(4) $u\circ \widetilde{u}=\widetilde{u}\circ u=$ det($u$)$_M$,

(5) det($\widetilde{u}$) $=$ det($u$)$^{m-1}$,

Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de M ; munissons l’ensemble I d’une relation d’ordre total. Pour toute partie J de I, posons $e_J=e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_r}$, où $(i_1, . . . , i_r)$ est la suite des éléments de J rangés par ordre croissant. Le L-module $\wedge^{m-p}(M)$ admet pour base les éléments $e_S$, où S parcourt l’ensemble des parties à $m-p$ éléments de I ; de plus $\wedge^m(M)$ a pour base $\{e_I\}$. Il existe donc une base de Hom$_L(\wedge^{m-p}(M),\wedge^m(M))$ formée des applications linéaires $e^*_J$ caractérisées par la formule

$_*e_I$ si $I = J\cup S$

0 sinon

où J parcourt l’ensemble des parties à $p$ éléments de I. Il résulte de la formule (20) de III, p. 87 que, pour toute partie J à $p$ éléments de I, on a $h_p(e_J)\in \{e^*_J,-e^*_J\}$; comme les éléments $e_J$ forment une base de $\wedge^p$(M), l’application linéaire $h_p$ est bijective.

Démontrons maintenant la proposition 1. Soient $u$ et $\widetilde{u}$ des endomorphismes de M. La relation (3) équivaut à

(8) $h_1\circ \widetilde{u}=$ Hom($\wedge^{m-1}(u),1\wedge^{^m}_{(M)}$)$\circ h_1$;

d’après le lemme 1$,h_1$ est un isomorphisme de M sur Hom$_L(\wedge^{m-1}(M),\wedge^m(M))$.

Par suite, pour tout endomorphisme $u$ de M, il existe un unique endomorphisme $\widetilde{u}$ de M satisfaisant à la relation (3).

Soient $x_1, . . . , x_m$ des éléments de M. Remplaçons $x$ par $u(x_1)$ et $w$ par $x_2\wedge \cdots \wedge x_m$ dans (3) ; on obtient

= det($u$)$x_1\wedge \cdots \wedge x_m$.

Par suite, $h_1(\widetilde{u}\circ u(x_1)) =h_1$(det($u$)$x_1$), d’où la relation $\widetilde{u}\circ u=$ det($u$)$_M$ d’après le lemme 1.

Notons U l’endomorphisme $X-\overline{u}$ du L[X]-module M[X] (VIII, p. 329). D’après ce qui précède, appliqué à U, il existe un endomorphisme $\widetilde{U}$ du L[X]-module M[X] qui satisfait aux relations

pour $x_1, . . . , x_m$ dans M et

(10) $\widetilde{U}\circ U =$ det(X $-u$)$_{M[X]}$.

Considérons $\widetilde{U}$ comme un élément de End(M)[X](VIII, p. 9) ; d’après la formule (9) et le lemme 1, il est de degré $\leqslant m-1$ et on peut donc l’écrire sous la forme

où les $u_r$ sont des endomorphismes de M. D’après la formule (2) de VIII, p. 329, la relation (10) fournit l’égalité

dans l’anneau End(M)[X]. Identifiant les coefficients des monômes en X, on obtient les relations suivantes

(13) $u_r+u_{r-1}\circ u=c_r(u)_M$ pour $1\leqslant r\leqslant m-1$,

et

De là, on déduit

or, en identifiant les termes constants, les égalités (9) et (11) entraînent $u_{m-1}=\widetilde{u}$, d’où la formule (6).

En particulier, $\widetilde{u}$ appartient à la sous-algèbre de End(M) engendrée par $u$, et il commute donc à $u$. On a déjà établi la relation $\widetilde{u}\circ u=$ det($u$)$_M$, d’où la formule (4).

