b) Mọi iđêan trái hoặc phải của A có đối chiều hữu hạn đều chứa một iđêan hai phía có đối chiều hữu hạn.

Khi F là một A-môđun phải và G là một không gian vectơ K, ta đã định nghĩa trong II, §4, No. 1, p. 268, Mệnh đề 1, a) một đẳng cấu $\gamma$ của các không gian vectơ K từ Hom$_K(F\otimes_AE,G)$ đến Hom$_A(E$, Hom$_K(F,G))$. Đẳng cấu này biến $\varphi : F\otimes_AE\rightarrow G$ thành đồng cấu $e\mapsto (f\mapsto \varphi (f\otimes e))$. Qua đẳng cấu chính tắc từ $A_d\otimes_AE$ đến E (II, §3, No. 4, p. $249$)$,\gamma$ có thể được đồng nhất với $c''_E$ khi $F = A_d$ và G = K.

==========

Tương tự, đẳng cấu $\beta$ được định nghĩa trong II, §4, No. 1, p. 268, Mệnh đề 1, b) chuyên biệt thành một đẳng cấu $\beta$ từ Hom$_K(E^*\otimes_AA_s,K)$ đến Hom$_A(E^*$, Hom$_K(A_s,K))$. Khi E hữu hạn chiều, E có thể được đồng nhất một cách chính tắc với Hom$_K(E^*,K)$ và $E^*$ với $E^*\otimes_AA_s$; khi đó đồng cấu $\beta$ được đồng nhất với $c'_E$.

a) Tập hợp các hệ số của E là hợp của các ảnh của các ánh xạ A-tuyến tính từ E đến $A^*$.

b) Giả sử, hơn nữa, E có số chiều hữu hạn $n$ trên K. Khi đó A-môđun trái $\Theta_E(A)$ đẳng cấu với một thương của $E^n$, A-môđun E đẳng cấu với một môđun con của $\Theta_E(A)^n$, và mọi phần tử của $\Theta_E(A)$ đều là một hệ số của $E^n$.

Mệnh đề a) suy ra từ tính toàn ánh của $c''_E$.

Ta chứng minh b). Gọi $(e^*_1, . . . , e^*_n)$ là một cơ sở của $E^*$ trên K. Vì $\Theta_E(A)$ được sinh bởi các hệ số của E, nên ánh xạ A-tuyến tính

từ $E^n$ đến $\Theta_E(A)$ là toàn ánh. Theo a), mọi phần tử của $\Theta_E(A)$ đều là một hệ số của $E^n$. Hơn nữa, ánh xạ A-tuyến tính

từ E đến $\Theta_E(A)^n$ là đơn ánh; điều đó chứng minh b).

Vì End$_K(V)$ hữu hạn chiều trên $K,\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía của A có đối chiều hữu hạn. Không gian vectơ $\Theta_{\pi}(A)$ là một không gian con hữu hạn chiều của $A^*$, và trực giao của nó trong A bằng $\mathfrak{a}$; theo Định lý 7 của II, §7, No. 5, p. 301, vì thế không gian $\Theta_{\pi}(A)$ là trực giao của $\mathfrak{a}$ trong $A^*$. Hơn nữa, vì $\mathfrak{a}$ là hạt nhân của $\pi$, chuyển vị của ánh xạ $\pi$ xác định một đẳng cấu từ đối ngẫu của $\pi (A)$ đến trực giao của $\mathfrak{a}$ trong $A^*$ (II, §7, No. 5, p. 299, Hệ quả của Định lý 5).

