Bourbaki

§ 16. Các mô tả khác của nhóm brauer

Trong mục này, nếu F là một nhóm Abel và gg là một tự đẳng cấu của F, thì ta viết g⋅fg\cdot f thay cho g(f)g(f).

1. Các mở rộng τ\tau của nhóm

Trong tiểu mục này, ta cố định một nhóm G, một nhóm Abel F được viết theo phép nhân, và một đồng cấu nhóm τ\tau từ G đến nhóm tự đẳng cấu Aut(F) của F. Ta ký hiệu phần tử đơn vị của G bởi ee và phần tử đơn vị của F bởi 1.

Nhắc lại (I, §6, No. 1, p. 65) rằng một mở rộng E\mathscr{E} của G bởi F là một bộ ba (Γ,ι,π)(\Gamma , \iota , \pi ), trong đó Γ là một nhóm, π:Γ→G\pi : \Gamma \rightarrow G là một đồng cấu toàn ánh, và ι\iota là một đơn cấu từ F vào Γ sao cho Im(ι\iota ) == Ker(π\pi ). Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một mở rộng như vậy. Với mọi γ∈Γ\gamma \in \Gamma, ánh xạ φγ:F→F\varphi_{\gamma}: F\rightarrow F được xác định bởi

ι(φγ(f))=γι(f)γ−1 \iota (\varphi_{\gamma}(f)) =\gamma \iota (f)\gamma^{-1}

với f∈Ff\in F là một tự đẳng cấu của F. Vì F giao hoán, với mọi f∈Ff\in F, tự đẳng cấu được xác định bởi ι(f)\iota (f) là ánh xạ đồng nhất trên F. Bằng cách chuyển qua thương, ta thu được một đồng cấu IntE_{\mathscr{E}} từ G đến Aut(F) được đặc trưng bởi

γι(f)γ−1=ι\gamma \iota (f)\gamma^{-1}=\iota(IntE(π(γ))⋅f_{\mathscr{E}}(\pi (\gamma ))\cdot f)

với γ∈Γ\gamma \in \Gamma và f∈Ff\in F.

Một mở rộng AτA\tau của G bởi F là một mở rộng E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) sao cho IntE_{\mathscr{E}} bằng τ\tau, nói cách khác, thỏa mãn quan hệ

γι(f)γ−1=ι(τ(π(γ))⋅f)(1) \gamma \iota (f)\gamma^{-1}=\iota (\tau (\pi (\gamma ))\cdot f) \tag{1}

với γ∈Γ\gamma \in \Gamma và f∈Ff\in F. Nếu E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) và E′=(Γ′,ι′,π′)\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ') là các mở rộng τ\tau, thì một cấu xạ của các mở rộng τ\tau từ E\mathscr{E} đến E′\mathscr{E}' là một cấu xạ của các mở rộng từ E\mathscr{E} đến E′\mathscr{E}' (I, §6, No. 1, p. 65), nghĩa là, một đồng cấu nhóm u:Γ→Γ′u: \Gamma \rightarrow \Gamma ' sao cho π′∘u=π\pi '\circ u=\pi và ι′=u∘ι\iota '=u\circ \iota. Chú ý rằng các mở rộng τ\tau tạo thành một loài cấu trúc mà mọi cấu xạ đều là một đẳng cấu (Lý thuyết tập hợp, IV, §1, No. 5, p. 264 và I, §6, No. 1, p. 66, Mệnh đề 1). Ký hiệu Isoτ(E,F)_{\tau}(\mathscr{E},\mathscr{F}) là quan hệ

“E\mathscr{E} và F\mathscr{F} là các mở rộng τ\tau đẳng cấu.”

Đây là một quan hệ tương đương; lớp của mở rộng E\mathscr{E} là lớp của các đối tượng tương đương với E\mathscr{E} đối với Isoτ(_{\tau}(Lý thuyết tập hợp, II, §6, No. 6, p. 122).

Bổ đề 1 00I9

Quan hệ

“α\alpha là lớp của một mở rộng τ\tau đối với Isoτ_{\tau}”

là xác định tập hợp trong α\alpha.

Đặt E0=F×GE_0= F\times G, và xét các ánh xạ ι0:F→E0\iota_0: F\rightarrow E_0 và π0:E0→G\pi_0: E_0\rightarrow G được xác định bởi ι0(f)=(f,e)\iota_0(f) = (f, e) với f∈Ff\in F và π0(f,g)=g\pi_0(f, g) =g với (f,g)∈F×G(f, g)\in F\times G. Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một τ\tau-mở rộng của G bởi F. Ánh xạ π\pi là toàn ánh, nên có một tiết diện σ:G→Γ\sigma : G\rightarrow \Gamma sao cho σ(e)=e\sigma (e) =e. Ánh xạ u:(f,g)↦ι(f)σ(g)u: (f, g)\mapsto \iota (f)\sigma (g) từ F×GF\times G đến Γ là song ánh. Ta trang bị cho F×GF\times G luật nhóm thu được bằng cách chuyển cấu trúc. Khi đó bộ ba (E0,ι0,π0)(E_0, \iota_0, \pi_0) là một τ\tau-mở rộng đẳng cấu với E\mathscr{E}. Bổ đề 1 bây giờ suy ra từ Lý thuyết tập hợp, II, §6, No. 6, p. 122.

Ta ký hiệu bởi Exτ(G,F)_{\tau}(G,F) tập hợp các lớp của các τ\tau-mở rộng đối với quan hệ Isoτ_{\tau}.

Ví dụ 1 00IA

Tích nửa trực tiếp ngoài (F×τG,i,p)(F\times_{\tau}G, i, p) (I, §6, No. 1, p. 66, Mệnh đề 3) là một τ\tau-mở rộng; ta ký hiệu nó bởi Iτ\mathscr{I}_{\tau}. Ta nói rằng một τ\tau-mở rộng là nửa tầm thường nếu nó đẳng cấu với τ\tau-mở rộng Iτ\mathscr{I}_{\tau}.

Ví dụ 2 00IB

Với i∈{1,2}i\in \{1,2\}, lấy một nhóm GiG_i, một nhóm Abel FiF_i, và một đồng cấu nhóm τi\tau_i từ GiG_i đến nhóm tự đẳng cấu của FiF_i. Ta ký hiệu bởi τ1×τ2:G1×G2→\tau_1\times \tau_2: G_1\times G_2\rightarrow Aut(F1×F2_1\times F_2) đồng cấu được xác định bởi

(τ1×τ2)(g1,g2)⋅(f1,f2)=(τ1(g1)⋅f1,τ2(g2)⋅f2) (\tau_1\times \tau_2)(g_1, g_2)\cdot (f_1, f_2) = (\tau_1(g_1)\cdot f_1, \tau_2(g_2)\cdot f_2)

với g1∈G1,g2∈G2,f1∈F1g_1\in G_1,g_2\in G_2,f_1\in F_1, và f2∈F2f_2\in F_2. Cho E1=(Γ1,ι1,π1)\mathscr{E}_1= (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1) là một τ1\tau_1-mở rộng của G1G_1 bởi F1F_1 và E2=(Γ2,ι2,π2)\mathscr{E}_2= (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2) là một τ2\tau_2-mở rộng của G2G_2 bởi F2F_2. Khi đó bộ ba (Γ1×Γ2,ι1×ι2,π1×π2)(\Gamma_1\times \Gamma_2, \iota_1\times \iota_2, \pi_1\times \pi_2) là một τ1×τ2\tau_1\times \tau_2-mở rộng của G1×G2G_1\times G_2 bởi F1×F2F_1\times F_2; nó được gọi là tích ngoài của các mở rộng E1\mathscr{E}_1 và E2\mathscr{E}_2 và được ký hiệu bởi E1×E2\mathscr{E}_1\times \mathscr{E}_2.

2. Ảnh ngược của một τ\tau-mở rộng

Cho G và G′G' là các nhóm. Cho F là một nhóm Abel, và cho τ:G→\tau : G\rightarrow Aut(F) và u:G′→Gu: G'\rightarrow G là các đồng cấu nhóm. Xét đồng cấu nhóm τ′=τ∘u:G′→\tau '=\tau \circ u: G'\rightarrow Aut(F), và ký hiệu Γ′\Gamma ' là tích xơ Γ×GG′\Gamma \times_GG' đối với π\pi và uu (I, §4, No. 8, p. 46). Đó là nhóm con của Γ×G′\Gamma \times G' gồm các cặp (γ,g′)(\gamma , g') sao cho π(γ)=u(g′)\pi (\gamma ) =u(g'). Cho ι′:F→Γ′\iota ': F\rightarrow \Gamma ' là đồng cấu nhóm được cho bởi ι′(α)=(ι(α),e)\iota '(\alpha ) = (\iota (\alpha ), e) với α∈F\alpha \in F, và ký hiệu phép chiếu thứ hai là π′:Γ′→G′\pi ': \Gamma '\rightarrow G'. Khi đó cấu xạ ι′\iota ' là đơn ánh, cấu xạ π′\pi ' là toàn ánh vì π\pi là như vậy, và ảnh của ι′\iota ' trùng với hạt nhân của π′\pi '. Hơn nữa, với mọi α∈F\alpha \in F và γ′=(γ,g)∈Γ′\gamma '= (\gamma , g)\in \Gamma ', ta có các hệ thức

γ′ι′(α)γ′−1=(γ,g)(ι(α),e)(γ,g)−1=(ι(τ(π(γ)).α),e)=ι′(τ′(π′(γ′)).α) \gamma '\iota '(\alpha )\gamma^{'-1}= (\gamma , g)(\iota (\alpha ), e)(\gamma , g)^{-1}= (\iota (\tau (\pi (\gamma )).\alpha ), e) =\iota '(\tau '(\pi '(\gamma ')).\alpha )

Do đó, (Γ′,ι′,π′)(\Gamma ', \iota ', \pi ') là một τ′\tau '-mở rộng của G′G' bởi F; ta gọi nó là ảnh ngược của E\mathscr{E} bởi uu và ký hiệu là u∗(E)u^*(\mathscr{E}). Phép chiếu thứ nhất là một đồng cấu nhóm φ:Γ′→Γ\varphi : \Gamma '\rightarrow \Gamma mà ta gọi là chính tắc.

Mệnh đề 1 00IC

Biểu đồ sau giao hoán:

F ι′^{\iota'} // Γ′π′{\Gamma'}^{\pi'} // G′G'

(2)

φu\varphi u

F ι^{\iota} // Γ π^{\pi} // G.

Hơn nữa, nếu E1′=(Γ1′,ι1′,π1′)\mathscr{E}_1'= (\Gamma '_1, \iota '_1, \pi '_1) là một τ′\tau '-mở rộng và φ1:Γ1′→Γ\varphi_1: \Gamma '_1\rightarrow \Gamma là một đồng cấu nhóm sao cho biểu đồ

F ι1′^{\iota'_1} // Γ1′π1′{\Gamma'_1}^{\pi'_1} // G′G'

φ1u\varphi_1u

F ι^{\iota} // Γ π^{\pi} // G

giao hoán, thì tồn tại một cấu xạ duy nhất ψ\psi của các τ′\tau '-mở rộng từ E1′\mathscr{E}_1' đến u∗(E)u^*(\mathscr{E}) sao cho φ1=φ∘ψ\varphi_1=\varphi \circ \psi.

Tính giao hoán của biểu đồ thứ nhất suy ra từ định nghĩa của φ\varphi. Sự tồn tại và tính duy nhất của ψ\psi suy ra từ Bổ đề 2 dưới đây.

Bổ đề 2 00ID

Cho F1′F'_1 là một nhóm Abel, và cho w:F1′→w: F'_1\rightarrow F và τ1:G′→\tau_1: G'\rightarrow Aut(F1′'_1) là các đồng cấu nhóm sao cho

w(τ1(g)(f))=τ(u(g))(w(f)) w(\tau_1(g)(f)) =\tau (u(g))(w(f))

với mọi f∈F1′f\in F'_1 và g∈G′g\in G'. Cho E1′=(Γ1′,ι1′,π1′)\mathscr{E}_1'= (\Gamma '_1, \iota '_1, \pi '_1) là một mở rộng τ1\tau_1 của G′G' bởi F1′F'_1 và φ1:Γ1′→Γ\varphi_1: \Gamma '_1\rightarrow \Gamma là một đồng cấu nhóm sao cho biểu đồ sau giao hoán:

F1′ι1′{F'_1}^{\iota'_1} // Γ1′π1′{\Gamma'_1}^{\pi'_1} // G′G'

wφ1uw\varphi_1u

F ι^{\iota} // Γ π^{\pi} // G.

Khi đó tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất ψ:Γ1′→Γ′\psi : \Gamma '_1\rightarrow \Gamma ' sao cho biểu đồ

F1′ι1′{F'_1}^{\iota'_1} // Γ1′π1′{\Gamma'_1}^{\pi_1'} // G′G'

wψw\psi

F ι′^{\iota'} // Γ′π′{\Gamma'}^{\pi'} // G′G'

giao hoán và φ1=φ∘ψ\varphi_1=\varphi \circ \psi.

Nếu đồng cấu nhóm ψ:Γ1′→Γ′\psi : \Gamma '_1\rightarrow \Gamma ' có các tính chất đã yêu cầu, thì nó thỏa mãn các hệ thức

ψ(γ)=(φ∘ψ(γ),π′∘ψ(γ))=(φ1(γ),π1′(γ)) \psi (\gamma ) = (\varphi \circ \psi (\gamma ), \pi '\circ \psi (\gamma )) = (\varphi_1(\gamma ), \pi '_1(\gamma ))

với mọi γ∈Γ1′\gamma \in \Gamma '_1. Ngược lại, đồng cấu nhóm từ Γ1′\Gamma '_1 đến Γ×G′\Gamma \times G' được xác định bởi γ↦(φ1(γ),π1′(γ))\gamma \mapsto (\varphi_1(\gamma ), \pi_1'(\gamma )) nhận giá trị trong tích thớ Γ×GG′\Gamma \times_GG' vì π∘φ1(γ)=u∘π1′(γ)\pi \circ \varphi_1(\gamma ) =u\circ \pi_1'(\gamma ) với mọi γ∈Γ1′\gamma \in \Gamma '_1.