Enfin, soient $x_1, . . . , x_m$ des éléments de M. Remplaçons $x$ par $x_1$ et $w$ par $\widetilde{u}(x_2)\wedge \cdots \wedge \widetilde{u}(x_m)$ dans la formule (3). On obtient

= det($u$)$^{m-1}x_1\wedge x_2\wedge \cdots \wedge x_m$, d’où la formule (5).

A) L’unicité de P résulte du lemme suivant :

Soit $\mathscr{I}$ l’ensemble des polynômes unitaires irréductibles dans K[X]. Comme P et Q sont unitaires, il existe des éléments $(a_F)$ et $(b_F)$ de $\mathbf{N}^{(\mathscr{I})}$ tels que l’on ait $P =\prod_{F\in\mathscr{I}}F^{a_F}$ et $Q =\prod_{F\in\mathscr{I}}F^{b_F}$. Il résulte de l’égalité $P^s= Q^s$ et de l’unicité de la décomposition en facteurs extrémaux qu’on a $sa_F=sb_F$ pour tout $F\in \mathscr{I}$. Comme $s$ est strictement positif, on en déduit $a_F=b_F$ pour tout $F\in \mathscr{I}$, d’où P = Q.

B) Démontrons maintenant l’existence de P.

D’après le th. 1 de VIII, p. 248, il existe une extension L de K, galoisienne et de degré fini, et un isomorphisme de L-algèbres $\theta : A_{(L)}\rightarrow \mathbf{M}_n(L)$. D’après la formule (12) de III, p. 108, le polynôme Pc($a; X$) est aussi le polynôme caractéristique de l’élément $1\otimes a$ de la L-algèbre $A_{(L)}$, donc de l’élément $\theta (1\otimes a)$ de la L-algèbre $\mathbf{M}_n(L)$.

Posons P(X) = det(X$I_n-\theta (1\otimes a)$); c’est un polynôme unitaire de L[X]. D’après l’exemple 3 de III, p. 111, on a

(19) Pc($a; X$) $= P(X)^n$.

Soit G le groupe de Galois de L sur K. Pour $\sigma \in G$, notons $\overline{\sigma}$ l’automorphisme de l’anneau L[X] qui coïncide avec $\sigma$ dans L et fixe X. Alors K[X] est l’ensemble des polynômes Q de L[X] tels que l’on ait $\overline{\sigma}(Q) = Q$ pour tout $\sigma \in G$ (V, p. 54, th. 1). Comme le polynôme Pc($a; X$) $= P(X)^n$ appartient à K[X], on a $\overline{\sigma}(P)^n= P^n$ pour tout $\sigma \in G$. D’après le lemme 2, on a donc $\overline{\sigma}(P) = P$ pour tout $\sigma \in G$; ainsi P appartient à K[X].

Pour qu’un élément $a$ de A soit inversible, il faut et il suffit que sa norme soit non nulle (III, p. 111, prop. 3). La prop. 3 résulte donc de la formule (24).

(28) Pcrd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a; X) =$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$

(29) Trd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a) =$ Trd$_{A/K}(a)$

(30) Nrd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$,

(« invariance par extension des scalaires » ).

Les deux membres de l’égalité (28) ont même puissance $n$-ème en vertu de la définition (formule (20) de VIII, p. 333) et de la relation

Pc$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a; X) =$ Pc$_{A/K}(a; X)$

(III, p. 110, formule (21)). L’égalité (28) résulte donc du lemme 2 de VIII, p. 333. Les formules (29) et (30) se déduisent de (28), (21) et (22).

(31) Pcrd$_{A/K}(a; X) =\chi_{\theta(a)}(X)$

(32) Trd$_{A/K}(a) =$ Tr($\theta (a)$)

(33) Nrd$_{A/K}(a) =$ det($\theta (a)$).