==========

Theo định nghĩa, Θ(A) là hợp của các phần trực giao của các iđêan hai phía của A có đối chiều hữu hạn. Vì vậy ta có $\Theta_{\pi}(A)\subset \Theta (A)$ với mọi biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều $\pi$ của A. Ngược lại, cho $f$ là một phần tử của Θ(A), và cho $\mathfrak{a}$ là một iđêan hai phía có đối chiều hữu hạn, được chứa trong hạt nhân của $f$ (VIII, p. 376, Định nghĩa 2). Kí hiệu $\pi$ là biểu diễn tuyến tính của A trong $A/\mathfrak{a}$ suy ra từ biểu diễn chính quy trái trong A bằng cách chuyển qua thương. Cho $x$ là lớp của 1 (mod $\mathfrak{a}$), và cho $x^*$ là dạng tuyến tính trên $A/\mathfrak{a}$ suy ra từ $f$. Ta có $f=c_{\pi}(x, x^*)$, do đó $f$ là một hệ số của $\pi$.

Chú ý rằng nếu $(V, \pi )$ là một biểu diễn tuyến tính của A không hữu hạn chiều trên K, thì không nhất thiết không gian $\Theta_{\pi}(A)$ được chứa trong Θ(A).

b) Với mọi $S\in \mathscr{S}_K$, thành phần đẳng kiểu của Θ(A) kiểu S bằng $\Theta_S(A)$. A-môđun trái $\Theta^{ss}(A)$ là tổng trực tiếp của các môđun con $\Theta_S(A)$, khi S chạy qua $\mathscr{S}_K$.

c) Với mọi S trong $\mathscr{S}_K$, A-môđun phải $S^*$ là đơn, và $\Theta_S(A)$ là thành phần đẳng kiểu kiểu $S^*$ của A-môđun phải Θ(A). Ánh xạ gửi S tới cl($S^*$) là một song ánh từ $\mathscr{S}_K$ tới tập các lớp của các A$^o$-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K.

d) Xét như một A-môđun phải, Θ(A) có đế là $\Theta^{ss}(A)$.

Cho E là một A-môđun nửa đơn có số chiều hữu hạn trên K. Mọi hệ số của E đều thuộc ảnh của một ánh xạ A-tuyến tính từ E đến $A^*$ (VIII, p. 378, Mệnh đề 2) và do đó thuộc $\Theta^{ss}(A)$. Ngược lại, cho $f\in \Theta^{ss}(A)$. Khi đó A-môđun $Af$ có số chiều hữu hạn trên K và là nửa đơn. Theo nhận xét ở VIII, p. 367$,f$ là một hệ số của $Af$.

Với mọi S trong $\mathscr{S}_K$, thành phần đẳng kiểu của Θ(A) kiểu S được sinh bởi các ảnh của các ánh xạ A-tuyến tính từ S đến $A^*$; do đó nó bằng $\Theta_S(A)$ theo Mệnh đề 2, a) của VIII, p. 378. Mặt khác, nếu S là một A-môđun đơn không hữu hạn chiều trên K, thì thành phần đẳng kiểu của Θ(A) kiểu S bằng 0: thật vậy, mọi môđun con đơn của Θ(A) đều là đơn sinh và do đó hữu hạn chiều trên K. Vì đế của Θ(A) là tổng trực tiếp của các thành phần đẳng kiểu của nó (VIII, p. 65, Mệnh đề 4), điều này chứng minh b).

Cho S là một A-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K. Vì không gian vectơ trên K S không bị rút về 0, nên điều đó cũng đúng với $S^*$. Cho E là một môđun con của A-môđun phải $S^*$; phần trực giao $E'$ của nó trong S là một A-môđun con của S. Vì S đơn, ta có hoặc $E'= 0$, trong trường hợp đó $E = S^*$, hoặc $E'= S$, trong trường hợp đó E = 0. Do đó $S^*$ là một A-môđun phải đơn.

Ta có $\Theta (A^o) = \Theta (A)$ (VIII, p. 376); ta đồng nhất các A-môđun phải với các $A^o$-môđun trái. Vì mọi không gian vectơ có số chiều hữu hạn trên K đều đẳng cấu với song đối của nó, điều trên chứng minh rằng ánh xạ $S\mapsto$ cl($S^*$) là một song ánh từ $\mathscr{S}_K$ lên tập hợp của các lớp của các $A^o$-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K. Bây giờ, với S trong $\mathscr{S}_K$, thành phần đẳng kiểu của $\Theta (A^o)$ kiểu $S^*$ bằng $\Theta_{S^*}(A^o)$ theo mệnh đề b) áp dụng cho đại số $A^o$, và ta có $\Theta_{S^*}(A^o) = \Theta_S(A)$. Các mệnh đề c) và d) suy ra ngay lập tức.