Hệ quả 1 00IE

Cho E1\mathscr{E}_1 và E2\mathscr{E}_2 là các mở rộng τ\tau của G bởi F, và cho ψ\psi là một cấu xạ của các mở rộng τ\tau từ E1\mathscr{E}_1 đến E2\mathscr{E}_2. Ký hiệu bởi φ1(\varphi_1(resp. φ2)\varphi_2) đồng cấu chính tắc của u∗(E1)(u^*(\mathscr{E}_1) (resp. u∗(E2))u^*(\mathscr{E}_2)). Khi đó tồn tại một cấu xạ duy nhất của các mở rộng τ′\tau ' từ u∗(E1)u^*(\mathscr{E}_1) đến u∗(E2)u^*(\mathscr{E}_2), được ký hiệu bởi u∗(ψ)u^*(\psi ), sao cho φ2∘u∗(ψ)=ψ∘φ1\varphi_2\circ u^*(\psi ) =\psi \circ \varphi_1.

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 1 cho ψ∘φ1\psi \circ \varphi_1.

Do đó lớp của mở rộng τ′\tau ' u∗(E)u^*(\mathscr{E}) chỉ phụ thuộc vào lớp của E\mathscr{E}. Ta cũng ký hiệu bởi u∗:u^*: Exτ(G,F)→_{\tau}(G,F)\rightarrow Exτ′(G′,F)_{\tau'}(G',F) ánh xạ gửi lớp của một mở rộng τ\tau E\mathscr{E} tới lớp của mở rộng τ′\tau ' u∗(E)u^*(\mathscr{E}).

Hệ quả 2 00IF

Cho u′:G′′→G′u': G''\rightarrow G' là một đồng cấu nhóm, và cho E\mathscr{E} là một mở rộng τ\tau của G bởi F. Đặt τ′′=τ′∘u′\tau ''=\tau '\circ u', và ký hiệu φ(\varphi (resp. φ′,φ′′)\varphi ',\varphi '') là đồng cấu chính tắc liên kết với mở rộng τ′\tau ' u∗(E)u^*(\mathscr{E}) (resp. mở rộng τ′′\tau '' u′∗(u∗(E))u^{'*}(u^*(\mathscr{E})), mở rộng τ′′\tau '' (u∘u′)∗(E)(u\circ u')^*(\mathscr{E})). Khi đó tồn tại một cấu xạ duy nhất ψ\psi từ mở rộng τ′′\tau '' u′∗(u∗(E))u^{'*}(u^*(\mathscr{E})) đến mở rộng τ′′\tau '' (u∘u′)∗(E)(u\circ u')^*(\mathscr{E}) sao cho φ′′∘ψ=φ∘φ′\varphi ''\circ \psi =\varphi \circ \varphi '.

Ví dụ 00RI

Cho H là một nhóm con của G và j:H→Gj: H\rightarrow G là đơn ánh chính tắc. Khi đó với mọi mở rộng τ\tau E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ), mở rộng τ∘j\tau \circ j j∗(E)j^*(\mathscr{E}) là đẳng cấu với (π−1(H),ι′,π′)(\overset{-1}{\pi}(H), \iota ', \pi '), trong đó ι′:F→π−1(H)\iota ': F\rightarrow \overset{-1}{\pi}(H) (resp. π′:π−1(H)→H\pi ':\overset{-1}{\pi}(H)\rightarrow H) là đồng cấu nhóm f↦ι(f)f\mapsto \iota (f) (resp. γ↦π(γ)\gamma \mapsto \pi (\gamma )). Tổng quát hơn, nếu đồng cấu nhóm u:G′→Gu: G'\rightarrow G là đơn ánh, thì đồng cấu chính tắc φ\varphi là đơn ánh với ảnh π−1(u(G′))\overset{-1}{\pi}(u(G')).

3. Ảnh trực tiếp của một mở rộng τ\tau

Cho G là một nhóm, cho F và F′F' là các nhóm Abel, cho τ\tau (resp. τ′\tau ') là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm tự đẳng cấu của F (resp. F′F'), và cho v:F→F′v: F\rightarrow F' là một đồng cấu nhóm sao cho

v(τ(g)⋅f)=τ′(g)⋅v(f)(3) v(\tau (g)\cdot f) =\tau '(g)\cdot v(f) \tag{3}

với mọi g∈Gg\in G và f∈Ff\in F. Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một mở rộng τ\tau của G bởi F. Cho Γ~\widetilde{\Gamma} là tích nửa trực tiếp ngoài F′×τ′∘πΓF'\times_{\tau'\circ\pi}\Gamma. Ta ký hiệu ı~:F′→Γ~\widetilde{\imath}: F'\rightarrow \widetilde{\Gamma} là đồng cấu f↦(f,e)f\mapsto (f, e) và p~:Γ~→Γ\widetilde{p}:\widetilde{\Gamma}\rightarrow \Gamma là phép chiếu thứ nhất. Cho j:F→Γ~j: F\rightarrow \widetilde{\Gamma} là ánh xạ xác định bởi f↦(v(f),ι(f)−1)f\mapsto (v(f), \iota (f)^{-1}). Vì ảnh của ι\iota được chứa trong hạt nhân của τ′∘π\tau '\circ \pi, nên ánh xạ jj là một đồng cấu nhóm; nó là đơn ánh vì ι\iota là đơn ánh. Ta có các hệ thức

(f′,γ)j(f)(f′,γ)−1=(f′,γ)(v(f),ι(f)−1)(f′,γ)−1 (f', \gamma )j(f)(f', \gamma )^{-1}= (f', \gamma )(v(f), \iota (f)^{-1})(f', \gamma )^{-1}
=(τ′(π(γ))⋅v(f),ι(τ(π(γ))⋅f)−1)(4) = (\tau '(\pi (\gamma ))\cdot v(f), \iota (\tau (\pi (\gamma ))\cdot f)^{-1}) \tag{4}
=j(τ(π(γ))⋅f) =j(\tau (\pi (\gamma ))\cdot f)

cho f∈F,γ∈Γf\in F,\gamma \in \Gamma, và f′∈F′f'\in F'. Do đó, ảnh của jj là một nhóm con chuẩn của Γ~\widetilde{\Gamma}. Ta ký hiệu Γ′\Gamma ' là thương của Γ~\widetilde{\Gamma} bởi ảnh của jj. Ta ký hiệu ι′\iota ' là hợp thành của toàn cấu chính tắc từ Γ~\widetilde{\Gamma} đến Γ′\Gamma ' và ı~\widetilde{\imath}. Hạt nhân của đồng cấu π∘p~\pi \circ \widetilde{p} là tích F′×ιF'\times \iota(F), chứa ảnh của jj. Ta định nghĩa π′:Γ′→G\pi ': \Gamma '\rightarrow G là đồng cấu nhóm suy ra từ π∘p~\pi \circ \widetilde{p} bằng cách chuyển qua thương. Vì ι\iota là đơn ánh, giao của j(F)j(F) và ı~(F′)\widetilde{\imath}(F') được thu gọn thành phần tử đơn vị của Γ~\widetilde{\Gamma}; suy ra rằng ι′\iota ' là đơn ánh. Ánh xạ từ F′×FF'\times F vào F′×ι(F)=F'\times \iota (F) = Ker(π∘p~\pi \circ \widetilde{p}) cho bởi

(f′,f)⟼(f′v(f),ι(f)−1) (f', f)\longmapsto (f'v(f), \iota (f)^{-1})

là một đẳng cấu nhóm. Do đó ảnh của ι′\iota ' trùng với hạt nhân của π′\pi '. Vì π\pi và p~\widetilde{p} là toàn ánh, nên π′\pi ' cũng vậy. Điều này chứng minh rằng E′=(Γ′,ι,π′)\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota , \pi ') là một mở rộng τ′\tau ' của G bởi F′F'; ta gọi nó là ảnh trực tiếp của E\mathscr{E} bởi vv và ký hiệu nó là v∗(E)v_*(\mathscr{E}). Hợp thành của toàn cấu chính tắc từ Γ~\widetilde{\Gamma} đến Γ′\Gamma ' và đồng cấu nhóm từ Γ đến Γ~\widetilde{\Gamma} cho bởi γ↦(1,γ)\gamma \mapsto (1, \gamma ) là một đồng cấu nhóm φ:Γ→Γ′\varphi : \Gamma \rightarrow \Gamma ' mà ta gọi là chính tắc.

Mệnh đề 2 00IG

Trong ký hiệu ở trên, biểu đồ sau giao hoán:

F ι^{\iota} // Γ π^{\pi} // G

vφ(5) v\varphi \tag{5}

F′ι′{F'}^{\iota'} // Γ′π′{\Gamma'}^{\pi'} // G .

Cho E1′=(Γ1′,ι1′,π1′)\mathscr{E}_1'= (\Gamma '_1, \iota '_1, \pi_1') là một mở rộng τ′\tau ' của G bởi F′F', và cho φ1:Γ→Γ1′\varphi_1: \Gamma \rightarrow \Gamma '_1 là một đồng cấu nhóm sao cho biểu đồ sau giao hoán:

F ι^{\iota} // Γ π^{\pi} // G

vφ1v\varphi_1

F′ι1′{F'}^{\iota'_1} // Γ1′π1′{\Gamma'_1}^{\pi'_1} // G.

Khi đó tồn tại một cấu xạ duy nhất ψ\psi của các mở rộng τ′\tau ' từ v∗(E)v_*(\mathscr{E}) đến E1′\mathscr{E}_1' sao cho ta có φ1=ψ∘φ\varphi_1=\psi \circ \varphi.

Tính giao hoán của biểu đồ thứ nhất suy ra từ phép dựng. Sự tồn tại và tính duy nhất của ψ\psi suy ra từ Bổ đề 3 dưới đây.

Bổ đề 3 00IH

Cho G1′G'_1 là một nhóm, và cho w:G→G1′w: G\rightarrow G'_1 và τ1:G1′→\tau_1: G'_1\rightarrow Aut(F′') là các đồng cấu nhóm sao cho τ′=τ1∘w\tau '=\tau_1\circ w. Cho E1′=(Γ1′,ι1′,π1′)\mathscr{E}_1'= (\Gamma '_1, \iota '_1, \pi '_1) là một mở rộng τ1\tau_1 của G1′G'_1 bởi F′F', và cho φ1:Γ→Γ1′\varphi_1: \Gamma \rightarrow \Gamma '_1 là một đồng cấu nhóm sao cho biểu đồ sau giao hoán:

F ι^{\iota} // Γ π^{\pi} // G

vφ1wv\varphi_1w

F′ι1′{F'}^{\iota'_1} // Γ1′π1′{\Gamma'_1}^{\pi'_1} // G1′G'_1.

Khi đó tồn tại một đồng cấu nhóm duy nhất ψ:Γ′→Γ1′\psi : \Gamma '\rightarrow \Gamma '_1 sao cho biểu đồ

F′ι′{F'}^{\iota'} // Γ′π′{\Gamma'}^{\pi'} // G

ψw\psi w

F′ι1′{F'}^{\iota'_1} // Γ1′π1′{\Gamma'_1}^{\pi'_1} // G1′G'_1 giao hoán và φ1=ψ∘φ\varphi_1=\psi \circ \varphi.

Với mọi (f,γ)∈F′×Γ(f, \gamma )\in F'\times \Gamma, ký hiệu lớp của (f,γ)(f, \gamma ) trong Γ′\Gamma ' bởi (f,γ)(f, \gamma ). Nếu đồng cấu nhóm ψ:Γ′→Γ1′\psi : \Gamma '\rightarrow \Gamma '_1 có các tính chất mong muốn, thì nó thỏa mãn các hệ thức

ψ(f′,γ)=ψ(ι′(f′)φ(γ))=ι1′(f′)φ1(γ) \psi (f', \gamma )=\psi (\iota '(f')\varphi (\gamma )) =\iota '_1(f')\varphi_1(\gamma )

với mọi f′∈F′f'\in F' và γ∈Γ\gamma \in \Gamma. Ngược lại, ánh xạ ψ~\widetilde{\psi} từ F′×τ′∘πΓF'\times_{\tau'\circ\pi}\Gamma đến Γ1′\Gamma '_1 cho bởi (f,γ)↦ι1′(f)φ1(γ)(f, \gamma )\mapsto \iota '_1(f)\varphi_1(\gamma ) là một đồng cấu nhóm. Thật vậy, ta có các hệ thức

ι1′(f)φ1(γ)ι1′(f′)φ1(γ′)=ι1′(fτ1(π1′(φ1(γ)))⋅f′)φ1(γγ′) \iota '_1(f)\varphi_1(\gamma )\iota '_1(f')\varphi_1(\gamma ') =\iota '_1(f \tau_1(\pi '_1(\varphi_1(\gamma )))\cdot f')\varphi_1(\gamma \gamma ')
=ι1′(fτ′(π(γ))⋅f′)φ1(γγ′) =\iota '_1(f \tau '(\pi (\gamma ))\cdot f')\varphi_1(\gamma \gamma ')

với f,f′∈F′f, f'\in F' và γ,γ′∈Γ\gamma , \gamma '\in \Gamma. Hạt nhân của ψ~\widetilde{\psi} chứa ảnh của jj vì ι1′(v(f))=φ1(ι(f))\iota '_1(v(f)) =\varphi_1(\iota (f)) với f∈Ff\in F, và cấu xạ ψ\psi suy ra từ ψ~\widetilde{\psi} bằng cách chuyển qua thương có các tính chất mong muốn.

Nhận xét 00II

Ký hiệu bởi Σ loài cấu trúc của các mở rộng τ′\tau ', và định nghĩa các ánh xạ α\alpha là các ánh xạ từ Γ đến một nhóm Γ′\Gamma ' nằm dưới một mở rộng τ′\tau ', là các đồng cấu nhóm và làm cho biểu đồ sau giao hoán:

F ι^{\iota} // Γ π^{\pi} // G

vφ(6) v\varphi \tag{6}

F′ι′{F'}^{\iota'} // Γ′π′{\Gamma'}^{\pi'} // G .

Mệnh đề 2 biểu thị rằng v∗(E)v_*(\mathscr{E}) là một nghiệm của bài toán ánh xạ phổ quát tương ứng (Lý thuyết tập hợp, IV, §3, No. 1, p. 284).

Hệ quả 1 00IJ

Cho E1\mathscr{E}_1 và E2\mathscr{E}_2 là các mở rộng τ\tau của G bởi F, và cho ψ\psi là một cấu xạ của các mở rộng τ\tau từ E1\mathscr{E}_1 đến E2\mathscr{E}_2. Ký hiệu φ1(\varphi_1(resp. φ2)\varphi_2) là đồng cấu chính tắc của v∗(E1)(v_*(\mathscr{E}_1) (resp. v∗(E2))v_*(\mathscr{E}_2)). Khi đó tồn tại một cấu xạ duy nhất của các mở rộng τ′\tau ' từ v∗(E1)v_*(\mathscr{E}_1) đến v∗(E2)v_*(\mathscr{E}_2), ký hiệu là v∗(ψ)v_*(\psi ), sao cho φ2∘ψ=v∗(ψ)∘φ1\varphi_2\circ \psi =v_*(\psi )\circ \varphi_1.

