§ 18. Đại số đơn trên một trường hữu hạn

1. Các đa thức trên một Trường hữu hạn

Định lý 1 (Chevalley–Warning) 00SA

Cho K là một trường giao hoán hữu hạn có đặc số $p$ . Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$ và $(f_i)_{i\in I}$ là một họ hữu hạn các phần tử khác không của $K[X_1, . . . ,X_n]$ . Ký hiệu bởi Z tập hợp các phần tử $\mathbf{x}$ của $K^n$ sao cho ta có $f_i(\mathbf{x}) = 0$ với $i\in I$ . Nếu ta có $n >\sum_{i\in I}$ deg( $f_i$ ), thì lực lượng của Z chia được cho $p$ .

Bổ đề 1 00LB

Cho L là một trường, G là một nhóm hữu hạn, và $\chi$ là một đồng cấu không tầm thường từ G vào nhóm nhân $L^*$ . Ta có $\sum_{x\in G}\chi (x) = 0$ .

Theo giả thiết, tồn tại một phần tử $a$ của G sao cho $\chi (a)\not= 1$ ; vì phép nhân bởi $a$ là một phép hoán vị của G, ta có

\sum_{x\in G}\chi (x) =\sum_{x\in G}\chi (ax) =\chi (a)\sum_{x\in G}\chi (x)

điều này suy ra Bổ đề 1.

Bổ đề 2 00LC

Gọi $q$ là lực lượng của K. Với mọi số nguyên $m\geqslant 0$ , đặt $S_m=$ $\sum_{x\in K}x^m$ . Ta có $S_m=-1$ nếu $m$ là một bội khác không của $q-1$ và $S_m= 0$ trong mọi trường hợp khác.

Nhắc lại rằng $0^0= 1$ (I, §2, No. 1, p. 14). Giả sử rằng $m$ là một bội của $q-1$ . Vì nhóm Abel $K^*$ có cấp $q-1$ , ta có $x^m= 1$ với mọi $x\in K^*$ và $S_m= 0^m+ (q-1)\cdot 1$ , điều đó cho mệnh đề trong trường hợp này.

Giả sử rằng $m$ không là bội của $q-1$ . Đặt $\chi (x) =x^m$ với $x\in K^*$ . Vì nhóm nhân $K^*$ là cyclic cấp $q-1$ (V, §12, No. 1, p. 93, Mệnh đề 1), tồn tại một phần tử $a$ của $K^*$ sao cho $\chi(a) \neq 1$ . Theo Bổ đề 1 áp dụng cho $G = K^*$ , ta có

S_m = 0^m + \sum_{x \in K^*} \chi(x) = 0;

điều này suy ra Bổ đề 2.

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1. Cho $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)$ là một phần tử của $K^n$ . Ta có $1 - f_i(\mathbf{x})^{q-1} = 0$ nếu $f_i(\mathbf{x}) \neq 0$ và $1 - f_i(\mathbf{x})^{q-1} = 1$ nếu $f_i(\mathbf{x}) = 0$ . Đặt $P = \prod_{i=1}^r (1 - f_i^{q-1})$ . Ta có

P(\mathbf{x}) = \begin{cases} 1 & \text{nếu } \mathbf{x} \in \mathbf{Z}, \\ 0 & \text{nếu } \mathbf{x} \notin \mathbf{Z}. \end{cases}

Khai triển đa thức

P

thành

\sum_{\alpha \in \mathbf{N}^n} c_\alpha X^\alpha

; theo giả thiết, nó có bậc

< (q-1)n

. Cho

\alpha

là một phần tử của

\mathbf{N}^n

sao cho

c_\alpha

khác không. Vì ta có

\alpha_1 + \cdots + \alpha_n < (q-1)n

, tồn tại một số nguyên

\ell

sao cho

1 \leq \ell \leq n

và

0 \leq \alpha_\ell < q-1

. Theo Bổ đề 2, khi đó ta có

\sum_{x \in K} x^{\alpha_\ell} = 0

, và do đó

\sum_{\mathbf{x} \in K^n} \mathbf{x}^\alpha = \prod_{j=1}^n \left( \sum_{x \in K} x^{\alpha_j} \right) = 0.

Do đó ta có

\sum_{\mathbf{x} \in K^n} P(\mathbf{x}) = \sum_{\alpha \in \mathbf{N}^n} c_\alpha \left( \sum_{\mathbf{x} \in K^n} \mathbf{x}^\alpha \right) = 0.

Bây giờ, theo công thức (1), ta có

\sum_{\mathbf{x} \in K^n} P(\mathbf{x}) = \operatorname{Card}(\mathbf{Z}) \cdot 1

, và do đó

\operatorname{Card}(\mathbf{Z}) \cdot 1 = 0

, điều đó có nghĩa là

\operatorname{Card}(\mathbf{Z})

chia được cho

p

Hệ quả 00LD

Cho $V$ là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $n$ trên $K$ và $I$ là một tập hợp hữu hạn, và với mỗi $i \in I$ , cho $F_i : V \to K$ là một ánh xạ đa thức thuần nhất có bậc $d_i > 0$ . Nếu ta có $\sum_{i \in I} d_i < n$ , thì tồn tại một phần tử khác không $x$ của $V$ sao cho $F_i(x) = 0$ với mọi $i \in I$ .