Điều này suy ra từ Định lý 1, b) vì ta có $\Theta_E(A)\not= 0$ với mọi A-môđun khác không E.

Cho $S_1$ và $S_2$ là các A-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K với một hệ số chung khác không. Khi đó ta có $\Theta_{S_1}(A)\cap \Theta_{S_2}(A)\not= 0$. Bây giờ, $\Theta_{S_1}(A)$ là đẳng kiểu kiểu $S_1$, và $\Theta_{S_2}(A)$ là đẳng kiểu kiểu $S_2$. Do đó $S_1$ đẳng cấu với $S_2$.

Theo Định lý 1, $\Theta^{ss}(A)$ là một $(A$, A)-môđun con song môđun của $A^*$, tổng trực tiếp của các $(A$, A)-môđun song môđun $\Theta_S(A)$ khi S chạy qua $\mathscr{S}_K$. Các song môđun này đôi một không đẳng cấu vì chúng đã không đẳng cấu với nhau với tư cách là các A-môđun trái.

Cố định một S trong $\mathscr{S}_K$. Ký hiệu D là trường đối của End$_A$(S), và xem S như một D-môđun phải và $S^*$ như một D-môđun trái. Với các quy ước này, S là một $(A$, D)-môđun song môđun, $S^*$ là một $(D$, A)-môđun song môđun, và $S\otimes_DS^*$ là một $(A$, A)-môđun song môđun.

b) $(A,A)$-môđun song môđun $\Theta_S(A)$ là đơn.

Ánh xạ $\gamma_S: S\otimes_KS^*\rightarrow \Theta_S(A)$ được đặc trưng bởi công thức $\gamma_S(x\otimes x^*) =c_S(x, x^*)$ là $(A$, A)-tuyến tính và toàn ánh và thỏa mãn $\gamma_S(xd\otimes x^*)$ $=\gamma_S(x\otimes dx^*)$ với $x\in S,x^*\in S^*$, và $d\in D$. Do đó nó xác định một ánh xạ $(A$, A)-tuyến tính toàn ánh $\lambda_S: S\otimes_DS^*\rightarrow \Theta_S(A)$ được đặc trưng bởi công thức (6).

Ta hãy chứng minh rằng $S\otimes_DS^*$ là một song môđun đơn $(A$, A)-song môđun. Theo Hệ quả 2 của VIII, p. 63, mọi $(A$, A)-môđun con song của $S\otimes_DS^*$ đều có dạng $S\otimes_DH$, trong đó H là một $(D$, A)-môđun con song của $S^*$. Vì $S^*$ là một A-môđun phải đơn (VIII, p. 380, Định lý 1, c)), ta có H = 0 hoặc $H = S^*$; suy ra mệnh đề.

Đồng cấu $\lambda_S$ là $(A$, A)-tuyến tính và khác không; vì $S\otimes_DS^*$ là một song môđun đơn, $\lambda_S$ là đơn ánh (VIII, p. 47, Mệnh đề 2, a)).

(i) Đặc trưng Tr$_S$ của S khác không.

(ii) Tồn tại một phần tử $d\in D$ sao cho Tr$_{D/K}(d)\not= 0$.

(iii) Mở rộng Z của K là tách được, và đặc số $p$ của K không chia hết cho bậc [D : Z].