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 2 cho φ2∘ψ\varphi_2\circ \psi.

Lớp của mở rộng τ′\tau ' v∗(E)v_*(\mathscr{E}) do đó chỉ phụ thuộc vào lớp của E\mathscr{E}. Ta cũng ký hiệu v∗:v_*: Exτ(G,F)→_{\tau}(G,F)\rightarrow Exτ′(G,F′)_{\tau'}(G,F') là ánh xạ gửi lớp của một mở rộng τ\tau E\mathscr{E} vào lớp của mở rộng τ′\tau ' v∗(E)v_*(\mathscr{E}).

Hệ quả 2 00RJ

Ta giữ ký hiệu của mệnh đề. Cho F′′F'' là một nhóm Abel, và cho τ′′:G→\tau '': G\rightarrow Aut(F′′'') và v′:F′→F′′v': F'\rightarrow F'' là các đồng cấu nhóm sao cho

τ′′(g)⋅v′(f)=v′(τ′(g)⋅f) \tau ''(g)\cdot v'(f) =v'(\tau '(g)\cdot f)

với g∈Gg\in G và f∈F′f\in F'. Cho E\mathscr{E} là một mở rộng τ\tau của G bởi F, và ký hiệu φ(\varphi (resp. φ′,φ′′)\varphi ',\varphi '') là đồng cấu chính tắc liên kết với v∗(E)(v_*(\mathscr{E}) (resp. v∗′(v∗(E))v'_*(v_*(\mathscr{E})), (v′∘v)∗(E))(v'\circ v)_*(\mathscr{E})). Khi đó tồn tại một cấu xạ duy nhất ψ\psi từ mở rộng τ′′\tau '' v∗′(v∗(E))v'_*(v_*(\mathscr{E})) của G bởi F′′F'' đến mở rộng τ′′\tau '' (v′∘v)∗(E)(v'\circ v)_*(\mathscr{E}) sao cho φ′′=ψ∘φ′∘φ\varphi ''=\psi \circ \varphi '\circ \varphi.

Ví dụ 1 00IK

Cho j:{1}→Fj:\{1\} \rightarrow F là đơn ánh chính tắc. Mở rộng nửa tầm thường Iτ\mathscr{I}_{\tau} là đẳng cấu với j∗((G,ij_*((G, i, IdG))_G)), trong đó i:{e}→Gi:\{e\} \rightarrow G là đơn ánh chính tắc. Cho c:F→Fc: F\rightarrow F là đồng cấu hằng f↦1f\mapsto 1, và cho E\mathscr{E} là một mở rộng τ\tau. Mở rộng τ\tau c∗(E)c_*(\mathscr{E}) cũng đẳng cấu với Iτ\mathscr{I}_{\tau}.

Ví dụ 2 00IL

Cho E là một nhóm con của F ổn định dưới tác động của G. Kí hiệu F′F' là thương của F theo E, v:F→F′v: F\rightarrow F' là đồng cấu chính tắc, và τ′:G→\tau ': G\rightarrow Aut(F′') là tác động của G lên F′F' được xác định bởi

τ′(g)⋅v(f)=v(τ(g)⋅f) \tau '(g)\cdot v(f) =v(\tau (g)\cdot f)

với g∈Gg\in G và f∈Ff\in F. Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một τ\tau-mở rộng của G bởi F. Khi đó ι(E)\iota (E) là một nhóm con chuẩn tắc của Γ, và τ′\tau '-mở rộng v∗(E)v_*(\mathscr{E}) của G bởi F′F' là đẳng cấu với mở rộng (Γ/ι(E),ι,π)(\Gamma /\iota (E), \iota , \pi ), trong đó ι‾\overline{\iota} và π‾\overline{\pi} là các đồng cấu nhóm suy ra từ ι\iota và π\pi bằng cách chuyển qua các thương. Theo đẳng cấu này, đồng cấu chính tắc φ\varphi liên kết với v∗(E)v_*(\mathscr{E}) tương ứng với đồng cấu chính tắc từ Γ đến Γ/ι(E)\Gamma /\iota (E).

Mệnh đề 3 00IM

Cho G và G′G' là các nhóm, và cho F và F′F' là các nhóm Abel. Cho τ:G→\tau : G\rightarrow Aut(F),τ′:G→,\tau ': G\rightarrow Aut(F′'),u:G′→G,u: G'\rightarrow G, và v:F→F′v: F\rightarrow F' là các đồng cấu nhóm sao cho

τ′(g)⋅v(f)=v(τ(g)⋅f) \tau '(g)\cdot v(f) =v(\tau (g)\cdot f)

với g∈Gg\in G và f∈Ff\in F. Ta viết τ′′=τ′∘u\tau ''=\tau '\circ u. Cho E\mathscr{E} là một τ\tau-mở rộng của G bởi F. Kí hiệu φu(\varphi_u(resp. φv,φu′,φv′)\varphi_v,\varphi '_u,\varphi '_v) là đồng cấu chính tắc tương ứng với τ∘u\tau \circ u-mở rộng u∗(E)(u^*(\mathscr{E}) (resp. với τ′\tau '-mở rộng v∗(E)v_*(\mathscr{E}), với các τ′′\tau ''-mở rộng u∗(v∗(E))u^*(v_*(\mathscr{E})) và v∗(u∗(E)))v_*(u^*(\mathscr{E}))). Khi đó tồn tại một cấu xạ duy nhất ψ\psi của các τ′′\tau ''-mở rộng từ v∗(u∗(E))v_*(u^*(\mathscr{E})) đến u∗(v∗(E))u^*(v_*(\mathscr{E})) sao cho φv∘φu=\varphi_v\circ \varphi_u= φu′∘ψ∘φv′\varphi '_u\circ \psi \circ \varphi '_v.

Kí hiệu τ∘u\tau \circ u-mở rộng u∗(E)u^*(\mathscr{E}) (resp. τ′′\tau ''-mở rộng u∗(v∗(E))u^*(v_*(\mathscr{E}))) bởi (Γu,ιu,πu)(\Gamma_u, \iota_u, \pi_u) (resp. (Γu′,ιu′,πu′)(\Gamma '_u, \iota '_u, \pi '_u)). Áp dụng Bổ đề 2 của VIII, p. 287 cho φv∘φu\varphi_v\circ \varphi_u, ta thấy rằng tồn tại một đồng cấu nhóm ψ1:Γu→Γu′\psi_1: \Gamma_u\rightarrow \Gamma '_u sao cho biểu đồ

F ιu^{\iota_u} // Γuπu\Gamma_u^{\pi_u} // G′G'

vψ1v\psi_1

F′ιu′{F'}^{\iota'_u} // Γu′πu′{\Gamma'_u}^{\pi'_u} // G′G'

giao hoán và φu′∘ψ1=φv∘φu\varphi '_u\circ \psi_1=\varphi_v\circ \varphi_u. Sự tồn tại của ψ\psi suy ra từ Mệnh đề 2 áp dụng cho ψ1\psi_1. Ngược lại, nếu ψ′\psi ' cũng có các tính chất mong muốn, thì theo Bổ đề 2 ta có ψ′∘φv′=ψ1\psi '\circ \varphi '_v=\psi_1, do đó ψ′=ψ\psi '=\psi (Mệnh đề 2).

4. Luật nhóm trên các lớp của các mở rộng τ\tau

Cho G là một nhóm, F là một nhóm Abel, và τ:G→\tau : G\rightarrow Aut(F) là một đồng cấu nhóm. Ta ký hiệu δ:G→G×G\delta : G\rightarrow G\times G là ánh xạ đường chéo g↦g\mapsto (g,g)(g, g) và m:F×F→Fm: F\times F\rightarrow F là đồng cấu nhóm phép nhân (f1,f2)↦(f_1, f_2)\mapsto f1f2f_1f_2. Ta ký hiệu s:F→Fs: F\rightarrow F là đồng cấu nhóm được cho bởi f↦f−1f\mapsto f^{-1}. Cho E1=(Γ1,ι1,π1)\mathscr{E}_1= (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1) và E2=(Γ2,ι2,π2)\mathscr{E}_2= (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2) là các mở rộng τ\tau của G bởi F. Vì ta có quan hệ

m(((τ×τ)∘δ)(g)⋅(f1,f2))=τ(g)⋅m(f1,f2) m(((\tau \times \tau )\circ \delta )(g)\cdot (f_1, f_2)) =\tau (g)\cdot m(f_1, f_2)

với mọi g∈Gg\in G và mọi f1,f2∈Ff_1, f_2\in F, mở rộng m∗(δ∗(E1×E2))m_*(\delta^*(\mathscr{E}_1\times \mathscr{E}_2)) là một mở rộng τ\tau; ta gọi nó là tích của các mở rộng τ\tau E1\mathscr{E}_1 và E2\mathscr{E}_2 và ký hiệu nó là E1E2\mathscr{E}_1\mathscr{E}_2. Lớp của mở rộng này chỉ phụ thuộc vào các lớp của các mở rộng E1\mathscr{E}_1 và E2\mathscr{E}_2 (VIII, p. 288, Hệ quả 1 và VIII, p. 291, Hệ quả 1). Do đó, ta có một luật hợp thành trên Exτ(G,F)_{\tau}(G,F).

Nhận xét 00IN

Cho E1=(Γ1,ι1,π1)\mathscr{E}_1= (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1) và E2=(Γ2,ι2,π2)\mathscr{E}_2= (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2) là các mở rộng τ\tau của G bởi F. Gọi E1E2=(Γ,ι,π)\mathscr{E}_1\mathscr{E}_2= (\Gamma , \iota , \pi ) là tích của các mở rộng này. Theo ví dụ ở VIII, p. 289, phép dựng cho một đồng cấu nhóm toàn ánh từ tích sợi Γ1×GΓ2\Gamma_1\times_G\Gamma_2 vào Γ mà hạt nhân của nó là ảnh của đồng cấu nhóm f↦(ι1(f),ι2(f)−1)f\mapsto (\iota_1(f), \iota_2(f)^{-1}) từ F vào Γ1×GΓ2\Gamma_1\times_G\Gamma_2.

Mệnh đề 4 00IO

Tích của các mở rộng τ\tau trang bị cho tập hợp Exτ(G,F)_{\tau}(G,F) cấu trúc của một nhóm Abel. Phần tử đơn vị của nó là lớp của mở rộng nửa tầm thường Iτ\mathscr{I}_{\tau}. Phần tử nghịch đảo của lớp của một mở rộng τ\tau E\mathscr{E} là lớp của s∗(E)s_*(\mathscr{E}).

Tính kết hợp của luật suy ra từ tính giao hoán của các biểu đồ

G→δG×G↓δ↓Id⁡×δG×G→δ×Id⁡G×G×G \begin{array}{ccc} G & \xrightarrow{\delta} & G \times G \\ \downarrow \delta & & \downarrow \operatorname{Id} \times \delta \\ G \times G & \xrightarrow{\delta \times \operatorname{Id}} & G \times G \times G \end{array}
và
F×F×F→m×Id⁡F×F↓Id⁡×m↓mF×F→mF \begin{array}{ccc} F \times F \times F & \xrightarrow{m \times \operatorname{Id}} & F \times F \\ \downarrow \operatorname{Id} \times m & & \downarrow m \\ F \times F & \xrightarrow{m} & F \end{array}

và từ Hệ quả 2 của VIII, p. 288; Hệ quả 2 của VIII, p. 291; và Mệnh đề 3 của VIII, p. 292.

Cho Δ:F→F×F\Delta : F \to F \times F là ánh xạ đường chéo f↦(f,f)f \mapsto (f, f). Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E} = (\Gamma, \iota, \pi) là một mở rộng τ\tau. Cho Δ~:Γ→Γ×GΓ\tilde{\Delta} : \Gamma \to \Gamma \times_G \Gamma là đồng cấu nhóm được cho bởi γ↦(γ,γ)\gamma \mapsto (\gamma, \gamma). Biểu đồ sau giao hoán:

F→ιΓ→πG↓Δ↓Δ~∥F×F⟶Γ×GΓ⟶G. \begin{array}{ccccc} F & \xrightarrow{\iota} & \Gamma & \xrightarrow{\pi} & G \\ \downarrow \Delta & & \downarrow \tilde{\Delta} & & \parallel \\ F \times F & \longrightarrow & \Gamma \times_G \Gamma & \longrightarrow & G. \end{array}

Theo Mệnh đề 2 của VIII, p. 290, suy ra rằng mở rộng (τ×τ)∘δ(\tau \times \tau) \circ \delta- δ∗(E×E)\delta^*(\mathscr{E} \times \mathscr{E}) là đẳng cấu với Δ∗(E)\Delta_*(\mathscr{E}).

Ký hiệu c:F→Fc : F \to F là đồng cấu hằng f↦1f \mapsto 1. Theo Ví dụ 1 của VIII, p. 292, sự kiện rằng Iτ\mathscr{I}_\tau là một phần tử đơn vị đối với luật hợp thành này suy ra từ đẳng cấu từ δ∗(E×E)\delta^*(\mathscr{E} \times \mathscr{E}) đến Δ∗(E)\Delta_*(\mathscr{E}) và biểu đồ giao hoán

F→(Id⁡F×c)∘ΔF×F(c×Id⁡F)∘Δ↓Id⁡F↓mF×F→mF. \begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{(\operatorname{Id}_F \times c) \circ \Delta} & F \times F \\ (c \times \operatorname{Id}_F) \circ \Delta & & \downarrow \operatorname{Id}_F \\ & & \downarrow m \\ F \times F & \xrightarrow{m} & F. \end{array}

Khẳng định cuối cùng suy ra từ biểu đồ giao hoán

F→(Id⁡F×s)∘ΔF×F(s×Id⁡F)∘Δ↓c↓mF×F→mF. \begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{(\operatorname{Id}_F \times s) \circ \Delta} & F \times F \\ (s \times \operatorname{Id}_F) \circ \Delta & & \downarrow c \\ & & \downarrow m \\ F \times F & \xrightarrow{m} & F. \end{array}

Cho E1=(Γ1,ι1,π1)\mathscr{E}_1 = (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1) và E2=(Γ2,ι2,π2)\mathscr{E}_2 = (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2) là các mở rộng τ\tau. Đẳng cấu nhóm Γ1×Γ2→Γ2×Γ1\Gamma_1 \times \Gamma_2 \to \Gamma_2 \times \Gamma_1 cho bởi (γ1,γ2)↦(γ2,γ1)(\gamma_1, \gamma_2) \mapsto (\gamma_2, \gamma_1) hạn chế thành một đẳng cấu nhóm σ:Γ1×GΓ2→Γ2×GΓ1\sigma : \Gamma_1 \times_G \Gamma_2 \to \Gamma_2 \times_G \Gamma_1. Do các hệ thức

σ(ι1(f),ι2(f)−1)=(ι2(f−1),ι1(f−1)−1) \sigma(\iota_1(f), \iota_2(f)^{-1}) = (\iota_2(f^{-1}), \iota_1(f^{-1})^{-1})

đối với f∈Ff\in F, đồng cấu nhóm σ\sigma cảm sinh, bằng cách chuyển qua các thương, một cấu xạ của các mở rộng τ\tau từ E1E2\mathscr{E}_1\mathscr{E}_2 đến E2E1\mathscr{E}_2\mathscr{E}_1. Vì vậy luật hợp thành là giao hoán.