Soit $\theta '$ l’homomorphisme de L-algèbres de $A_{(L)}$ dans End$_L(V)$ tel que $\theta '(\lambda \otimes a) =\lambda \theta (a)$ pour $\lambda \in$ L et $a\in$ A. L’algèbre $A_{(L)}$ est simple d’après le cor. 2 de VIII, p. 217, et l’homomorphisme $\theta '$ est donc injectif. Mais les algèbres $A_{(L)}$ et End$_L(V)$ sur le corps L ont même degré, égal à $n^2$, donc $\theta '$ est un isomorphisme. Le cor. 1 résulte alors de la prop. 4 et de l’exemple 2 ci-dessus.

(34) Pcrd$_{A/K}(a;a) = 0$,

(35) Pcrd$_{A/K}(\lambda a;\lambda X) =\lambda^n$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$,

(36) Trd$_{A/K}(a+a') =$ Trd$_{A/K}(a) +$ Trd$_{A/K}(a')$, Trd$_{A/K}(\lambda a) =\lambda$ Trd$_{A/K}(a)$,

(37) Trd$_{A/K}(aa') =$ Trd$_{A/K}(a'a)$,

(38) Nrd$_{A/K}(aa') =$ Nrd$_{A/K}(a)\cdot$ Nrd$_{A/K}(a')$, Nrd$_{A/K}(\lambda a) =\lambda^n$ Nrd$_{A/K}(a)$,

(39) Trd$_{A/K}(1) =n$, Nrd$_{A/K}(1) = 1$.

Comme A est centrale, simple et de degré réduit $n$ sur K, il existe une extension L de K et un espace vectoriel V de dimension $n$ sur L tels que $A_{(L)}$ soit isomorphe à l’algèbre End$_L(V)$ (VIII, p. 248, th. 1) Le corollaire 2 résulte alors du corollaire 1 et des propriétés de la trace et du déterminant d’un endomorphisme. En particulier, la formule (34) résulte du théorème de Hamilton-Cayley (III, p. 107, prop. 20).

(40) Pcrd$_{A^o/K}(a; X) =$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$

(41) Trd$_{A^o/K}(a) =$ Trd$_{A/K}(a)$

(42) Nrd$_{A^o/K}(a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$.

Choisissons une extension L de K, un espace vectoriel V de dimension $n$ sur L et un homomorphisme $\theta$ de A dans End$_L(V)$ (VIII, p. 248, th. 1). Soit $V^*$ l’espace vectoriel dual de V. L’application qui associe à un élément $a$ de A l’endomorphisme $^t\theta (a)$ de $V^*$ est un homomorphisme de K-algèbres de $A^o$ dans End$_L(V^*)$. Le corollaire 3 résulte alors du cor. 1 et du cor. 3 de III, p. 95.

☡ La trace, la norme et le polynôme caractéristique de $a$ sont donc les mêmes, qu’on considère $a$ comme élément de A ou de $A^o$. Cette propriété n’est pas toujours satisfaite lorsque A n’est plus supposée centrale et simple (III, p. 196, exerc. 1 du § 9).

a) L’application $t:x\rightarrow t_x$ est un isomorphisme de $(A,A)$-bimodules de A sur son dual Hom$_K(A,K)$.

b) Soit $h$ une forme linéaire sur A. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe un élément $\lambda$ de K tel que $h(x) =\lambda$ Trd$_{A/K}(x)$pour tout $x\in A$;

(ii) On a $h(xy) =h(yx)$quels que soient $x, y$ dans A.

Rappelons (II, p. 34) que la structure de $(A$, A)-bimodule sur $A^*=$ Hom$_K(A,K)$ est définie par la relation

pour $a, b, c\in A$ et $t\in A^*$. En particulier, pour tout $x$ dans A, on a

$\langle at_xb, c\rangle =\langle t_x, bca\rangle =$ Trd$_{A/K}(xbca)$

$\langle t_{axb}, c\rangle =$ Trd$_{A/K}(axbc)$

et ces deux éléments sont égaux d’après la formule (37) de VIII, p. 336. On a donc $at_xb=t_{axb}$, ce qui signifie que $t$ est un homomorphisme de $(A$, A)-bimodules de A dans $A^*$.

Choisissons une extension L du corps K et un isomorphisme $\theta$ de la L-algèbre $A_{(L)}$ sur l’algèbre des matrices $\mathbf{M}_n(L)$ (VIII, p. 248, th. 1). Identifions l’espace vectoriel $(A^*)_{(L)}$ au dual de l’espace vectoriel $A_{(L)}$ sur le corps L. D’après la prop. 4 de VIII, p. 335, on a, avec ces conventions,

(44) Trd$_{A_{(L)}/L}= 1_L\otimes$ Trd$_{A/K}$.

Soit $t_{(L)}$ l’application L-linéaire de $A_{(L)}$ dans $A^*_{(L)}$ déduite de $t$ par extension des scalaires ; d’après la formule (44) et le cor. 1 de VIII, p. 335, on a

(45) $\langle t_{(L)}(x), y\rangle =$ Trd$_{A_{(L)}/L}(xy) =$ Tr($\theta (x)\theta (y)$)

pour $x, y$ dans $A_{(L)}$. D’après la prop. 7 de II, p. 158, l’application $t_{(L)}$ est bijective, d’où il résulte que $t$ est bijective. On a prouvé a).

Soit $h$ dans $A^*$; d’après ce qui précède, il existe un élément $a$ de A tel que $h$ soit égal à $t_a$. D’après a), on a

Par suite, la relation « $h(xy) =h(yx)$ pour $x, y$ dans A » équivaut à « $t_{ax-xa}= 0$ pour tout $x\in A$ », et d’après la partie a) de la démonstration, ceci signifie que $a$ appartient au centre K de A. Cela prouve b), compte tenu de la formule (36).

Soient P et Q des éléments de $K[\mathbf{T}]$, avec $Q\not= 0$. Les coefficients des polynômes $R\in L[\mathbf{T}]$ tels que P = QR sont les solutions d’un système d’équations linéaires à coefficients dans K. Par suite, s’il existe un polynôme $R\in L[\mathbf{T}]$ tel que P = QR, il en existe un aussi dans $K[\mathbf{T}]$ (II, p. 123, prop. 6). Cela prouve l’inclusion $K(\mathbf{T})\cap L[\mathbf{T}]\subset K[\mathbf{T}]$; l’inclusion opposée est évidente.

Rappelons que le polynôme caractéristique réduit d’un élément $a$ de A s’écrit (46) Pcrd$_{A/K}(a; X) =\sum_{r=0}^n(-1)^rb_r(a) X^{n-r}$

et que l’on a

$b_0(a) = 1,b_1(a) =$ Trd$_{A/K}(a),b_n(a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$.

Soit $(e_i)_{i\in I}$ une base de A sur K et $\mathbf{T} = (T_i)_{i\in I}$ une famille d’indéterminées.

Choisissons une extension L de K et un isomorphisme $\theta$ de L-algèbres de $A_{(L)}$ sur $\mathbf{M}_n(L)$. Notons $\overline{\theta}: A_{(L(\mathbf{T}))}\rightarrow \mathbf{M}_n(L(\mathbf{T}))$ l’isomorphisme de $L(\mathbf{T}$)-algèbres déduit de $\theta$ par extension des scalaires. D’après le cor. 1 de VIII, p. 335, on a

(47) $P(X) =\chi_{\overline{\theta}(u)}(X) =$ det(X$I_n-\overline{\theta}(u)$) $=$ det$(XI_n-\sum_{i\in I}T_i\theta (1\otimes e_i))$.

Comme les matrices $\theta (1\otimes e_i)$ appartiennent à $\mathbf{M}_n$(L), cette formule montre que P est un polynôme homogène de degré $n$ dans $L[\mathbf{T},X]$. Il appartient aussi à $K(\mathbf{T})[X]$ et il s’écrit sous la forme $P(X) =\sum_{j\geqslant 0}c_jX^j$, où chaque $c_j$ appartient à $K(\mathbf{T})\cap L[\mathbf{T}]$. D’après le lemme 3, chacun des éléments $c_j$ appartient à $K[\mathbf{T}]$, d’où le lemme 4.