Trong đó, không gian vectơ phải trên D S hữu hạn chiều. Cho $(e_1, . . . , e_n)$ là một cơ sở của S trên D, và cho $u$ là một phần tử của End$_D(S)$. Cho $(d_{ij})$ là ma trận của $u$ đối với cơ sở $(e_1, . . . , e_n)$. Ta có $u(e_j) =\sum^n_{i=1}e_id_{ij}$ với $j\in [1, n]$. Ký hiệu $u_K$ là ánh xạ $u$ được xem như một tự đồng cấu của không gian vectơ trên K S và $(u_{ij})$ là ma trận của $u_K$ đối với phân tích $(e_iD)$ của không gian vectơ trên K S thành một tổng trực tiếp (II, §10, No. 5, p. 346). Ta có Tr($u_K$) $=\sum_i$ Tr($u_{ii}$). Hơn nữa, $u_{ii}$ là tự đồng cấu của không gian vectơ trên K $e_iD$ được xác định bởi $u_{ii}(e_id) =e_id_{ii}d$ với $d\in D$, nên vết của nó bằng Tr$_{D/K}(d_{ii})$. Vậy ta đã chứng minh đẳng thức

(9) Tr($u_K$) $=$ Tr$_{D/K}(\sum_id_{ii})$.

Theo định lý Burnside (VIII, p. 83, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4), ánh xạ $a\mapsto a_S$ từ A đến End$_D(S)$ là toàn ánh. Do đó, tính tương đương của các tính chất (i) và (ii) suy ra từ công thức (9).

Nếu mở rộng Z của K là tách được, thì tồn tại một phần tử $d\in Z$ sao cho Tr$_{Z/K}(d)\not= 0$ (V, §8, No. 2, p. 49, Hệ quả của Mệnh đề 1). Hơn nữa, ta có Tr$_{D/K}(d) = [D : Z]$ Tr$_{Z/K}(d)$ (III, §9, No. 4, p. 548, Hệ quả); do đó, nếu $p$ không chia hết [D : Z], thì ta có Tr$_{D/K}(d)\not=$ 0. Điều này chứng tỏ rằng (iii) suy ra (ii).

Nếu mở rộng Z của K không tách được, thì ta có Tr$_{Z/K}(x) = 0$ với mọi $x\in Z$, và do đó Tr$_{D/K}(d) =$ Tr$_{Z/K}$(Tr$_{D/Z}(d)$) $= 0$ với mọi $d\in D$.

Bây giờ giả sử rằng $p$ chia hết bậc [D : Z]. Khi đó nó chia hết bậc rút gọn của D trên Z. Với mọi $d\in D$, ta có Tr$_{D/Z}(d) = 0$ (VIII, p. 344, Nhận xét), và do đó Tr$_{D/K}(d) =$ Tr$_{Z/K}$(Tr$_{D/Z}(d)$) $= 0$. Điều này hoàn tất chứng minh của hàm ý (ii) $\Rightarrow$ (iii).

Vì trường là hoàn hảo, nên mở rộng Z của K là tách được (V, §15, No. 5, p. 125, Định lý 3). Khi đó tính chất (iii) suy ra từ Hệ quả 3 của VIII, p. 323.

Cho $F$ là một tập con hữu hạn của $\mathscr{S}_0$, và cho $S$ là một phần tử của $F$. Theo giả thiết, tồn tại một phần tử $a\in A$ sao cho Tr$_S(a)\not= 0$. Theo Hệ quả 1 của Mệnh đề 4 (VIII, p. 83), tồn tại một phần tử $b\in A$ sao cho $b_S=a_S$ và $b_T= 0$ với mọi $T\in F-\{S\}$. Ta có Tr$_S(b)\not= 0$ và Tr$_T(b) = 0$ với $T\in F-\{S\}$. Vì vậy họ (Tr$_S$)$_{S\in F}$ là độc lập tuyến tính. Suy ra Mệnh đề 6.

b) Giả sử trường K là hoàn hảo và có đặc số khác không $p$. Khi đó đồng cấu $\theta_K$ là đơn ánh, và hạt nhân của $\theta$ là $pR_K(A)$. Cho E là một A-môđun nửa đơn có số chiều hữu hạn trên K. Dạng tuyến tính Tr$_E$ bằng không khi và chỉ khi tồn tại một A-môđun F sao cho E đẳng cấu với $F^p$.