Mệnh đề 5 00IP

a) Cho G và G′G' là các nhóm, và cho F là một nhóm Abel. Cho τ:G→\tau : G\rightarrow Aut(F) và u:G′→Gu: G'\rightarrow G là các đồng cấu nhóm. Ánh xạ u∗:u^*: Exτ(G,F)→_{\tau}(G,F)\rightarrow Exτ∘u(G′,F)_{\tau\circ u}(G',F) là một đồng cấu nhóm.

b) Cho G là một nhóm, và cho F và F′F' là các nhóm Abel. Cho τ:G→\tau : G\rightarrow Aut(F),τ′:G→,\tau ': G\rightarrow Aut(F′'), và v:F→F′v: F\rightarrow F' là các đồng cấu nhóm sao cho

τ′(g)⋅v(f)=v(τ(g)⋅f) \tau '(g)\cdot v(f) =v(\tau (g)\cdot f)

đối với g∈Gg\in G và f∈Ff\in F. Ánh xạ v∗:v_*: Exτ(G,F)→_{\tau}(G,F)\rightarrow Exτ′(G,F′)_{\tau'}(G,F') là một đồng cấu nhóm.

Điều này suy ra từ tính giao hoán của các biểu đồ

G′δ{G'}^{\delta} // G′×G′F×FmG'\times G'F\times F^m // F

uu×u_uu_{\times u} và v×vvv_{\times v}v

G δ^{\delta} // G×GF′×F′mG\times GF'\times {F'}^m // F′F'.

5. Mô tả đối đồng điều

Cho G là một nhóm, cho F là một nhóm Abel, và cho τ:G→\tau : G\rightarrow Aut(F) là một đồng cấu nhóm. Với mọi g∈Gg\in G và f∈Ff\in F, ta cũng viết gf^gf cho τ(g)⋅f\tau (g)\cdot f. Một 2-xoắn đồng điều của G với giá trị trong F là một ánh xạ c:G×G→Fc: G\times G\rightarrow F sao cho với mọi (g1,g2,g3)∈G×G×G(g_1, g_2, g_3)\in G\times G\times G, ta có

g1c(g2,g3)c(g1,g2g3)=c(g1,g2)c(g1g2,g3)(7) g_{_1}c(g_2, g_3)c(g_1, g_2g_3) =c(g_1, g_2)c(g_1g_2, g_3) \tag{7}

Vì F là giao hoán, tập hợp các 2-xoắn đồng điều là một nhóm con của nhóm các ánh xạ từ G×GG\times G đến F; ta ký hiệu nó là Z2(G,F)Z^2(G,F). Ta ký hiệu nhóm các ánh xạ từ G đến F là C1(G,F)C^1(G,F). Với mọi h∈C1(G,F)h\in C^1(G,F) và (g1,g2)∈G×G(g_1, g_2)\in G\times G, đặt

(∂h)(g1,g2)=g1h(g2)h(g1g2)−1h(g1)(8) (\partial h)(g_1, g_2) =^{g_1}h(g_2)h(g_1g_2)^{-1}h(g_1) \tag{8}

Một phép tính đơn giản cho thấy rằng ánh xạ ∂h:G×G→F\partial h: G\times G\rightarrow F là một 2-xiclen. Ánh xạ ∂:C1(G,F)→Z2(G,F)\partial : C^1(G,F)\rightarrow Z^2(G,F) là một đồng cấu nhóm. Với mọi h∈C1(G,F)h\in C^1(G,F), xiclen 2 ∂h\partial h được gọi là một đối biên 2. Nhóm Z2(G,F)/∂(C1(G,F))Z^2(G,F)/\partial (C^1(G,F)) được ký hiệu bởi H2(G,F)H^2(G,F) và được gọi là nhóm đối đồng điều thứ hai của G với các hệ số trong F.

∗*Ký hiệu ở trên phù hợp với ký hiệu của X, §6, no8^o8, p. 112 liên quan đến đối đồng điều nhóm.∗*

Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một mở rộng τ\tau. Cho σ\sigma là một tiết diện của ánh xạ toàn ánh π(\pi (Lý thuyết tập hợp, II, §3, No. 8, p. 86), nghĩa là một ánh xạ từ G vào Γ sao cho π(σ(g))=g\pi (\sigma (g)) =g với mọi gg trong G. Với mọi g1,g2∈Gg_1, g_2\in G, σ(g1)σ(g2)σ(g1g2)−1\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1} thuộc Ker(π\pi ), do đó tồn tại một ánh xạ duy nhất cσ:G×G→Fc_{\sigma}: G\times G\rightarrow F sao cho

ι(cσ(g1,g2))=σ(g1)σ(g2)σ(g1g2)−1(9) \iota (c_{\sigma}(g_1, g_2)) =\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1} \tag{9}

với mọi g1,g2∈Gg_1, g_2\in G. Ánh xạ cσc_{\sigma} là hằng với giá trị 1 khi và chỉ khi σ\sigma là một đồng cấu nhóm.

Mệnh đề 6 00IQ

Ánh xạ cσc_{\sigma} là một phần tử của nhóm Z2(G,F)Z^2(G,F), và lớp của nó trong nhóm đối đồng điều H2(G,F)H^2(G,F) chỉ phụ thuộc vào lớp của mở rộng τ\tau E\mathscr{E}.

Ta nói rằng ánh xạ cσc_{\sigma} là xiclen 2 liên kết với σ\sigma và rằng lớp đối đồng điều của nó trong H2(G,F)H^2(G,F) là lớp đối đồng điều của mở rộng τ\tau E\mathscr{E}.

Trước hết ta kiểm tra rằng cσc_{\sigma} thỏa mãn điều kiện xiclen. Cho g1,g2g_1,g_2, và g3g_3 là các phần tử của G. Sử dụng công thức (1) của VIII, p. 285 và (9), ta thu được các hệ thức

ι(g1cσ(g2,g3)cσ(g1,g2g3)) \iota (^{g_1}c_{\sigma}(g_2, g_3)c_{\sigma}(g_1, g_2g_3))
=σ(g1)σ(g2)σ(g3)σ(g2g3)−1σ(g1)−1σ(g1)σ(g2g3)σ(g1g2g3)−1 =\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_2g_3)^{-1}\sigma (g_1)^{-1}\sigma (g_1)\sigma (g_2g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}
=σ(g1)σ(g2)σ(g3)σ(g1g2g3)−1 =\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}

và

ι(cσ(g1,g2)cσ(g1g2,g3)) \iota (c_{\sigma}(g_1, g_2)c_{\sigma}(g_1g_2, g_3))
=σ(g1)σ(g2)σ(g1g2)−1σ(g1g2)σ(g3)σ(g1g2g3)−1 =\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1}\sigma (g_1g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}
=σ(g1)σ(g2)σ(g3)σ(g1g2g3)−1 =\sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_3)\sigma (g_1g_2g_3)^{-1}

Do đó ánh xạ cσc_{\sigma} là một phần tử của Z2(G,F)Z^2(G,F).

Bây giờ ta chứng minh rằng ảnh của cσc_{\sigma} trong H2(G,F)H^2(G,F) độc lập với tiết diện đã chọn σ\sigma. Cho σ\sigma và σ′\sigma ' là các tiết diện như vậy. Với mỗi phần tử gg của G, tồn tại một phần tử duy nhất aga_g của F sao cho σ′(g)=ι(ag)σ(g)\sigma '(g) =\iota (a_g)\sigma (g). Cho g1g_1 và g2g_2 là các phần tử của G. Sử dụng định nghĩa (9), ta thu được các đẳng thức

ι(cσ′(g1,g2))=σ′(g1)σ′(g2)σ′(g1g2)−1 \iota (c_{\sigma'}(g_1, g_2)) =\sigma '(g_1)\sigma '(g_2)\sigma '(g_1g_2)^{-1}
=ι(ag1)σ(g1)ι(ag2)σ(g2)σ(g1g2)−1ι(ag1g2)−1(10) =\iota (a_{g_1})\sigma (g_1)\iota (a_{g_2})\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1}\iota (a_{g_1g_2})^{-1} \tag{10}
=ι(ag1)ι(g1ag2)ι(cσ(g1,g2))ι(ag1g2)−1 =\iota (a_{g_1})\iota (^{g_1}a_{g_2})\iota (c_{\sigma}(g_1, g_2))\iota (a_{g_1g_2})^{-1}

Vì nhóm F là giao hoán, ta có các hệ thức

cσ′(g1,g2)cσ(g1,g2)−1=(g1ag2)ag1g2−1ag1=(∂a)(g1,g2)(11) c_{\sigma'}(g_1, g_2)c_{\sigma}(g_1, g_2)^{-1}= (^{g_1}a_{g_2})a^{-1}_{g_1g_2}a_{g_1}= (\partial a)(g_1, g_2) \tag{11}

như suy ra từ (8). Điều đó chứng tỏ rằng các lớp của cσ′c_{\sigma'} và cσc_{\sigma} trong H2(G,F)H^2(G,F) trùng nhau.

Sau cùng, cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) và E′=(Γ′,ι′,π′)\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ') là các τ\tau-mở rộng đẳng cấu, cho u:E→E′u:\mathscr{E}\rightarrow \mathscr{E}' là một cấu xạ của các τ\tau-mở rộng, và cho σ\sigma là một tiết diện của ánh xạ π\pi. Ánh xạ u∘σu\circ \sigma là một tiết diện của ánh xạ π′\pi ', và ta có cσ=cu∘σc_{\sigma}=c_{u\circ\sigma}. Do đó lớp của cσc_{\sigma} trong H2(G,F)H^2(G,F) chỉ phụ thuộc vào lớp của E\mathscr{E} trong Exτ(G,F)_{\tau}(G,F).

Ta ký hiệu bởi Θτ\Theta_{\tau} : Exτ(G,F)→H2(G,F)_{\tau}(G,F)\rightarrow H^2(G,F), hay đơn giản hơn là Θ, ánh xạ gửi lớp của một τ\tau-mở rộng (Γ,ι,π)(\Gamma , \iota , \pi ) tới lớp của 2-cocycle cσc_{\sigma}, trong đó σ\sigma là một tiết diện của đồng cấu toàn ánh π\pi.

Định lý 1 00IR

Ánh xạ Θ là một đẳng cấu nhóm từ Exτ(G,F)_{\tau}(G,F) đến H2(G,F)H^2(G,F).

Trước hết ta chứng minh rằng Θ là một đồng cấu nhóm. Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) và E′=(Γ′,ι′,π′)\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ') là các τ\tau-mở rộng, và cho σ\sigma (resp. σ′\sigma ') là một tiết diện của ánh xạ π\pi (resp. π′\pi '). Ta ký hiệu EE′=(Γ′′,ι′′,π′′)\mathscr{E} \mathscr{E}'= (\Gamma '', \iota '', \pi '') là tích của các τ\tau-mở rộng E\mathscr{E} và E′\mathscr{E}'. Ta ký hiệu bởi [γ,γ′][\gamma , \gamma '] ảnh trong Γ′′\Gamma '' của một phần tử (γ,γ′)(\gamma , \gamma ') của Γ×GΓ′\Gamma \times_G\Gamma ' qua đồng cấu toàn ánh trong nhận xét của VIII, p. 293. Ánh xạ từ G vào Γ′′\Gamma '' gửi một phần tử gg tới [σ(g),σ′(g)][\sigma (g), \sigma '(g)] là một tiết diện σ′′\sigma '' của ánh xạ π′′\pi ''. Cho g1g_1 và g2g_2 là các phần tử của G. Ta có các hệ thức

ι′′(cσ′′(g1,g2))=σ′′(g1)σ′′(g2)σ′′(g1g2)−1 \iota ''(c_{\sigma''}(g_1, g_2)) =\sigma ''(g_1)\sigma ''(g_2)\sigma ''(g_1g_2)^{-1}
=[ι(cσ(g1,g2)),ι′(cσ′(g1,g2)] = [\iota (c_{\sigma}(g_1, g_2)), \iota '(c_{\sigma'}(g_1, g_2)]
=ι′′(cσ(g1,g2)cσ′(g1,g2)) =\iota ''(c_{\sigma}(g_1, g_2)c_{\sigma'}(g_1, g_2))

Vì thế ta có cσ′′(g1,g2)=cσ(g1,g2)cσ′(g1,g2)c_{\sigma''}(g_1, g_2) =c_{\sigma}(g_1, g_2)c_{\sigma'}(g_1, g_2).

Ta chứng minh rằng ánh xạ Θ là đơn ánh. Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một τ\tau-mở rộng, và cho σ\sigma là một tiết diện của ánh xạ π\pi sao cho ảnh của cσc_{\sigma} trong H2(G,F)H^2(G,F) là tầm thường. Tồn tại một ánh xạ a:G→Fa: G\rightarrow F sao cho

cσ(g1,g2)=(g1a(g2))a(g1g2)−1a(g1) c_{\sigma}(g_1, g_2) = (^{g_1}a(g_2))a(g_1g_2)^{-1}a(g_1)

với mọi g1,g2∈Gg_1, g_2\in G. Khi đó ta định nghĩa σ′:G→Γ\sigma ': G\rightarrow \Gamma bởi

σ′(g)=ι(a(g)−1)σ(g) \sigma '(g) =\iota (a(g)^{-1})\sigma (g)

với g∈Gg\in G. Dùng (11), ta thu được rằng cσ′c_{\sigma'} là hằng với giá trị 1; do đó, σ′\sigma ' là một đồng cấu nhóm, điều đó chứng tỏ rằng τ\tau-mở rộng E\mathscr{E} là nửa tầm thường (I, §6, No. 1, p. 67, Mệnh đề 4).

