Theo điều trên, đại số F là một môđun phải tự do trên E với cơ sở $(1, j)$. Do đó, F[X] là một môđun phải tự do trên E[X] với cơ sở $(1, j)$. Ta ký hiệu $u$ là tự đồng cấu của môđun phải F[X] trên E[X] được xác định bởi $u(P) =$ $(X-q)P$ với $P\in F[X]$. Đa thức đặc trưng của $q$ là định thức của $u$ được xem như một tự đồng cấu của môđun K[X] F[X]. Theo Mệnh đề 6 của III, §9, No. 4, p. 546, nó bằng N(det $u$), trong đó N ký hiệu chuẩn từ E[X] vào K[X]. Viết $q$ dưới dạng $x+jy$ với $x, y\in E$. Ma trận của $u$ đối với cơ sở $(1, j)$ là $\begin{pmatrix} X-x & -\gamma y \\ -y & X-\overline{x} \end{pmatrix}$ ; định thức của nó bằng $D = (X-x)(X-\overline{x})-\gamma yy= X^2-T_F(q)X + N_F(q)$ (xem công thức (3)). Vì D thuộc K[X], ta có $N(D) = D^2$; Mệnh đề 1 được suy ra.

b) Giả sử rằng trường K có đặc số 2. Nếu $\beta \not= 0$, thì tâm của F bằng K; nếu $\beta = 0$, thì đại số F giao hoán.

Theo công thức (30) của III, §2, No. 5, p. 444, ta có

Một phần tử $q=x+yi+zj+tk$ của F là trung tâm khi và chỉ khi nó giao hoán với $i$ và $j$, nghĩa là ta có

(5) $2z+\beta t=-\beta z+ 2\alpha t= 0$ và $2\gamma t=\beta \gamma t= 2y=\beta y= 0$.

Trước hết giả sử rằng đặc số của K khác 2. Nếu $\gamma$ là khác không, thì các đẳng thức trong (5) kéo theo $y=t= 0$ và do đó $z= 0$; do đó, ta có $q\in K$. Nếu $\gamma = 0$ và $4\alpha +\beta^2\not= 0$, thì chúng kéo theo $y=z=t= 0$, vậy ta có $q\in K$. Nếu $\gamma = 4\alpha +\beta^2= 0$, thì hệ (5) rút gọn thành $y= 2z+\beta t= 0$, vậy ta có $q=x+t/2(ij-ji)$, điều này hoàn tất chứng minh của a).

Bây giờ giả sử rằng trường K có đặc số 2. Khi đó hệ (5) có thể được viết là $\beta t=\beta z=\beta y= 0$; mệnh đề b) suy ra.

(i) Đại số F là đơn tâm.

(ii) Với mọi phần tử khác không $x$ của F, tồn tại một phần tử $y$ trong F sao cho $T_F(xy)\not= 0$.

(iii) Ta có $(4\alpha +\beta^2)\gamma \not= 0$.

Giả sử rằng các tính chất này đúng. Khi đó với mọi $x$ trong F, đa thức đặc trưng rút gọn của $x$ là $X^2-T_F(x)X + N_F(x)$. Đặc biệt, $T_F(x)$ là vết rút gọn của $x$, và $N_F(x)$ là chuẩn rút gọn của nó.

(i)⇒(ii): Nếu đại số F là đơn tâm, thì từ Mệnh đề 1 của VIII, p. 361 và định nghĩa của vết rút gọn (VIII, p. 340, Định nghĩa 2) suy ra rằng $T_F$ là vết rút gọn của nó; mệnh đề (ii) suy ra (VIII, p. 343, Mệnh đề 5).

(ii)⇔(iii): Cho $(e_i)_{1 \leq i \leq 4}$ là một cơ sở của F kiểu $(\alpha, \beta, \gamma)$ (III, §2, No. 5, p. 445). Ma trận $(T_F(e_i e_j))$ bằng

Định thức của nó là $-\gamma^2 (4\alpha + \beta^2)^2$. Sự tương đương của các tính chất (ii) và (iii) suy ra từ V, §8, No. 2, p. 49, Bổ đề 1.

(iii)⇒(i): Giả sử $(4\alpha + \beta^2)\gamma \neq 0$. Khi đó ta có $\gamma \neq 0$, và ta có $\beta \neq 0$ nếu K có đặc số 2. Theo Mệnh đề 2, đại số F là đơn tâm. Gọi x là một phần tử của căn Jacobson của F. Với mọi $y \in F$, $xy$ là lũy linh, do đó $T_F(xy) = 0$ (Nhận xét 3 của VIII, p. 362). Vì (ii) tương đương với (iii), ta có $x = 0$. Điều này chứng minh rằng F là một K-đại số nửa đơn. Vì tâm của nó là K, nó là đơn.

Khẳng định cuối cùng suy ra từ Mệnh đề 1 của VIII, p. 361 và định nghĩa của đa thức đặc trưng rút gọn (VIII, p. 340, Định nghĩa 1).

Kí hiệu đặc số của K là p. Theo Mệnh đề 3, nếu $p \neq 2$, thì mọi đại số quaternion trên K kiểu $(\alpha, 0, \gamma)$ với $\alpha$ và $\gamma$ trong $K^*$ là đơn tâm. Nếu $p = 2$, thì mọi đại số quaternion kiểu $(\alpha, 1, \gamma)$ với $\alpha \in K$ và $\gamma \in K^*$ là đơn tâm. Ngược lại, ta có điều sau.

a) Nếu $p \neq 2$, thì tồn tại các phần tử khác không $\alpha$ và $\gamma$ của K sao cho đại số A đẳng cấu với đại số quaternion kiểu $(\alpha, 0, \gamma)$.

b) Nếu $p = 2$, thì tồn tại một phần tử $\alpha$ của K và một phần tử $\gamma$ của $K^*$ sao cho đại số A đẳng cấu với đại số quaternion kiểu $(\alpha, 1, \gamma)$.

Theo định lý Wedderburn (VIII, p. 120, Định lý 1), tồn tại một số nguyên $r \geq 1$ và một trường D có tâm K sao cho A đẳng cấu với $\mathbf{M}_r(D)$. Khi đó ta có $r^2[D : K] = [A : K] = 4$. Nếu $r = 2$, thì A đẳng cấu với $\mathbf{M}_2(K)$, và Mệnh đề 4 suy ra từ ví dụ của VIII, p. 362. Nếu không, ta có $r = 1$, và A là một trường có tâm K. Khi đó nó có một trường con giao hoán cực đại E là một mở rộng tách được của K; vì A có bậc 4 trên K, mở rộng E có bậc 2 trên K (VIII, p. 265, Hệ quả 2). Do đó nó là bậc hai (III, §2, No. 3, p. 439). Gọi $s$ là phép liên hợp của E (III, §2, No. 3, p. 440). Theo định lý Skolem–Noether (VIII, p. 256, Hệ quả 1), tồn tại một phần tử khả nghịch $j$ của A sao cho ta có $s(x) =jxj^{-1}$ với mọi $x$ trong E. Trường E là tách được trên K, do đó ta có $s\not=$ Id$_E$, nên $j \notin E$. Vì A là một không gian vectơ có chiều 4 trên K, nó là một không gian vectơ trái có chiều 2 trên E, do đó ta có $A = E\oplus Ej$. Ta có $s^2=$ Id$_E$, nên phần tử $j^2$ của A thuộc tâm của A; do đó tồn tại một phần tử $\gamma$ của $K^*$ sao cho $j^2=\gamma$.

Khi $p\not= 2$, tồn tại một phần tử $i$ của E và một phần tử $\alpha \in K^*$ sao cho $E = K(i)$ và $i^2=\alpha$ (V, §11, No. 9, p. 93, Ví dụ 3); trong trường hợp này, A đẳng cấu với đại số quaternion kiểu $(\alpha ,0, \gamma )$. Khi $p= 2$, tồn tại một phần tử $i$ của E và một phần tử $\alpha$ của K sao cho $E = K(i)$ và $i^2=i+\alpha$ (V, §11, No. 9, p. 93, Ví dụ 2), do đó A đẳng cấu với đại số quaternion kiểu $(\alpha ,1, \gamma )$.

Nếu K là hữu hạn, khi đó đại số A đẳng cấu với một đại số ma trận $\mathbf{M}_n(K)$ (VIII, p. 357, Hệ quả 2) và do đó chứa các phần tử có bậc $n$ trên K; giả thiết suy ra $n= 2$ và do đó thu được kết quả trong trường hợp này (VIII, p. 362, Ví dụ). Giả sử rằng trường K là vô hạn. Gọi L là một đại số con étale cực đại của A. Theo V, §7, No. 4, p. 41, Mệnh đề 7, tồn tại một phần tử $x$ của A sao cho đại số trên K L bằng $K[x]$, do đó theo giả thiết có bậc $\leqslant 2$. Vì ta có $[A : K] = [L : K]^2$ (VIII, p. 264, Mệnh đề 4 và p. 262, Mệnh đề 3), ta kết luận rằng [A : K] = 4. Hệ quả 1 suy ra từ Mệnh đề 4.

Mọi phần tử $u$ của E đều thỏa mãn $u^2-T_E(u)u+ N_E(u) = 0$, do đó đại số trên K E đẳng cấu với một đại số quaternion (Hệ quả 1).

(i) Đại số quaternion F là một trường.

(ii) Không có phần tử khác không $q\in F$ sao cho $T_F(q) = N_F(q) = 0$.

(iii) Mọi phần tử của F có bình phương bằng không đều bằng không.

(iv) Không tồn tại vectơ khác không $(x, y, z, t)$ trong $K^4$ sao cho

(v) Không tồn tại vectơ khác không $(x, y, z)$ trong $K^3$ sao cho

(vi) Đại số bậc hai E là một trường, và $\gamma$ không là chuẩn của một phần tử của E.

Một phần tử $q$ của F khả nghịch khi và chỉ khi $N_F(q)$ khác 0. Sự tương đương của (i) và (iv) do đó suy ra từ công thức (31) của III, §2, No. 5, p. 445; hiển nhiên (i) suy ra (iii) và (iv) suy ra (v).

Sự tương đương của (ii) và (iii) suy ra từ Nhận xét 3 của VIII, p. 362.

Giả sử rằng F không là một trường. Nếu $\gamma (4\alpha +\beta^2)\not= 0$, thì đại số F là đơn tâm có bậc 4 trên K; nó đẳng cấu với đại số $\mathbf{M}_2(K)$ (VIII, p. 120, Định lý 1) và do đó chứa một phần tử khác không có bình phương bằng không. Nếu $\gamma = 0$, thì ta có $j^2= 0$. Nếu $4\alpha +\beta^2= 0$, thì ta có $(2i-\beta )^2= 0$ và $2i-\beta \not= 0$ nếu K có đặc số khác 2. Cuối cùng, nếu K có đặc số 2 và $\beta$ bằng không, thì ta có $T_F(q) = 0$ với mọi $q\in F$ (III, §2, No. 5, p. 445, công thức (31)). Vì F không là một trường, tồn tại một phần tử khác không $q$ của F sao cho $N_F(q) = 0$; ta có $q^2= 0$. Điều này chứng minh kéo theo (iii)$\Rightarrow$(i).

Cho $q=x+yi$ là một phần tử của E. Ta có $N_{E/K}(q) =x^2+\beta xy-\alpha y^2$. Giả sử rằng tính chất (v) đúng. Ta có $N_{E/K}(q)-\gamma \not= 0$ và $N_{E/K}(q)\not= 0$ nếu $q\not= 0$, và do đó có (vi).

Cuối cùng, giả sử rằng tính chất (vi) đúng. Cho $q$ là một phần tử khác không của F; ta viết nó dưới dạng $u+vj$ với $u$ và $v$ thuộc E. Nếu $v$ bằng không, thì $q$ khả nghịch. Nếu $v$ khác không, thì ta có $N_F(q) = N_F(v)N_F(v^{-1}u+j) =$ $N_{E/K}(v)(N_{E/K}(v^{-1}u)-\gamma )$ theo III, §2, No. 5, p. 443, công thức (24). Vì $\gamma$ không là một chuẩn, $N_F(q)$ khác không, và $q$ khả nghịch.

Kí hiệu tâm của D bởi Z, và cho L là một trường con giao hoán cực đại của D. Ta có $[D : Z] = [L : Z]^2$ theo VIII, p. 265, Hệ quả 2; ta cũng có $[L : R]\leqslant 2$ vì C là một bao đóng đại số của R. Do đó có ba trường hợp có thể xảy ra:

a) Ta có R = Z = L, do đó [D : Z] = 1 và D = R.

b) Ta có $R\not= Z$ và Z = L, do đó [D : Z] = 1 và D = L. Trong trường hợp này, D đẳng cấu với C.

c) Ta có R = Z và [L : R] = 2, do đó [D : R] = 4. Theo Mệnh đề 4 của VIII, p. 364, đại số trên R D đẳng cấu với một đại số quaternion kiểu $(\alpha ,0, \gamma )$, trong đó $\alpha$ và $\gamma$ là các phần tử khác không của R. Cho $i\in D$- Z sao cho $i^2=\alpha$. Ta có $\alpha \not= 0$. Nếu $\alpha >0$, thì tồn tại một $a\in R$ sao cho $a^2=\alpha$ (VI, §2, No. 6, p. 26, Định lý 3); khi đó ta có $(a-i)(a+i) = 0$, điều này là vô lý vì D là một trường. Vậy ta có $\alpha <0$. Bất đẳng thức $\gamma <0$ được chứng minh tương tự. Khi đó tồn tại các phần tử $a$ và $c$ của $R^*$ sao cho $\alpha =-a^2$ và $\gamma =-c^2$ (loc. cit.). Do đó đại số D đẳng cấu với đại số quaternion kiểu $(-1,0,-1)$ (VIII, p. 362, Nhận xét 2), tức là với H.