Cho $(e_1, \ldots, e_n)$ là một cơ sở của $V$ trên $K$ . Theo định nghĩa của các ánh xạ đa thức thuần nhất (IV, §5, No. 9, p. 55, Định nghĩa 3), với mọi $i \in I$ , tồn tại một đa thức thuần nhất $f_i$ trong $K[X_1, \ldots, X_n]$ có bậc $d_i$ sao cho ta có $F_i(\xi_1 e_1, \ldots, \xi_n e_n) = f_i(\xi_1, \ldots, \xi_n)$ . Gọi $Z$ là tập hợp các phần tử $x$ của $V$ sao cho $F_i(x) = 0$ với mọi $i \in I$ . Theo Định lý 1, lực lượng của $Z$ chia được cho $p$ , và vì $0$ thuộc $S$ , ta có $\operatorname{Card}(Z) \geq p > 1$ .

2. Các đại số đơn trên các trường hữu hạn

Định lý 2 (Wedderburn) 00SB

Mọi trường hữu hạn đều giao hoán.

Cho D là một trường hữu hạn, và K là tâm của nó. Đại số trên K D là đơn tâm bậc $m^2$ , trong đó $m$ là một số nguyên dương ngặt. Chuẩn rút gọn là một ánh xạ đa thức thuần nhất Nrd $: D\rightarrow K$ bậc $m$ (VIII, p. 345, Mệnh đề 6), và ta có Nrd( $a$ ) $\not= 0$ với mọi $a\not= 0$ trong D (VIII, p. 340, Mệnh đề 3). Hệ quả trên suy ra rằng $m\geqslant m^2$ , và do đó $m= 1$ . Vậy ta có D = K.

Hệ quả 1 00LE

Mọi vành đơn hữu hạn đều đẳng cấu với một vành ma trận $\mathbf{M}_n(L)$ , trong đó $n$ là một số nguyên dương ngặt và L là một trường giao hoán hữu hạn.

Điều này suy ra từ Định lý 2 và định lý cấu trúc của các vành đơn (VIII, p. 120, Định lý 1).

Hệ quả 2 00LF

Cho K là một trường giao hoán hữu hạn. Mọi đại số đơn trung tâm trên K đều đẳng cấu với một đại số ma trận $\mathbf{M}_n(K)$ , trong đó $n$ là một số nguyên dương ngặt.

Điều này suy ra từ Định lý 2 và định lý cấu trúc của các đại số đơn trung tâm (VIII, p. 252, Định lý 1).

Nhận xét 1 00LG

Đây là một chứng minh khác của Định lý 2. Cho D là một trường hữu hạn, K là tâm của nó, và L là một trường con giao hoán cực đại của D. Cho $x$ là một phần tử của $D^*$ . Nó thuộc về một trường con giao hoán cực đại $L_1$ của D. Ta có đẳng thức

[D : K] = [L : K]^2= [L_1: K]^2

theo Hệ quả 2 của VIII, p. 265, và do đó $[L : K] = [L_1: K]$ . Theo Mệnh đề 3 của V, §12, No. 2, p. 94, các mở rộng L và $L_1$ của K là đẳng cấu. Theo Hệ quả ở VIII, p. 263, tồn tại một phần tử $a$ của $D^*$ sao cho $aLa^{-1}= L_1$ , nên $a^{-1}xa$ thuộc về L. Khi đó ta có $(ay)^{-1}x(ay) =a^{-1}xa$ với mọi $y\in L^*$ . Do đó, nếu S là một tập hợp các đại diện của các lớp kề trái của $D^*$ theo modulo $L^*$ , thì mọi phần tử của $D^*-\{1\}$ đều có thể viết dưới dạng $sxs^{-1}$ với $s\in S$ và $x\in L^*-\{1\}$ . Ta ký hiệu cấp của $D^*$ là $d$ và cấp của $L^*$ là $\ell$ . Vì lực lượng của S bằng $d/\ell$ , ta có $d-1\leqslant (d/\ell )(\ell -1) =d-d/\ell$ . Suy ra $\ell =d$ , và do đó L = D, điều này chứng tỏ rằng trường D là giao hoán.

Nhận xét 2 00LH

Cho L là một trường giao hoán có tính chất sau: $(C_1)$ Cho V là một không gian vectơ có số chiều hữu hạn $n$ trên trường L, và cho $d$ sao cho $0< d < n$ . Với mọi ánh xạ đa thức thuần nhất $F : V\rightarrow L$ bậc $d$ , tồn tại một phần tử khác không $x$ của V sao cho $F(x) = 0$ .

Chứng minh của Định lý 2 cho thấy rằng mọi trường có bậc hữu hạn trên L với tâm là L đều bằng L.

Theo hệ quả ở VIII, p. 356, mọi trường hữu hạn đều có tính chất $(C_1)$ . Có thể chứng minh (VIII, p. 360, Bài tập 7) rằng các trường sau có tính chất $(C_1):$

– mọi mở rộng đại số của một trường hữu hạn

– mọi trường phân thức hữu tỉ theo một biến với hệ số trong một trường đóng đại số (định lý Tsen).

– $*$ mọi trường được trang bị một định giá rời rạc mà đối với nó trường là đầy đủ và

trường thặng dư của nó là đóng đại số (VIII, p. 332, Bài tập 17) $.*$

Nhận xét 3 00LI

Giả sử rằng trường K thỏa mãn điều kiện sau:

– Nếu L là một mở rộng của K có bậc hữu hạn, thì nó là xyclic và ánh xạ chuẩn $N : L^*\rightarrow K^*$ là toàn ánh.

Điều kiện này được thỏa mãn, đặc biệt, khi trường K là hữu hạn (V, §12, No. 2, p. 95, Mệnh đề 4). Khi đó có thể chứng minh rằng mọi trường có bậc hữu hạn trên K với tâm là K đều bằng K (Bài tập 10 của VIII, p. 329).

Bài tập

Xem các bài tập cho § 18.