Ta hãy chứng minh rằng ánh xạ Θ là toàn ánh. Cho cc là một phần tử của Z2(G,F)Z^2(G,F). Ta trang bị cho tập hợp Γ=F×G\Gamma = F\times G luật hợp thành sau: (12) (f1,g1)(f2,g2)=(f1(g1f2)c(g1,g2),g1g2)(f_1, g_1)(f_2, g_2) =(f_1(^{g_1}f_2)c(g_1, g_2), g_1g_2)

với mọi f1,f2∈Ff_1, f_2\in F và g1,g2∈Gg_1, g_2\in G. Ta có các hệ thức

(f1,g1)((f2,g2)(f3,g3))=(f1,g1)(f2(g2f3)c(g2,g3),g2g3) (f_1, g_1) ((f_2, g_2)(f_3, g_3)) = (f_1, g_1)(f_2(^{g_2}f_3)c(g_2, g_3), g_2g_3)
=(f1(g1f2)(g1g2f3)(g1c(g2,g3))c(g1,g2g3),g1g2g3) =(f_1(^{g_1}f_2)(^{g_1g_2}f_3)(^{g_1}c(g_2, g_3))c(g_1, g_2g_3), g_1g_2g_3)

và

((f1,g1)(f2,g2))(f3,g3)=(f1(g1f2)c(g1,g2),g1g2)(f3,g3) ((f_1, g_1)(f_2, g_2)) (f_3, g_3) =(f_1(^{g_1}f_2)c(g_1, g_2), g_1g_2)(f_3, g_3)
=(f1(g1f2)(g1g2f3)c(g1,g2)c(g1g2,g3),g1g2g3) =(f_1(^{g_1}f_2)(^{g_1g_2}f_3)c(g_1, g_2)c(g_1g_2, g_3), g_1g_2g_3)

với mọi f1,f2,f3∈Ff_1, f_2, f_3\in F và g1,g2,g3∈Gg_1,g_2, g_3\in G. Suy ra luật này kết hợp vì cc là một 2-côxích. Với mọi (f,g)∈Γ(f, g)\in \Gamma, ta có

(f,g)(c(e,e)−1,e)=(f(gc(e,e)−1)c(g,e),g) (f, g)(c(e, e)^{-1}, e) = (f(^gc(e, e)^{-1})c(g, e), g)

Bây giờ, từ định nghĩa của một 2-côxích suy ra rằng c(g,e)=gc(e,e)c(g, e) =^gc(e, e), từ đó ta suy ra rằng (f,g)(c(e,e)−1,e)=(f,g)(f, g)(c(e, e)^{-1}, e) = (f, g). Ta cũng chứng minh tương tự rằng

(c(e,e)−1,e)(f,g)=(fc(e,e)−1c(e,g),g)=(f,g) (c(e, e)^{-1}, e)(f, g) = (f c(e, e)^{-1}c(e, g), g) = (f, g)

Luật hợp thành được xác định bởi (12) vì thế có phần tử đơn vị (c(e,e)−1,e)(c(e, e)^{-1}, e), và mọi phần tử (f,g)(f, g) của Γ đều khả nghịch, với nghịch đảo

(g−1(f−1c(e,e)−1c(g,g−1)−1),g−1) (^{g^{-1}}(f^{-1}c(e, e)^{-1}c(g, g^{-1})^{-1}), g^{-1})

Vì thế ta đã trang bị cho Γ một cấu trúc nhóm. Ký hiệu ι:F→G\iota : F\rightarrow G là ánh xạ gửi ff đến (c(e,e)−1f,e)(c(e, e)^{-1}f, e), π:Γ→G\pi : \Gamma \rightarrow G là phép chiếu thứ hai, và σ\sigma là ánh xạ g↦(1,g)g\mapsto (1, g). Các ánh xạ ι\iota và π\pi là các đồng cấu nhóm, nên bộ ba E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một τ\tau-mở rộng, σ\sigma là một tiết diện của ánh xạ π\pi, và côxích liên kết cσc_{\sigma} bằng cc vì

σ(g1)σ(g2)σ(g1g2)−1=(1,g1)(1,g2)(1,g1g2)−1=(c(g1,g2),g1g2)(1,g1g2)−1 \sigma (g_1)\sigma (g_2)\sigma (g_1g_2)^{-1}= (1, g_1)(1, g_2)(1, g_1g_2)^{-1}= (c(g_1, g_2), g_1g_2)(1, g_1g_2)^{-1}
=(c(g1,g2)c(e,g1g2)−1,e)=(c(e,e)−1c(g1,g2),e) = (c(g_1, g_2)c(e, g_1g_2)^{-1}, e) = (c(e, e)^{-1}c(g_1, g_2), e)

với g1,g2∈Gg_1, g_2\in G.

Nhận xét 00RK

Cho G là một nhóm, cho F và F′F' là các nhóm Abel, cho τ\tau (resp. τ′\tau ') là một đồng cấu nhóm từ G đến nhóm tự đẳng cấu của F (resp. F′F'), và cho v:F→F′v: F\rightarrow F' là một đồng cấu nhóm sao cho

v(τ(g)⋅f)=τ′(g)⋅v(f)(13) v(\tau (g)\cdot f) =\tau '(g)\cdot v(f) \tag{13}

với g∈Gg\in G và f∈Ff\in F. Cho α\alpha là một phần tử của Exτ(G,F)_{\tau}(G,F). Nếu côxích cc biểu diễn Θ(α)\Theta (\alpha ), thì v∘cv\circ c biểu diễn Θ(v∗(α))∈H2(G,F′)\Theta (v_*(\alpha ))\in H^2(G,F').

6. Hạn chế và đồng hạn chế

Cho G và G′G' là các nhóm, F là một nhóm Abel, và τ\tau là một đồng cấu từ G vào nhóm tự đẳng cấu của F. Cho u:G′→Gu: G'\rightarrow G là một đồng cấu nhóm. Ta viết τ′=τ∘u\tau '=\tau \circ u.

Nếu ψ:G×G→F\psi : G\times G\rightarrow F là một 2-cocycle của G với các giá trị trong F, thì ánh xạ ψ∘(u×u)\psi \circ (u\times u) từ G′×G′G'\times G' đến F được cho bởi (g1,g2)↦ψ(u(g1),u(g2))(g_1, g_2)\mapsto \psi (u(g_1), u(g_2)) là một 2-cocycle của G′G' với các giá trị trong F, và ánh xạ ψ↦ψ∘(u×u)\psi \mapsto \psi \circ (u\times u) từ Z2(G,F)Z^2(G,F) đến Z2(G′,F)Z^2(G',F) cảm sinh một đồng cấu nhóm u∗:H2(G,F)→H2(G′,F)u^*: H^2(G,F)\rightarrow H^2(G',F). Với mọi λ∈H2(G,F)\lambda \in H^2(G,F), phần tử u∗(λ)u^*(\lambda ) được gọi là ảnh ngược của λ\lambda bởi uu. Khi G′G' là một nhóm con của G và u:G′→Gu: G'\rightarrow G là đơn ánh chính tắc, đồng cấu u∗u^* được gọi là đồng cấu hạn chế từ G đến G′G'; ta ký hiệu nó là ResG′G^G_{G'}. Khi G là một thương của G′G' và u:G′→Gu: G'\rightarrow G là toàn cấu chính tắc, đồng cấu u∗u^* được gọi là đồng cấu lạm phát từ G đến G′G'.

Mệnh đề 7 00IS

Theo ký hiệu ở trên, biểu đồ sau giao hoán:

Exτ(G,F)u∗_{\tau}(G,F)^{u^*} // Exτ(G′,F)_{\tau}(G',F)

ΘτΘτ′\Theta_{\tau}\Theta_{\tau'}

H2(G,F)u∗H_2(G,F)^{u^*} // H2(G′,F)H_2(G',F).

Cho H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Cho ss là một tiết diện của toàn cấu chính tắc từ G tới H\GH\backslash G. Ta ký hiệu bởi (g,x)↦x⋅g(g, x)\mapsto x\cdot g tác động phải của G trên H\GH\backslash G cảm sinh từ tác động phải của G lên chính nó bằng phép nhân. Chú ý rằng với mọi x∈H\Gx\in H\backslash G và g∈Gg\in G, phần tử s(x)gs(x⋅g)−1s(x)gs(x\cdot g)^{-1} thuộc H. Với mọi ánh xạ c:H×H→Fc: H\times H\rightarrow F, vì thế ta có thể định nghĩa một ánh xạ c~s:G×G→F\widetilde{c}_s: G\times G\rightarrow F bởi quan hệ

c~s(g1,g2)=∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1) \widetilde{c}_s(g_1, g_2) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})

với g1,g2∈Gg_1,g_2\in G. Ánh xạ c↦c~sc\mapsto \widetilde{c}_s là một đồng cấu nhóm từ FH×HF^{H\times H} đến FG×GF^{G\times G}.

Bổ đề 4 00IT

Nếu c:H×H→Fc: H\times H\rightarrow F là một 2-cocycle của H với các giá trị trong F, thì c~s\widetilde{c}_s là một 2-cocycle của G với các giá trị trong F.

Cho g1,g2g_1,g_2, và g3g_3 là các phần tử của G. Với mọi i∈{1,2,3}i\in \{1,2,3\}, ta định nghĩa một ánh xạ hi:H\G→Hh_i: H\backslash G\rightarrow H bởi quan hệ

hi(x)=s(x⋅g1⋯gi−1)gis(x⋅g1⋯gi)−1 h_i(x) =s(x\cdot g_1\cdots g_{i-1})g_is(x\cdot g_1\cdots g_i)^{-1}

với x∈H\Gx\in H\backslash G. Chú ý rằng

h1(x)h2(x)=s(x)g1g2s(x⋅g1g2)−1 h_1(x)h_2(x) =s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}
h2(x)h3(x)=s(x⋅g1)g2g3s(x⋅g1g2g3)−1 h_2(x)h_3(x) =s(x\cdot g_1)g_2g_3s(x\cdot g_1g_2g_3)^{-1}

với x∈H\Gx\in H\backslash G. Khi đó ta có các quan hệ

g1c~s(g2,g3)c~s(g1g2,g3)−1c~s(g1,g2g3)c~s(g1,g2)−1 ^{g_1}\widetilde{c}_s(g_2, g_3)\widetilde{c}_s(g_1g_2, g_3)^{-1}\widetilde{c}_s(g_1, g_2g_3)\widetilde{c}_s(g_1, g_2)^{-1}
=∏x∈H\Gg1s(x)−1c(s(x)g2s(x⋅g2)−1,s(x⋅g2)g3s(x⋅g2g3)−1) =\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x)^{-1}}c(s(x)g_2s(x\cdot g_2)^{-1}, s(x\cdot g_2)g_3s(x\cdot g_2g_3)^{-1})
×∏x∈H\Gs(x)−1(c(h1(x)h2(x),h3(x))−1 \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(h_1(x)h_2(x), h_3(x))^{-1}
×c(h1(x),h2(x)h3(x))c(h1(x),h2(x))−1) \times c(h_1(x), h_2(x)h_3(x))c(h_1(x), h_2(x))^{-1})
=∏x∈H\Gs(x⋅g1−1)−1h1(x⋅g1−1)c(h2(x⋅g1−1),h3(x⋅g1−1)) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x\cdot g_1^{-1})^{-1}h_1(x\cdot g^{-1}_1)}c(h_2(x\cdot g_1^{-1}), h_3(x\cdot g_1^{-1}))
×∏x∈H\Gs(x)−1h1(x)c(h2(x),h3(x))−1 \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}h_1(x)}c(h_2(x), h_3(x))^{-1}
=1 = 1

trong đó đẳng thức thứ hai suy ra từ việc cc là một 2-đối chu trình.

Bổ đề 5 00IU

Nếu cc là một 2-đối biên, thì c~s\widetilde{c}_s cũng vậy.

Cho t:H→Ft: H\rightarrow F là một ánh xạ sao cho c=∂tc=\partial t. Cho t~s:G→F\widetilde{t}_s: G\rightarrow F là ánh xạ được xác định bởi

t~s(g)=∏x∈H\Gs(x)−1t(s(x)gs(x⋅g)−1) \widetilde{t}_s(g) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}t(s(x)gs(x\cdot g)^{-1})

với g∈Gg\in G. Chỉ cần chứng minh rằng c~s=∂t~s\widetilde{c}_s=\partial \widetilde{t}_s, điều này suy ra từ các quan hệ c~s(g1,g2)=∏x∈H\Gs(x)−1s(x)g1s(x⋅g1)−1t(s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1)\widetilde{c}_s(g_1, g_2) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}}t(s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})

×∏x∈H\Gs(x)−1(t(s(x)g1g2s(x⋅g1g2)−1)−1t(s(x)g1s(x⋅g1)−1)) \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(t(s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})^{-1}t(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}))
=∂t~s(g1,g2) =\partial \widetilde{t}_s(g_1, g_2)

với g1,g2∈Gg_1, g_2\in G.

Bổ đề 6 00IV

Cho cc là một 2-đối chu trình của H nhận giá trị trong F. Ảnh của c~s\widetilde{c}_s trong nhóm H2(G,F)H^2(G,F) không phụ thuộc vào lựa chọn của tiết diện ss.

