '\circ u=\pi$ et $\iota '=u\circ \iota$ . Notons que les $\tau$ -extensions forment une espèce de structure pour laquelle tout morphisme est un isomorphisme (E, IV, p. 6 et I, p. 63, prop. 1). Notons Iso $_{\tau}(\mathscr{E},\mathscr{F})$ la relation

« $\mathscr{E}$ et $\mathscr{F}$ sont des $\tau$ -extensions isomorphes. »

C’est une relation d’équivalence ; on appelle classe de l’extension $\mathscr{E}$ la classe d’objets équivalents à $\mathscr{E}$ pour Iso $_{\tau}$ (E, II, p. 47).

Lemme 1 00I9

La relation

« $\alpha$ est la classe d’une $\tau$ -extension pour Iso $_{\tau}$ »

est collectivisante en $\alpha$ .

Posons $E_0= F\times G$ et considérons les applications $\iota_0: F\rightarrow E_0$ et $\pi_0: E_0\rightarrow G$ définies par $\iota_0(f) = (f, e)$ pour $f\in F$ et $\pi_0(f, g) =g$ pour $(f, g)\in F\times G$ . Soit $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ une $\tau$ -extension de G par F. L’application $\pi$ est surjective, donc possède une section $\sigma : G\rightarrow \Gamma$ telle que $\sigma (e) =e$ . L’application $u: (f, g)\rightarrow \iota (f)\sigma (g)$ de $F\times G$ dans Γ est bijective. Munissons $F\times G$ de la loi de groupe obtenue par transport de structure. Le triplet $(E_0, \iota_0, \pi_0)$ est alors une $\tau$ -extension isomorphe à $\mathscr{E}$ . Le lemme 1 résulte alors de E, II, p. 47.

On note Ex $_{\tau}(G,F)$ l’ensemble des classes de $\tau$ -extensions pour la relation Iso $_{\tau}$ .

Exemple 1 00IA

Le produit semi-direct externe $(F\times_{\tau}G, i, p)$ (I, p. 64, prop. 3) est une $\tau$ -extension qu’on notera $\mathscr{I}_{\tau}$ . On dira qu’une $\tau$ -extension est semi-triviale si elle est isomorphe à la $\tau$ -extension $\mathscr{I}_{\tau}$ .

Exemple 2 00IB

Pour $i\in \{1,2\}$ , on se donne un groupe $G_i$ , un groupe abélien $F_i$ et un homomorphisme de groupes $\tau_i$ de $G_i$ dans le groupe des automorphismes de $F_i$ . On note $\tau_1\times \tau_2: G_1\times G_2\rightarrow$ Aut(F $_1\times F_2$ ) l’homomorphisme défini par

(\tau_1\times \tau_2)(g_1, g_2).(f_1, f_2) = (\tau_1(g_1).f_1, \tau_2(g_2).f_2)

pour $g_1\in G_1,g_2\in G_2,f_1\in F_1$ et $f_2\in F_2$ . Soient $\mathscr{E}_1= (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1)$ une $\tau_1$ -extension de $G_1$ par $F_1$ et $\mathscr{E}_2= (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2)$ une $\tau_2$ -extension de $G_2$ par $F_2$ . Alors le triplet $(\Gamma_1\times \Gamma_2, \iota_1\times \iota_2, \pi_1\times \pi_2)$ est une $\tau_1\times \tau_2$ -extension de $G_1\times G_2$ par $F_1\times F_2$ appelée le produit extérieur des extensions $\mathscr{E}_1$ et $\mathscr{E}_2$ et notée $\mathscr{E}_1\times \mathscr{E}_2$ .

2. Image inverse d’une $\tau$ -extension

Soient $G$ et $G'$ des groupes. Soit $F$ un groupe abélien, soit $\tau : G \to \operatorname{Aut}(F)$ un homomorphisme de groupes et soit $u : G' \to G$ un homomorphisme de groupes. Considérons l’homomorphisme de groupes $\tau' = \tau \circ u : G' \to \operatorname{Aut}(F)$ et notons $\Gamma'$ le produit fibré $\Gamma \times_G G'$ relativement à $\pi$ et $u$ (I, p. 44). C’est le sous-groupe de $\Gamma \times G'$ formé des couples $(\gamma, g')$ tels que $\pi(\gamma) = u(g')$ . Soit $\iota' : F \to \Gamma'$ l’homomorphisme de groupes donné par $\iota'(\alpha) = (\iota(\alpha), e)$ pour $\alpha \in F$ et notons $\pi' : \Gamma' \to G'$ la seconde projection. Alors le morphisme $\iota'$ est injectif, le morphisme $\pi'$ est surjectif puisque $\pi$ l’est et l’image de $\iota'$ coïncide avec le noyau de $\pi'$ . En outre, pour tout $\alpha \in F$ et tout $\gamma' = (\gamma, g) \in \Gamma'$ , on a les relations

\gamma' \iota'(\alpha) {\gamma'}^{-1} = (\gamma, g)(\iota(\alpha), e)(\gamma, g)^{-1} = (\iota(\tau(\pi(\gamma)).\alpha), e) = \iota'(\tau'(\pi'(\gamma')).\alpha).

Par conséquent,

(\Gamma', \iota', \pi')

est une

\tau'

-extension de

G'

par

F

qu’on appelle l’image inverse par

u

\mathscr{E}

et qu’on note

u^*(\mathscr{E})

. La première projection est un homomorphisme de groupes

\varphi : \Gamma' \to \Gamma

qui sera dit canonique.

Proposition 1 00IC

Le diagramme

\begin{array}{ccccc} F & \xrightarrow{\iota'} & \Gamma' & \xrightarrow{\pi'} & G' \\ \| & & \| & & \| \\ F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma & \xrightarrow{\pi} & G \end{array}

est commutatif. En outre, si $\mathscr{E}'_1 = (\Gamma'_1, \iota'_1, \pi'_1)$ est une $\tau'$ -extension et $\varphi_1 : \Gamma'_1 \to \Gamma$ est un homomorphisme de groupes tel que le diagramme

\begin{array}{ccccc} F & \xrightarrow{\iota'_1} & \Gamma'_1 & \xrightarrow{\pi'_1} & G' \\ \| & & \| & & \| \\ F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma & \xrightarrow{\pi} & G \end{array}

soit commutatif, alors il existe un unique morphisme $\psi$ de $\tau'$ -extensions de $\mathscr{E}'_1$ dans $u^*(\mathscr{E})$ tel qu’on ait $\varphi_1 = \varphi \circ \psi$ .

La commutativité du premier diagramme découle de la définition de $\varphi$ . L’existence et l’unicité de $\psi$ résultent du lemme qui suit.

Lemme 2 00ID

Soit $F'_1$ un groupe abélien et soient $w : F'_1 \to F$ et $\tau_1 : G' \to \operatorname{Aut}(F'_1)$ des homomorphismes de groupes tels que

w(\tau_1(g)(f)) = \tau(u(g))(w(f))

pour tout $f \in F'_1$ et tout $g \in G'$ . Soit $\mathscr{E}'_1 = (\Gamma'_1, \iota'_1, \pi'_1)$ une $\tau_1$ -extension de $G'$ par $F'_1$ et $\varphi_1 : \Gamma'_1 \to \Gamma$ un homomorphisme de groupes tel que le diagramme

\begin{array}{ccccc} F'_1 & \xrightarrow{\iota'_1} & \Gamma'_1 & \xrightarrow{\pi'_1} & G' \\ \downarrow w & & \downarrow \varphi_1 & & \downarrow u \\ F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma & \xrightarrow{\pi} & G \end{array}

soit commutatif. Alors il existe un unique homomorphisme de groupes $\psi : \Gamma'_1 \to \Gamma'$ tel que le diagramme

\begin{array}{ccccc} F'_1 & \xrightarrow{\iota'_1} & \Gamma'_1 & \xrightarrow{\pi'_1} & G' \\ \downarrow w & & \downarrow \psi & & \parallel \\ F & \xrightarrow{\iota'} & \Gamma' & \xrightarrow{\pi'} & G' \end{array}

soit commutatif et tel que $\varphi_1 = \varphi \circ \psi$ .

Si l’homomorphisme de groupes $\psi : \Gamma'_1 \to \Gamma'$ convient, alors il vérifie les relations

\psi(\gamma) = (\varphi \circ \psi(\gamma), \pi' \circ \psi(\gamma)) = (\varphi_1(\gamma), \pi'_1(\gamma))

pour tout $\gamma \in \Gamma'_1$ . Inversement, l’homomorphisme de groupes de $\Gamma'_1$ dans $\Gamma \times G'$ défini par $\gamma \mapsto (\varphi_1(\gamma), \pi'_1(\gamma))$ est à valeurs dans le produit fibré $\Gamma \times_G G'$ puisque $\pi \circ \varphi_1(\gamma) = u \circ \pi'_1(\gamma)$ pour tout $\gamma \in \Gamma'_1$ .

Corollaire 1 00IE

Soient $\mathscr{E}_1$ et $\mathscr{E}_2$ des $\tau$ -extensions de $G$ par $F$ et soit $\psi$ un morphisme de $\tau$ -extensions de $\mathscr{E}_1$ dans $\mathscr{E}_2$ . Notons $\varphi_1$ (resp. $\varphi_2$ ) l’homomorphisme canonique pour $u^*(\mathscr{E}_1)$ (resp. $u^*(\mathscr{E}_2)$ ). Alors il existe un unique morphisme de $\tau'$ -extensions de $u^*(\mathscr{E}_1)$ dans $u^*(\mathscr{E}_2)$ , noté $u^*(\psi)$ , tel que $\varphi_2 \circ u^*(\psi) = \psi \circ \varphi_1$ .

Il suffit d’appliquer la prop. 1 à $\psi \circ \varphi_1$ .

La classe de la $\tau'$ -extension $u^*(\mathscr{E})$ ne dépend donc que de la classe de $\mathscr{E}$ . On note également $u^* : \mathrm{Ex}_{\tau}(G, F) \to \mathrm{Ex}_{\tau'}(G', F)$ l’application qui envoie la classe d’une $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ sur la classe de la $\tau'$ -extension $u^*(\mathscr{E})$ .

Corollaire 2 00IF

Soit $u' : G'' \to G'$ un homomorphisme de groupes et soit $\mathscr{E}$ une $\tau$ -extension de $G$ par $F$ . Posons $\tau'' = \tau' \circ u'$ et notons $\varphi$ (resp. $\varphi', \varphi''$ ) l’homomorphisme canonique associé à la $\tau'$ -extension $u^*(\mathscr{E})$ (resp. la $\tau''$ -extension ${u'}^*(u^*(\mathscr{E}))$ ), la $\tau''$ -extension $(u \circ u')^*(\mathscr{E})$ ). Alors il existe un unique morphisme $\psi$ de la $\tau''$ -extension ${u'}^*(u^*(\mathscr{E}))$ dans la $\tau''$ -extension $(u \circ u')^*(\mathscr{E})$ telle que $\varphi'' \circ \psi = \varphi \circ \varphi'$ .

Exemple 00RI

Soit $H$ un sous-groupe de $G$ et $j : H \to G$ l’injection canonique. Alors pour toute $\tau$ -extension $\mathscr{E} = (\Gamma, \iota, \pi)$ , la $\tau \circ j$ -extension $j^*(\mathscr{E})$ est isomorphe à $(\bar{\pi}^1(H), \iota', \pi')$ où $\iota' : F \to \bar{\pi}^1(H)$ (resp. $\pi' : \bar{\pi}^1(H) \to H$ ) est l’homomorphisme de groupes $f\rightarrow \iota (f)$ (resp. $\gamma \rightarrow \pi (\gamma )$ ). Plus généralement, si l’homomorphisme de groupes $u: G'\rightarrow G$ est injectif, alors l’homomorphisme canonique $\varphi$ est injectif d’image $\overset{-1}{\pi}(u(G'))$ .

3. Image directe d’une $\tau$ -extension

Soit G un groupe, soient F et $F'$ des groupes abéliens, soit $\tau$ (resp. $\tau '$ ) un homomorphisme de groupes de G dans le groupe des automorphismes de F (resp. $F'$ ) et soit $v: F\rightarrow F'$ un homomorphisme de groupes tel que

v(\tau (g).f) =\tau '(g).v(f) \tag{3}

pour $g\in G$ et $f\in F$ . Soit $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ une $\tau$ -extension de G par F. Soit $\widetilde{\Gamma}$ le produit semi-direct externe $F'\times_{\tau'\circ\pi}\Gamma$ . On note $\widetilde{\imath}: F'\rightarrow \widetilde{\Gamma}$ l’homomorphisme $f\rightarrow (f, e)$ et $\widetilde{p}:\widetilde{\Gamma}\rightarrow \Gamma$ la première projection. Soit $j: F\rightarrow \widetilde{\Gamma}$ l’application définie par $f\rightarrow (v(f), \iota (f)^{-1})$ . Comme l’image de $\iota$ est contenue dans le noyau de $\tau '\circ \pi$ , l’application $j$ est un homomorphisme de groupes ; il est injectif puisque $\iota$ est injectif. On a les relations

(f', \gamma )j(f)(f', \gamma )^{-1}= (f', \gamma )(v(f), \iota (f)^{-1})(f', \gamma )^{-1}

= (\tau '(\pi (\gamma )).v(f), \iota (\tau (\pi (\gamma )).f)^{-1}) \tag{4}

=j(\tau (\pi (\gamma )).f)

pour tout $f\in F$ , tout $\gamma \in \Gamma$ et tout $f'\in F'$ . Par conséquent, l’image de $j$ est un sous-groupe distingué dans $\widetilde{\Gamma}$ . Notons $\Gamma '$ le quotient de $\widetilde{\Gamma}$ par l’image de $j$ . On note $\iota '$ la composée de la surjection canonique de $\widetilde{\Gamma}$ dans $\Gamma '$ et de $\widetilde{\imath}$ . Le noyau de l’homomorphisme $\pi \circ \widetilde{p}$ est le produit $F'\times \iota (F)$ qui contient l’image de $j$ . On définit $\pi ': \Gamma '\rightarrow G$ comme l’homomorphisme de groupes déduit de $\pi \circ \widetilde{p}$ par passage au quotient. Comme $\iota$ est injective, l’intersection de $j(F)$ avec $\widetilde{\imath}(F')$ est réduite à l’élément neutre de $\widetilde{\Gamma}$ ; il en résulte que $\iota '$ est injective. L’application de $F'\times F$ dans $F'\times \iota (F) =$ Ker( $\pi \circ \widetilde{p}$ ) donnée par

(f', f)\longrightarrow (f'v(f), \iota (f)^{-1})

est un isomorphisme de groupes. L’image de $\iota '$ coïncide donc avec le noyau de $\pi '$ . Comme $\pi$ et $\widetilde{p}$ sont surjectifs, il en est de même de $\pi '$ . Ceci démontre que $\mathscr{E}'=$ $(\Gamma ', \iota , \pi ')$ est une $\tau '$ -extension de G par $F'$ qu’on appelle l’image directe de $\mathscr{E}$ par $v$ et qu’on note $v_*(\mathscr{E})$ . La composée de la surjection canonique de $\tilde{\Gamma}$ dans $\Gamma'$ et de l’homomorphisme de groupes de $\Gamma$ dans $\tilde{\Gamma}$ , donné par $\gamma \mapsto (1, \gamma)$ est un homomorphisme de groupes $\varphi : \Gamma \to \Gamma'$ qui est dit canonique.