Cho $\mathscr{S}_K$ là tập các lớp của các A-môđun đơn có số chiều hữu hạn trên K. Các phần tử [S], với S chạy qua $\mathscr{S}_K$, lập thành một cơ sở của $\mathbf{Z}$-môđun $R_K$(A), nên các phần tử $1\otimes [S]$ lập thành một cơ sở của không gian vectơ trên K $K\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(A)$ (VIII, p. 195).

Giả sử trường K là hoàn hảo. Theo Mệnh đề 6 và hệ quả của VIII, p. 383, các phần tử $\theta ([S]) =\theta_K(1\otimes [S]) =$ Tr$_S$ của $A^*$ là độc lập tuyến tính trên K. Suy ra đồng cấu $\theta_K$ là đơn ánh và hạt nhân của đồng cấu $\theta$ gồm các phần tử $\sum_{S\in\mathscr{S}_K}n_S[S]$ của $R_K(A)$ sao cho $n_S\cdot 1_K= 0$ với mọi $S\in \mathscr{S}_K$. Vì vậy hạt nhân của $\theta$ bằng $pR_K$(A), trong đó $p$ là đặc số của K. Đặc biệt, nếu K có đặc số 0, thì đồng cấu $\theta$ là đơn ánh.

Khẳng định cuối cùng của a) suy ra từ hệ quả của VIII, p. 190.

Giả sử rằng các giả thiết của b) được thỏa mãn, và cho E là một A-môđun nửa đơn có số chiều hữu hạn trên K. Nếu tồn tại một A-môđun F sao cho E là tổng trực tiếp của $p$ môđun con đẳng cấu với F, thì môđun F là nửa đơn và có số chiều hữu hạn trên K và ta có Tr$_E=p$ Tr$_F= 0$. Ngược lại, giả sử Tr$_E= 0$. Ta có $[E]\in pR_K$(A), nên bội số của mọi môđun đơn $S\in \mathscr{S}_K$ trong E là một bội của $p$ (VIII, p. 190, Mệnh đề 7); ta có thể viết nó dưới dạng $p n_S$ với $n_S\in \mathbf{N}$. Họ $(n_S)$ có giá hữu hạn. Đặt $F =\oplus_{S\in\mathscr{S}_K}S^{n_S}$. Khi đó ta có $[E] = [F^p]$, do đó E và $F^p$ đẳng cấu (VIII, p. 190, Hệ quả).

Cho E là một A-môđun có số chiều hữu hạn trên K. Cho $a\in A$. Ký hiệu $\chi_E(a; T)$ là định thức của tự đồng cấu $1_E+ Ta_E$ của K[T]-môđun $E[T] = K[T]\otimes_KE$ (III, §8, No. 11, p. 541). Ta có quan hệ

(10) $\chi_E(a; T)\equiv 1 +$ Tr$_E(a)T$ (mod $T^2K[T]$)

(loc. cit., công thức (49)). Vì đa thức này có số hạng hằng bằng 1, nên nó là một chuỗi lũy thừa hình thức khả nghịch (IV, §4, No. 4, p. 30). Hơn nữa, nếu

là một dãy khớp của các A-môđun, đều có số chiều hữu hạn trên K, thì ta có $\chi_E(a; T) =\chi_{E'}(a; T)\chi_{E''}(a,T)$ (III, §8, No. 7, p. 534, công thức (31)). Theo định nghĩa của nhóm Grothendieck $R_K(A)$ (VIII, p. 194) và tính chất phổ quát của nó (VIII, p. 186, Mệnh đề 4), tồn tại một đồng cấu duy nhất $\chi_a$ từ nhóm $R_K(A)$ đến nhóm nhân 1 + TK[[T]] sao cho $\chi_a([E]) =\chi_E(a; T)$ với mọi A-môđun E có số chiều hữu hạn trên K. Từ công thức (10) suy ra quan hệ

(11) $\chi_a(x)\equiv 1 +\theta (x)(a)T$ (mod $T^2K[[T]]$)

cho $x\in R_K(A)$ và $a\in A$.

