§ 18. Algèbres simples sur un corps fini

1. Polynômes sur un corps fini

Théorème 1 (Chevalley-Warning) 00SA

Soit K un corps commutatif fini, de caractéristique $p$ . Soient $n$ un entier $\geqslant 1$ et $(f_i)_{i\in I}$ une famille finie d’éléments non nuls de $K[X_1, . . . ,X_n]$ . Notons Z l’ensemble des éléments $\mathbf{x}$ de $K^n$ tels que l’on ait $f_i(\mathbf{x}) = 0$ pour $i\in I$ . Si l’on a $n >\sum_{i\in I}$ deg( $f_i$ ), le cardinal de Z est divisible par $p$ .

Lemme 1 00LB

Soient L un corps, G un groupe fini et $\chi$ un homomorphisme non trivial de G dans le groupe multiplicatif $L^*$ . On a $\sum_{x\in G}\chi (x) = 0$ .

Par hypothèse, il existe un élément $a$ de G tel que $\chi (a)\not= 1$ ; comme la multiplication par $a$ est une permutation de G, on a

\sum_{x\in G}\chi (x) =\sum_{x\in G}\chi (ax) =\chi (a)\sum_{x\in G}\chi (x)

d’où le lemme 1.

Lemme 2 00LC

Soit $q$ le cardinal de K. Pour tout entier $m\geqslant 0$ , posons $S_m$ = $\sum_{x\in K}x^m$ . On a $S_m=-1$ si $m$ est un multiple non nul de $q-1$ et $S_m= 0$ dans les autres cas.

Rappelons que $0^0= 1$ (I, p. 13). Supposons $m$ multiple de $q-1$ . Comme le groupe commutatif $K^*$ est d’ordre $q-1$ , on a $x^m= 1$ pour tout $x\in K^*$ , et $S_m= 0^m+ (q-1)\cdot 1$ , d’où l’assertion dans ce cas.

Supposons que $m$ ne soit pas multiple de $q-1$ . Posons $\chi (x) =x^m$ pour $x\in K^*$ . Comme le groupe multiplicatif $K^*$ est cyclique d’ordre $q-1$ (V, p. 89, prop. 1), il existe un élément $a$ de $K^*$ tel que $\chi (a)\not= 1$ . D’après le lemme 1 appliqué à $G = K^*$ , on a

S_m= 0^m+\sum_{x\in K^*}\chi (x) = 0

d’où le lemme 2.

Prouvons maintenant le théorème 1. Soit $\mathbf{x} = (x_1, . . . , x_n)$ un élément de $K^n$ ; on a $1-f_i(\mathbf{x})^{q-1}= 0$ si $f_i(\mathbf{x})\not= 0$ et $1-f_i(\mathbf{x})^{q-1}= 1$ si $f_i(\mathbf{x}) = 0$ . Posons $P =\prod^r_{i=1}(1-f_i^{q-1})$ ; on a

1 si $\mathbf{x}\in Z$ ,

P(\mathbf{x}) = \tag{1}

0 si $\mathbf{x}\notin Z$ .

Développons le polynôme P sous la forme $\sum_{\alpha\in\mathbf{N}^n}c_{\alpha}X^{\alpha}$ ; il est de degré $<(q-1)n$ par hypothèse. Soit $\alpha$ un élément de $\mathbf{N}^n$ tel que $c_{\alpha}$ soit non nul ; puisque l’on a $\alpha_1+\cdots +\alpha_n<(q-1)n$ , il existe donc un entier $\ell$ tel que $1\leqslant \ell \leqslant n$ et $0\leqslant \alpha_{\ell}<$ $q-1$ . D’après le lemme 2, on a alors $\sum_{x\in K}x^{\alpha_{\ell}}= 0$ , d’où

\sum_{\mathbf{x}\in K^n}\mathbf{x}^{\alpha}=\prod_{j=1}^n((\sum_{x\in K}x^{\alpha_j})= 0

On a donc

\sum_{\mathbf{x}\in K^n}P(\mathbf{x}) =\sum_{\alpha\in\mathbf{N}^n}c_{\alpha}((\sum_{\mathbf{x}\in K^n}\mathbf{x}^{\alpha})= 0

Or, d’après la formule (1), on a $\sum_{\mathbf{x}\in K^n}P(\mathbf{x}) =$ Card(Z) $\cdot 1$ , d’où Card(Z) $\cdot 1 = 0$ , ce qui signifie que Card(Z) est divisible par $p$ .

Corollaire 00LD

Soient V un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur K, I un ensemble fini, et pour chaque $i\in I$ , soit $F_i: V\rightarrow K$ une application polynomiale homogène de degré $d_i>0$ . Si l’on a $\sum_{i\in I}d_i< n$ , il existe un élément non nul $x$ de V tel que $F_i(x) = 0$ pour tout $i\in I$ .

