Cho $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của M; ta trang bị cho tập hợp I một thứ tự toàn phần. Với mọi tập con J của I, đặt $e_J = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_r}$, trong đó $(i_1, \ldots, i_r)$ là dãy các phần tử của J theo thứ tự tăng. L-môđun $\wedge^{m-p}(M)$ nhận các phần tử $e_S$ làm một cơ sở, trong đó S chạy qua tập hợp các tập con của I có $m - p$ phần tử; $\wedge^m(M)$ có $\{e_I\}$ làm một cơ sở. Do đó, tồn tại một cơ sở của $\operatorname{Hom}_L(\wedge^{m-p}(M), \wedge^m(M))$ gồm các ánh xạ tuyến tính $e_J^*$ được đặc trưng bởi công thức

trong đó J chạy qua tập hợp các tập con của I có p phần tử. Từ công thức (20) của III, §7, No. 8, p. 519 suy ra rằng với mọi tập con J của I có p phần tử, ta có $h_p(e_J) \in \{e_J^*, -e_J^*\}$; vì các phần tử $e_J$ lập thành một cơ sở của $\wedge^p(M)$, ánh xạ tuyến tính $h_p$ là song ánh.

Bây giờ chứng minh Mệnh đề 1. Cho u và $\tilde{u}$ là các tự đồng cấu của M. Quan hệ (3) tương đương với

ánh xạ $h_1$ là một đẳng cấu từ M lên $\operatorname{Hom}_L(\wedge^{m-1}(M), \wedge^m(M))$ theo Bổ đề 1. Do đó, với mọi tự đồng cấu u của M, tồn tại một tự đồng cấu duy nhất $\tilde{u}$ của M thỏa mãn quan hệ (3).

Cho $x_1, . . . , x_m$ là các phần tử của M. Hãy thay thế $x$ bằng $u(x_1)$ và $w$ bằng $x_2\wedge \cdots \wedge x_m$ trong (3); ta thu được

$\widetilde{u}(u(x_1))\wedge x_2\wedge \cdots \wedge x_m=u(x_1)\wedge \cdots \wedge u(x_m) =$ det($u$)$x_1\wedge \cdots \wedge x_m$.

Do đó, $h_1(\widetilde{u}\circ u(x_1)) =h_1$(det($u$)$x_1$), điều đó cho quan hệ $\widetilde{u}\circ u=$ det($u$)$_M$ theo Bổ đề 1.

Ta ký hiệu bởi U tự đồng cấu $X-\overline{u}$ của L[X]-môđun M[X] (VIII, p. 335). Theo điều trên khi áp dụng cho U, tồn tại một tự đồng cấu $\widetilde{U}$ của L[X]-môđun M[X] thỏa mãn các quan hệ

với $x_1, . . . , x_m$ trong M và

(10) $\widetilde{U}\circ U =$ det(X $-\overline{u}$)$_{M[X]}$.

Hãy xem $\widetilde{U}$ như một phần tử của End(M)[X] (VIII, p. 9); theo công thức (9) và Bổ đề 1, nó có bậc $\leqslant m-1$, vì vậy ta có thể viết nó thành

trong đó các $u_r$ là các nội tự đồng cấu của M. Theo công thức (2), quan hệ (10) cho đẳng thức

trong vành End(M)[X]. Khi đồng nhất các hệ số của các đơn thức theo X ở mỗi vế, ta thu được các quan hệ

(13) $u_r+u_{r-1}\circ u=c_r(u)_M$ với $1\leqslant r\leqslant m-1$

và

Từ đó, suy ra

Bây giờ, khi ta đồng nhất các hạng hằng, các đẳng thức (9) và (11) suy ra $u_{m-1}=\widetilde{u}$; công thức (6) được suy ra.

Đặc biệt, $\widetilde{u}$ thuộc đại số con của End(M) sinh bởi $u$ và do đó giao hoán với $u$. Ta đã thiết lập quan hệ $\widetilde{u}\circ u=$ det($u$)$_M$; công thức (4) được suy ra.

Cuối cùng, cho $x_1, . . . , x_m$ là các phần tử của M. Ta thay $x$ bằng $x_1$ và $w$ bằng $\widetilde{u}(x_2)\wedge \cdots \wedge \widetilde{u}(x_m)$ trong công thức (3). Điều này cho

= det($u$)$^{m-1}x_1\wedge x_2\wedge \cdots \wedge x_m$

và do đó là công thức (5).

A) Tính duy nhất của P suy ra từ Bổ đề 2 dưới đây.

Cho $\mathscr{I}$ là tập hợp các đa thức đơn nhất bất khả quy trong K[X]. Vì P và Q là đơn nhất, tồn tại các phần tử $(a_F)$ và $(b_F)$ của $\mathbf{N}^{(\mathscr{I})}$ sao cho ta có $P =\prod_{F\in\mathscr{I}}F^{a_F}$ và $Q =\prod_{F\in\mathscr{I}}F^{b_F}$. Từ đẳng thức $P^s= Q^s$ và tính duy nhất của phân tích thành các nhân tử bất khả quy, suy ra rằng ta có $sa_F=sb_F$ với mọi $F\in \mathscr{I}$. Vì $s$ là dương ngặt, do đó ta có $a_F=b_F$ với mọi $F\in \mathscr{I}$, và vì thế P = Q.

B) Bây giờ chứng minh sự tồn tại của P.

Theo Định lý 1 của VIII, p. 252, tồn tại một mở rộng Galois L của K bậc hữu hạn và một đẳng cấu của các đại số trên L $\theta : A_{(L)}\rightarrow \mathbf{M}_n(L)$. Theo công thức (12) của III, §9, No. 1, p. 542, đa thức Pc($a; X$) cũng là đa thức đặc trưng của phần tử $1\otimes a$ của đại số trên L $A_{(L)}$, do đó cũng là đa thức đặc trưng của phần tử $\theta (1\otimes a)$ của đại số trên L $\mathbf{M}_n(L)$.

Đặt P(X) = det(X$I_n-\theta (1\otimes a)$); đó là một đa thức đơn khởi trong L[X]. Theo Ví dụ 3 của III, §9, No. 3, p. 545, ta có

(19) Pc($a; X$) $= P(X)^n$.

Cho G là nhóm Galois của L trên K. Với $\sigma \in G$, ký hiệu bởi $\overline{\sigma}$ tự đẳng cấu của vành L[X] trùng với $\sigma$ trên L và cố định X. Khi đó K[X] là tập hợp các đa thức Q của L[X] sao cho ta có $\overline{\sigma}(Q) = Q$ với mọi $\sigma \in G$ (V, §10, No. 1, p. 56, Định lý 1). Vì đa thức Pc($a; X$) $= P(X)^n$ thuộc K[X], nên ta có $\overline{\sigma}(P)^n= P^n$ với mọi $\sigma \in G$. Theo Bổ đề 2, do đó ta có $\overline{\sigma}(P) = P$ với mọi $\sigma \in G$, vậy P thuộc K[X].

Một phần tử $a$ của A là khả nghịch khi và chỉ khi chuẩn của nó khác không (III, §9, No. 4, p. 545, Mệnh đề 3). Do đó Mệnh đề 3 suy ra từ công thức (24).

(28) Pcrd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a; X) =$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$,

(29) Trd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a) =$ Trd$_{A/K}(a)$,

(30) Nrd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$

(“bất biến đối với mở rộng vô hướng”).

Hai vế của đẳng thức (28) có cùng lũy thừa bậc $n$ theo định nghĩa (công thức (20) của VIII, p. 340) và quan hệ

Pc$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a; X) =$ Pc$_{A/K}(a; X)$ (III, §9, No. 3, p. 544, công thức (21)). Do đó đẳng thức (28) suy ra từ Bổ đề 2 của VIII, p. 339. Các công thức (29) và (30) suy ra từ (28), (21), và (22).

(31) Pcrd$_{A/K}(a; X) =\chi_{\theta(a)}(X)$,

(32) Trd$_{A/K}(a) =$ Tr($\theta (a)$),

(33) Nrd$_{A/K}(a) =$ det($\theta (a)$).

Cho $\theta '$ là đồng cấu đại số trên L từ $A_{(L)}$ vào End$_L(V)$ sao cho $\theta '(\lambda \otimes a) =\lambda \theta (a)$ với $\lambda \in L$ và $a\in A$. Đại số $A_{(L)}$ là đơn theo Hệ quả 2 của VIII, p. 222; do đó đồng cấu $\theta '$ là đơn ánh. Nhưng các đại số $A_{(L)}$ và End$_L(V)$ trên trường L có cùng bậc, bằng $n^2$, nên $\theta '$ là một đẳng cấu. Khi đó Hệ quả 1 suy ra từ Mệnh đề 4 và Ví dụ 2 ở trên.

(34) Pcrd$_{A/K}(a;a) = 0$,

(35) Pcrd$_{A/K}(\lambda a;\lambda X) =\lambda^n$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$,

(36) Trd$_{A/K}(a+a') =$ Trd$_{A/K}(a) +$ Trd$_{A/K}(a')$,

Trd$_{A/K}(\lambda a) =\lambda$ Trd$_{A/K}(a)$,

(37) Trd$_{A/K}(aa') =$ Trd$_{A/K}(a'a)$,

(38) Nrd$_{A/K}(aa') =$ Nrd$_{A/K}(a)\cdot$ Nrd$_{A/K}(a')$,

Nrd$_{A/K}(\lambda a) =\lambda^n$ Nrd$_{A/K}(a)$,

(39) Trd$_{A/K}(1) =n$, Nrd$_{A/K}(1) = 1$.

Vì A là đại số đơn tâm và có bậc thu gọn $n$ trên K, nên tồn tại một mở rộng L của K và một không gian vectơ V chiều $n$ trên L sao cho $A_{(L)}$ đẳng cấu với đại số End$_L(V)$ (VIII, p. 252, Định lý 1). Hệ quả 2 khi đó suy ra từ Hệ quả 1 và các tính chất của vết và định thức của một tự đồng cấu. Đặc biệt, công thức (34) suy ra từ định lý Cayley– Hamilton (III, §8, No. 11, p. 541, Mệnh đề 20, xem thêm VIII, p. 338, Nhận xét 2).

(40) Pcrd$_{A^o/K}(a; X) =$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$,

(41) Trd$_{A^o/K}(a) =$ Trd$_{A/K}(a)$,

(42) Nrd$_{A^o/K}(a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$.

Chọn một mở rộng L của K, một không gian vectơ V có chiều $n$ trên L, và một đồng cấu $\theta$ từ A vào End$_L(V)$ (VIII, p. 252, Định lý 1). Gọi $V^*$ là không gian vectơ đối ngẫu của V. Ánh xạ gửi một phần tử $a$ của A tới tự đồng cấu $^t\theta (a)$ của $V^*$ là một đồng cấu đại số trên K từ $A^o$ vào End$_L(V^*)$. Khi đó Hệ quả 3 suy ra từ Hệ quả 1 và Hệ quả 3 của III, §8, No. 4, p. 528.

Vì thế vết, chuẩn và đa thức đặc trưng của $a$ là như nhau dù ta xem $a$ như một phần tử của A hay như một phần tử của $A^o$. Tính chất này không phải lúc nào cũng đúng khi A không được giả thiết là đơn tâm (III, §9, p. 644, Bài tập 1).

a) Ánh xạ $t:x\mapsto t_x$ là một đẳng cấu các $(A,A)$-song môđun từ A lên đối ngẫu của nó Hom$_K(A,K)$.

b) Cho $h$ là một dạng tuyến tính trên A. Các tính chất sau là tương đương:

(i) Tồn tại một phần tử $\lambda$ của K sao cho $h(x) =\lambda$ Trd$_{A/K}(x)$

với mọi $x\in A$.

(ii) Ta có $h(xy) =h(yx)$ với mọi $x, y$ trong A.

Nhắc lại rằng (II, §1, No. 14, p. 225–226) cấu trúc song môđun $(A$, A)-trên $A^*=$ Hom$_K(A,K)$ được xác định bởi quan hệ

với $a, b, c\in A$ và $t\in A^*$. Đặc biệt, với mọi $x$ trong A, ta có

$\langle at_xb, c\rangle =\langle t_x, bca\rangle =$ Trd$_{A/K}(xbca)$,

$\langle t_{axb}, c\rangle =$ Trd$_{A/K}(axbc)$,

và hai phần tử này bằng nhau theo công thức (37) của VIII, p. 342. Do đó ta có $at_xb=t_{axb}$, điều đó có nghĩa là $t$ là một đồng cấu của $(A$, A)-song môđun từ A vào $A^*$.

Ta chọn một mở rộng L của trường K và một đẳng cấu $\theta$ từ L-đại số $A_{(L)}$ lên đại số ma trận $\mathbf{M}_n(L)$ (VIII, p. 252, Định lý 1). Ta đồng nhất không gian vectơ $(A^*)_{(L)}$ với đối ngẫu của không gian vectơ $A_{(L)}$ trên trường L. Theo Mệnh đề 4 của VIII, p. 341, với những quy ước này, ta có

(44) Trd$_{A_{(L)}/L}= 1_L\otimes$ Trd$_{A/K}$.

Gọi $t_{(L)}$ là ánh xạ L-tuyến tính từ $A_{(L)}$ vào $A^*_{(L)}$ suy ra từ $t$ bởi phép mở rộng vô hướng; theo công thức (44) và Hệ quả 1, ta có

(45) $\langle t_{(L)}(x), y\rangle =$ Trd$_{A_{(L)}/L}(xy) =$ Tr($\theta (x)\theta (y)$)

với $x, y$ trong $A_{(L)}$. Theo Mệnh đề 7 của II, §10, No. 11, p. 358, ánh xạ $t_{(L)}$ là song ánh; do đó $t$ là song ánh. Ta đã chứng minh a).

Cho $h$ thuộc $A^*$; theo điều trên, tồn tại một phần tử $a$ của A sao cho $h$ bằng $t_a$. Theo a), ta có

Do đó, quan hệ “$h(xy) =h(yx)$ với $x, y$ trong A” là tương đương với “$t_{ax-xa}= 0$ với mọi $x\in$ A”, và theo phần a) của chứng minh, điều đó có nghĩa là $a$ thuộc tâm K của A. Điều này chứng minh b) theo công thức (36).

Cho P và Q là các phần tử của $K[\mathbf{T}]$ với $Q\not= 0$. Các hệ số của các đa thức R trong $L[\mathbf{T}]$ sao cho P = QR là các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính với các hệ số trong K. Do đó, nếu tồn tại một đa thức $R\in L[\mathbf{T}]$ sao cho P = QR, thì cũng tồn tại một đa thức như vậy trong $K[\mathbf{T}]$ (II, §8, No. 5, p. 321, Mệnh đề 6). Điều này chứng minh bao hàm $K(\mathbf{T})\cap L[\mathbf{T}]\subset K[\mathbf{T}]$; bao hàm ngược lại là hiển nhiên.

Nhắc lại rằng đa thức đặc trưng rút gọn của một phần tử $a$ của A có thể viết thành

(46) Pcrd$_{A/K}(a; X) =\sum_{r=0}^n(-1)^rb_r(a) X^{n-r}$

và rằng ta có

$b_0(a) = 1,b_1(a) =$ Trd$_{A/K}(a),b_n(a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$.

Cho $(e_i)_{i\in I}$ là một cơ sở của A trên K và $\mathbf{T}= (T_i)_{i\in I}$ là một họ biến.

Ta chọn một mở rộng L của K và một đẳng cấu đại số trên L $\theta$ từ $A_{(L)}$ lên $\mathbf{M}_n(L)$. Ta ký hiệu bởi $\overline{\theta}: A_{(L(\mathbf{T}))}\rightarrow \mathbf{M}_n(L(\mathbf{T}))$ đẳng cấu của các đại số trên $L(\mathbf{T})$ suy ra từ $\theta$ bằng phép mở rộng vô hướng. Theo Hệ quả 1 của VIII, p. 342, ta có

(47) $P(X) =\chi_{\overline{\theta}(u)}(X) =$ det(X$I_n-\overline{\theta}(u)$) $=$ det$(XI_n-\sum_{i\in I}T_i\theta (1\otimes e_i))$.

Vì các ma trận $\theta (1\otimes e_i)$ thuộc $\mathbf{M}_n$(L), công thức này cho thấy rằng P là một đa thức thuần nhất bậc $n$ trong $L[\mathbf{T},X]$. Nó cũng thuộc $K(\mathbf{T})[X]$ và có thể được viết dưới dạng $P(X) =\sum_{j\geqslant 0}c_jX^j$, trong đó mỗi $c_j$ thuộc giao $K(\mathbf{T})\cap L[\mathbf{T}]$. Theo Bổ đề 3, mỗi phần tử $c_j$ đều thuộc $K[\mathbf{T}]$; Bổ đề 4 được suy ra.

(48) Pcrd$_{A_{(K')}/K'}(\sum_{i\in I}t_i\otimes e_i)= P((t_i)_{i\in I},X)$.

Cho $\varphi : K[\mathbf{T}]\rightarrow K'$ là đồng cấu đại số trên K duy nhất gửi $T_i$ tới $t_i$ với mọi $i\in I$; nó xác định trên $K'$ cấu trúc đại số trên $K[\mathbf{T}$]. Đại số trên $K'$ $A_{(K[\mathbf{T}])(K')}$ có thể được đồng nhất với $A_{(K')}$ (tính bắc cầu của mở rộng vô hướng), trong đó phần tử $1\otimes (\sum T_i\otimes e_i)$ được đồng nhất với phần tử $\sum t_i\otimes e_i$ của $A_{(K')}$. Ta ký hiệu bởi $\overline{\varphi}: K[\mathbf{T}][X]\rightarrow K'[X]$ đồng cấu đại số trên K suy ra từ $\varphi$. Theo công thức (21) của III, §9, No. 3, p. 544, đa thức đặc trưng của $\sum t_i\otimes e_i$ đối với đại số trên $K'$ $A_{(K')}$ là ảnh bởi $\overline{\varphi}$ của đa thức đặc trưng của $\sum T_i\otimes e_i$ đối với đại số trên $K[\mathbf{T}$] $A_{(K[\mathbf{T}])}$, tức là của $P^n$. Nói cách khác, ta có

(49) Pc$_{A_{(K')}/K'}(\sum_{i\in I}t_i\otimes e_i; X)= P((t_i)_{i\in I},X)^n$;

Bổ đề 5 khi đó suy ra từ Bổ đề 2 của VIII, p. 339.

Xét trường hợp riêng $K'= K$ của Bổ đề 5. Ta có

(50) Pcrd$_{A/K}(\sum_{i\in I}t_ie_i; X)= P((t_i)_{i\in I},X)$

với mọi phần tử $(t_i)_{i\in I}$ của $K^I$. Vì đa thức P trong $K[\mathbf{T},X]$ là thuần nhất bậc $n$, nên nó có thể được khai triển duy nhất thành

trong đó $B_r$ là một đa thức thuần nhất bậc $r$ trong $K[\mathbf{T}]$. Theo các công thức (46), (50), và (51), ta có

với mọi phần tử $(t_i)_{i\in I}$ của $K^I$. Mệnh đề 6 suy ra.

(52) Pcrd$_{A/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)$,

(53) Trd$_{A/K}(a) =$ Tr$_{L/K}(a)$,

(54) Nrd$_{A/K}(a) = N_{L/K}(a)$.

Theo Mệnh đề 3 của VIII, p. 262, các L-môđun A và $L^n$ là đẳng cấu; do đó ta có quan hệ

Pc$_{A/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)^n$.

Vì đa thức Pc$_{L/K}(a; X)$ là đơn nhất, do đó nó bằng với đa thức đặc trưng rút gọn Pcrd$_{A/K}(a; X)$ (VIII, p. 339, Bổ đề 2); điều này cho công thức (52). Bằng cách so sánh các hệ số của $X^{n-1}$ (tương ứng, các hạng tử hằng) ở mỗi vế của (52), ta thu được công thức (53) (tương ứng, (54)).

Pcrd$_{D/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)$,

(55) Tr$_{D/K}(a) =$ Tr$_{L/K}(a)$,

Nrd$_{D/K}(a) = N_{L/K}(a)$.

Thật vậy, một trường con giao hoán cực đại L của D là một đại số con nửa đơn giao hoán cực đại của D theo Hệ quả 2 của VIII, p. 265.

(56) Pcrd$_{A/K}(b; X) = N_{L[X]/K[X]}$(Pcrd$_{B/L}(b; X)$)$^r$,

(57) Trd$_{A/K}(b) =r$ Tr$_{L/K}$(Trd$_{B/K}(b)$),

(58) Nrd$_{A/K}(b) = N_{L/K}$(Nrd$_{B/L}(b)$)$^r$.