Proposition 2 00IG

Avec les notations qui précèdent, le diagramme

\begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma \\ | & & | \\ F' & \xrightarrow{\iota'} & \Gamma' \end{array}

\begin{array}{ccc} & \xrightarrow{\pi} & G \\ & | & | \\ & \varphi & | \end{array}

\begin{array}{ccc} G & & \\ & \parallel & \\ G' & \xrightarrow{\pi'} & G \end{array}

est commutatif. Soit $\mathscr{E}'_1 = (\Gamma'_1, \iota'_1, \pi'_1)$ une $\tau'$ -extension de $G$ par $F'$ et soit $\varphi_1 : \Gamma \to \Gamma'_1$ un homomorphisme de groupes tel que le diagramme

\begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma \\ | & & | \\ F' & \xrightarrow{\iota'_1} & \Gamma'_1 \end{array}

\begin{array}{ccc} & \xrightarrow{\pi} & G \\ & | & | \\ & \varphi_1 & | \end{array}

\begin{array}{ccc} G & & \\ & \parallel & \\ G' & \xrightarrow{\pi'_1} & G \end{array}

soit commutatif, alors il existe un unique morphisme $\psi$ de $\tau'$ -extensions de $v_*(\mathscr{E})$ dans $\mathscr{E}'_1$ tel qu’on ait $\varphi_1 = \psi \circ \varphi$ .

La commutativité du premier diagramme résulte des constructions. L’existence et l’unicité de $\psi$ découlent du lemme qui suit.

Lemme 3 00IH

Soit $G'_1$ un groupe et soient $w : G \to G'_1$ et $\tau_1 : G'_1 \to \mathrm{Aut}(F')$ des homomorphismes de groupes tels que $\tau' = \tau_1 \circ w$ . Soit $\mathscr{E}'_1 = (\Gamma'_1, \iota'_1, \pi'_1)$ une $\tau_1$ -extension de $G'_1$ par $F'$ et soit $\varphi_1 : \Gamma \to \Gamma'_1$ un homomorphisme de groupes tel que le diagramme

\begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma \\ | & & | \\ F' & \xrightarrow{\iota'_1} & \Gamma'_1 \end{array}

\begin{array}{ccc} & \xrightarrow{\pi} & G \\ & | & | \\ & \varphi_1 & | \end{array}

\begin{array}{ccc} G & & \\ & \downarrow w & \\ G'_1 & & \end{array}

soit commutatif. Alors il existe un unique homomorphisme de groupes $\psi : \Gamma' \to \Gamma'_1$ tel que le diagramme

\begin{array}{ccc} F' & \xrightarrow{\iota'} & \Gamma' \\ | & & | \\ F' & \xrightarrow{\iota'_1} & \Gamma'_1 \end{array}

\begin{array}{ccc} & \xrightarrow{\pi'} & G \\ & | & | \\ & \psi & | \end{array}

\begin{array}{ccc} G & & \\ & \downarrow w & \\ G'_1 & & \end{array}

soit commutatif et tel que $\varphi_1 = \psi \circ \varphi$ .

Pour tout $(f, \gamma) \in F' \times \Gamma$ , notons $\overline{(f, \gamma)}$ la classe de $(f, \gamma)$ dans $\Gamma'$ . Si l’homomorphisme de groupes $\psi : \Gamma' \to \Gamma'_1$ convient, il vérifie les relations

\psi\left(\overline{(f', \gamma)}\right) = \psi(\iota'(f')\varphi(\gamma)) = \iota'_1(f')\varphi_1(\gamma)

pour tout

f' \in F'

et tout

\gamma \in \Gamma

. Inversement, l’application

\tilde{\psi}

F' \times_{\tau' \circ \pi} \Gamma

dans

\Gamma'_1

donnée par

(f, \gamma) \mapsto \iota'_1(f)\varphi_1(\gamma)

est un homomorphisme de groupes. En effet, on a les relations

\iota'_1(f)\varphi_1(\gamma)\iota'_1(f')\varphi_1(\gamma') = \iota'_1(f\tau_1(\pi'_1(\varphi_1(\gamma))).f')\varphi_1(\gamma\gamma') = \iota'_1(f\tau'(\pi(\gamma)).f')\varphi_1(\gamma\gamma'),

pour

f, f' \in F'

\gamma, \gamma' \in \Gamma

. Le noyau de

\tilde{\psi}

contient l’image de

j

puisque

\iota'_1(v(f)) = \varphi_1(\iota(f))

pour

f \in F

et le morphisme

\psi

déduit de

\tilde{\psi}

par passage au quotient convient.

Remarque 00II

Notons $\Sigma$ l’espèce de structure de $\tau'$ -extension et définissons les $\alpha$ -applications comme les applications de $\Gamma$ dans un groupe $\Gamma'$ sous-jacent à une $\tau'$ -extension qui sont des homomorphismes de groupes et qui rendent le diagramme

\begin{array}{ccccc} F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma & \xrightarrow{\pi} & G \\ \downarrow v & & \downarrow \varphi & & \parallel \\ F' & \xrightarrow{\iota'} & \Gamma' & \xrightarrow{\pi'} & G \end{array}

commutatif. La prop. 2 exprime que $v_*(\mathscr{E})$ est une solution du problème d’application universelle correspondant (E, IV, p. 22).

Corollaire 1 00IJ

Soient $\mathscr{E}_1$ et $\mathscr{E}_2$ des $\tau$ -extensions de $G$ par $F$ et soit $\psi$ un morphisme de $\tau$ -extensions de $\mathscr{E}_1$ dans $\mathscr{E}_2$ . Notons $\varphi_1$ (resp. $\varphi_2$ ) l’homomorphisme canonique pour $v_*(\mathscr{E}_1)$ (resp. $v_*(\mathscr{E}_2)$ ). Alors il existe un unique morphisme de $\tau'$ -extensions de $v_*(\mathscr{E}_1)$ dans $v_*(\mathscr{E}_2)$ , noté $v_*(\psi)$ , tel que $\varphi_2 \circ \psi = v_*(\psi) \circ \varphi_1$ . Il suffit d’appliquer la prop. 2 à $\varphi_2 \circ \psi$ .

La classe de la $\tau'$ -extension $v_*(\mathscr{E})$ ne dépend donc que de la classe de $\mathscr{E}$ . On note également $v_* : \mathrm{Ex}_{\tau}(G, F) \to \mathrm{Ex}_{\tau'}(G, F')$ l’application qui envoie la classe d’une $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ sur la classe de la $\tau'$ -extension $v_*(\mathscr{E})$ .

Corollaire 2 00RJ

On conserve les notations de la proposition. Soit $F''$ un groupe abélien et soient $\tau'' : G \to \mathrm{Aut}(F'')$ et $v' : F' \to F''$ des homomorphismes de groupes tels que*

\tau''(g).v'(f) = v'(\tau'(g).f)

pour $g \in G$ et $f \in F'$ . Soit $\mathscr{E}$ une $\tau$ -extension de $G$ par $F$ et notons $\varphi$ (resp. $\varphi', \varphi''$ ) l’homomorphisme canonique associé à $v_*(\mathscr{E})$ (resp. $v'_*(v_*(\mathscr{E}))$ , $(v' \circ v)_*(\mathscr{E})$ ). Alors il existe un unique morphisme

\psi

de la

\tau''

-extension

v'_*(v_*(\mathscr{E}))

G

par

F''

dans la

\tau''

-extension

(v' \circ v)_*(\mathscr{E})

tel que

\varphi'' = \psi \circ \varphi' \circ \varphi

Exemple 1 00IK

Soit $j : \{1\} \to F$ l’injection canonique. L’extension semi-triviale $\mathscr{I}_\tau$ est isomorphe à $j_*((G, i, \mathrm{Id}_G))$ où $i : \{e\} \to G$ est l’injection canonique. Soit $c : F \to F$ l’homomorphisme constant $f \mapsto 1$ et soit $\mathscr{E}$ une $\tau$ -extension. La $\tau$ -extension $c_*(\mathscr{E})$ est également isomorphe à $\mathscr{I}_\tau$ .

Exemple 2 00IL

Soit $E$ un sous-groupe de $F$ stable pour l’action de $G$ . Notons $F'$ le quotient de $F$ par $E$ , $v : F \to F'$ l’homomorphisme canonique et $\tau' : G \to \mathrm{Aut}(F')$ l’action de $G$ sur $F'$ caractérisée par

\tau'(g).v(f) = v(\tau(g).f)

pour

g \in G

f \in F

. Soit

\mathscr{E} = (\Gamma, \iota, \pi)

une

\tau

-extension de

G

par

F

. Alors

\iota(E)

est un sous-groupe distingué de

\Gamma

et la

\tau'

-extension

v_*(\mathscr{E})

G

par

F'

est isomorphe à l’extension

(\Gamma/\iota(E), \bar{\iota}, \bar{\pi})

où

\bar{\iota}

\bar{\pi}

sont les homomorphismes de groupes déduits de

\iota

\pi

par passages aux quotients. L’homomorphisme canonique

\varphi

associé à

v_*(\mathscr{E})

correspond par cet isomorphisme à l’homomorphisme canonique de

\Gamma

dans

\Gamma/\iota(E)

Proposition 3 00IM

Soient $G$ et $G'$ des groupes. Soient $F$ et $F'$ des groupes abéliens. Soient $\tau : G \to \mathrm{Aut}(F)$ , $\tau' : G \to \mathrm{Aut}(F')$ , $u : G' \to G$ et $v : F \to F'$ des homomorphismes de groupes tels que

\tau'(g).v(f) = v(\tau(g).f)

pour

g \in G

f \in F

. On note

\tau'' = \tau' \circ u

. Soit

\mathscr{E}

une

\tau

-extension de

G

par

F

. On note

\varphi_u

(resp.

\varphi_v, \varphi'_u, \varphi'_v

) l’homomorphisme canonique correspondant à la

\tau \circ u

-extension

u^*(\mathscr{E})

(resp. à la

\tau'

-extension

v_*(\mathscr{E})

, aux

\tau''

-extensions

u^*(v_*(\mathscr{E}))

v_*(u^*(\mathscr{E}))

). Alors il existe un unique morphisme

\psi

\tau''

-extensions de

v_*(u^*(\mathscr{E}))

dans

u^*(v_*(\mathscr{E}))

tel que

\varphi_v \circ \varphi_u = \varphi'_u \circ \psi \circ \varphi'_v

On note $(\Gamma_u, \iota_u, \pi_u)$ (resp. $(\Gamma'_u, \iota'_u, \pi'_u)$ ) la $\tau \circ u$ -extension $u^*(\mathscr{E})$ (resp. la $\tau''$ -extension $u^*(v_*(\mathscr{E}))$ ). En appliquant le lemme 2 de VIII, p. 283 à $\varphi_v \circ \varphi_u$ , on obtient qu’il existe un homomorphisme de groupes $\psi_1 : \Gamma_u \to \Gamma'_u$ tel que le diagramme

\begin{array}{ccccc} F & \xrightarrow{\iota_u} & \Gamma_u & \xrightarrow{\pi_u} & G' \\ | & & | & & \| \\ F' & \xrightarrow{\iota'_u} & \Gamma'_u & \xrightarrow{\pi'_u} & G' \end{array}

soit commutatif et tel que $\varphi'_u \circ \psi_1 = \varphi_v \circ \varphi_u$ . L’existence de $\psi$ s’en déduit à l’aide de la proposition 2 appliquée à $\psi_1$ . Inversement, si $\psi'$ convient également, on a $\psi' \circ \varphi'_v = \psi_1$ par le lemme 2, donc $\psi' = \psi$ (prop. 2).

4. Loi de groupe sur les classes de $\tau$ -extensions

Soit $G$ un groupe, soit $F$ un groupe abélien et soit $\tau : G \to \mathrm{Aut}(F)$ un homomorphisme de groupes. On désigne par $\delta : G \to G \times G$ l’application diagonale $g \mapsto (g, g)$ et par $m : F \times F \to F$ l’homomorphisme de multiplication $(f_1, f_2) \mapsto f_1 f_2$ . On note $s : F \to F$ l’homomorphisme de groupes donné par $f \mapsto f^{-1}$ . Soient $\mathscr{E}_1 = (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1)$ et $\mathscr{E}_2 = (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2)$ des $\tau$ -extensions de $G$ par $F$ . Comme on a la relation

m(((\tau \times \tau) \circ \delta)(g).(f_1, f_2)) = \tau(g).m(f_1, f_2),

pour tout

g \in G

et tous

f_1, f_2 \in F

, l’extension

m_*(\delta^*(\mathscr{E}_1 \times \mathscr{E}_2))

est une

\tau

-extension qu’on appelle le produit des $\tau$ -extensions

\mathscr{E}_1

\mathscr{E}_2

et qu’on note

\mathscr{E}_1 \mathscr{E}_2

. La classe de cette extension ne dépend que des classes des extensions

\mathscr{E}_1

\mathscr{E}_2

(VIII, p. 284, cor. 1 et VIII, p. 287, cor. 1). On en déduit donc une loi de composition sur

\mathrm{Ex}_\tau(G, F)

Remarque 00IN

Soient $\mathscr{E}_1 = (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1)$ et $\mathscr{E}_2 = (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2)$ des $\tau$ -extensions de $G$ par $F$ . Soit $\mathscr{E}_1 \mathscr{E}_2 = (\Gamma, \iota, \pi)$ le produit de ces extensions. Compte tenu de l’exemple de VIII, p. 284, la construction fournit un homomorphisme de groupes surjectif du produit fibré $\Gamma_1 \times_G \Gamma_2$ dans $\Gamma$ dont le noyau est l’image de l’homomorphisme de groupes $f \mapsto (\iota_1(f), \iota_2(f)^{-1})$ de $F$ dans $\Gamma_1 \times_G \Gamma_2$ .

Proposition 4 00IO

Le produit des $\tau$ -extensions munit l’ensemble $\mathrm{Ex}_\tau(G, F)$ d’une structure de groupe abélien. Son élément neutre est la classe de l’extension semi-triviale $\mathscr{I}_\tau$ . L’inverse de la classe d’une $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ est la classe de $s_*(\mathscr{E})$ .

L’associativité de la loi résulte de la commutativité des diagrammes

\begin{array}{ccc} G & \xrightarrow{\delta} & G \times G \\ \downarrow \delta & & \downarrow \mathrm{Id} \times \delta \\ G \times G & \xrightarrow{\delta \times \mathrm{Id}} & G \times G \times G \end{array}

\begin{array}{ccc} F \times F \times F & \xrightarrow{m \times \mathrm{Id}} & F \times F \\ \downarrow \mathrm{Id} \times m & & \downarrow m \\ F \times F & \xrightarrow{m} & F, \end{array}

du cor. 2 de VIII, p. 284, du cor. 2 de VIII, p. 287 et de la prop. 3 de VIII, p. 288.