Soit $(e_1, . . . , e_n)$ une base de V sur K. Par définition des applications polynomiales homogènes (IV, p. 52, déf. 3), il existe pour tout $i\in I$ un polynôme $f_i$ dans $K[X_1, . . . ,X_n]$ homogène de degré $d_i$ , tel que l’on ait $F_i(\xi_1e_1, . . . , \xi_ne_n) =$ $f_i(\xi_1, . . . , \xi_n)$ . Soit Z l’ensemble des éléments $x$ de V tels que $F_i(x) = 0$ pour tout $i\in I$ . D’après le théorème 1, le cardinal de Z est divisible par $p$ et, comme 0 appartient à S, on a Card(Z) $\geqslant p >1$ .

2. Algèbres simples sur un corps fini

Théorème 2 (Wedderburn) 00SB

Tout corps fini est commutatif.

Soit D un corps fini et soit K son centre. La K-algèbre D est centrale et simple, de degré $m^2$ , où $m$ est un entier strictement positif. La norme réduite est une application polynomiale Nrd $: D\rightarrow K$ , homogène de degré $m$ (VIII, p. 338, prop. 6) et l’on a Nrd( $a$ ) $\not= 0$ pour tout $a\not= 0$ dans D (VIII, p. 334, prop. 3). Le corollaire ci-dessus entraîne $m\geqslant m^2$ , d’où $m= 1$ . On a donc D = K.

Corollaire 1 00LE

Tout anneau simple fini est isomorphe à un anneau de matrices $\mathbf{M}_n(L)$ où $n$ est un entier strictement positif et L un corps commutatif fini.

Cela résulte du théorème 2 et du théorème de structure des anneaux simples (VIII, p. 116, th. 1).

Corollaire 2 00LF

Soit K un corps commutatif fini. Toute algèbre simple centrale sur K est isomorphe à une algèbre de matrices $\mathbf{M}_n(K)$ où $n$ est un entier strictement positif.

Cela résulte du théorème 2 et du théorème de structure des algèbres centrales simples (VIII, p. 248, th. 1).

Remarque 1 00LG

Voici une autre démonstration du théorème 2. Soit D un corps fini, soit K son centre et soit L un sous-corps commutatif maximal de D. Soit $x$ un élément de $D^*$ ; il appartient à un sous-corps commutatif maximal $L_1$ de D ; on a l’égalité

[D : K] = [L : K]^2= [L_1: K]^2

d’après le cor. 2 de VIII, p. 261, d’où $[L : K] = [L_1: K]$ . D’après la prop. 3 de V, p. 90, les extensions L et $L_1$ de K sont isomorphes. D’après VIII, p. 259, cor., il existe un élément $a$ de $D^*$ tel que $aLa^{-1}= L_1$ , donc $a^{-1}xa$ appartient à L. On a alors $(ay)^{-1}x(ay) =a^{-1}xa$ pour tout $y\in L^*$ . Par suite, si S est un ensemble de représentants de classes à gauche dans $D^*$ modulo $L^*$ , tout élément de $D^*-\{1\}$ s’écrit $sxs^{-1}$ , avec $s\in S$ et $x\in L^*-\{1\}$ . Notons $d$ l’ordre de $D^*$ et $\ell$ celui de $L^*$ ; comme le cardinal de S est égal à $d/\ell$ , on a $d-1\leqslant (d/\ell )(\ell -1) =d-d/\ell$ ; on en déduit $\ell =d$ , d’où L = D, ce qui prouve que le corps D est commutatif.

Remarque 2 00LH

Soit L un corps commutatif qui satisfait à la propriété suivante :

$(C_1)$ Soit V un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur le corps L, soit $d$ tel que $0< d < n$ . Pour toute application polynomiale homogène $F : V\rightarrow L$ de degré $d$ , il existe un élément non nul $x$ de V tel que $F(x) = 0$ .

La démonstration du théorème 2 prouve que tout corps de centre L et de degré fini sur L est égal à L.

D’après le cor. de VIII, p. 348 tout corps fini possède la propriété $(C_1)$ . On peut prouver (VIII, p. 352, exerc. 7) que les corps suivants possèdent la propriété $(C_1) :$ – toute extension algébrique d’un corps fini ;

– tout corps de fractions rationnelles en une indéterminée à coefficients dans un corps algébriquement clos (théorème de Tsen). – $*$ tout corps muni d’une valuation discrète, pour laquelle il est complet, et dont le

corps résiduel est algébriquement clos (VIII, p. 327, exerc. 17) $.*$

Remarque 3 00LI

Supposons que le corps K satisfasse à la condition suivante :

– Si L est une extension de degré fini de K, elle est cyclique et l’application norme $N : L^*\rightarrow K^*$ est surjective.

Cette condition est en particulier vérifiée si le corps K est fini (V, p. 91, prop. 4). On peut alors démontrer que tout corps de centre K, de degré fini sur K, est égal à K (exerc. 10 de VIII, p. 325).

Exercices

See the exercises for § 18.