Nếu E và $E'$ là hai A-môđun có số chiều hữu hạn trên K với các phần nửa đơn đẳng cấu, thì ta có $\chi_E(a; T) =\chi_{E'}(a; T)$.

Cho $x$ là một phần tử của $R_K(A)$ sao cho $\chi_{\mathscr{A}}(x) = 1$. Theo (11), ta có $\theta (x)(a) = 0$ với mọi $a\in \mathscr{A}$, và do đó $\theta (x) = 0$ vì $\theta (x)$ là một dạng tuyến tính K trên A và $\mathscr{A}$ sinh không gian vectơ trên K A. Nếu đặc số của K bằng không, thì điều này suy ra $x= 0$ (VIII, p. 384, Hệ quả của Mệnh đề 6), và do đó kết quả trong trường hợp này. Giả sử từ nay trở đi rằng đặc số $p$ của K khác không.

Trước hết xét trường hợp khi K đóng đại số. Theo trên và loc. cit., khi đó ta có $x\in pR_K(A)$. Cho $y\in R_K(A)$ sao cho $x=py$. Với mỗi phần tử $a$ của $\mathscr{A}$, ta có $\chi_a(y)^p=\chi_a(py) =\chi_a(x) = 1$. Do đó ta có $(\chi_a(y)-1)^p= 0$, và vì vậy $\chi_a(y) = 1$ vì vành K[[T]] là một miền nguyên. Vậy $y$ thuộc hạt nhân của tự đồng cấu $\chi_{\mathscr{A}}$. Suy ra bằng quy nạp rằng $x$ thuộc $p^n R_K(A)$ với mọi số nguyên $n \geq 1$. Vì $R_K(A)$ là một $\mathbf{Z}$-môđun tự do, điều này suy ra $x = 0$, và do đó $\chi_{\mathscr{A}}$ là đơn ánh trong trường hợp này.

Nếu không còn giả sử K đóng đại số nữa, thì ta chọn một bao đóng đại số $\overline{K}$ của K và xét biểu đồ các nhóm và các đồng cấu nhóm

trong đó $u$ là đồng cấu suy ra từ phép mở rộng vô hướng từ $K$ đến $\overline{K}$ (VIII, p. 195), $i$ là đơn ánh chính tắc, và $\overline{\chi}_{\mathscr{A}}$ là đồng cấu $z \mapsto (\chi_{1 \otimes a}(z))_{a \in \mathscr{A}}$. Theo công thức (12) của III, §9, No. 1, p. 542, biểu đồ (12) giao hoán. Theo trên, đồng cấu $\overline{\chi}_{\mathscr{A}}$ là đơn ánh. Vì $u$ là đơn ánh (VIII, p. 195, Định lý 1), nên đồng cấu $\chi_{\mathscr{A}}$ là đơn ánh.

Cho $a$ là một phần tử của $\mathscr{A}$. Các đa thức đặc trưng của $a_E$ và $a_F$ có cùng bậc, nên chiều của E bằng chiều của F; ta ký hiệu nó là $n$. Ký hiệu $\mathrm{Pc}_E(a; T)$ là đa thức đặc trưng của $a_E$. Trong $K(T)$, ta có các đẳng thức

và $\chi_F(a; T)$ được cho bởi một công thức tương tự. Do các giả thiết của chúng ta, ta có $\chi_E(a; T) = \chi_F(a; T)$. Theo Định lý 2, ta có [E] = [F], điều đó suy ra E và F đẳng cấu (VIII, p. 190, Hệ quả của Mệnh đề 7).

(i) Tồn tại một tự đẳng cấu trong $\theta$ của A sao cho $g = \theta \circ f$. (ii) Với mọi $b \in \mathscr{B}$, ta có $\mathrm{Pc}_{A/K}(f(b); X) = \mathrm{Pc}_{A/K}(g(b); X)$.* Khi K có đặc số không, các tính chất này tương đương với điều sau: