b) Tout idéal à gauche ou à droite de A, de codimension finie, contient un idéal bilatère de codimension finie.

Les formules (3) et (4) démontrent que si E est un idéal à gauche de A, alors $E'$ est un sous-A-module à droite de $A^*$; si V est un sous-A-module à droite de $A^*$, alors $V'$ est un idéal à gauche de A. Le cas des idéaux à droite et celui des idéaux bilatères se traitent de manière analogue. Ceci démontre a).

Soit $\mathfrak{a}$ un idéal à gauche de A, de codimension finie. Le A-module à gauche $E = A_s/\mathfrak{a}$ est de dimension finie sur K et il en est de même de End$_K(E)$. Le noyau de l’homomorphisme $a\rightarrow a_E$ de A dans End$_K(E)$ est donc un idéal bilatère de codimension finie de A, contenu dans $\mathfrak{a}$. Passant à l’anneau opposé $A^o$, on voit que tout idéal à droite, de codimension finie dans A, contient un idéal bilatère de codimension finie.

Si F est un A-module à droite et G un K-espace vectoriel, on a défini en II, p. 74, prop. 1 a), un isomorphisme $\gamma$ de K-espaces vectoriels de Hom$_K(F\otimes_AE,G)$ sur Hom$_A(E$, Hom$_K(F,G))$. Cet isomorphisme associe à $\varphi : F\otimes_AE\rightarrow G$ l’homomorphisme $e\rightarrow (f\rightarrow \varphi (f\otimes e))$. Compte tenu de l’isomorphisme canonique de $A_d\otimes_AE$ avec E (II, p. $56$)$,\gamma$ s’identifie à $c''_E$ dans le cas où $F = A_d, G = K$.

De manière analogue, l’isomorphisme$\beta$ défini en II, p. 74, prop. 1 b) se spécialise en un isomorphisme $\beta$ de Hom$_K(E^*\otimes_AA_s,K)$ sur Hom$_A(E^*$, Hom$_K(A_s,K))$. Lorsque E est de dimension finie, E s’identifie canonique à Hom$_K(E^*,K)$ et $E^*$ à $E^*\otimes_AA_s$, l’homomorphisme $\beta$ s’identifie alors à $c'_E$.

a) L’ensemble des coefficients de E est la réunion des images des applications A-linéaires de E dans $A^*$.

b) Supposons en outre que E soit de dimension finie $n$ sur K. Alors le A-module à gauche $\Theta_E(A)$est isomorphe à un quotient de $E^n$, le A-module E est isomorphe à un sous-module de $\Theta_E(A)^n$ et tout élément de $\Theta_E(A)$est un coefficient de $E^n$.

L’assertion a) résulte de la surjectivité de $c''_E$.

Démontrons b). Soit $(e^*_1, . . . , e^*_n)$ une base de $E^*$ sur K. Comme $\Theta_E(A)$ est engendré par les coefficients de E, l’application A-linéaire

de $E^n$ dans $\Theta_E(A)$ est surjective. D’après a), tout élément de $\Theta_E(A)$ est un coefficient de $E^n$. Par ailleurs, l’application A-linéaire

de E dans $\Theta_E(A)^n$ est injective, d’où b).

Comme End$_K(V)$ est de dimension finie sur $K,\mathfrak{a}$ est un idéal bilatère de codimension finie de A. L’espace vectoriel $\Theta_{\pi}(A)$ est un sous-espace de dimension finie de $A^*$ et son orthogonal dans A est égal à $\mathfrak{a}$; d’après le th. 7 de II, p. 104, l’espace $\Theta_{\pi}(A)$ est donc l’orthogonal de $\mathfrak{a}$ dans $A^*$. De plus, comme $\mathfrak{a}$ est le noyau de $\pi$, l’application transposée de $\pi$ définit un isomorphisme du dual de $\pi (A)$ sur l’orthogonal de $\mathfrak{a}$ dans $A^*$ (II, p. 102, cor. du th. 5).

Par définition, Θ(A) est la réunion des orthogonaux des idéaux bilatères de codimension finie de A. On a donc $\Theta_{\pi}(A)\subset \Theta (A)$ pour toute représentation linéaire de dimension finie $\pi$ de A. Réciproquement, soit $f$ un élément de Θ(A) et soit $\mathfrak{a}$ un idéal bilatère de codimension finie, contenu dans le noyau de $f$ (VIII, p. 368, déf. 2). Notons $\pi$ la représentation linéaire de A dans $A/\mathfrak{a}$ déduite par passage au quotient de la représentation régulière gauche dans A ; soit $x$ la classe de 1 (mod. $\mathfrak{a}$), et $x^*$ la forme linéaire sur $A/\mathfrak{a}$ déduite de $f$. On a $f=c_{\pi}(x, x^*)$, de sorte que $f$ est un coefficient de $\pi$.

☡ On prendra garde que si $(V, \pi )$ est une représentation linéaire de A qui n’est pas de dimension finie sur K, l’espace $\Theta_{\pi}(A)$ n’est pas nécessairement contenu dans Θ(A).

b) Pour tout $S\in \mathscr{S}_K$, le composant isotypique de type S de Θ(A) est égal à $\Theta_S(A)$;le A-module à gauche $\Theta^{ss}(A)$est somme directe des sous-modules $\Theta_S(A)$, où S parcourt $\mathscr{S}_K$.

c) Pour tout S dans $\mathscr{S}_K$, le A-module à droite $S^*$ est simple et $\Theta_S(A)$ est le composant isotypique de type $S^*$ du A-module à droite Θ(A). L’application qui à S associe cl($S^*$) est une bijection de $\mathscr{S}_K$ sur l’ensemble des classes de $A^o$-modules simples de dimension finie sur K.

d) Considéré comme A-module à droite, Θ(A) a pour socle $\Theta^{ss}(A)$.

Soit E un A-module semi-simple de dimension finie sur K. Tout coefficient de E appartient à l’image d’une application A-linéaire de E dans $A^*$ (VIII, p. 370, prop. 2) donc appartient à $\Theta^{ss}(A)$. Inversement soit $f\in \Theta^{ss}(A)$. Alors le A-module $Af$ est de dimension finie sur K et est semi-simple. Par la remarque VIII, p. 358$,f$ est un coefficient de $Af$.

Pour tout S dans $\mathscr{S}_K$, le composant isotypique de type S de Θ(A) est engendré par les images des applications A-linéaires de S dans $A^*$; il est donc égal à $\Theta_S(A)$ d’après la prop. 2, a) de VIII, p. 370. D’autre part, si S est un A-module simple qui n’est pas de dimension finie sur K, le composant isotypique de type S de Θ(A) est nul : en effet, tout sous-module simple de Θ(A) est monogène, donc de dimension finie sur K. Comme le socle de Θ(A) est somme directe de ses composants isotypiques (VIII, p. 61, prop. 4), cela démontre b).

Soit S un A-module simple, de dimension finie sur K. Comme le K-espace vectoriel S n’est pas réduit à 0, il en est de même de $S^*$. Soit E un sous-module du A-module à droite $S^*$; son orthogonal $E'$ dans S est un sous-A-module de S ; comme S est simple, on a ou bien $E'= 0$, d’où $E = S^*$, ou bien $E'= S$, d’où E = 0. Donc $S^*$ est un A-module à droite simple.

On a $\Theta (A^o) = \Theta (A)$ (VIII, p. 368) ; on identifie A-modules à droite et $A^o$-modules à gauche. Comme tout espace vectoriel de dimension finie sur K est isomorphe à son bidual, ce qui précède démontre que l’application $S\rightarrow$ cl($S^*$) est une bijection de $\mathscr{S}_K$ sur l’ensemble des classes de $A^o$-modules simples de dimension finie sur K. Or, pour S dans $\mathscr{S}_K$, le composant isotypique de type $S^*$ de $\Theta (A^o)$ est égal à $\Theta_{S^*}(A^o)$ d’après l’assertion b) du th. 1 appliquée à l’algèbre $A^o$, et l’on a $\Theta_{S^*}(A^o) = \Theta_S(A)$. Les assertions c) et d) résultent aussitôt de là.

Cela résulte du th. 1, b) car on a $\Theta_E(A)\not= 0$ pour tout A-module non nul E.

Soient $S_1$ et $S_2$ des A-modules simples de dimension finie sur K ayant un même coefficient non nul. On a alors $\Theta_{S_1}(A)\cap \Theta_{S_2}(A)\not= 0$. Or $\Theta_{S_1}(A)$ est isotypique de type $S_1$ et $\Theta_{S_2}(A)$ de type $S_2$. Donc $S_1$ est isomorphe à $S_2$.

D’après le théorème 1, $\Theta^{ss}(A)$ est un sous-(A, A)-bimodule de $A^*$, somme directe des $(A$, A)-bimodules $\Theta_S(A)$ pour S parcourant $\mathscr{S}_K$; ces bimodules sont deux à deux non isomorphes, puisqu’ils sont déjà non isomorphes comme A-modules à gauche.

Fixons S dans $\mathscr{S}_K$. Notons D le corps opposé de End$_A$(S), et considérons S comme D-module à droite et $S^*$ comme un D-module à gauche. Avec ces conventions, S est un $(A$, D)-bimodule, $S^*$ est un $(D$, A)-bimodule, et $S\otimes_DS^*$ est un $(A,A)$-bimodule.

b) Le $(A,A)$-bimodule $\Theta_S(A)$est simple.

L’application $\gamma_S: S\otimes_KS^*\rightarrow \Theta_S(A)$ caractérisée par la formule $\gamma_S(x\otimes x^*) =$ $c_S(x, x^*)$ est $(A$, A)-linéaire et surjective et satisfait à $\gamma_S(xd\otimes x^*) =\gamma_S(x\otimes dx^*)$ pour $x\in S,x^*\in S^*$ et $d\in D$. Elle définit donc une application $(A$, A)-linéaire surjective $\lambda_S: S\otimes_DS^*\rightarrow \Theta_S(A)$ caractérisée par la formule (6).

Prouvons que $S\otimes_DS^*$ est un $(A$, A)-bimodule simple. D’après le cor. 2 de VIII, p. 59, tout sous-(A, A)-bimodule de $S\otimes_DS^*$ est de la forme $S\otimes_DH$, où H est un sous$(D$, A)-bimodule de $S^*$. Comme $S^*$ est un A-module à droite simple (VIII, p. 371, th. 1, c)), on a H = 0 ou $H = S^*$, d’où notre assertion.

L’homomorphisme $\lambda_S$ est $(A$, A)-linéaire et non nul ; comme $S\otimes_DS^*$ est un bimodule simple, $\lambda_S$ est injectif (VIII, p. 43, prop. 2, a)).

(i) Le caractère Tr$_S$ de S n’est pas nul ;

(ii) Il existe un élément $d\in D$tel que Tr$_{D/K}(d)\not= 0$;

(iii) L’extension Z de K est séparable et la caractéristique $p$ de K ne divise pas le degré [D : Z].

Le D-espace vectoriel à droite S est de dimension finie. Soit $(e_1, . . . , e_n)$ une base de S sur D et soit $u$ un élément de End$_D(S)$. Soit $(d_{ij})$ la matrice de $u$ par rapport à la base $(e_1, . . . , e_n)$. On a $u(e_j) =\sum^n_{i=1}e_id_{ij}$ pour $j\in [1, n]$. Notons $u_K$ l’application $u$, considérée comme endomorphisme du K-espace vectoriel S, et $(u_{ij})$ la matrice de $u_K$ par rapport à la décomposition $(e_iD)$ du K-espace vectoriel S en somme directe (II, p, 146). On a Tr($u_K$) $=\sum_i$ Tr($u_{ii}$). De plus, $u_{ii}$ est l’endomorphisme du K-espace vectoriel $e_iD$ défini par $u_{ii}(e_id) =e_id_{ii}d$ pour $d\in D$, donc sa trace est égale à Tr$_{D/K}(d_{ii})$. Nous avons ainsi démontré l’égalité

(9) Tr($u_K$) $=$ Tr$_{D/K}(\sum_id_{ii})$.

D’après le théorème de Burnside (VIII, p. 79, cor. 1 de la prop. 4), l’application $a\rightarrow a_S$ de A dans End$_D(S)$ est surjective. L’équivalence des conditions (i) et (ii) résulte ainsi de la formule (9).

Si l’extension Z de K est séparable, il existe un élément $d\in$ Z tel que Tr$_{Z/K}(d)\not= 0$ (V, p. 48, cor. de la prop. 1). De plus, on a Tr$_{D/K}(d) = [D : Z]$ Tr$_{Z/K}(d)$ (III, p. 114, cor.) ; par conséquent, si $p$ ne divise pas [D : Z], on a Tr$_{D/K}(d)\not= 0$. Cela prouve que (iii) entraîne (ii).

Si l’extension Z de K n’est pas séparable, on a Tr$_{Z/K}(x) = 0$ pour tout $x\in Z$, d’où Tr$_{D/K}(d) =$ Tr$_{Z/K}$(Tr$_{D/Z}(d)$) $= 0$ pour tout $d\in D$.

Supposons maintenant que $p$ divise le degré [D : Z]. Il divise alors le degré réduit de D sur Z. Pour tout $d\in D$, on Tr$_{D/Z}(d) = 0$ (VIII, p. 337, remarque), d’où Tr$_{D/K}(d) =$ Tr$_{Z/K}$(Tr$_{D/Z}(d)$) $= 0$. Cela termine la démonstration de l’implication (ii) $=\Rightarrow$ (iii).

Le corps étant parfait, l’extension Z de K est séparable (V, p. 119, th. 3). La condition (iii) résulte alors du cor. 3 de VIII, p. 318.

Soit F une partie finie de $\mathscr{S}_0$ et soit S un élément de F. Par hypothèse, il existe un élément $a\in A$ tel que Tr$_S(a)\not= 0$. D’après le cor. 1 de la prop. 4 (VIII, p. 79) il existe un élément $b\in A$ tel que $b_S=a_S$ et $b_T= 0$ pour tout $T\in F-\{S\}$. On a Tr$_S(b)\not= 0$ et Tr$_T(b) = 0$ pour $T\in F-\{S\}$. La famille (Tr$_S$)$_{S\in F}$ est donc libre et la proposition 6 en résulte.

b) Supposons le corps K parfait de caractéristique $p$ non nulle. Alors l’homomorphisme $\theta_K$ est injectif et le noyau de $\theta$ est $pR_K(A)$. Soit E un A-module semi-simple et de dimension finie sur K. Pour que la forme linéaire Tr$_E$ soit nulle, il faut et il suffit qu’il existe un A-module F tel que E soit isomorphe à $F^p$.

Soit $\mathscr{S}_K$ l’ensemble des classes de A-modules simples qui sont de dimension finie sur K. Les éléments [S], où S parcourt $\mathscr{S}_K$, forment une base du $\mathbf{Z}$-module $R_K$(A), donc les éléments $1\otimes [S]$ forment une base du K-espace vectoriel $K\otimes_{\mathbf{Z}}R_K(A)$ (VIII, p. 191).

Supposons le corps K parfait. D’après la prop. 6 et le cor. de VIII, p. 375 les éléments $\theta ([S]) =\theta_K(1\otimes [S]) =$ Tr$_S$ de $A^*$ sont linéairement indépendants sur K. Il en résulte que l’homomorphisme $\theta_K$ est injectif et que le noyau de l’homomorphisme $\theta$ est composé des éléments $\sum_{S\in\mathscr{S}_K}n_S[S]$ de $R_K(A)$ tels que $n_S\cdot 1_K= 0$ pour tout $S\in \mathscr{S}_K$. Le noyau de $\theta$ est donc égal à $pR_K$(A), où $p$ est la caractéristique de K. En particulier, si K est de caractéristique 0, l’homomorphisme $\theta$ est injectif.

La dernière assertion de a) résulte du cor. de VIII, p. 186.

Plaçons-nous maintenant sous les hypothèses de b), et soit E un A-module semi-simple et de dimension finie sur K. S’il existe un A-module F tel que E soit somme directe de $p$ sous-modules isomorphes à F, le module F est semi-simple et de dimension finie sur K et l’on a Tr$_E=p$ Tr$_F= 0$. Inversement, supposons que Tr$_E= 0$. On a $[E]\in pR_K$(A), donc la multiplicité de tout module simple $S\in \mathscr{S}_K$ dans E est multiple de $p$ (VIII, p. 186, prop. 7) ; on peut l’écrire $p n_S$ avec $n_S\in \mathbf{N}$. La famille $(n_S)$ est à support fini. Posons $F =\oplus_{S\in\mathscr{S}_K}S^{n_S}$. On a alors $[E] = [F^p]$, de sorte que E et $F^p$ sont isomorphes (VIII, p. 186, cor.).

Soit E un A-module de dimension finie sur K. Soit $a\in A$. Notons $\chi_E(a; T)$ le déterminant de l’endomorphisme $1_E+ Ta_E$ du K[T]-module $E[T] = K[T]\otimes_KE$ (III, p. 107). On a la relation

(10) $\chi_E(a; T)\equiv 1 +$ Tr$_E(a)T$ (mod. $T^2K[T]$) (loc. cit., formule (49)). Comme ce polynôme a un terme constant égal à 1, c’est une série formelle inversible (IV, p. 28). De plus, si

est une suite exacte de A-modules, tous de dimension finie sur K, on a $\chi_E(a; T) = \chi_{E'}(a; T)\chi_{E''}(a, T)$ (III, p. 101, formule (31)). D’après la définition du groupe de Grothendieck $R_K(A)$ (VIII, p. 189) et sa propriété universelle (VIII, p. 182, prop. 4), il existe un unique homomorphisme $\chi_a$ du groupe $R_K(A)$ dans le groupe multiplicatif $1 + TK[[T]]$ tel que $\chi_a([E]) = \chi_E(a; T)$ pour tout A-module E de dimension finie sur K. Il résulte de la formule (10) la relation

tout élément $x \in R_K(A)$ et tout élément $a \in A$.

Si E et E’ sont deux A-modules, de dimension finie sur K, ayant des semi-simplifiés isomorphes, on a $\chi_E(a; T) = \chi_{E'}(a; T)$.

Soit x un élément de $R_K(A)$ tel que $\chi_{\mathscr{A}}(x) = 1$. D’après (11), on a $\theta(x)(a) = 0$ pour tout $a \in \mathscr{A}$, d’où $\theta(x) = 0$ puisque $\theta(x)$ est une forme K-linéaire sur A et que $\mathscr{A}$ engendre le K-espace vectoriel A. Si la caractéristique de K est nulle, cela entraîne $x = 0$ (VIII, p. 376, cor. de la prop. 6), d’où le résultat dans ce cas. Supposons désormais que la caractéristique $p$ de K soit non nulle.

Traitons d’abord le cas où K est algébriquement clos. D’après ce qui précède et loc. cit., on a alors $x \in pR_K(A)$. Soit $y \in R_K(A)$ tel que $x = py$. Pour tout élément $a$ de $\mathscr{A}$, on a $\chi_a(y)^p = \chi_a(py) = \chi_a(x) = 1$. On a donc $(\chi_a(y) - 1)^p = 0$, d’où $\chi_a(y) = 1$ puisque l’anneau $K[[T]]$ est intègre. Ainsi, y appartient au noyau de l’endomorphisme $\chi_{\mathscr{A}}$. Il en résulte par récurrence que x appartient à $p^n R_K(A)$ pour tout entier $n \geqslant 1$. Comme $R_K(A)$ est un $\mathbf{Z}$-module libre, cela entraîne $x = 0$, d’où l’injectivité de $\chi_{\mathscr{A}}$ dans ce cas.

Si K n’est plus supposé algébriquement clos, on choisit une clôture algébrique $\overline{K}$ de K et on considère le diagramme de groupes et d’homomorphismes de groupes