Cho s′s' là một tiết diện của toàn cấu chính tắc từ G đến H\GH\backslash G. Cho h:H\G→Hh: H\backslash G\rightarrow H là ánh xạ được đặc trưng bởi quan hệ

s′(x)=h(x)s(x) s'(x) =h(x)s(x)

với x∈H\Gx\in H\backslash G. Khi đó 2-đối chu trình c~s′\widetilde{c}_{s'} được cho bởi các quan hệ

c~s′(g1,g2) \widetilde{c}_{s'}(g_1, g_2)
=∏x∈H\Gs(x)−1h(x)−1c(h(x)s(x)g1s′(x⋅g1)−1,s′(x⋅g1)g2s′(x⋅g1g2)−1) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}h(x)^{-1}}c(h(x)s(x)g_1s'(x\cdot g_1)^{-1}, s'(x\cdot g_1)g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1})
=∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1h(x⋅g1)−1,h(x⋅g1)s(x⋅g1)g2s′(x⋅g1g2)−1) =\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}h(x\cdot g_1)^{-1}, h(x\cdot g_1)s(x\cdot g_1)g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1})
s(x)−1(−1′′−1−1s(x)^{-1}(-1''-1-1
×∏x∈H\Gc(h(x),s(x)g1g2s(x⋅g1g2)) \times \prod_{x\in H\backslash G}c(h(x), s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2))
×c(h(x)−1,s′(x)g1s′(x⋅g1)−1)) \times c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1s'(x\cdot g_1)^{-1}))
=∏x∈H\Gg1s(x⋅g1)−1c(h(x⋅g1)−1,h(x⋅g1)s(x⋅g1)g2s′(x⋅g1g2)−1)=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x\cdot g_1)^{-1}}c(h(x\cdot g_1)^{-1}, h(x\cdot g_1)s(x\cdot g_1)g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1})
×∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s′(x⋅g1g2)−1) \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1})
s(x)−1−1−1−1s(x)^{-1}-1-1-1 ×∏x∈H\Gc(s(x)g1s(x⋅g1),h(x⋅g1))\times \prod_{x\in H\backslash G}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1), h(x\cdot g_1))
×∏x∈H\Gs(x)−1(c(h(x)−1,s′(x)g1g2s′(x⋅g1g2)−1)−1 \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1})^{-1}
×c(h(x)−1,s′(x)g1s′(x⋅g1)−1)) \times c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1s'(x\cdot g_1)^{-1}))
=∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s′(x⋅g1g2)−1)=\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1}) s(x)−1−1−1−1s(x)^{-1}-1-1-1 ×∏x∈H\Gc(s(x)g1s(x⋅g1),h(x⋅g1))\times \prod_{x\in H\backslash G}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1), h(x\cdot g_1)) ×∏x∈H\Gg1s(x)−1c(h(x)−1,h(x)s(x)g2s′(x⋅g2)−1)\times \prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x)^{-1}}c(h(x)^{-1}, h(x)s(x)g_2s'(x\cdot g_2)^{-1}) s(x)−1(−1′′−1−1s(x)^{-1}(-1''-1-1
×∏x∈H\Gc(h(x),s(x)g1g2s(x⋅g1g2)) \times \prod_{x\in H\backslash G}c(h(x), s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2))
×c(h(x)−1,s′(x)g1s′(x⋅g1)−1)) \times c(h(x)^{-1}, s'(x)g_1s'(x\cdot g_1)^{-1}))

với mọi g1,g2∈Gg_1, g_2\in G. Đẳng thức thứ nhất có được từ quan hệ đối chu trình (VIII, p. 295, công thức (7)) áp dụng cho các phần tử

h(x)−1,h(x)s(x)g1s′(x⋅g1)−1h(x)^{-1},h(x)s(x)g_1s'(x\cdot g_1)^{-1}, và s′(x⋅g1)g2s′(x⋅g1g2)−1s'(x\cdot g_1)g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1};

đẳng thức thứ hai thu được bằng cách áp dụng quan hệ đối chu trình cho các phần tử

s(x)g1s(x⋅g1)−1,h(x⋅g1)−1s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1},h(x\cdot g_1)^{-1}, và h(x⋅g1)s(x⋅g1)g2s′(x⋅g1g2)−1h(x\cdot g_1)s(x\cdot g_1)g_2s'(x\cdot g_1g_2)^{-1}; và đẳng thức cuối cùng đơn giản sử dụng sự kiện rằng ánh xạ x↦x⋅g1x\mapsto x\cdot g_1 là một phép hoán vị của H\GH\backslash G.

Hai dòng cuối của biểu thức thu được tương ứng với một 2-đối biên. Ta thấy rằng c~s′\widetilde{c}_{s'} có cùng lớp trong H2(G,F)H^2(G,F) với đối chu trình mà giá trị tại (g1,g2)∈G2(g_1, g_2)\in G^2 được cho bởi biểu thức

∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1h(x⋅g1g2)−1) \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}h(x\cdot g_1g_2)^{-1})
s(x)−1−1−1−1s(x)^{-1}-1-1-1
×∏x∈H\Gc(s(x)g1s(x⋅g1),h(x⋅g1)) \times \prod_{x\in H\backslash G}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1), h(x\cdot g_1))
=∏x∈H\Gg1s(x⋅g1)−1c(s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1,h(x⋅g1g2)−1)−1=\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1s(x\cdot g_1)^{-1}}c(s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}, h(x\cdot g_1g_2)^{-1})^{-1}
×∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1) \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})
×∏x∈H\Gs(x)−1(c(s(x)g1g2s(x⋅g1g2)−1,h(x⋅g1g2)−1) \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}, h(x\cdot g_1g_2)^{-1})
−1−1−1)-1-1-1) ×c(s(x)g1s(x⋅g1),h(x⋅g1))\times c(s(x)g_1s(x\cdot g_1), h(x\cdot g_1)) =∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1)=\prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}) gs(x)−1−1−1−1gs(x)^{-1}-1-1-1
×∏x∈H\G1c(s(x)g2s(x⋅g2),h(x⋅g2)) \times \prod_{x\in H\backslash G^1}c(s(x)g_2s(x\cdot g_2), h(x\cdot g_2))
×∏x∈H\Gs(x)−1(c(s(x)g1g2s(x⋅g1g2)−1,h(x⋅g1g2)−1) \times \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}(c(s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}, h(x\cdot g_1g_2)^{-1})
×c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,h(x⋅g1)−1)−1) \times c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, h(x\cdot g_1)^{-1})^{-1})

trong đó đẳng thức đầu tiên suy ra từ quan hệ đối chu trình áp dụng cho các phần tử

s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1},s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}, và h(x⋅g1g2)−1h(x\cdot g_1g_2)^{-1}.

Hai dòng cuối của biểu thức thu được tương ứng với một đối biên 2. Ta thấy rằng lớp của c~s′\widetilde{c}_{s'} trùng với lớp của c~s\widetilde{c}_s.

Ta đã xây dựng một đồng cấu từ nhóm H2(H,F)H^2(H,F) vào nhóm H2(G,F)H^2(G,F), mà ta gọi là đồng cấu đối hạn chế từ H đến G và ký hiệu là CorHG^G_H.

Mệnh đề 8 00IW

Cho H là một nhóm con của G có chỉ số hữu hạn. Tự đồng cấu CorHG∘^G_H\circ ResHG^G_H của nhóm H2(G,F)H^2(G,F) trùng với phép nhân bởi chỉ số (G : H).

Cho α\alpha là một phần tử của H2(G,F)H^2(G,F), và cho cc là một phần tử của Z2(G,F)Z^2(G,F) biểu diễn α\alpha. Phần tử CorHG∘^G_H\circ ResHG(α)^G_H(\alpha ) là lớp của đối chu trình mà giá trị của nó tại (g1,g2)∈G2(g_1, g_2)\in G^2 được cho bởi biểu thức

∏x∈H\Gs(x)−1c(s(x)g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1) \prod_{x\in H\backslash G}^{s(x)^{-1}}c(s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})
=∏x∈H\Gc(g1s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1) =\prod_{x\in H\backslash G}c(g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})
×∏x∈H\G(c(s(x)−1,s(x)g1g2s(x⋅g1g2)−1)−1c(s(x)−1,s(x)g1s(x⋅g1)−1)) \times \prod_{x\in H\backslash G}(c(s(x)^{-1}, s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})^{-1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}))
=∏x∈H\Gg1c(s(x⋅g1)−1,s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1) =\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(s(x\cdot g_1)^{-1}, s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})
×∏x∈H\Gc(g1,g2s(x⋅g1g2)−1)c(g1,s(x⋅g1)−1)−1 \times \prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x\cdot g_1)^{-1})^{-1}
×∏x∈H\G(c(s(x)−1,s(x)g1g2s(x⋅g1g2)−1)−1c(s(x)−1,s(x)g1s(x⋅g1)−1)) \times \prod_{x\in H\backslash G}(c(s(x)^{-1}, s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})^{-1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}))
=∏x∈H\Gc(g1,g2s(x⋅g1g2)−1)c(g1,s(x⋅g1)−1)−1=\prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x\cdot g_1)^{-1})^{-1}
×∏x∈H\Gg1c(s(x)−1,s(x)g2s(xg2)−1) \times \prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_2s(xg_2)^{-1})
×∏x∈H\G(c(s(x)−1,s(x)g1g2s(x⋅g1g2)−1)−1c(s(x)−1,s(x)g1s(x⋅g1)−1)) \times \prod_{x\in H\backslash G}(c(s(x)^{-1}, s(x)g_1g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})^{-1}c(s(x)^{-1}, s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}))

Đẳng thức đầu tiên suy ra từ quan hệ đối chu trình (VIII, p. 295, công thức (7)) áp dụng cho các phần tử

s(x)−1,s(x)g1s(x⋅g1)−1s(x)^{-1},s(x)g_1s(x\cdot g_1)^{-1}, và s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1};

đẳng thức thứ hai thu được bằng cách áp dụng quan hệ đối chu trình cho các phần tử

g1,s(x⋅g1)−1g_1,s(x\cdot g_1)^{-1}, và s(x⋅g1)g2s(x⋅g1g2)−1s(x\cdot g_1)g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1}.

Bằng cách loại bỏ một đối biên, ta thu được rằng CorHG∘^G_H\circ ResHG(α)^G_H(\alpha ) là lớp của đối chu trình mà giá trị của nó tại (g1,g2)∈G2(g_1, g_2)\in G^2 được cho bởi biểu thức

∏x∈H\Gc(g1,g2s(x⋅g1g2)−1)c(g1,s(x⋅g1)−1)−1 \prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, g_2s(x\cdot g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x\cdot g_1)^{-1})^{-1}
=∏x∈H\Gg1c(g2,s(x⋅g1g2)−1)−1c(g1g2,s(x⋅g1g2)−1)c(g1,g2) =\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(g_2, s(x\cdot g_1g_2)^{-1})^{-1}c(g_1g_2, s(x\cdot g_1g_2)^{-1})c(g_1, g_2)
×∏x∈H\Gc(g1,s(x⋅g1)−1)−1 \times \prod_{x\in H\backslash G}c(g_1, s(x\cdot g_1)^{-1})^{-1}
=∏x∈H\Gg1c(g2,s(x⋅g2)−1)−1c(g1g2,s(x⋅g1g2)−1)c(g1,s(x⋅g1)−1)−1 =\prod_{x\in H\backslash G}^{g_1}c(g_2, s(x\cdot g_2)^{-1})^{-1}c(g_1g_2, s(x\cdot g_1g_2)^{-1})c(g_1, s(x\cdot g_1)^{-1})^{-1}
×c(g1,g2)(G:H) \times c(g_1, g_2)^{(G:H)}

điều này chứng minh kết quả.

7. Đại số Galois

Cho K là một trường giao hoán. Nếu E là một đại số trên K, thì ta ký hiệu nhóm tự đẳng cấu của nó bởi AutK(E)_K(E). Nếu E là một mở rộng Galois của trường K, thì nhóm AutK(E)_K(E) chính là nhóm Galois Gal(E/K/K) (V, §10, No. 2, p. 58).

Cho G là một nhóm. A(K,G)A (K,G)-đại số là một đại số trên K được trang bị một đồng cấu nhóm λ:G→\lambda : G\rightarrow AutK(E)_K(E). Khi đó đồng cấu λ\lambda trang bị cho E cấu trúc của một nhóm với các toán tử trong G cũng như cấu trúc của một K[G]-môđun trái với phép toán ngoài được cho bởi

((∑g∈Gμgg)x=∑g∈Gμgλ(g).x(14) ((\sum_{g\in G}\mu_gg)x=\sum_{g\in G}\mu_g\lambda (g).x \tag{14}

với mọi x∈Lx\in L và mọi phần tử (μg)g∈G(\mu_g)_{g\in G} của K[G]. Một cấu xạ của các đại số (K,G)(K,G) là một cấu xạ của các đại số đồng thời cũng là một cấu xạ của các nhóm với các toán tử.

Đối với mọi họ (Ei)i∈I(E_i)_{i\in I} của các đại số (K(K, G), đại số K ∏i∈IEi\prod_{i\in I}E_i được trang bị cấu trúc của một nhóm tích với các toán tử là một đại số (K(K, G).

Nếu E là một đại số (K(K, G), thì tập hợp EGE^G gồm các phần tử của E bất biến dưới tác động của G là một đại số con của E.

Cho E là một đại số (K(K, G), trong đó G tác động bởi λ:G→\lambda : G\rightarrow AutK(E)_K(E). Nếu K′K' là một mở rộng của K, thì với mọi g∈Gg\in G, đặt λ′(g)\lambda '(g) là tự đẳng cấu IdK′⊗λ(g)_{K'}\otimes \lambda (g) của đại số K′K'-đại số L(K′)L_{(K')}. Khi đó λ′:g↦λ′(g)\lambda ':g\mapsto \lambda '(g) trang bị cho L(K′)L_{(K')} cấu trúc của một đại số (K′(K', G).

Cho một nhóm H và các H-tập hợp X và Y, ta ký hiệu FH(X,Y)\mathscr{F}_H(X,Y) là tập hợp các đồng cấu của các H-tập hợp từ X đến Y. Đó là tập hợp các ánh xạ f:X→Yf: X\rightarrow Y sao cho f(hx)=hf(x)f(hx) =hf(x) với mọi h∈Hh\in H và x∈Xx\in X.

Cho G là một nhóm có phần tử đơn vị ee, cho H là một nhóm con của G, và cho E là một đại số (K(K, H). Đại số (K,G)(K,G) suy ra từ E bởi phép đồng quy nạp từ H đến G, được ký hiệu là CoindHG^G_H(E), là đại số K FH(G,E)\mathscr{F}_H(G,E) được trang bị tác động của G cho bởi đồng cấu λ\lambda từ G đến AutK_K(CoindHG(E)^G_H(E)) được định nghĩa bởi

(λ(g)⋅f)(g′)=f(g′g)(15) (\lambda (g)\cdot f)(g') =f(g'g) \tag{15}

với f∈f\in CoindHG(E)^G_H(E) và g,g′∈Gg, g'\in G.

Bổ đề 7 00IX

a) Cho S là một tập con của G sao cho mọi phần tử của G có thể được viết duy nhất dưới dạng hshs với h∈Hh\in H và s∈Ss\in S. Khi đó ánh xạ gửi f đến (f(s))s∈S(f(s))_{s\in S} là một đẳng cấu từ đại số K CoindHG(E)^G_H(E) đến đại số K F(S,E)\mathscr{F}(S,E) của các ánh xạ từ S đến E.

b) Đại số CoindHG(E)^G_H(E) có bậc hữu hạn trên K khi và chỉ khi E có bậc hữu hạn trên K và chỉ số của H trong G là hữu hạn. Trong trường hợp này, ta có công thức

[CoindHG(E):K]=(G:H)[E:K]^G_H(E) : K] = (G : H)[E : K].

c) Cho EHE^H là đại số các phần tử bất biến của nhóm H trong E và CoindHG(E)G^G_H(E)^G là đại số các phần tử bất biến của nhóm G trong CoindHG(E)^G_H(E). Ánh xạ f↦f(e)f\mapsto f(e) từ CoindHG(E)^G_H(E) đến E hạn chế thành một đẳng cấu đại số từ CoindHG(E)G^G_H(E)^G đến EHE^H.

Mệnh đề a) suy ra từ các định nghĩa và kéo theo b). Theo (15), một ánh xạ từ G đến E là một phần tử của CoindHG(E)^G_H(E) bất biến dưới G khi và chỉ khi nó là hằng với giá trị là một phần tử của E bất biến dưới H.

Nhận xét 1 00IY

Cho G là một nhóm, H một nhóm con của G, và N một nhóm con của H. Cho E là một đại số (K(K, N). Cho α\alpha là một phần tử của FH(G,FN(H,E))\mathscr{F}_H(G,\mathscr{F}_N(H,E)). Ta có quan hệ

α(g)(nh)=n(α(g)(h))(16) \alpha (g)(nh) =n(\alpha (g)(h)) \tag{16}

với mọi g∈G,h∈Hg\in G,h\in H, và n∈Nn\in N và các quan hệ

α(hg)(h′)=(hα(g))(h′)=α(g)(h′h)(17) \alpha (hg)(h') = (h\alpha (g))(h') =\alpha (g)(h'h) \tag{17}

với mọi h,h′∈Hh, h'\in H và với mọi g∈Gg\in G. Do đó, α(ng)(e)=α(g)(n)=\alpha (ng)(e) =\alpha (g)(n) = n(α(g)(e))n(\alpha (g)(e)) đối với mọi g∈Gg\in G và n∈Nn\in N. Vì thế ta có thể xét ánh xạ

ψ:FH(G,FN(H,E))→FN(G,E) \psi :\mathscr{F}_H(G,\mathscr{F}_N(H,E))\rightarrow \mathscr{F}_N(G,E)

được xác định bởi quan hệ ψ(α)(g)=α(g)(e)\psi (\alpha )(g) =\alpha (g)(e) với α\alpha trong FH(G,FN(H,E))\mathscr{F}_H(G,\mathscr{F}_N(H,E)) và gg trong G. Ánh xạ ψ\psi là một đẳng cấu đại số từ CoindHG^G_H(CoindNH(E)^H_N(E)) đến CoindNG(E)^G_N(E), nghịch đảo của nó gửi một phần tử β\beta của FN(G,E)\mathscr{F}_N(G,E) đến ánh xạ α\alpha được xác định bởi quan hệ α(g)(h)=β(hg)\alpha (g)(h) =\beta (hg) với g∈Gg\in G và h∈Hh\in H.

Giả sử bây giờ cho một nhóm hữu hạn G và một đại số giao hoán trên K rút gọn (V, §6, No. 6, p. 32) có bậc hữu hạn, được trang bị một tác động của G cho bởi một đồng cấu λ\lambda từ G đến AutK(L)_K(L). Với x∈Lx\in L và g∈Gg\in G, ta ký hiệu g⋅xg\cdot x là biến đổi của xx dưới tự đẳng cấu λ(g)\lambda (g) của L. Gọi S\mathscr{S} là tập hợp các iđêan cực đại của L; ta ký hiệu g⋅mg\cdot \mathfrak{m} là biến đổi của một phần tử m\mathfrak{m} của S\mathscr{S} dưới tự đẳng cấu λ(g)\lambda (g) của L. Đó là một phần tử của S\mathscr{S}. Với mọi m\mathfrak{m} trong S\mathscr{S}, trường L/mL/\mathfrak{m} là một mở rộng hữu hạn của K. Ta viết πm:L→L/m\pi_{\mathfrak{m}}: L\rightarrow L/\mathfrak{m} cho phép chiếu và ký hiệu GmG_{\mathfrak{m}} là nhóm ổn định của m\mathfrak{m} trong G, tức là tập hợp các g∈Gg\in G sao cho g⋅m=mg\cdot \mathfrak{m}=\mathfrak{m}. Đại số trên K L/mL/\mathfrak{m} được trang bị một tác động của GmG_{\mathfrak{m}} thông qua đồng cấu λm\lambda_{\mathfrak{m}} từ GmG_{\mathfrak{m}} đến AutK(L/m)_K(L/\mathfrak{m}) gửi một phần tử hh của GmG_{\mathfrak{m}} đến tự đẳng cấu của L/mL/\mathfrak{m} suy ra từ λ(h)\lambda (h) khi chuyển qua các thương.

Cho O\mathscr{O} là tập hợp các quỹ đạo của G trong S\mathscr{S}. Với một quỹ đạo σ∈O\sigma \in \mathscr{O}, đặt aσ=⋂m∈σm\mathfrak{a}_{\sigma}=\bigcap_{\mathfrak{m}\in\sigma}\mathfrak{m} và Lσ=L/aσL_{\sigma}= L/\mathfrak{a}_{\sigma}. Vì aσ\mathfrak{a}_{\sigma} bất biến dưới G, nên khi chuyển qua các thương, tác động của G trên L xác định một đồng cấu λσ\lambda_{\sigma} từ G vào AutK(Lσ)_K(L_{\sigma}). Cuối cùng, ký hiệu πσ\pi_{\sigma} là ánh xạ chính tắc từ L đến LσL_{\sigma}.

Bổ đề 8 00RL

a) Với mọi g∈G,σ∈Og\in G,\sigma \in \mathscr{O}, và m∈σ\mathfrak{m}\in \sigma, ta có

[Lσ:K]=[L_{\sigma}: K] = Card(σ\sigma )[L/m:K][L/\mathfrak{m}: K].

b) Ánh xạ π:x↦(πσ(x))σ∈O\pi :x\mapsto (\pi_{\sigma}(x))_{\sigma\in\mathscr{O}} là một đẳng cấu của các (K,G)(K,G)-đại số từ L đến ∏σ∈OLσ\prod_{\sigma\in\mathscr{O}}L_{\sigma}.

c) Ký hiệu LG(L^G(resp. LσG)L^G_{\sigma}) là đại số con của L (resp. LσL_{\sigma}) gồm các phần tử bất biến dưới tác động của G. Khi đó π\pi cảm sinh một đẳng cấu từ LGL^G đến ∏σ∈OLσG\prod_{\sigma\in\mathscr{O}}L^G_{\sigma}.

Vì đại số L là rút gọn và có bậc hữu hạn, giao của các iđêan cực đại của L thu được 0 (VIII, p. 173, Hệ quả 2). Hơn nữa, nếu m\mathfrak{m} và m′\mathfrak{m}' là hai iđêan cực đại phân biệt của L, thì ta có m+m′=L\mathfrak{m}+\mathfrak{m}'= L. Theo Mệnh đề 10 của I, §8, No. 11, p. 110, ánh xạ chính tắc từ L đến ∏m∈SL/m\prod_{\mathfrak{m}\in\mathscr{S}}L/\mathfrak{m} là một đẳng cấu, cũng như ánh xạ chính tắc từ L/aσL/\mathfrak{a}_{\sigma} đến ∏m∈σL/m\prod_{\mathfrak{m}\in\sigma}L/\mathfrak{m} với mọi σ∈O\sigma \in \mathscr{O}. Mệnh đề a) suy ra. Vì O\mathscr{O} là một phân hoạch của S\mathscr{S}, mệnh đề b) suy ra; mệnh đề c) là một hệ quả ngay lập tức của b).

Bây giờ hãy cố định một quỹ đạo σ∈O\sigma \in \mathscr{O} và một phần tử m\mathfrak{m} của σ\sigma. Đặt FmF_{\mathfrak{m}} = CoindGmG(L/m)^G_{G_{\mathfrak{m}}}(L/\mathfrak{m}), và ký hiệu λFm\lambda_{F_{\mathfrak{m}}} là tác động của G trên FmF_{\mathfrak{m}}. Với mọi x∈Lx\in L, ký hiệu x‾\overline{x} là ánh xạ từ G đến L/mL/\mathfrak{m}, gửi gg tới πm(gx)\pi_{\mathfrak{m}}(gx). Theo công thức (15) của VIII, p. 305 và định nghĩa của tác động của GmG_{\mathfrak{m}} trên L/mL/\mathfrak{m}, hiển nhiên là x‾\overline{x} thuộc FmF_{\mathfrak{m}}, và ánh xạ u:x↦x‾u:x\mapsto \overline{x} từ L đến FmF_{\mathfrak{m}} thỏa λFm(g)∘u=u∘λ(g)\lambda_{F_{\mathfrak{m}}}(g)\circ u=u\circ \lambda (g) với g∈Gg\in G. Nói cách khác, uu là một cấu xạ của các (K(K, G)-đại số.

Bổ đề 9 00IZ

Đồng cấu uu là toàn ánh với hạt nhân aσ\mathfrak{a}_{\sigma}. Ánh xạ suy ra từ uu bằng cách chuyển qua thương là một đẳng cấu của các đại số (K,G)(K,G) từ LσL_{\sigma} đến FmF_{\mathfrak{m}}.

Vì hạt nhân của πm\pi_{\mathfrak{m}} bằng m\mathfrak{m}, hạt nhân của uu bằng ⋂g∈Gg−1.m=aσ\bigcap_{g\in G}g^{-1}.\mathfrak{m}=\mathfrak{a}_{\sigma}. Để chứng minh rằng uu là toàn ánh, chỉ cần chứng minh rằng các không gian vectơ Lσ=L_{\sigma}= L/aσL/\mathfrak{a}_{\sigma} và FmF_{\mathfrak{m}} có cùng chiều trên K. Bây giờ, mọi iđêan g⋅mg\cdot \mathfrak{m} đều có cùng đối chiều trong L, và, theo Bổ đề 8, a),

[Lσ:K]=[L_{\sigma}: K] = Card(σ\sigma ).[L/m:K].[L/\mathfrak{m}: K].

Hơn nữa, theo Bổ đề 7, b), ta có

[Fm:K]=(G:Gm)[L/m:K] [F_{\mathfrak{m}}: K] = (G : G_{\mathfrak{m}})[L/\mathfrak{m}: K]

Vì ta có Card(σ\sigma ) =(G:Gm)= (G : G_{\mathfrak{m}}), ta đã chứng minh đẳng thức [Lσ:K]=[L_{\sigma}: K] = [Fm:K][F_{\mathfrak{m}}: K].

Bây giờ ta giả sử thêm rằng đồng cấu λ\lambda từ G đến AutK(L)_K(L) là đơn ánh. Ta đồng nhất K với ảnh của nó trong L qua ánh xạ ξ↦ξ⋅1\xi \mapsto \xi \cdot 1. Gọi Ω là một mở rộng đóng đại số của K. Tập hợp F(G,Ω)\mathscr{F}(G,\Omega ) các ánh xạ từ G đến Ω trùng với đại số (Ω(\Omega, G)-đối cảm sinh Coind{e}G(Ω)^G_{\{e\}}(\Omega ). Nó là một môđun tự do Ω[G] có hạng 1. Gọi H\mathscr{H} là tập hợp các đồng cấu đại số trên K từ L đến Ω. Ta định nghĩa một tác động phải của G lên H\mathscr{H} bởi (g,χ)↦χ∘λ(g)(g, \chi )\mapsto \chi \circ \lambda (g). Đại số Ω-F(H,Ω)\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega ) khi đó được trang bị cấu trúc của một đại số (Ω(\Omega, G)-suy ra từ tác động phải của G lên H\mathscr{H}.

Bổ đề 10 00J0

Cho L là một đại số (K,G)(K,G) étale trên K. Ánh xạ ψ\psi từ L(Ω)L_{(\Omega )} đến F(H,Ω)\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega ) được đặc trưng bởi quan hệ

ψ(ξ⊗x)=(ξχ(x))χ∈H \psi (\xi \otimes x) = (\xi \chi (x))_{\chi\in\mathscr{H}}

là một đẳng cấu của các đại số (K,G)(K,G).

Vì L là étale, ánh xạ ψ\psi là một đẳng cấu của các đại số Ω (V, §6, No. 3, p. 30, Mệnh đề 2 và V, §6, No. 3, p. 29, Mệnh đề 1, c)). Ta có các quan hệ

ψ\psi((Id ⊗λ(g)\otimes \lambda (g))(ξ⊗x)(\xi \otimes x)) =(ξ(χ∘λ(g))(x))χ∈H= (\xi (\chi \circ \lambda (g))(x))_{\chi\in\mathscr{H}}

với ξ∈Ω,x∈L\xi \in \Omega ,x\in L, và g∈Gg\in G. Vì vậy ψ\psi là một cấu xạ của các đại số (Ω(\Omega, G).

Định lý 2 00J1

Cho G là một nhóm hữu hạn, và cho L là một đại số giao hoán trên K có bậc hữu hạn được trang bị một tác động của G cho bởi một đồng cấu đơn ánh λ\lambda từ G đến AutK(L)_K(L). Khi đó các tính chất sau là tương đương:

(i) Tồn tại một nhóm con H của G, một mở rộng Galois E của K có bậc hữu hạn, một đẳng cấu từ H đến Gal(E/K/K), và một đẳng cấu của các đại số (K,G)(K,G) từ L đến CoindHG(E)^G_H(E).

(ii) Đại số L là étale, và H\mathscr{H} là một G-tập hợp chính thuần nhất (I, §5, No. 6, p. 60, Định nghĩa 7).

(iii) Tồn tại một đẳng cấu của các đại số (Ω,G)(\Omega ,G) ψ:L(Ω)→F(G,Ω)\psi : L_{(\Omega )}\rightarrow \mathscr{F}(G,\Omega ); nói cách khác, với mọi g∈Gg\in G, tự đẳng cấu ψ∘λ(g)(Ω)∘ψ−1\psi \circ \lambda (g)_{(\Omega )}\circ \psi^{-1} của ΩG\Omega^G bằng tự đẳng cấu

(xh)h∈G⟼(xhg)h∈G (x_h)_{h\in G}\longmapsto (x_{hg})_{h\in G}

(iv) Đại số L là giảm, và L là một K[G]-môđun tự do hạng 1.

(v) Đại số L là giảm, ta có Card(G) = [L : K], và K là vành con của L gồm các phần tử bất biến dưới tác động của G.

(vi) Đại số L là giảm, nhóm G tác động bắc cầu lên tập hợp các iđêan cực đại của L, và, với mọi iđêan cực đại m\mathfrak{m} của L, nhóm ổn định GmG_{\mathfrak{m}} của m\mathfrak{m} trong G tác động trung thành trên L/mL/\mathfrak{m} và nhận K làm trường con các phần tử bất biến.