(48) Pcrd$_{A_{(K')}/K'}(\sum_{i\in I}t_i\otimes e_i)= P((t_i)_{i\in I},X)$.

Soit $\varphi : K[\mathbf{T}]\rightarrow K'$ l’unique homomorphisme de K-algèbres qui transforme $T_i$ en $t_i$ pour tout $i\in$ I ; il définit sur $K'$ une structure de $K[\mathbf{T}$]-algèbre. La $K'$-algèbre $A_{(K[\mathbf{T}])(K')}$ s’identifie à $A_{(K')}$ (transitivité de l’extension des scalaires), l’élément $1\otimes (\sum T_i\otimes e_i)$ s’identifiant à l’élément $\sum t_i\otimes e_i$ de $A_{(K')}$. Notons $\overline{\varphi}: K[\mathbf{T}][X]\rightarrow K'[X]$ l’homomorphisme de K-algèbres déduit de $\varphi$. D’après la formule (21) de III, p. 110, le polynôme caractéristique de $\sum t_i\otimes e_i$ relativement à la $K'$-algèbre $A_{(K')}$ est l’image par $\overline{\varphi}$ du polynôme caractéristique de $\sum T_i\otimes e_i$ relativement à la $K[\mathbf{T}$]-algèbre $A_{(K[\mathbf{T}])}$, c’est-à-dire de $P^n$. Autrement dit, on a

(49) Pc$_{A_{(K')}/K'}(\sum_{i\in I}t_i\otimes e_i; X) = P((t_i)_{i\in I},X)^n$;

le lemme 5 résulte alors du lemme 2 de VIII, p. 333.

Considérons le cas particulier $K'= K$ du lemme 5. On a

(50) Pcrd$_{A/K}(\sum_{i\in I}t_ie_i; X)= P((t_i)_{i\in I},X)$

quel que soit l’élément $(t_i)_{i\in I}$ de $K^I$. Comme le polynôme P de $K[\mathbf{T},X]$ est homogène de degré $n$, il se développe sous la forme

où $B_r$ est un polynôme homogène de degré $r$ dans $K[\mathbf{T}]$. D’après les formules (46), (50) et (51), on a

quel que soit l’élément $(t_i)_{i\in I}$ de $K^I$, d’où la proposition 6.

(52) Pcrd$_{A/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)$,

(53) Trd$_{A/K}(a) =$ Tr$_{L/K}(a)$,

(54) Nrd$_{A/K}(a) = N_{L/K}(a)$.

D’après la prop. 3 de VIII, p. 258, les L-modules A et $L^n$ sont isomorphes, d’où la relation

Pc$_{A/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)^n$

Comme le polynôme Pc$_{L/K}(a; X)$ est unitaire, il est donc égal au polynôme caractéristique réduit Pcrd$_{A/K}(a; X)$ (VIII, p. 333, lemme 2), d’où la formule (52). En comparant dans les deux membres de (52) les coefficients de $X^{n-1}$ (resp. les termes constants), on obtient la formule (53) (resp. (54)).

(55) Pcrd$_{D/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)$, Tr$_{D/K}(a) =$ Tr$_{L/K}(a)$, Nrd$_{D/K}(a) = N_{L/K}(a)$.

En effet, un sous-corps commutatif maximal L de D est une sous-algèbre semi-simple commutative maximale de D d’après le cor. 2 de VIII, p. 261.

(56) Pcrd$_{A/K}(b; X) = N_{L[X]/K[X]}$(Pcrd$_{B/L}(b; X)$)$^r$

(57) Trd$_{A/K}(b) =r$ Tr$_{L/K}$(Trd$_{B/K}(b)$)

(58) Nrd$_{A/K}(b) = N_{L/K}$(Nrd$_{B/L}(b)$)$^r$.