Soit $\Delta : F \to F \times F$ l’application diagonale $f \mapsto (f, f)$ . Soit $\mathscr{E} = (\Gamma, \iota, \pi)$ une $\tau$ -extension. Soit $\tilde{\Delta} : \Gamma \to \Gamma \times_G \Gamma$ l’homomorphisme de groupes donné par $\gamma \mapsto (\gamma, \gamma)$ . Le diagramme

\begin{array}{ccccc} F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma & \xrightarrow{\pi} & G \\ \downarrow \Delta & & \downarrow \tilde{\Delta} & & \parallel \\ F \times F & \longrightarrow & \Gamma \times_G \Gamma & \longrightarrow & G \end{array}

est commutatif. D’après la prop. 2 de VIII, p. 286, il en résulte que la $(\tau \times \tau) \circ \delta$ -extension $\delta^*(\mathscr{E} \times \mathscr{E})$ est isomorphe à $\Delta_*(\mathscr{E})$ .

Notons $c : F \to F$ l’homomorphisme constant $f \mapsto 1$ . Compte tenu de l’exemple 1 de VIII, p. 288, le fait que $\mathscr{I}_{\tau}$ soit un élément neutre pour cette loi de composition résulte de l’isomorphisme de $\delta^*(\mathscr{E} \times \mathscr{E})$ sur $\Delta_*(\mathscr{E})$ et du diagramme commutatif

\begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{(\mathrm{Id}_F \times c) \circ \Delta} & F \times F \\ (c \times \mathrm{Id}_F) \circ \Delta \downarrow & & \downarrow m \\ F \times F & \xrightarrow{\mathrm{Id}_F} & F. \end{array}

La dernière assertion résulte du diagramme commutatif

\begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{(\mathrm{Id}_F \times s) \circ \Delta} & F \times F \\ (s \times \mathrm{Id}_F) \circ \Delta \downarrow & & \downarrow m \\ F \times F & \xrightarrow{c} & F. \end{array}

Soient $\mathscr{E}_1 = (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1)$ et $\mathscr{E}_2 = (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2)$ des $\tau$ -extensions. L’isomorphisme de groupes $\Gamma_1 \times \Gamma_2 \to \Gamma_2 \times \Gamma_1$ donné par $(\gamma_1, \gamma_2) \mapsto (\gamma_2, \gamma_1)$ induit par passage aux sous-ensembles un isomorphisme de groupes $\sigma : \Gamma_1 \times_G \Gamma_2 \to \Gamma_2 \times_G \Gamma_1$ . Compte tenu des relations

\sigma(\iota_1(f), \iota_2(f)^{-1}) = (\iota_2(f^{-1}), \iota_1(f^{-1})^{-1})

pour $f \in F$ , l’homomorphisme de groupes $\sigma$ induit par passage aux quotients un morphisme de $\tau$ -extensions de $\mathscr{E}_1 \mathscr{E}_2$ sur $\mathscr{E}_2 \mathscr{E}_1$ . Donc la loi de composition est commutative.

Proposition 5 00IP

a) Soient $G$ et $G'$ des groupes. Soit $F$ un groupe abélien. Soient $\tau : G \to \mathrm{Aut}(F)$ et $u : G' \to G$ des homomorphismes de groupes. L’application $u^* : \mathrm{Ex}_{\tau}(G, F) \to \mathrm{Ex}_{\tau ou}(G', F)$ est un homomorphisme de groupes.

b) Soit $G$ un groupe. Soient $F$ et $F'$ des groupes abéliens. Soient $\tau : G \to \mathrm{Aut}(F)$ , $\tau' : G \to \mathrm{Aut}(F')$ et $v : F \to F'$ des homomorphismes de groupes tels que

\tau'(g).v(f) = v(\tau(g).f)

pour $g \in G$ et $f \in F$ . L’application $v_* : \mathrm{Ex}_{\tau}(G, F) \to \mathrm{Ex}_{\tau'}(G, F')$ est un homomorphisme de groupes.

Cela résulte de la commutativité des diagrammes

\begin{array}{ccc} G' & \xrightarrow{\delta} & G' \times G' \\ \downarrow u & & \downarrow u \times u \\ G & \xrightarrow{\delta} & G \times G \end{array}

\begin{array}{ccc} F \times F & \xrightarrow{m} & F \\ \downarrow v \times v & & \downarrow v \\ F' \times F' & \xrightarrow{m} & F'. \end{array}

5. Description cohomologique

Soit G un groupe, soit F un groupe abélien et soit $\tau : G\rightarrow$ Aut(F) un homomorphisme de groupes. Pour tout $g\in G$ et tout $f\in F$ on note également $^gf$ pour $\tau (g).f$ . Un 2-cocycle de G à valeurs dans F est une application $c: G\times G\rightarrow F$ telle que pour tout $(g_1, g_2, g_3)\in G\times G\times G$ , on ait

g_{_1}c(g_2, g_3)c(g_1, g_2g_3) =c(g_1, g_2)c(g_1g_2, g_3) \tag{7}

Comme F est commutatif, l’ensemble des 2-cocycles est un sous-groupe du groupe des applications de $G\times G$ dans F, on le note $Z^2(G,F)$ . Notons $C^1(G,F)$ le groupe des applications de G dans F. Pour tout $h\in C^1(G,F)$ et tout $(g_1, g_2)\in G\times G$ , posons

(\partial h)(g_1, g_2) =^{g_1}h(g_2)h(g_1g_2)^{-1}h(g_1) \tag{8}

Un calcul simple démontre que l’application $\partial h: G\times G\rightarrow F$ est un 2-cocycle. L’application $\partial : C^1(G,F)\rightarrow Z^2(G,F)$ est un homomorphisme de groupes. Pour tout $h\in C^1(G,F)$ , le 2-cocycle $\partial h$ est appelé un 2-cobord. Le groupe $Z^2(G,F)/\partial (C^1(G,F))$ est noté $H^2(G,F)$ et est appelé le deuxième groupe de cohomologie de G à coefficients dans F.

$*$ Les notations qui précèdent sont conforme à celles de X, p. 112 concernant la cohomologie des groupes. $*$

Soit $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ une $\tau$ -extension. Soit $\sigma$ une section de l’application surjective $\pi (E$ II, p. 18), c’est-à-dire une application de G dans Γ telle que $\pi (\sigma (g)) =g$ pour tout $g$ dans G. On appelle 2-cocycle associé à $\sigma$ , l’application $c_{\sigma}: G\times G\rightarrow F$ définie par la formule

\iota (c_{\sigma}(g_1, g_2)) =\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1} \tag{9}

pour $g_1, g_2\in G$ . L’application $c_{\sigma}$ est constante de valeur 1 si et seulement si $\sigma$ est un homomorphisme de groupes.

Proposition 6 00IQ

L’application $c_{\sigma}$ est un élément du groupe $Z^2(G,F)$ et sa classe dans le groupe de cohomologie $H^2(G,F)$ ne dépend que de la classe de la $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ . On l’appelle la classe de cohomologie de la $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ .

Vérifions tout d’abord que $c_{\sigma}$ satisfait à la condition de cocycle. Soient $g_1,g_2$ et $g_3$ des éléments de G. En utilisant la relation (1) de VIII, p. 281 et (9), on obtient les relations

\iota (^{g_1}c_{\sigma}(g_2, g_3)c_{\sigma}(g_1, g_2g_3))

=\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_2g_3)^{-1}\sigma (g_1)^{-1}\sigma (g_1)\sigma (g_2g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}

=\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}

\iota (c_{\sigma}(g_1, g_2)c_{\sigma}(g_1g_2, g_3))

=\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1}\sigma (g_1g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}

=\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}

L’application $c_{\sigma}$ est donc un élément de $Z^2(G,F)$ .

Démontrons maintenant que l’image de $c_{\sigma}$ dans $H^2(G,F)$ est indépendante de la section $\sigma$ choisie. Soient $\sigma$ et $\sigma '$ de telles sections. Pour tout élément $g$ de G, il existe un unique élément $a_g$ de F tel que $\sigma '(g) =\iota (a_g)\sigma (g)$ . Soient $g_1$ et $g_2$ des éléments de G. En utilisant la définition (9) on obtient les égalités suivantes :

\iota (c_{\sigma'}(g_1, g_2)) =\sigma '(g_1)\sigma '(g_2)\sigma '(g_1g_2)^{-1}

=\iota (a_{g_1})\sigma (g_1)\iota (a_{g_2})\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1}\iota (a_{g_1g_2})^{-1} \tag{10}

=\iota (a_{g_1})\iota (^{g_1}a_{g_2})\iota (c_{\sigma}(g_1, g_2))\iota (a_{g_1g_2})^{-1}

Le groupe F étant commutatif, on a les relations

c_{\sigma'}(g_1, g_2)c_{\sigma}(g_1, g_2)^{-1}= (^{g_1}a_{g_2})a^{-1}_{g_1g_2}a_{g_1} \tag{11}

et les classes de $c_{\sigma'}$ et $c_{\sigma}$ dans $H^2(G,F)$ coïncident.

Enfin, soient $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ et $\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ')$ des $\tau$ -extensions isomorphes, soit $u:\mathscr{E}\rightarrow \mathscr{E}'$ un morphisme de $\tau$ -extensions et soit $\sigma$ une section de l’application $\pi$ . L’application $u\circ \sigma$ est une section de l’application $\pi '$ et l’on a $c_{\sigma}=c_{u\circ\sigma}$ . La classe de $c_{\sigma}$ dans $H^2(G,F)$ ne dépend donc que de la classe de $\mathscr{E}$ dans Ex $_{\tau}(G,F)$ .

On note $\Theta_{\tau}:$ Ex $_{\tau}(G,F)\rightarrow H^2(G,F)$ ou, plus simplement, Θ l’application qui envoie la classe d’une $\tau$ -extension $(\Gamma , \iota , \pi )$ sur la classe du 2-cocycle $c_{\sigma}$ , où $\sigma$ est une section de la surjection $\pi$ .

Théorème 1 00IR

L’application Θ est un isomorphisme de groupes de Ex $_{\tau}(G,F)$ sur $H^2(G,F)$ .

Démontrons tout d’abord que Θ est un homomorphisme de groupes. Soient $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ et $\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ')$ des $\tau$ -extensions et soit $\sigma$ (resp. $\sigma '$ ) une section de l’application $\pi$ (resp. $\pi '$ ). Notons $\mathscr{E} \mathscr{E}'= (\Gamma '', \iota '', \pi '')$ le produit des $\tau$ -extensions $\mathscr{E}$ et $\mathscr{E}'$ . On notera $[\gamma , \gamma ']$ l’image dans $\Gamma ''$ d’un élément $(\gamma , \gamma ')$ de $\Gamma \times_G\Gamma '$ par l’homomorphisme surjectif de la remarque de VIII, p. 289. L’application de G dans $\Gamma ''$ qui envoie un élément $g$ sur $[\sigma (g), \sigma '(g)]$ est une section $\sigma ''$ de l’application $\pi ''$ . Soient $g_1$ et $g_2$ des éléments de G. On a les relations

\iota ''(c_{\sigma''}(g_1, g_2)) =\sigma ''(g_1)\sigma ''(g_2)\sigma ''(g_1g_2)^{-1}

= [\iota (c_{\sigma}(g_1, g_2)), \iota '(c_{\sigma'}(g_1, g_2)]

=\iota ''(c_{\sigma}(g_1, g_2)c_{\sigma'}(g_1, g_2))

On a donc $c_{\sigma''}(g_1, g_2) =c_{\sigma}(g_1, g_2)c_{\sigma'}(g_1, g_2)$ .

Démontrons que l’application Θ est injective. Soit donc $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ une $\tau$ -extension et soit $\sigma$ une section de l’application $\pi$ telle que l’image de $c_{\sigma}$ dans $H^2(G,F)$ soit triviale. Il existe donc une application $a: G\rightarrow F$ telle que

c_{\sigma}(g_1, g_2) = (^{g_1}a(g_2))a(g_1g_2)^{-1}a(g_1)

pour tous $g_1, g_2\in G$ . On définit alors $\sigma ': G\rightarrow \Gamma$ par

\sigma '(g) =\iota (a(g)^{-1})\sigma (g)

pour $g\in G$ . En utilisant (11), on obtient que $c_{\sigma'}$ est constante de valeur 1 ; par conséquent, $\sigma '$ est un homomorphisme de groupes ce qui prouve que la $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ est semi-triviale (I, p. 64, prop. 4).

Démontrons que l’application Θ est surjective. Soit $c$ un élément de $Z^2(G,F)$ . On munit l’ensemble $\Gamma = F\times G$ de la loi de composition suivante :

(f_1, g_1)(f_2, g_2) = (f_1(^{g_1}f_2)c(g_1, g_2), g_1g_2) \tag{12}

pour tous $f_1, f_2\in F$ et tous $g_1, g_2\in G$ ; on a les relations

(f_1, g_1)((f_2, g_2)(f_3, g_3)) = (f_1, g_1)(f_2(^{g_2}f_3)c(g_2, g_3), g_2g_3)

= (f_1(^{g_1}f_2)(^{g_1g_2}f_3)(^{g_1}c(g_2, g_3))c(g_1, g_2g_3), g_1g_2g_3)

((f_1, g_1)(f_2, g_2))(f_3, g_3) = (f_1(^{g_1}f_2)c(g_1, g_2), g_1g_2)(f_3, g_3)

= (f_1(^{g_1}f_2)(^{g_1g_2}f_3)c(g_1, g_2)c(g_1g_2, g_3), g_1g_2g_3)

pour tous $f_1, f_2, f_3\in F$ et tous $g_1,g_2, g_3\in G$ . Il en résulte que cette loi est associative car $c_{\sigma}$ est un 2-cocycle. Pour tout $(f, g)\in \Gamma$ , on a

(f, g)(c(e, e)^{-1}, e) = (f(^gc(e, e)^{-1})c(g, e), g)

or il résulte de la définition d’un 2-cocycle que $c(g, e) =^gc(e, e)$ , d’où l’on déduit que $(f, g)(c(e, e)^{-1}, e) = (f, g)$ . De manière analogue on démontre que

(c(e, e)^{-1}, e)(f, g) = (f c(e, e)^{-1}c(e, g), g) = (f, g)

La loi de composition définie par (12) admet donc $(c(e, e)^{-1}, e)$ comme élément neutre et tout élément $(f, g)$ de Γ est inversible, d’inverse

(^{g^{-1}}(f^{-1}c(e, e)^{-1}c(g, g^{-1})^{-1}), g^{-1})

On a donc muni Γ d’une structure de groupe. Notons alors $\iota : F\rightarrow G$ l’application envoyant $f$ sur $(c(e, e)^{-1}f, e),\pi : \Gamma \rightarrow G$ la deuxième projection et $\sigma$ l’application $g\rightarrow (1, g)$ . Les applications $\iota$ et $\pi$ sont des homomorphismes de groupes, le triplet $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ est alors une $\tau$ -extension, $\sigma$ une section de l’application $\pi$ et le cocycle associé $c_{\sigma}$ est égal à $c$ , car

\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1}= (1, g_1)(1, g_2)(1, g_1g_2)^{-1}= (c(g_1, g_2), g_1g_2)(1, g_1g_2)^{-1}

= (c(g_1, g_2)c(e, g_1g_2)^{-1}, e) = (c(e, e)^{-1}c(g_1, g_2), e)

pour $g_1, g_2\in G$ .

Remarque 00RK

v(\tau (g).f) =\tau '(g).v(f) \tag{13}

pour $g\in G$ et $f\in F$ . Soit $\alpha$ un élément de Ex $_{\tau}(G,F)$ . Si le cocycle $c$ représente $\Theta (\alpha )$ , alors $v\circ c$ représente $\Theta (v_*(\alpha ))\in H^2(G,F')$ .

6. Restriction et corestriction

Soient G et $G'$ des groupes, soit F un groupe abélien et soit $\tau$ un homomorphisme de G dans le groupe des automorphismes du groupe F. Soit $u: G'\rightarrow G$ un homomorphisme de groupes. On note $\tau '=\tau \circ u$ .

Si $\psi : G\times G\rightarrow F$ est un 2-cocycle de G à valeurs dans F, alors l’application $\psi \circ (u\times u)$ de $G'\times G'$ dans F donnée par $(g_1, g_2)\rightarrow \psi (u(g_1), u(g_2))$ est un 2cocycle de $G'$ à valeurs dans F et l’application $\psi \rightarrow \psi \circ (u\times u)$ de $Z^2(G,F)$ dans $Z^2(G',F)$ induit un homomorphisme de groupes $u^*: H^2(G,F)\rightarrow H^2(G',F)$ . Pour tout $\lambda \in H^2(G,F)$ , l’élément $u^*(\lambda )$ est appelé l’image inverse de $\lambda$ par $u$ . Lorsque $G'$ est un sous-groupe de G et $u: G'\rightarrow G$ est l’injection canonique, l’homomorphisme $u^*$ est appelée l’homomorphisme de restriction de G à G′ et on le note ResG′G. Lorsque G est un quotient de G′ et u : G′ → G est la surjection canonique, l’homomorphisme u* est appelée l’homomorphisme d’inflation de G à G′.

Proposition 7 00IS

Avec les notations qui précèdent, le diagramme

\begin{array}{ccc} \operatorname{Ex}_{\tau}(G, F) & \xrightarrow{u^*} & \operatorname{Ex}_{\tau}(G', F) \\ \downarrow \Theta_{\tau} & & \downarrow \Theta_{\tau'} \\ H^2(G, F) & \xrightarrow{u^*} & H^2(G', F) \end{array}

est commutatif.

Soit H un sous-groupe d’indice fini de G. Soit s une section de la surjection canonique de G dans $H\backslash G$ . On note (g, x) ↦ x.g l’action à droite de G sur $H\backslash G$ induite par l’action à droite de G sur lui-même par multiplication. Notons que pour tout x ∈ $H\backslash G$ et tout g ∈ G, l’élément s(x)gs(x.g)−1 appartient à H. Pour toute application c : H × H → F, on définit donc une application $\tilde{c}_s : G \times G \to F$ par la relation

\tilde{c}_s(g_1, g_2) = \prod_{x \in H\setminus G}^{s(x)^{-1}} c\left(s(x)g_1 s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2 s(x.g_1g_2)^{-1}\right)

pour $g_1, g_2 \in G$ . L’application $c \mapsto \tilde{c}_s$ est un homomorphisme de groupes de $F^{H \times H}$ dans $F^{G \times G}$ .

Lemme 4 00IT

Si $c : H \times H \to F$ est un 2-cocycle de H à valeurs dans F, alors $\tilde{c}_s$ est un 2-cocycle de G à valeurs dans F.

Soient $g_1, g_2$ et $g_3$ des éléments de G. Pour tout $i \in \{1, 2, 3\}$ on définit une application $h_i : H\setminus G \to H$ par la relation

h_i(x) = s(x.g_1 \cdots g_{i-1})g_i s(x.g_1 \cdots g_i)^{-1}

pour $x \in H\setminus G$ . Notons que

h_1(x)h_2(x) = s(x)g_1g_2 s(x.g_1g_2)^{-1} \quad \text{et} \quad h_2(x)h_3(x) = s(x.g_1)g_2g_3 s(x.g_1g_2g_3)^{-1}

pour $x\in H\backslash G$ . On a alors les relations

^{g_1}\widetilde{c}_s(g_2, g_3)\widetilde{c}_s(g_1g_2, g_3)^{-1}\widetilde{c}_s(g_1, g_2g_3)\widetilde{c}_s(g_1, g_2)^{-1}

=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x)^{-1}}c(s(x)g_2s(x.g_2)^{-1}, s(x.g_2)g_3s(x.g_2g_3)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(h_1(x)h_2(x), h_3(x))^{-1}c(h_1(x), h_2(x)h_3(x))c(h_1(x), h_2(x))^{-1})

=\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x.g_1^{-1})^{-1}h_1(x.g^{-1}_1)}c(h_2(x.g_1^{-1}), h_3(x.g_1^{-1}))

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}h_1(x)}c(h_2(x), h_3(x))^{-1}

= 1

où la deuxième égalité résulte du fait que $c$ est un 2-cocycle.

Lemme 5 00IU

Si $c$ est un 2-cobord, alors il en est de même de $\widetilde{c}_s$ .

Soit $t: H\rightarrow F$ une application telle que $c=\partial t$ . Soient $\widetilde{t}_s: G\rightarrow F$ l’application définie par

\widetilde{t}_s(g) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}t(s(x)gs(x.g)^{-1})

pour $g\in G$ . Il suffit de démontrer que $\widetilde{c}_s=\partial \widetilde{t}_s$ , ce qui découle des relations

\widetilde{c}_s(g_1, g_2) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}}t(s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(t(s(x)g_1g_2s(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}t(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}))

=\partial \widetilde{t}_s(g_1, g_2)

pour $g_1, g_2\in G$ .

Lemme 6 00IV

Soit $c$ un 2-cocycle de H à valeurs dans F. L’image de $\widetilde{c}_s$ dans le groupe $H^2(G,F)$ ne dépend pas du choix de la section $s$ .

Soit $s'$ une section de la surjection canonique de G dans $H\backslash G$ . Soit $h: H\backslash G\rightarrow H$ l’application caractérisée par les relations

s'(x) =h(x)s(x)

pour $x\in H\backslash G$ . Le 2-cocycle $\widetilde{c}_{s'}$ est alors donné par les relations

\widetilde{c}_{s'}(g_1, g_2)

=\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}h(x)^{-1}}c(h(x)s(x)g_1s'(x.g_1)^{-1}, s'(x.g_1)g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})

=\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}h(x.g_1)^{-1}, h(x.g_1)s(x.g_1)g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1s'(x.g_1)^{-1}))

=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x.g_1)^{-1}}c(h(x.g_1)^{-1}, h(x.g_1)s(x.g_1)g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, h(x.g_1)^{-1})^{-1}

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1s'(x.g_1)^{-1}))

=\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, h(x.g_1)^{-1})^{-1}

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x)^{-1}}c(h(x)^{-1}, h(x)s(x)g_2s'(x.g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1g_2s'(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1s'(x.g_1)^{-1}))

pour tous $g_1, g_2\in G$ ; la première égalité provient de la relation de cocycle (VIII, p. 291, relation (7)) appliquée aux éléments

$h(x)^{-1},h(x)s(x)g_1s'(x.g_1)^{-1}$ et $s'(x.g_1)g_2s'(x.g_1g_2)^{-1}$ ,

la seconde est obtenue en appliquant la relation de cocycle aux éléments

$s(x)g_1s(x.g_1)^{-1},h(x.g_1)^{-1}$ et $h(x.g_1)s(x.g_1)g_2s'(x.g_1g_2)^{-1}$ ,

la dernière utilise simplement le fait que l’application $x\rightarrow x.g_1$ est une permutation de $H\backslash G$ .

Les deux dernières lignes de l’expression obtenue correspondent à un 2-cobord. On obtient que $\widetilde{c}_{s'}$ a la même classe dans $H^2(G,F)$ que le cocycle dont la valeur en $(g_1, g_2)\in G^2$ est donnée par l’expression

\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1}h(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, h(x.g_1)^{-1})^{-1}

=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x.g_1)^{-1}}c(s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1}, h(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(s(x)g_1g_2s(x.g_1g_2)^{-1}, h(x.g_1g_2)^{-1})c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, h(x.g_1)^{-1})^{-1})

=\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x)^{-1}}c(s(x)g_2s(x.g_2)^{-1}, h(x.g_2)^{-1})^{-1}

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(s(x)g_1g_2s(x.g_1g_2)^{-1}, h(x.g_1g_2)^{-1})c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, h(x.g_1)^{-1})^{-1})

où la première égalité résulte de la relation de cocycle appliquée aux éléments

$s(x)g_1s(x.g_1)^{-1},s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1}$ et $h(x.g_1g_2)^{-1}$

Les deux dernières lignes de l’expression obtenue correspondent à un 2-cobord. On obtient que la classe de $\widetilde{c}_{s'}$ coïncide avec celle de $\widetilde{c}_s$ .

Nous avons construit un homomorphisme du groupe $H^2(H,F)$ dans le groupe $H^2(G,F)$ , qu’on appelle l’homomorphisme de corestriction de H à G et qu’on note Cor $^G_H$ .

Proposition 8 00IW

Soit H un sous-groupe d’indice fini de G. L’endomorphisme Cor $^G_H\circ$ Res $^G_H$ du groupe $H^2(G,F)$ coïncide avec la multiplication par l’indice (G : H).

Soit $\alpha$ un élément de $H^2(G,F)$ . Soit $c$ un élément de $Z^2(G,F)$ représentant $\alpha$ . L’élément Cor $^G_H\circ$ Res $^G_H(\alpha )$ est la classe du cocycle dont la valeur en $(g_1, g_2)\in G^2$ est donnée par l’expression

\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1})

=\prod_{x\in H\backslash G}c(g_1s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}(c(s(x)^{-1}, s(x)g_1g_2s(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}))

=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(s(x.g_1)^{-1}, s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, g_2s(x.g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x.g_1)^{-1})^{-1}

\times \prod_{x\in H\backslash G}(c(s(x)^{-1}, s(x)g_1g_2s(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}))

=\prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, g_2s(x.g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x.g_1)^{-1})^{-1}

\times \prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_2s(xg_2)^{-1})

\times \prod_{x\in H\backslash G}(c(s(x)^{-1}, s(x)g_1g_2s(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}))

la première égalité provient de la relation de cocycle (VIII, p. 291, relation (7)) appliquée aux éléments

$s(x)^{-1},s(x)g_1s(x.g_1)^{-1}$ et $s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1}$ ,

la seconde est obtenue en appliquant la relation de cocycle aux éléments

$g_1,s(x.g_1)^{-1}$ et $s(x.g_1)g_2s(x.g_1g_2)^{-1}$ .

En ôtant un cobord, on obtient que Cor $^G_H\circ$ Res $^G_H(\alpha )$ est la classe du cocycle dont la valeur en $(g_1, g_2)\in G^2$ est donnée par l’expression

\prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, g_2s(x.g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x.g_1)^{-1})^{-1}

=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(g_2, s(x.g_1g_2)^{-1})^{-1}c(g_1g_2, s(x.g_1g_2)^{-1})c(g_1, g_2)

\times \prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, s(x.g_1)^{-1})^{-1}

=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(g_2, s(x.g_2)^{-1})^{-1}c(g_1g_2, s(x.g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x.g_1)^{-1})^{-1}

\times c(g_1, g_2)^{(G:H)}

ce qui démontre le résultat.

7. Algèbres galoisiennes

Soit K un corps commutatif. Si E est une K-algèbre, on note Aut $_K(E)$ le groupe de ses automorphismes ; si E est une extension galoisienne du corps K, le groupe Aut $_K(E)$ n’est autre que le groupe de Galois Gal(E $/K$ ) (V, p. 56).

Soit G un groupe. On appelle $(K,G)$ -algèbre une K-algèbre E munie d’un homomorphisme de groupes $\lambda : G\rightarrow$ Aut $_K(E)$ . L’homomorphisme $\lambda$ munit alors E d’une structure de groupe à opérateurs dans G ainsi que d’une structure de K[G]-module à gauche dont la loi d’action est donnée par

(\sum_{g\in G}\mu_gg)x=\sum_{g\in G}\mu_g\lambda (g).x \tag{14}

pour tout $x\in L$ et tout élément $(\mu_g)_{g\in G}$ de K[G]. Un morphisme de $(K$ , G)-algèbres est un morphisme d’algèbres qui est également un morphisme de groupes à opérateurs.

Pour toute famille $(E_i)_{i\in I}$ de $(K$ , G)-algèbres, la K-algèbre produit $\prod_{i\in I}E_i$ munie de sa structure de groupe à opérateurs produit est une $(K$ , G)-algèbre.

Si E est une $(K$ , G)-algèbre, l’ensemble $E^G$ des éléments de E invariants sous G est une sous-algèbre de E.

Soit E une $(K$ , G)-algèbre, où G opère par $\lambda : G\rightarrow$ Aut $_K(E)$ . Si $K'$ est une extension de K, pour tout $g\in G$ , soit $\lambda '(g)$ l’automorphisme Id $_{K'}\otimes \lambda (g)$ de la $K'$ -algèbre $L_{(K')}$ . Alors $\lambda ':g\rightarrow \lambda '(g)$ munit $L_{(K')}$ d’une structure de $(K'$ , G)-algèbre.

Étant donné un groupe H et des H-ensembles X et Y, on note $\mathscr{F}_H(X,Y)$ l’ensemble des morphismes de H-ensembles de X dans Y. C’est donc l’ensemble des applications $f: X\rightarrow Y$ telles que $f(hx) =hf(x)$ pour tout $h\in H$ et tout $x\in X$ .

Soit G un groupe d’élément neutre $e$ , soit H un sous-groupe de G et soit E une $(K$ , H)-algèbre. On note Coïnd $^G_H(E)$ et on appelle $(K,G)$ -algèbre déduite de E par coïnduction de H à G la K-algèbre $\mathscr{F}_H(G,E)$ munie de l’action de G donnée par l’homomorphisme $\lambda$ de G dans Aut $_K$ (Coïnd $^G_H(E)$ ) défini par

(\lambda (g).f)(g') =f(g'g) \tag{15}

pour $f\in$ Coïnd $^G_H(E)$ et $g, g'\in G$ .

Lemme 7 00IX

a) Soit S une partie de G telle que tout élément de G s’écrive de manière unique sous la forme $hs$ avec $h\in H$ et $s\in S$ . Alors l’application envoyant $f$ sur $(f(s))_{s\in S}$ est un isomorphisme de la K-algèbre Coïnd $^G_H(E)$ sur la K-algèbre $\mathscr{F}(S,E)$ des applications de S dans E.

b) L’algèbre Coïnd $^G_H(E)$ est de degré fini sur K si et seulement si E est de degré fini sur K et l’indice de H par rapport à G est fini. Dans ce cas, on a la formule

[Coïnd $^G_H(E) : K] = (G : H)[E : K]$ .

c) Soient $E^H$ l’algèbre des invariants du groupe H dans E et Coïnd $^G_H(E)^G$ celle du groupe G dans Coïnd $^G_H(E)$ . L’application $f\rightarrow f(e)$ de Coïnd $^G_H(E)$ dans E induit par passage aux sous-ensembles un isomorphisme d’algèbres de Coïnd $^G_H(E)^G$ sur $E^H$ .

L’assertion a) résulte des définitions et b) en découle. Par (15), une application de G dans E est un élément de Coïnd $^G_H(E)$ invariant sous G si et seulement si elle est constante de valeur un élément de E invariant sous H.

Remarque 1 00IY

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et N un sous-groupe de H. Soit E une $(K$ , N)-algèbre. Soit $\alpha$ un élément de $\mathscr{F}_H(G,\mathscr{F}_N(H,E))$ . On a la relation

\alpha (g)(nh) =n(\alpha (g)(h)) \tag{16}

pour tout $g\in G$ , tout $h\in H$ et tout $n\in N$ et les relations

\alpha (hg)(h') = (h\alpha (g))(h') =\alpha (g)(h'h) \tag{17}

pour tous $h, h'\in H$ et tout $g\in G$ . Par conséquent, $\alpha (ng)(e) =\alpha (g)(n) =n(\alpha (g)(e))$ pour tout $g\in G$ et tout $n\in N$ . On peut donc considérer l’application

\psi :\mathscr{F}_H(G,\mathscr{F}_N(H,E))\rightarrow \mathscr{F}_N(G,E)

définie par la relation $\psi (\alpha )(g) =\alpha (g)(e)$ pour tout élément $\alpha$ de $\mathscr{F}_H(G,\mathscr{F}_N(H,E))$ et tout élément $g$ de G. L’application $\psi$ est un isomorphisme d’algèbres de l’algèbre Coïnd $^G_H$ (Coïnd $^H_N(E)$ ) sur Coïnd $^G_N(E)$ dont la réciproque envoie un élément $\beta$ de $\mathscr{F}_N(G,E)$ sur l’application $\alpha$ définie par la relation $\alpha (g)(h) =\beta (hg)$ pour $g\in G$ et $h\in H$ .

On suppose maintenant donnés un groupe fini G, une K-algèbre L commutative, de degré fini et réduite (V, p. 33), munie en outre d’une action de G donnée par un homomorphisme $\lambda$ de G dans Aut $_K(L)$ . Pour $x\in L$ et $g\in G$ , on note $g.x$ le transformé de $x$ par l’automorphisme $\lambda (g)$ de L. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des idéaux maximaux de L ; on note $g.\mathfrak{m}$ le transformé d’un élément $\mathfrak{m}$ de $\mathscr{S}$ par l’automorphisme $\lambda (g)$ de L. C’est un élément de $\mathscr{S}$ . Pour tout $\mathfrak{m}$ de $\mathscr{S}$ , le corps $L/\mathfrak{m}$ est une extension finie de K. On note $\pi_{\mathfrak{m}}: L\rightarrow L/\mathfrak{m}$ et $G_{\mathfrak{m}}$ le stabilisateur de $\mathfrak{m}$ dans G, c’est-à-dire l’ensemble des $g\in G$ tels que $g\mathfrak{m}=\mathfrak{m}$ ; la K-algèbre $L/\mathfrak{m}$ est munie d’une action de $G_{\mathfrak{m}}$ via l’homomorphisme $\lambda_{\mathfrak{m}}$ de $G_{\mathfrak{m}}$ dans Aut $_K(L/\mathfrak{m})$ qui, à un élément $h$ de $G_{\mathfrak{m}}$ , associe l’automorphisme de $L/\mathfrak{m}$ déduit de $\lambda (h)$ par passage aux quotients.

Soit $\mathscr{O}$ l’ensemble des orbites de G dans $\mathscr{S}$ . Étant donnée une orbite $\sigma \in \mathscr{O}$ , posons $\mathfrak{a}_{\sigma}=\bigcap_{\mathfrak{m}\in\sigma}\mathfrak{m}$ et $L_{\sigma}= L/\mathfrak{a}_{\sigma}$ . Comme $\mathfrak{a}_{\sigma}$ est invariant par G, l’action de G sur L définit par passage aux quotients un homomorphisme $\lambda_{\sigma}$ de G dans Aut $_K(L_{\sigma})$ . Enfin, notons $\pi_{\sigma}$ l’application canonique de L sur $L_{\sigma}$ .

Lemme 8 00RL

a) Pour tout $g\in G$ , tout $\sigma \in \mathscr{O}$ et tout $\mathfrak{m}\in \sigma$ ,

$[L_{\sigma}: K] =$ Card( $\sigma$ ) $[L/\mathfrak{m}: K]$ .

b) L’application $\pi :x\rightarrow (\pi_{\sigma}(x))_{\sigma\in\mathscr{O}}$ est un isomorphisme de $(K,G)$ -algèbres de L sur $\prod_{\sigma\in\mathscr{O}}L_{\sigma}$ .

c) Notons $L^G$ (resp. $L^G_{\sigma}$ )la sous-algèbre de L (resp. $L_{\sigma}$ )des éléments invariants sous l’action de G dans L (resp. $L_{\sigma}$ ). Alors $\pi$ induit un isomorphisme de $L^G$ sur $\prod_{\sigma\in\mathscr{O}}L^G_{\sigma}$ .

Comme l’algèbre L est réduite et de degré fini, l’intersection des idéaux maximaux de L est réduite à 0 (VIII, p. 169, cor. 2). De plus si $\mathfrak{m}$ et $\mathfrak{m}'$ sont deux idéaux maximaux de L distincts, on a $\mathfrak{m}+\mathfrak{m}'= L$ . D’après la prop. 10 de I, p. 105, l’application canonique de L dans $\prod_{\mathfrak{m}\in\mathscr{S}}L/\mathfrak{m}$ est un isomorphisme de même que l’application canonique de $L/\mathfrak{a}_{\sigma}$ dans $\prod_{\mathfrak{m}\in\sigma}L/\mathfrak{m}$ , pour tout $\sigma \in \mathscr{O}$ . L’assertion a) en résulte. Comme $\mathscr{O}$ est une partition de $\mathscr{S}$ , l’assertion b) en découle et c) est une conséquence immédiate de b).

Fixons maintenant une orbite $\sigma \in \mathscr{O}$ et un élément $\mathfrak{m}$ de $\sigma$ . Posons $F_{\mathfrak{m}}=$ Coïnd $^G_{G_{\mathfrak{m}}}(L/\mathfrak{m})$ et notons $\lambda_{F_{\mathfrak{m}}}$ l’action de G sur $F_{\mathfrak{m}}$ . Pour tout $x\in L$ , notons $\overline{x}$ l’application de G dans $L/\mathfrak{m}$ qui envoie $g$ sur $\pi_{\mathfrak{m}}(gx)$ . Compte tenu de la formule (15) de VIII, p. 300 et de la définition de l’action de $G_{\mathfrak{m}}$ sur $L/\mathfrak{m}$ , il est immédiat que $\overline{x}$ appartient à $F_{\mathfrak{m}}$ et l’application $u:x\rightarrow \overline{x}$ de L dans $F_{\mathfrak{m}}$ vérifie $\lambda_{F_{\mathfrak{m}}}(g)\circ u=u\circ \lambda (g)$ pour $g\in G$ . Autrement dit, $u$ est un morphisme de $(K$ , G)-algèbres.

Lemme 9 00IZ

Le morphime $u$ est surjectif de noyau $\mathfrak{a}_{\sigma}$ . L’application déduite de $u$ par passage au quotient est un isomorphisme de $(K,G)$ -algèbres de $L_{\sigma}$ sur $F_{\mathfrak{m}}$ .

Comme le noyau de $\pi_{\mathfrak{m}}$ est égal à $\mathfrak{m}$ , celui de $u$ est égal à $\bigcap_{g\in G}g^{-1}.\mathfrak{m}=\mathfrak{a}_{\sigma}$ . Pour prouver que $u$ est surjectif, il suffit de démontrer que les espaces vectoriels $L_{\sigma}= L/\mathfrak{a}_{\sigma}$ et $F_{\mathfrak{m}}$ ont même dimension sur K. Or tous les idéaux $g.\mathfrak{m}$ ont la même codimension dans L et, par le lemme 8 a),

$[L_{\sigma}: K] =$ Card( $\sigma$ ) $.[L/\mathfrak{m}: K]$ .

Par ailleurs, d’après le lemme 7, b) de VIII, p. 300, on a

[F_{\mathfrak{m}}: K] = (G : G_{\mathfrak{m}})[L/\mathfrak{m}: K]

comme on a Card( $\sigma$ ) $= (G : G_{\mathfrak{m}})$ , on a prouvé l’égalité $[L_{\sigma}: K] = [F_{\mathfrak{m}}: K]$ .

On suppose maintenant en outre que l’homomorphisme $\lambda$ de G dans Aut $_K(L)$ est injectif. On identifie K à son image dans L par l’application $\xi \rightarrow \xi .1$ . Par ailleurs, soit Ω une extension algébriquement close de K. L’ensemble $\mathscr{F}(G,\Omega )$ des applications de G dans Ω coïncide avec la $(\Omega$ , G)-algèbre coïnduite Coïnd $^G_{\{e\}}(\Omega )$ . C’est un Ω[G]module libre de rang 1. Soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des homomorphismes de K-algèbres de L dans Ω. On fait opérer G à droite sur $\mathscr{H}$ par la loi d’action $(g, \chi )\rightarrow \chi \circ \lambda (g)$ . La Ω-algèbre $\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega )$ est alors munie d’une structure de $(\Omega$ , G)-algèbre déduite de l’action à droite de G sur $\mathscr{H}$ .

Lemme 10 00J0

Soit L une $(K,G)$ -algèbre qui est étale sur K. L’application $\psi$ de $L_{(\Omega )}$ dans $\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega )$ caractérisée par la relation

\psi (\xi \otimes x) = (\xi \chi (x))_{\chi\in\mathscr{H}}

est un isomorphisme de $(K,G)$ -algèbres.

Comme L est étale, l’application $\psi$ est un isomorphisme de Ω-algèbres (V, p. 29, prop. 2 et V, p. 28, prop. 1, c)). On a les relations

$\psi$ ((Id $\otimes \lambda (g)$ ) $(\xi \otimes x)$ ) $= (\xi (\chi \circ \lambda (g))(x))_{\chi\in\mathscr{H}}$

pour $\xi \in \Omega ,x\in L$ et $g\in G$ . Donc $\psi$ est un morphisme de $(\Omega$ , G)-algèbres.

Théorème 2 00J1

Soit G un groupe fini et soit L une K-algèbre commutative, de degré fini et réduite munie d’une action de G donnée par un homomorphisme injectif $\lambda$ de G dans Aut $_K(L)$ . Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe un sous-groupe H de G, une extension galoisienne E de degré fini de K, un isomorphisme de H sur Gal(E $/K$ )et un isomorphisme de $(K,G)$ -algèbres de L sur Coïnd $^G_H(E)$ ;

(ii) L’algèbre L est étale et $\mathscr{H}$ est un G-ensemble principal homogène (I, p. 58, déf. 7) ;

(iii) Il existe un isomorphisme de $(\Omega ,G)$ -algèbres $\psi : L_{(\Omega )}\rightarrow \mathscr{F}(G,\Omega )$ autrement dit, pour tout $g\in G$ , l’automorphisme $\psi \circ \lambda (g)_{(\Omega )}\circ \psi^{-1}$ est égal à l’automorphisme

(x_h)_{h\in G}\longrightarrow (x_{hg})_{h\in G}

de $\Omega^G$ ;

(iv) L’algèbre L est réduite et L est un K[G]-module libre de rang 1 ;

(v) L’algèbre L est réduite, on a Card(G) = [L : K] et K est le sous-anneau de L des éléments invariants sous l’action de G ;

(vi) L’algèbre L est réduite, le groupe G opère transitivement sur l’ensemble des idéaux maximaux de L et, pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de L, le stabilisateur $G_{\mathfrak{m}}$ de $\mathfrak{m}$ dans G agit fidèlement dans $L/\mathfrak{m}$ et admet K comme sous-corps des invariants.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : Soient E une extension galoisienne de degré fini de K et $\tau$ un isomorphisme de H sur Aut $_K(E)$ . Soit S un système de représentants des classes à droite suivant H dans G. La K-algèbre F = Coïnd $^G_H(E)$ est isomorphe à $\mathscr{F}(S,E)$ (VIII, p. 300, lemme 7 a)), elle est donc étale. Notons $\lambda_F$ l’action de G sur F. Par ailleurs, soit $\psi$ un homomorphisme de K-algèbres de E dans Ω et soit $\chi_0$ l’homomorphisme $f\rightarrow \psi (f(e))$ de F dans Ω. Soit $g\in G$ tel que l’on ait $\chi_0\circ \lambda_F(g) =\chi_0$ ; Comme $\psi$ est injective, on a alors $f(g) =f(e)$ pour tout $f\in F$ . Compte tenu du lemme 7, a) de VIII, p. 300 $,g\in H$ et par la formule

f(h) =\tau (h).f(e) \tag{18}

valide pour tout $h\in H$ , ceci ne peut avoir lieu que pour $g=e$ . D’autre part, d’après le lemme 7, b) de VIII, p. 300 et le th. 3 de V, p. 64, on a

[F : K] = (G : H)[E : K] = (G : H) Card(H) = Card(G).

L’ensemble $\mathscr{K}$ des K-homomorphismes de F dans Ω est de cardinal [F : K] puisque F est étale (V, p. 31, prop. 4), d’où Card( $\mathscr{K}$ ) $=$ Card(G). Comme le stabilisateur de $\chi_0$ dans G est égal à $\{e\}$ par ce qui précède, le G-ensemble $\mathscr{K}$ est principal homogène.

(ii) $\Rightarrow$ (iii) : Supposons que L soit étale et que $\mathscr{H}$ soit un G-ensemble principal homogène. Par le lemme 10, les $(\Omega$ , G)-algèbres $L_{(\Omega )}$ et $\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega )$ sont isomorphes. Comme $\mathscr{H}$ est un G-ensemble principal homogène, les $(\Omega$ , G)-algèbres $\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega )$ et $\mathscr{F}(G,\Omega )$ sont isomorphes.

(iii) $\Rightarrow$ (iv) : Supposons la propriété (iii) satisfaite ; alors $L_{(\Omega )}$ est un module libre de rang 1 sur l’algèbre Ω[G] et cette dernière s’identifie canoniquement à $K[G]_{(\Omega )}$ . On applique alors le théorème 3 de VIII, p. 34.

L’implication (iv) $\Rightarrow$ (v) est immédiate.

Démontrons l’implication (v) $\Rightarrow$ (vi). L’algèbre L est réduite. Par le lemme 8, c), G opère transitivement sur l’ensemble $\mathscr{S}$ des idéaux maximaux de L. Soit $\mathfrak{m}$ un élément de $\mathscr{S}$ . Par le lemme 9, comme $\bigcap_{\mathfrak{n}\in\mathscr{S}}\mathfrak{n}=\{0\}$ , l’algèbre L est isomorphe à l’algèbre Coïnd $^G_{G_{\mathfrak{m}}}(L/\mathfrak{m})$ . L’algèbre des invariants de $G_{\mathfrak{m}}$ dans $L/\mathfrak{m}$ coïncide donc avec K par le lemme 7, c). Donc l’homomorphisme $\lambda_{\mathfrak{m}}$ de $G_{\mathfrak{m}}$ sur Gal((L $/\mathfrak{m}$ ) $/K$ ) est surjectif. Par la lemme 7, on a en outre

Card(G) $= [L : K] = (G : G_{\mathfrak{m}})[L/\mathfrak{m}: K]$ Donc Card(G $_{\mathfrak{m}}$ ) $= [L/\mathfrak{m}: K]$ et l’homomorphisme $\lambda_{\mathfrak{m}}$ est injectif.

Il reste à démontrer l’implication (vi) $\Rightarrow$ (i). Soit $\mathfrak{m}$ un idéal maximal de L. Par le lemme 9, l’algèbre L est isomorphe à l’algèbre Coïnd $^G_{G_{\mathfrak{m}}}(L/\mathfrak{m})$ en tant que $(K$ , G)-algèbre. Comme $G_{\mathfrak{m}}$ agit fidèlement dans $L/\mathfrak{m}$ et admet K comme sous-corps des invariants, l’homomorphisme de groupes $\lambda_{\mathfrak{m}}$ définit un isomorphisme de $G_{\mathfrak{m}}$ sur Gal((L $/\mathfrak{m}$ ) $/K$ ).

Remarque 2 00J2

Dans le théorème 2, on peut remplacer l’hypothèse que Ω est algébriquement clos par l’hypothèse que Ω est séparablement clos. En effet, si L est étale, l’image de tout homomorphisme de K-algèbres de L dans Ω est une extension séparable de K.

Remarque 3 00J3

Le théorème de la base normale (V, p. 70, th. 6) est un cas particulier de l’implication (i) $\Rightarrow$ (iv) dans le théorème 2.

Définition 1 00J4

Soit G un groupe fini et soit L une algèbre commutative, non nulle, et de degré fini sur K, munie d’une structure de $(K,G)$ -algèbre, l’action de G étant donnée par un homomorphisme injectif de G dans le groupe Aut $_K(L)$ . On dit que L est une algèbre galoisienne de groupe G si elle satisfait aux propriétés équivalentes (i) à (vi) du théorème 2.

Remarque 4 00J5

Supposons que L soit une extension de K munie d’une action $\lambda$ de G. Alors L est une algèbre galoisienne sur K si et seulement si L est une extension galoisienne de K et $\lambda$ un isomorphisme de G sur le groupe de Galois de L sur K.

Remarque 5 00J6

Supposons que le groupe G soit commutatif. Si G opère fidèlement et transitivement sur un ensemble X, le stabilisateur de tout point de X est réduit à l’identité (car les stabilisateurs des points de X sont tous égaux et leur intersection est réduite à l’élément neutre de G). Par suite, les propriétés (i) à (vi) énoncées dans le théorème 2 sont encore équivalentes à la suivante :

(vii) L’algèbre L est étale et G opère fidèlement et transitivement sur $\mathscr{H}$ .

Remarque 6 00J7

D’après V, p. 72, lemme 5, V, p. 73, prop. 12 et VIII, p. 133, prop. 3, une algèbre galoisienne est commutative et semi-simple.

Exemple 1 00J8

Soit $n$ un entier strictement positif, étranger à l’exposant caractéristique de K. On suppose que le groupe $\mu_n$ des racines $n$ -èmes de l’unité dans K est d’ordre $n$ . Pour tout diviseur $d$ de $n$ , le groupe $\mu_d$ des racines $d$ -èmes de l’unité est alors d’ordre $d$ . Soit $a$ un élément non nul de K, soit L l’algèbre $K[X]/(X^n-a)$ et soit $x$ la classe de X dans L. La suite $(1, x, . . . , x^{n-1})$ est une base de l’espace vectoriel L sur le corps K et l’on a $x^n=a$ . De plus, le polynôme $X^n-a$ est étranger à sa dérivée $nX^{n-1}$ , donc l’algèbre L est étale (V, p. 36, prop. 3). Pour tout $\zeta$ dans $\mu_n$ , l’automorphisme $P(X)\rightarrow P(\zeta X)$ de l’anneau K[X] définit par passage aux quotients un endomorphisme $\lambda (\zeta )$ de L, puisqu’on a $(\zeta X)^n-a= X^n-a$ ; c’est un automorphisme. On a

\lambda (\zeta )x^i=\zeta^ix^i \tag{19}

pour $0\leqslant i < n$ . L’application $\lambda :\zeta \rightarrow \lambda (\zeta )$ est un homomorphisme injectif de $\mu_n$ dans Aut $_K(L)$ et l’anneau des invariants du groupe $\lambda (\mu_n)$ dans L est égal à $K.1$ . Comme le cardinal de $\mu_n$ est égal à $n= [L : K]$ , l’algèbre L munie de l’action $\lambda$ est une algèbre galoisienne (VIII, p. 303, th. 2, (v)).

Soit $r$ le plus petit entier strictement positif tel que $a^r$ appartienne à $K^{*n}$ ; c’est un diviseur de $n$ et il existe un élément $b$ de $K^*$ tel que $a=b^{n/r}$ . Alors (V, p. 87, remarque), le polynôme $X^r-b$ est irréductible et l’on a $X^n-a=\prod_{\zeta\in\mu_{n/r}}(X^r-\zeta b)$ . Soit E le corps $K[Y]/(Y^r-b)$ et soit $y$ la classe de Y dans E. Il existe un isomorphisme $\theta$ de $\mu_{n/r}$ sur Gal(E $/K$ ), caractérisé par la relation $\theta (\xi )(y) =\xi y$ (V, p. 86, exemple 3). On vérifie alors que l’algèbre galoisienne L est isomorphe à la $(K, \mu_n$ )-algèbre Coïnd $^{\mu_n}_{\mu_{n/r}}(E)$ .

Exemple 2 00J9

Supposons maintenant que le corps K soit de caractéristique $p\not= 0$ . Soit $c$ un élément de K. Le polynôme $f= X^p-X-c$ est étranger à sa dérivée $f'=-1$ , l’algèbre $L = K[X]/(f)$ est donc étale (V, p. 36, prop. 3). On note $x$ l’image de X dans L, et on a la relation $x^p=x+c$ ; la suite $(1, x, . . . , x^{p-1})$ est une base de L considéré comme espace vectoriel sur K.

Soit P le groupe additif du sous-corps premier de K ; c’est un groupe cyclique d’ordre $p$ , engendré par l’élément unité 1 de K. Pour tout $j$ dans P, on a $j^p=j$ (V, p. 4, (4)), d’où $f(X +j) =f(X)$ . Il existe donc un automorphisme $\gamma (j)$ de l’algèbre L caractérisé par la relation $\gamma (j)(x) =x+j$ ; de plus, l’application $\gamma$ ainsi définie est un homomorphisme injectif de P dans Aut $_K(L)$ .

Soit Ω une extension algébriquement close de K et soit $\xi$ une racine du polynôme $f$ dans Ω. On a $\xi^p=\xi +c$ , d’où

X^p-X-c= (X^p-\xi^p)-(X-\xi ) = (X-\xi )^p-(X-\xi ) =\prod_{j\in P}(X-\xi -j)

d’après V, p. 89, formule (1). Pour tout $j$ dans P, il existe un unique homomorphisme d’algèbres $\chi_j: L\rightarrow \Omega$ qui applique $x$ sur $\xi +j$ ; de plus, tout homomorphisme de L dans Ω est l’un des $\chi_j$ et l’on a la relation $\chi_j=\chi_0\circ \gamma (j)$ . D’après la condition (ii) du th. 2 de VIII, p. 303, l’algèbre L munie de $\gamma$ est une algèbre galoisienne sur K.

Pour décrire la structure de L on doit distinguer deux cas :

a) On a $\xi \notin K :$ alors le polynôme $f(X)$ est irréductible dans K[X] (V, p. 89, exemple 3). Dans ce cas L est une extension cyclique de degré $p$ de K et $\gamma$ est un isomorphisme de P sur Gal(L $/K$ ).

b) On a $\xi \in K :$ alors l’application $\psi :y\rightarrow (\chi_j(y))_{j\in P}$ est un isomorphisme de l’algèbre L sur l’algèbre produit $K^P$ ; de plus, $\psi \circ \gamma (k)\circ \psi^{-1}$ est l’automorphisme $(x_j)_{j\in P}\rightarrow (x_{j+k})_{j\in P}$ de $K^P$ pour tout $k\in P$ .

8. Opérations sur les algèbres galoisiennes

Proposition 9 00JA

Soit G un groupe fini, soit H un sous-groupe de G et soit E une algèbre galoisienne de groupe H sur le corps K. Alors la $(K,G)$ -algèbre Coïnd $^G_H(E)$ déduite de E par coïnduction de H à G est une algèbre galoisienne de groupe G sur le corps K.

Comme E est une algèbre galoisienne sur K, l’algèbre E est réduite, on a Card(H) = [E : K] et K est l’anneau des invariants de H dans E (propriété (v) du th. 2 de VIII, p. 303). Mais d’après le lemme 7 de VIII, p. 300, l’algèbre F = Coïnd $^G_H(E)$ est réduite, et on a

[F : K] = (G : H)[E : K] = (G : H) Card(H) = Card(G),

et K est l’anneau des invariants de G dans F. Donc F est une algèbre galoisienne d’après le critère donné par le th. 2, (v).

Proposition 10 00JB

Soit G un groupe fini. Soit L une algèbre galoisienne de groupe G sur le corps K et soit $K'$ une extension de K. Alors la $(K',G)$ -algèbre $L_{(K')}$ est une algèbre galoisienne sur $K'$ .

On utilise le th. 2, (v) en remarquant que si la K-algèbre L est étale, la $K'$ -algèbre $L_{(K')}$ l’est aussi (V, p. 32, cor. 2), que l’on a l’égalité $[L_{(K')}: K'] = [L : K]$ , et que l’anneau des invariants de G dans $L_{(K')}$ est $(L^G)_{(K')}$ , où $L^G$ est l’anneau des invariants de G dans L.

Proposition 11 00JC

Soient $G_1$ et $G_2$ des groupes. Soient $L_1$ et $L_2$ des algèbres galoisiennes sur K d’actions respectives $\lambda_1: G_1\rightarrow$ Aut $_K(L_1)$ et $\lambda_2: G_2\rightarrow$ Aut $_K(L_2)$ . Posons $L = L_1\otimes_KL_2, G = G_1\times G_2$ et $\lambda (g_1, g_2) =\lambda_1(g_1)\otimes \lambda_2(g_2)$ pour $(g_1, g_2)\in G$ . Alors la K-algèbre L munie de l’action $\lambda$ est une algèbre galoisienne sur K.

On raisonne comme précédemment au moyen des remarques suivantes : si $L_1$ et $L_2$ sont étales, il en est de même de l’algèbre $L = L_1\otimes_KL_2$ (V, p. 31, cor. 1) et l’on a les égalités

$[L : K] = [L_1: K][L_2: K]$ et Card(G) = Card(G $_1$ ) Card(G $_2$ ).

De plus si $L^{G_i}_i$ désigne l’anneau des invariants de $G_i$ dans $L_i$ alors il résulte du lemme suivant que $L^{G_1}_1\otimes_KL^{G_2}_2$ est l’anneau des invariants de $G_1\times G_2$ dans $L_1\otimes_KL_2$ .

Lemme 11 00JD

Soient $G_1$ et $G_2$ des groupes et soient $W_1$ et $W_2$ des K-espaces vectoriels. On munit $W_1$ (resp. $W_2$ )d’une action de $G_1$ (resp. $G_2$ )donnée par un homomorphisme de groupes $\rho_1: G_1\rightarrow$ Aut $_K(W_1)$ (resp. $\rho_2: G_2\rightarrow$ Aut $_K(W_2)$ ). On considère l’homomorphisme de groupes

$\rho_1\otimes \rho_2: G_1\times G_2\longrightarrow$ Aut $_K(W_1\otimes_KW_2)$

défini par la relation $(\rho_1\otimes \rho_2)(g_1, g_2)(w_1\otimes w_2) =\rho_1(g_1)(w_1)\otimes \rho_2(g_2)(w_2)$ , pour tout $g_1\in G_1$ tout $g_2\in G_2$ , tout $w_1\in W_1$ et tout $w_2\in W_2$ . Alors l’application linéaire de $W^{G_1}_1\otimes_KW^{G_2}_2$ dans $W_1\otimes_KW_2$ donnée par le produit tensoriel des injections canoniques induit un isomorphisme de K-espaces vectoriels de $W^{G_1}_1\otimes_KW_2^{G_2}$ sur $(W_1\otimes_KW_2)^{G_1\times G_2}$ .

Cela résulte du lemme 1 de VIII, p. 209, appliqué aux K[G]-modules $M_1=$ $M_2= K$ munis de l’action triviale de $G, N_1= W_1$ et $N_2= W_2$ .

Remarque 00JE

☡ Soit L une extension galoisienne de degré fini du corps K et soit G son groupe de Galois ; notons $\lambda$ l’application identique de G. Alors L muni de $\lambda$ est une algèbre galoisienne de groupe G sur K. Soit $K'$ une extension de K. D’après la proposition 10, $L_{(K')}$ est une algèbre galoisienne sur $K'$ , mais ce n’est pas en général une extension de $K'$ . De manière analogue, d’après la prop. 11, le produit tensoriel d’extensions galoisiennes E et F de degré fini de K peut être considéré comme une algèbre galoisienne ; en général, ce n’est pas une extension galoisienne de K. C’est néanmoins le cas si E et F sont en outre des sous-extensions linéairement disjointes d’une extension de K (V, p. 13 et p. 55, prop. 1).

9. Produits croisés

Soit K un corps et soit G un groupe dont on note $e$ l’élément neutre, soit L une K-algèbre commutative et soit $\lambda$ un homomorphisme de G dans le groupe des automorphismes de la K-algèbre L. Pour tout $g$ de G, soit $\tau (g)$ l’automorphisme du groupe multiplicatif $L^*$ de L qui est induit par $\lambda (g)$ .

Soit $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ une $\tau$ -extension du groupe G par $L^*$ . Faisons opérer le groupe $L^*$ à droite sur l’ensemble $L\times \Gamma$ par la loi d’opération :

(\beta , \gamma ).\alpha = (\beta \alpha , \iota (\alpha )^{-1}\gamma ) \tag{20}

pour $\alpha \in L^*,\beta \in L$ et $\gamma \in \Gamma$ . Notons E l’ensemble des orbites de $L^*$ dans $L\times \Gamma$ et $[\beta ;\gamma ]$ l’orbite du couple $(\beta , \gamma )$ . On a donc par construction la relation

[\beta \alpha ;\gamma ] = [\beta ;\iota (\alpha )\gamma ] \tag{21}

pour $\alpha \in L^*,\beta \in L$ et $\gamma \in \Gamma$ .

Étant donnés $\beta$ dans L et $\gamma$ dans Γ, on note $^{\gamma}\beta$ le transformé de $\beta$ par l’automorphisme $\lambda \circ \pi (\gamma )$ de L ; on a les relations

(22) $^{\gamma}(^{\gamma'}\beta ) =^{\gamma \gamma'}\beta ,^{\gamma}(\beta +\beta ') =^{\gamma}\beta +^{\gamma}\beta '$ et $^{\gamma}(\beta \beta ') =^{\gamma}\beta^{\gamma}\beta '$

pour $\gamma , \gamma '$ dans Γ et $\beta , \beta '$ dans L. Il existe une loi de composition sur E caractérisée par la relation

[\beta ;\gamma ][\beta ';\gamma '] = [\beta^{\gamma}\beta ';\gamma \gamma '] \tag{23}

en effet, il suffit de vérifier que le membre de droite ne change pas si l’on remplace respectivement $\beta ,\gamma ,\beta ',\gamma '$ par $\beta \alpha ,\iota (\alpha )^{-1}\gamma ,\beta '\alpha ',\iota (\alpha ')^{-1}\gamma '$ avec $\alpha ,\alpha '$ dans $L^*$ et cela résulte aussitôt de la formule (1) de VIII, p. 281 appliquée à $\mathscr{E}$ qui s’écrit également $\gamma \iota (\alpha ) =\iota (^{\gamma}\alpha )\gamma$ pour $\gamma \in \Gamma$ et $\alpha \in L^*$ . D’après les formules (22), l’ensemble E muni de cette loi est un monoïde d’élément neutre $[1;e]$ .

Comme $\pi \circ \iota$ est constante de valeur $e$ , il existe une application $\widetilde{\pi}$ de E dans G telle que l’on ait

\widetilde{\pi}([\beta ;\gamma ]) =\pi (\gamma ) \tag{24}

pour $\beta \in L$ et $\gamma \in \Gamma$ .

Soit $g$ un élément de G et soit $E_g=\widetilde{\pi}^{-1}(g)$ . Si $\gamma_0$ est un élément fixé de $\pi^{-1}(g)$ , l’application $\beta \rightarrow [\beta ;\gamma_0]$ est une bijection de L sur $E_g$ , grâce à laquelle nous transporterons à $E_g$ la structure de K-espace vectoriel de L. Comme $\pi^{-1}(g)$ se compose des éléments de la forme $\iota (\alpha )\gamma_0$ où $\alpha$ parcourt $L^*$ et que l’on a

[\beta ;\iota (\alpha )\gamma_0] = [\beta \alpha ;\gamma_0]

la structure d’espace vectoriel de $E_g$ ne dépend pas du choix de $\gamma_0$ .

Soient $g$ et $g'$ des éléments de G ; d’après les formules (22) et (23), la loi de composition de E induit par restriction une application K-bilinéaire de $E_g\times E_{g'}$ dans $E_{gg'}$ . Par suite, l’espace vectoriel $P =\bigoplus_{g\in G}E_g$ est muni d’une structure d’algèbre associative et unifère, dont la multiplication induit l’application bilinéaire précédente de $E_g\times E_{g'}$ dans $E_{gg'}$ , quels que soient $g$ et $g'$ dans G. L’algèbre P s’appelle le produit croisé de L par $\mathscr{E}$ et se note $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ ; son élément unité est l’élément $[1;e]$ de $E_e$ .

Posons

u(\beta ) = [\beta ;e] \tag{25}

pour $\beta$ dans L. Alors $u: L\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est un homorphisme injectif de K-algèbres. Par (23), pour tout $\gamma \in \Gamma$ , l’élément $[1;\gamma ]$ est inversible dans $\mathbf{A}[\mathscr{E},L]$ et l’application $v: \Gamma \rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E},L]^*$ qui envoie $\gamma$ sur $[1;\gamma ]$ est un homomorphisme injectif de groupes. Les homomorphismes $u$ et $v$ sont dits canoniques. On a les relations

u(\alpha ) =v(\iota (\alpha )) \tag{26}

u(^{\gamma}\beta ) =v(\gamma )u(\beta )v(\gamma )^{-1} \tag{27}

[\beta ;\gamma ] =u(\beta )v(\gamma ) \tag{28}

pour $\alpha \in L^*,\beta \in L$ et $\gamma \in \Gamma$ .

Réciproquement, on a la propriété universelle suivante de l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] :$

Proposition 12 00JF

Soient B une K-algèbre, $u': L\rightarrow B$ un homomorphisme de K-algèbres et $v': \Gamma \rightarrow B^*$ un homomorphisme de groupes. On suppose vérifiées les relations

u'(\alpha ) =v'(\iota (\alpha )) \tag{29}

u'(^{\gamma}\beta ) =v'(\gamma )u'(\beta )v'(\gamma )^{-1} \tag{30}

pour $\alpha$ dans $L^*,\beta$ dans L et $\gamma$ dans Γ. Il existe alors un homomorphisme d’algèbres $f$ de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ dans B, et un seul, tel que l’on ait $u'=f\circ u$ et $v'=f\circ v$ .

Pour démontrer l’unicité de $f$ , remarquons que l’espace vectoriel $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ sur le corps K est engendré par l’ensemble des éléments de la forme $[\beta ;\gamma ] =u(\beta )v(\gamma )$ ; si l’homomorphisme $f': \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]\rightarrow B$ satisfait à $f'\circ u=u'$ et $f'\circ v=v'$ il envoie $[\beta ;\gamma ]$ sur $u'(\beta )v'(\gamma )$ , donc coïncide avec $f$ .

D’après la formule (29), on a

u'(\beta \alpha )v'(\iota (\alpha )^{-1}\gamma ) =u'(\beta )v'(\gamma ) \tag{31}

pour $\alpha$ dans $L^*,\beta$ dans L et $\gamma$ dans Γ. Vu la définition de E, il existe donc une application $f_0: E\rightarrow B$ telle que $f_0([\beta ;\gamma ]) =u'(\beta )v'(\gamma )$ . D’après les formules (23) et (30), on a $f_0(xx') =f_0(x)f_0(x')$ pour $x$ et $x'$ dans E. La restriction de $f_0$ à $E_g$ est K-linéaire pour tout élément $g$ de G ; par suite, il existe une application K-linéaire $f$ de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ dans B et une seule, qui coïncide avec $f_0$ sur E. L’application $f$ est un morphisme d’algèbres qui vérifie $u'=f\circ u$ et $v'=f\circ v$ .

Remarque 00JG

Soit $\sigma : G\rightarrow \Gamma$ une section de l’application $\pi$ . Posons $\varepsilon_g=v(\sigma (g))$ pour tout $g$ de G et notons $c_{\sigma}$ le 2-cocycle associé à $\sigma$ (VIII, p. 291). En particulier

\varepsilon_g\varepsilon_{g'}=u(c_{\sigma}(g, g'))\varepsilon_{gg'} \tag{32}

pour tous $g, g'\in G$ . Identifions par ailleurs L à une sous-algèbre de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ par l’homomorphisme $u$ . Alors tout élément de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ s’écrit de manière unique sous la forme $\sum_{g\in G}a_g\varepsilon_g$ , où $(a_g)$ est une famille à support fini d’éléments de L. La multiplication dans $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ s’exprime par la formule

(\sum_ga_g\varepsilon_g)((\sum_gb_g\varepsilon_g)=\sum_gd_g\varepsilon_g \tag{33}

avec

d_g=\sum_{hh'=g}a_h(\lambda (h).b_{h'})c_{\sigma}(h, h') \tag{34}

Si l’extension $\mathscr{E}$ est semi-triviale, on peut choisir une section $\sigma$ de $\pi$ qui est un morphisme de groupes de G dans Γ ; le cocycle $c_{\sigma}$ est donc constant de valeur 1 et la formule (34) se simplifie alors en

d_g=\sum_{hh'=g}a_h\lambda (h).b_{h'} \tag{35}

Soit $K'$ une extension du corps K. Notons $L'$ la $K'$ -algèbre $L_{(K')}$ et pour tout $g$ de G, notons $\lambda '(g)$ l’automorphisme $\lambda (g)_{(K')}$ induit par $\lambda (g)$ sur $L_{(K')}$ . Notons également $\tau '(g)$ l’automorphisme de $L^{'*}$ induit par $\lambda '(g)$ . Enfin, soit $h$ l’homomorphisme de $L^*$ dans $L^{'*}$ qui envoie $x$ sur $x\otimes 1$ . Soit alors $\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ')$ l’image directe de l’extension $\mathscr{E}$ par $h$ (VIII, p. 285). Soit $\mathbf{A}[\mathscr{E}',L']$ la $K'$ -algèbre produit croisé de $\mathscr{E}'$ par $L'$ et soient $u': L'\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}',L']$ et $v': \Gamma '\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}',L']^*$ les homomorphismes canoniques.

Proposition 13 00JH

Il existe un isomorphisme de $K'$ -algèbres $\varphi$ de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]_{(K')}$ dans $\mathbf{A}[\mathscr{E}'; L']$ , et un seul, qui satisfasse aux relations

u'(h(\beta )) =\varphi (1\otimes u(\beta )) \tag{36}

pour $\beta \in L$ et (37) $v'(h(\gamma )) =\varphi (1\otimes v(\gamma ))$ .

pour $\gamma \in \Gamma$ .

La démonstration résulte aussitôt des constructions.

L’isomorphisme $\varphi$ sera dit canonique.

10. Application au groupe de Brauer

Dans ce numéro, on note K un corps, L une algèbre galoisienne sur K d’action $\lambda : G\rightarrow$ Aut $_K(L)$ . On note $n$ le degré de L sur K. On a $n=$ Card(G).

Théorème 3 00JI

Soit $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ une $\tau$ -extension de G par $L^*$ . L’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est simple, centrale et de rang $n^2$ sur K. De plus, l’homomorphisme canonique $u$ de L dans $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est un isomorphisme de L sur une sous-algèbre commutative maximale de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ .

Lemme 12 00JJ

a) Il n’existe aucun idéal de L, autre que $\{0\}$ et L, qui soit invariant par G.

b) Soit $g$ un élément de G distinct de l’élément neutre et soit $\mathfrak{a}_g$ l’idéal de L engendré par les éléments de la forme $x-\lambda (g)x$ où $x$ parcourt L. On a $\mathfrak{a}_g= L$ .

Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des idéaux maximaux de L ; pour toute partie S de $\mathscr{S}$ , posons $\mathfrak{a}(S) =\bigcap_{\mathfrak{m}\in S}\mathfrak{m}$ . Comme l’anneau L est commutatif et semi-simple (VIII, p. 305, remarque 6), l’application $S\rightarrow \mathfrak{a}(S)$ est une bijection de l’ensemble des parties de $\mathscr{S}$ sur l’ensemble des idéaux de L (VIII, p. 137, prop. 9). L’idéal $\mathfrak{a}(S)$ est invariant sous G si et seulement si S l’est. Comme G agit de manière transitive sur $\mathscr{S}$ (VIII, p. 303, th. 2 vi)), les seules parties de $\mathscr{S}$ invariantes par G sont $\emptyset$ et $\mathscr{S}$ . Comme $\mathfrak{a}(\emptyset ) = L$ et $\mathfrak{a}(\mathscr{S}) =\{0\}$ , on a démontré l’assertion a).

Pour démontrer b), raisonnons par l’absurde en supposant qu’on ait $\mathfrak{a}_g\not= L$ . Soit $\mathfrak{m}$ un idéal maximal de L contenant $\mathfrak{a}_g$ . On a donc $\lambda (g)x\equiv x$ mod. $\mathfrak{m}$ pour tout $x$ de L. En particulier, $\mathfrak{m}$ est invariant par $g$ et $\lambda (g)$ induit l’identité sur le corps $L/\mathfrak{m}$ . Par le th. 2, (vi) de VIII, p. 303, l’élément $g$ de $G_{\mathfrak{m}}$ est trivial ce qui contredit l’hypothèse de b).

Démontrons maintenant le théorème 3. L’espace vectoriel $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est de dimension finie Card(G)[L $: K] =n^2$ sur K, d’après VIII, p. 311 et l’égalité Card(G) = $[L : K] =n$ faite en hypothèse.

Soit $\mathfrak{a}$ un idéal bilatère non nul de l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ . Reprenons les notations de VIII, p. 311. Tout élément $a$ de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ s’écrit de manière unique sous la forme $a=\sum_{g\in G}a_g\varepsilon_g$ avec $a_g\in L$ pour tout $g\in G$ ; on note $\Phi (a)$ l’ensemble des éléments $g$ de G tels que $a_g\not= 0$ . D’après la formule (32) de VIII, p. 311, on a la relation

\varepsilon_g\varepsilon_{g'}=c_{\sigma}(g, g')\varepsilon_{gg'} \tag{38}

pour tous $g, g'\in G$ et par suite

\Phi (a\varepsilon_g) = \Phi (a).g \tag{39}

pour tout $g\in G$ et tout $a\in \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ .

Soit $a$ un élément non nul de $\mathfrak{a}$ , pour lequel $\Phi (a)$ soit minimal pour l’inclusion ; d’après la formule (39), on peut supposer, quitte à remplacer $a$ par un élément de la forme $a\varepsilon_{g^{-1}}$ , où $g\in \Phi (a)$ , qu’on a $e\in \Phi (a)$ . Soit $s$ un élément de $\Phi (a)$ distinct de $e$ . D’après le lemme 12, b), il existe un élément $x$ de L tel que $a_s(x-\lambda (s).x)\not= 0$ . Mais on a la relation

xa-ax=\sum_ga_g(x-\lambda (g).x)\varepsilon_g \tag{40}

la somme s’étendant sur les éléments $g$ de $\Phi (a)$ distincts de $e$ . Vu le caractère minimal de $\Phi (a)$ , on a donc $xa-ax= 0$ , mais ceci contredit l’hypothèse faite sur $x$ . On a donc prouvé par l’absurde que $\Phi (a)$ contient seulement l’unité $e$ de G, d’où $a\in L$ .

Donc $L\cap \mathfrak{a}$ est un idéal de L non réduit à $\{0\}$ . De plus, pour tout $x$ de L, on a $\varepsilon_gx\varepsilon^{-1}_g=\lambda (g).x$ , donc $L\cap \mathfrak{a}$ est invariant par G. D’après le lemme 12, on a donc $L\cap \mathfrak{a}= L$ , c’est-à-dire $L\subset \mathfrak{a}$ . Comme L contient l’élément unité de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ , on a $\mathfrak{a}= \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ .

Comme l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est de dimension finie non nulle sur K et qu’elle n’a d’autre idéal bilatère que $\{0\}$ et $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ , elle est simple.

Démontrons que tout élément $a$ de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ qui commute à L appartient à L. Écrivons $a$ sous la forme $\sum_{g\in G}a_g\varepsilon_g$ avec des coefficients $a_g$ dans L. Pour tout $x$ de L, on a $xa-ax= 0$ et la relation (40) montre qu’on a

a_g(x-\lambda (g).x) = 0 \tag{41}

quels que soient $g\in G$ et $x\in L$ . D’après le lemme 12, on a donc $a_g= 0$ pour $g\not=e$ ; d’où $a\in L$ .

Déterminons enfin le centre de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ . Si $z$ appartient au centre, il commute à L, donc appartient à L. Mais on a alors

0 =\varepsilon_gz-z\varepsilon_g= (\lambda (g).z-z)\varepsilon_g

pour tout $g$ de G. Donc $z$ est invariant par le groupe $\lambda (G)$ d’automorphismes de L. On a donc $z\in K$ par hypothèse.

Théorème 4 00JK

Soit A une algèbre simple et centrale, de rang fini sur K et soit L une sous-algèbre commutative maximale de A. Alors il existe une $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ de G par $L^*$ telle que A soit isomorphe à $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ .

On ne restreint pas la généralité en supposant que L est une sous-algèbre commutative maximale de A. Soit Γ le groupe multiplicatif formé des éléments inversibles $\gamma$ de A tels qu’il existe $g$ appartenant à G avec

\gamma x\gamma^{-1}=\lambda (g).x \tag{42}

pour tout élément $x$ de L. Si $\gamma \in \Gamma$ est donné, l’élément $g$ satisfaisant à cette relation est unique, on le note $\pi (\gamma )$ ; il est immédiat que $\pi$ est un homomorphisme de Γ dans G et que son noyau est égal à $L^*$ . Que $\pi$ soit surjectif résulte du théorème de Skolem-Noether (VIII, p. 259, cor.).

Si l’on note $\iota$ l’injection canonique de $L^*$ dans Γ, il résulte des constructions que $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ est une $\tau$ -extension de G par $L^*$ . Soient

$u: L\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ et $v: \Gamma \rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$

les homomorphismes canoniques. D’après la propriété universelle de $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ (VIII, p. 310, prop. 12), il existe un unique homomorphisme d’algèbres $f: \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]\rightarrow A$ tel que $f\circ u(x) =x$ et $f\circ v(\gamma ) =\gamma$ pour $x\in L$ et $\gamma \in \Gamma$ . Comme l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est simple, l’homomorphisme $f$ est injectif. Or l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est de rang $n^2$ sur K et il en est de même de A, puisque L est une sous-algèbre semi-simple commutative maximale de A et qu’on a $n= [L : K]$ (VIII, p. 258, prop. 3, (ii)). Donc $f$ est bijectif.

Définition 2 00JL

Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des idéaux maximaux de L. On définit

Br(L $/K$ ) $=\bigcap_{\mathfrak{m}\in\mathscr{S}}$ Ker( $r_{(L/\mathfrak{m})/K}$ ),

où $r_{(L/\mathfrak{m})/K}:$ Br(K) $\rightarrow$ Br(L $/\mathfrak{m}$ )est l’homomorphisme d’extension des scalaires (VIII, p. 277).

Théorème 5 00JM

Il existe un isomorphisme de groupes

Ψ : Ex $_{\tau}(G,L^*)\longrightarrow$ Br(L $/K$ )

qui à la classe de toute $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ de G par $L^*$ associe la classe dans Br(L $/K$ ) de l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ .

Pour définir Ψ et vérifier que c’est une bijection, il s’agit d’établir les points suivants :

a) Si $\mathscr{E}$ et $\mathscr{E}'$ sont des $\tau$ -extensions isomorphes de G par $L^*$ , les algèbres $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ et $\mathbf{A}[\mathscr{E}'; L]$ sont isomorphes ;

b) Réciproquement, si les algèbres $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ et $\mathbf{A}[\mathscr{E}'; L]$ sont isomorphes, les $\tau$ -extensions $\mathscr{E}$ et $\mathscr{E}'$ de G par $L^*$ sont isomorphes ;

c) Dans toute classe appartenant à Br(L $/K$ ), il y a une algèbre E contenant L comme sous-algèbre commutative maximale ;

d) Si E est une algèbre simple et centrale de rang fini sur K et contenant L comme sous-algèbre commutative maximale, alors il existe une $\tau$ -extension $\mathscr{E}$ de G par $L^*$ telle que E soit isomorphe à $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ .

La vérification de a) résulte de la construction du produit croisé ; celle de b) résulte de VIII, p. 259, cor. L’assertion c) résulte de la prop. 5 de VIII, p. 277 et l’assertion d) n’est autre que le th. 4 ci-dessus.

Il reste à vérifier que Ψ est un homomorphisme de groupes ; pour cela il suffit de démontrer que si $\mathscr{E}_1= (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1)$ et $\mathscr{E}_2= (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2)$ sont des $\tau$ -extensions alors l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}_1\mathscr{E}_2; L]$ est équivalente à l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}_1; L]\otimes \mathbf{A}[\mathscr{E}_2; L]$ . Notons $\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi )$ l’extension produit $\mathscr{E}_1\mathscr{E}_2$ . Le groupe Γ est donc isomorphe au conoyau de l’homomorphisme $\rho$ de $L^*$ dans le produit fibré $\Gamma_1\times_G\Gamma_2$ qui envoie $\mu$ sur $(\iota_1(\mu ), \iota_2(\mu )^{-1})$ . Pour $i\in \{1,2\}$ , notons $A_i= \mathbf{A}[\mathscr{E}_i; L]$ . Soient $u_i: L\rightarrow A_i$ et $v_i: \Gamma_i\rightarrow A^*_i$ les homomorphismes canoniques et identifions L avec ses images par les homomorphismes $u_i$ , ce qui fait de L une sous-algèbre commutative maximale de $A_i$ . Notons $V_i$ le L-espace vectoriel défini par la multiplication à gauche dans $A_i$ . L’anneau $L\otimes_KA^o_i$ opère sur $V_i$ . Comme il est simple et de dimension $n^2$ sur L, on obtient un isomorphisme de $L\otimes_KA^o_i$ sur End $_L(V_i)$ . Donc l’anneau $L\otimes_KA^o_1\otimes_KA^o_2$ , qu’on peut identifier à $(L\otimes_KA^o_1)\otimes_L(L\otimes_KA^o_2)$ est isomorphe à End $_L(V_1\otimes_LV_2)$ . Posons C = End $_{A^o_1\otimes_KA^o_2}(V_1\otimes_LV_2)$ . Par le lemme 3 de VIII, p. 277, C est semblable à $A_1\otimes_KA_2$ et $L\otimes 1\otimes 1$ est une sous-algèbre commutative maximale de C. Pour tout couple $(\gamma_1, \gamma_2)\in \Gamma_1\times \Gamma_2$ vérifiant $\pi_1(\gamma_1) =\pi_2(\gamma_2)$ , notons $w(\gamma_1, \gamma_2)$ l’unique endomorphisme $\lambda (\pi_1(\gamma_1$ ))-semi-linéaire (II, p. 32) tel que

w(\gamma_1, \gamma_2)(x_1\otimes x_2) =v_1(\gamma_1)x_1\otimes v_2(\gamma_2)x_2

pour $x_1\in V_1$ et $x_2\in V_2$ . On a $w(\gamma_1, \gamma_2)\in C^*$ et $w$ est un homomorphisme de groupes du produit fibré $\Gamma_1\times_G\Gamma_2$ dans $C^*$ . Cet homomorphisme est trivial sur l’image de $\rho$ et induit un homomorphisme $v$ de Γ dans $C^*$ . Notons $u: L\rightarrow C$ le morphisme donné par $u:l\rightarrow l\otimes 1\otimes 1$ . On vérifie alors les relations

$u(\alpha ) =v(\iota (\alpha ))$ et $u(^{\gamma}\beta ) =v(\gamma )u(\beta )v(\gamma )^{-1}$

pour $\alpha \in L^*,\beta \in L$ et $\gamma \in \Gamma$ . La proposition 12 de VIII, p. 310 fournit un homomorphisme $f$ de l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ dans C. Comme l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ est simple, l’homomorphisme $f$ est injectif. Les algèbres $C$ et $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ ayant la même dimension sur $K$ , $f$ est un isomorphisme.

Remarque 1 00JN

Si $L$ est une algèbre étale sur $K$ et $G$ le groupe des automorphismes de $L$ , il n’est pas toujours vrai que l’algèbre $\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]$ soit simple et centrale (par exemple, on peut prendre $L = K^n$ et $G = \mathfrak{S}_n$ ).

Remarque 2 00JO

On peut calculer comme suit un 2-cocycle $c$ associé à une algèbre $A$ déployée par une extension galoisienne finie $L$ de groupe $G$ . Tout d’abord, il existe un $K$ -homomorphisme $\varphi : A \to \mathbf{M}_m(L)$ , où $[A : K] = m^2$ . Pour $g \in G$ , soit $\varphi^g$ l’homomorphisme de $A$ dans $\mathbf{M}_m(L)$ donné par $a \mapsto \varphi(g^{-1}ag)$ . D’après le théorème de Skolem-Noether, il existe, pour tout $g \in G$ , un élément $u_g$ de $\mathbf{GL}_m(L)$ tels que

\varphi^g(a) = u_g \varphi(a) u_g^{-1}

pour $a \in A$ . On pose ensuite

c(g, g') = u_g u_{g'} u_{gg'}^{-1}.

On peut également définir une extension de $G$ par $L^*$ au moyen de $\varphi$ : on considère le groupe $\Gamma \subset \mathbf{GL}_m(L)$ formé des $\gamma$ pour lesquels il existe $g \in G$ avec

\varphi^g(a) = \gamma \varphi(a) \gamma^{-1}

pour tout $a \in A$ . La classe de cette extension est l’image inverse par $\Psi$ de la classe de $A$ dans $\mathrm{Br}(L/K)$ .

Corollaire 00JP

L’application* $\Phi_{L/K} = \Theta \circ \Psi^{-1}$ définit un isomorphisme de groupes de $\mathrm{Br}(L/K)$ sur $H^2(G, L^*)$ .

Soient $K'$ une extension de $K$ et $\varphi : K' \to L$ un morphisme de $K$ -algèbres. L’ensemble $H$ des éléments $h$ de $G$ tels que $\lambda(h) \circ \varphi = \varphi$ est un sous-groupe de $G$ et la $K'$ -algèbre-L munie de la restriction de $\lambda$ à $H$ est une algèbre galoisienne sur $K'$ .

Proposition 14 00JQ

Le diagramme

\begin{array}{ccc} \mathrm{Br}(L/K) & \xrightarrow{\Phi_{L/K}} & H^2(G, L^*) \\ \downarrow r_{K'/K} & & \downarrow \mathrm{Res}_H^G \\ \mathrm{Br}(L/K') & \xrightarrow{\Phi_{L/K'}} & H^2(H, L^*) \end{array}

est commutatif

Cela resulte de la prop. 7 de VIII, p. 295 et de la prop. 13 de VIII, p. 311.

11. Indice et exposant

Théorème 6 00JR

Soit K un corps commutatif et soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit L une extension séparable de degré fini de K qui déploie l’algèbre A. Alors [L : K][A] est nul dans Br(K).

Il existe une extension M de L qui est une extension galoisienne de degré fini de K (V, p. 55, prop. 2). La classe [A] de A dans le groupe de Brauer de K appartient au sous-groupe Br(M $/K$ ). Soit G le groupe de Galois de M sur K et soit $\alpha$ l’image de [A] dans $H^2(G,M^*)$ (VIII, p. 316, cor.). Soit H le groupe de Galois de M sur L. Alors H est un sous-groupe d’indice [L : K] dans G (V, p. 66, cor. 5). Comme Res $^G_H(\alpha ) = \Phi_{M/L}(A_{(L)})$ (prop. 14), on a Res $^G_H(\alpha ) = 0$ . Par la prop. 8 de VIII, p. 298, on en déduit que $[L : K]\alpha = 0$ , puis [L : K][A] = 0.

Soit K un corps commutatif et soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Alors A est isomorphe à une algèbre de la forme $\mathbf{M}_n$ (D), où D est un corps de centre K et [A] = [D] dans Br(K). Le degré réduit de D ne dépend que de A. On appelle indice de A ce degré réduit. L’indice de A divise donc le degré réduit de A. On appelle exposant de A l’ordre de la classe de A dans le groupe de Brauer de K.

Corollaire 1 00JS

L’exposant d’une algèbre centrale simple et de degré fini sur un corps commutatif divise son indice.

Il suffit de le démontrer pour un corps D de degré fini sur son centre K. Soit L un sous-corps commutatif maximal de D qui est une extension séparable de K ; on a $[D : K] = [L : K]^2$ (VIII, p. 261, cor. 2, b) et c)). Alors l’extension L de K déploie l’algèbre D (VIII, p. 277, prop. 5) et [L : K] coïncide avec le degré réduit de D. On applique alors le théorème 6.

Corollaire 2 00JT

Soit K un corps commutatif et soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. Soit $p$ un nombre premier. Si $p$ divise l’indice de A, alors il divise l’exposant de A.

Supposons que le nombre premier $p$ ne divise pas l’exposant de A et démontrons qu’il ne divise pas son indice. Il suffit de démontrer ce résultat dans le cas où A est un corps. Soit L une extension galoisienne de degré fini de K qui déploie A. Soit G le groupe de Galois de L sur K et soit H un $p$ -sous-groupe de Sylow de G (I, p. 74). On note $L'= L^H$ le sous-corps de L des invariants de H. L’exposant de $A_{(L')}$ divise celui de A donc est premier à $p$ . Par le théorème 6, on a que $[L : L'][A_{(L')}] = 0$ dans le groupe de Brauer de $L'$ . Il en résulte que $[A_{(L')}] = 0$ et que le corps $L'$ déploie A. On applique alors le cor. 2 de VIII, p. 278 ; il en résulte que l’indice de A divise $[L': K]$ et n’est donc pas divisible par $p$ .

Corollaire 3 00JU

Soit K un corps parfait de caractéristique $p$ et soit A une algèbre centrale et simple de degré fini sur K, alors $p$ ne divise pas l’indice de A.

Il suffit de traiter le cas où $p$ est strictement positif.

Démontrons dans ce cas que le groupe de Brauer de K ne contient pas d’élément d’ordre $p$ . Pour toute extension M galoisienne de degré fini sur K, le corps M est parfait (V, p. 35, prop. 2). Donc l’élévation à la puissance $p$ est un automorphisme du groupe $M^*$ . Il en résulte que la multiplication par $p$ est un automorphisme du groupe $H^2$ (Gal(M $/K$ ) $,M^*$ ) qui est isomorphe à Br(M $/K$ ).

Par conséquent, l’ordre de [A] est premier à $p$ et, par le corollaire 2, son indice n’est pas divisible par $p$ .

Remarque 00JV

En considérant des produits tensoriels d’algèbres de quaternions, il est possible de construire des corps de centre K d’exposant 2 et d’indice arbitrairement grand (cf. VIII, p. 363, exercices 7 et 8).

$*$ Par contre, si K est une extension finie d’un corps $p$ -adique ou un corps de

série formelle sur un corps fini, alors l’exposant d’une algèbre centrale simple et de degré fini sur K est égal à son indice (VIII, p. 327, exerc. 17, e)). $*$

Exercices

See the exercises for § 16.