(i)⇒\Rightarrow(ii): Cho E là một mở rộng Galois của K có bậc hữu hạn và τ\tau là một đẳng cấu từ H vào AutK(E)_K(E). Cho S là một hệ các đại diện của các lớp kề phải của G theo H. Đại số trên K F = CoindHG(E)^G_H(E) đẳng cấu với F(S,E)\mathscr{F}(S,E) (Bổ đề 7, a)); do đó nó là étale. Ký hiệu λF\lambda_F là tác động của G trên F. Hơn nữa, cho ψ\psi là một đồng cấu đại số trên K từ E vào Ω, và cho χ0\chi_0 là đồng cấu f↦ψ(f(e))f\mapsto \psi (f(e)) từ F vào Ω. Cho g∈Gg\in G sao cho χ0∘λF(g)=χ0\chi_0\circ \lambda_F(g) =\chi_0; vì ψ\psi là đơn ánh, khi đó ta có f(g)=f(e)f(g) =f(e) với mọi f∈Ff\in F. Theo Bổ đề 7, a), ta có g∈Hg\in H, và theo công thức

f(h)=τ(h)⋅f(e)(18) f(h) =\tau (h)\cdot f(e) \tag{18}

đúng với mọi h∈Hh\in H, điều này chỉ có thể xảy ra nếu g=eg=e. Mặt khác, theo Bổ đề 7, b) và Định lý 3 của V, §10, No. 6, p. 66, ta có

[F : K] = (G : H)[E : K] = (G : H) Card(H) = Card(G).

Tập hợp K\mathscr{K} các đồng cấu trên K từ F vào Ω có lực lượng [F : K] vì F là étale (V, §6, No. 5, p. 32, Mệnh đề 4), do đó Card(K\mathscr{K}) == Card(G). Vì nhóm ổn định của χ0\chi_0 trong G bằng {e}\{e\} theo trên, K\mathscr{K} là một G-tập hợp chính thuần nhất.

(ii)⇒\Rightarrow(iii): Giả sử L là étale và H\mathscr{H} là một G-tập hợp chính thuần nhất. Theo Bổ đề 10, các đại số (Ω(\Omega, G)-algebras L(Ω)L_{(\Omega )} và F(H,Ω)\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega ) đẳng cấu. Vì H\mathscr{H} là một G-tập hợp chính thuần nhất, các đại số (Ω(\Omega, G)-algebras F(H,Ω)\mathscr{F}(\mathscr{H},\Omega ) và F(G,Ω)\mathscr{F}(G,\Omega ) đẳng cấu.

(iii)⇒\Rightarrow(iv): Giả sử tính chất (iii) đúng. Khi đó L(Ω)L_{(\Omega )} là một môđun tự do hạng 1 trên đại số Ω[G]; đại số sau có thể được đồng nhất một cách chính tắc với K[G](Ω)K[G]_{(\Omega )}. Khi đó ta áp dụng Định lý 3 của VIII, p. 37.

Hệ quả (iv)⇒\Rightarrow(v) là ngay lập tức.

Ta hãy chứng minh hệ quả (v)⇒\Rightarrow(vi). Đại số L là giảm. Theo Bổ đề 8, c), nhóm G tác động bắc cầu trên tập hợp S\mathscr{S} các iđêan cực đại của L. Cho m\mathfrak{m} là một phần tử của S\mathscr{S}. Theo Bổ đề 9, vì ⋂n∈Sn={0}\bigcap_{\mathfrak{n}\in\mathscr{S}}\mathfrak{n}=\{0\}, đại số L đẳng cấu với đại số CoindGmG(L/m)^G_{G_{\mathfrak{m}}}(L/\mathfrak{m}). Do đó đại số các phần tử bất biến của GmG_{\mathfrak{m}} trong L/mL/\mathfrak{m} trùng với K theo Bổ đề 7, c). Vì vậy đồng cấu λm\lambda_{\mathfrak{m}} từ GmG_{\mathfrak{m}} vào Gal((L/m/\mathfrak{m})/K/K) là toàn ánh. Hơn nữa, theo Bổ đề 7, ta có

Card(G) =[L:K]=(G:Gm)[L/m:K]= [L : K] = (G : G_{\mathfrak{m}})[L/\mathfrak{m}: K]. Do đó Card(Gm_{\mathfrak{m}}) =[L/m:K]= [L/\mathfrak{m}: K], và đồng cấu λm\lambda_{\mathfrak{m}} là đơn ánh.

Còn lại là chứng minh hàm ý (vi)⇒\Rightarrow(i). Cho m\mathfrak{m} là một iđêan cực đại của L. Theo Bổ đề 9, đại số L đẳng cấu với đại số CoindGmG(L/m)^G_{G_{\mathfrak{m}}}(L/\mathfrak{m}) như một (K(K, G)-đại số. Vì GmG_{\mathfrak{m}} tác động trung thành trên L/mL/\mathfrak{m} và nhận K làm trường con các phần tử bất biến, đồng cấu nhóm λm\lambda_{\mathfrak{m}} xác định một đẳng cấu từ GmG_{\mathfrak{m}} lên Gal((L/m/\mathfrak{m})/K/K).

Nhận xét 2 00J2

Trong Định lý 2, ta có thể thay giả thiết Ω đóng đại số bằng giả thiết Ω đóng tách được. Thật vậy, nếu L là étale, thì ảnh của mọi đồng cấu đại số trên K từ L vào Ω là một mở rộng tách được của K.

Nhận xét 3 00J3

Định lý cơ sở chuẩn (V, §10, No. 9, p. 73, Định lý 6) là một trường hợp riêng của hàm ý (i)⇒\Rightarrow(iv) trong Định lý 2.

Định nghĩa 1 00J4

Cho G là một nhóm hữu hạn, và L là một đại số giao hoán khác không có bậc hữu hạn trên K được trang bị cấu trúc của một (K,G)(K,G)-đại số, trong đó tác động của G được cho bởi một đồng cấu đơn ánh từ G vào nhóm AutK(L)_K(L). Ta nói rằng L là một đại số Galois với nhóm G nếu nó có các tính chất tương đương (i) đến (vi) của Định lý 2.

Nhận xét 4 00J5

Giả sử L là một mở rộng của K được trang bị một tác động λ\lambda của G. Khi đó L là một đại số Galois trên K khi và chỉ khi L là một mở rộng Galois của K và λ\lambda là một đẳng cấu từ G lên nhóm Galois của L trên K.

Nhận xét 5 00J6

Giả sử nhóm G là Abel. Nếu G tác động trung thành và bắc cầu trên một tập hợp X, thì nhóm ổn định của mọi điểm của X được rút gọn thành phần tử đơn vị (vì các nhóm ổn định của các điểm của X đều bằng nhau và giao của chúng được rút gọn thành phần tử đơn vị của G). Do đó, các tính chất (i) đến (vi) của Định lý 2 cũng tương đương với tính chất sau:

(vii) Đại số L là étale, và G tác động trung thành và bắc cầu trên H\mathscr{H}.

Nhận xét 6 00J7

Theo V, §10, No. 1, p. 75, Bổ đề 5; V, §10, No. 1, p. 76, Mệnh đề 12; và VIII, p. 137, Mệnh đề 3, một đại số Galois là giao hoán và nửa đơn.

Ví dụ 1 00J8

Cho nn là một số nguyên dương dương ngặt, nguyên tố cùng nhau với số mũ đặc số của K. Giả sử nhóm μn\mu_n gồm các căn đơn vị thứ nn trong K có cấp n. Khi đó với mọi ước dd của n, nhóm μd\mu_d gồm các căn đơn vị thứ dd có cấp d. Cho aa là một phần tử khác không của K, cho L là đại số K[X]/(Xn−a)K[X]/(X^n-a), và cho xx là lớp của X trong L. Dãy (1,x,...,xn−1)(1, x, . . . , x^{n-1}) là một cơ sở của không gian vectơ L trên trường K, và ta có xn=ax^n=a. Hơn nữa, đa thức Xn−aX^n-a nguyên tố cùng nhau với đạo hàm của nó nXn−1nX^{n-1}, nên đại số L là étale (V, §7, No. 2, p. 37, Mệnh đề 3). Với mọi ζ\zeta trong μn\mu_n, tự đẳng cấu P(X)↦P(ζX)P(X)\mapsto P(\zeta X) của vành K[X] xác định, bằng cách chuyển qua các thương, một tự đồng cấu λ(ζ)\lambda (\zeta ) của L vì ta có (ζX)n−a=Xn−a(\zeta X)^n-a= X^n-a; nó là một tự đẳng cấu. Ta có

λ(ζ)xi=ζixi(19) \lambda (\zeta )x^i=\zeta^ix^i \tag{19}

với 0⩽i<n0\leqslant i < n. Ánh xạ λ:ζ↦λ(ζ)\lambda :\zeta \mapsto \lambda (\zeta ) là một đồng cấu đơn ánh từ μn\mu_n vào AutK_K(L), và vành các phần tử bất biến của nhóm λ(μn)\lambda (\mu_n) trong L bằng K⋅1K\cdot 1. Vì lực lượng của μn\mu_n bằng n=[L:K]n= [L : K], đại số L được trang bị tác động của λ\lambda là một đại số Galois (VIII, p. 308, Định lý 2, (v)).

Cho rr là số nguyên dương dương ngặt nhỏ nhất sao cho ara^r thuộc K∗nK^{*n}; rr chia hết nn, và tồn tại một phần tử bb của K∗K^* sao cho a=bn/ra=b^{n/r}. Khi đó (V, §11, No. 8, p. 91, Nhận xét) đa thức Xr−bX^r-b là bất khả quy, và ta có Xn−a=∏ζ∈μn/r(Xr−ζb)X^n-a=\prod_{\zeta\in\mu_{n/r}}(X^r-\zeta b). Cho E là trường K[Y]/(Yr−b)K[Y]/(Y^r-b), và cho yy là lớp của Y trong E. Tồn tại một đẳng cấu θ\theta từ μn/r\mu_{n/r} vào Gal(E/K/K), được đặc trưng bởi quan hệ θ(ξ)(y)=ξy\theta (\xi )(y) =\xi y (V, §11, No. 8, p. 91, Ví dụ 3). Khi đó ta kiểm tra rằng đại số Galois L đẳng cấu với đại số (K,μn(K, \mu_n)-Coindμn/rμn(E)^{\mu_n}_{\mu_{n/r}}(E).

Ví dụ 2 00J9

Bây giờ giả sử rằng trường K có đặc số p≠0p\not= 0. Cho cc là một phần tử của K. Đa thức f=Xp−X−cf= X^p-X-c nguyên tố cùng nhau với đạo hàm f′=−1f'=-1 của nó, nên đại số L=K[X]/(f)L = K[X]/(f) là étale (V, §7, No. 2, p. 37, Mệnh đề 3). Ta ký hiệu ảnh của X trong L bởi xx; ta có quan hệ xp=x+cx^p=x+c. Dãy (1,x,...,xp−1)(1, x, . . . , x^{p-1}) là một cơ sở của L được xem như một không gian vectơ trên K.

Cho P là nhóm cộng của trường con nguyên tố của K; nó là một nhóm cyclic cấp pp, được sinh bởi phần tử đơn vị 1 của K. Với mọi jj trong P, ta có jp=jj^p=j (V, §1, No. 3, p. 4, công thức (4)) và do đó f(X+j)=f(X)f(X +j) =f(X). Vì vậy tồn tại một tự đẳng cấu γ(j)\gamma (j) của đại số L được đặc trưng bởi quan hệ γ(j)(x)=x+j\gamma (j)(x) =x+j; hơn nữa, ánh xạ γ\gamma là một đơn ánh từ P vào AutK(L)_K(L).

Cho Ω là một mở rộng đóng đại số của K, và cho ξ\xi là một nghiệm của đa thức ff trong Ω. Ta có ξp=ξ+c\xi^p=\xi +c, do đó

Xp−X−c=(Xp−ξp)−(X−ξ)=(X−ξ)p−(X−ξ)=∏j∈P(X−ξ−j) X^p-X-c= (X^p-\xi^p)-(X-\xi ) = (X-\xi )^p-(X-\xi ) =\prod_{j\in P}(X-\xi -j)

theo V, §12, No. 1, p. 94, công thức (1). Với mọi jj trong P, tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số χj:L→Ω\chi_j: L\rightarrow \Omega gửi xx tới ξ+j\xi +j; hơn nữa, mọi đồng cấu từ L vào Ω đều là một trong các χj\chi_j, và ta có quan hệ χj=χ0∘γ(j)\chi_j=\chi_0\circ \gamma (j). Đại số L được trang bị γ\gamma có tính chất (ii) của Định lý 2 của VIII, p. 308 và do đó là một đại số Galois trên K.

Để mô tả cấu trúc của L, ta phải phân biệt hai trường hợp:

a) Ta có ξ∉K\xi \notin K. Khi đó đa thức f(X)f(X) là bất khả quy trong K[X] (V, §11, No. 9, p. 93, Ví dụ 3). Trong trường hợp này, L là một mở rộng cyclic của K bậc pp, và γ\gamma là một đẳng cấu từ P vào Gal(L/K/K).

b) Ta có ξ∈K\xi \in K. Khi đó ánh xạ ψ:y↦(χj(y))j∈P\psi :y\mapsto (\chi_j(y))_{j\in P} là một đẳng cấu từ đại số L vào đại số tích KPK^P; hơn nữa, ψ∘γ(k)∘ψ−1\psi \circ \gamma (k)\circ \psi^{-1} là tự đẳng cấu (xj)j∈P↦(xj+k)j∈P(x_j)_{j\in P}\mapsto (x_{j+k})_{j\in P} của KPK^P với mọi k∈Pk\in P.

8. Các tác động trên các đại số Galois

Mệnh đề 9 00JA

Cho G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của G, và E là một đại số Galois trên trường K với nhóm H. Khi đó đại số (K,G)(K,G) CoindHG(E)^G_H(E) thu được từ E bằng đồng quy nạp từ H đến G là một đại số Galois trên trường K với nhóm G.

Vì E là một đại số Galois trên K, theo tính chất (v) của Định lý 2 của VIII, p. 308, nó là giảm, ta có Card(H) = [E : K], và K là vành các bất biến của H trong E. Nhưng theo Bổ đề 7 của VIII, p. 305, đại số F = CoindHG(E)^G_H(E) là giảm, và ta có

[F : K] = (G : H)[E : K] = (G : H) Card(H) = Card(G),

và K là vành các bất biến của G trong F. Do đó F là một đại số Galois theo tiêu chuẩn được cho trong Định lý 2, (v).

Mệnh đề 10 00JB

Cho G là một nhóm hữu hạn. Cho L là một đại số Galois trên trường K với nhóm G, và cho K′K' là một mở rộng của K. Khi đó (K′,G)(K',G)-đại số L(K′)L_{(K')} là một đại số Galois trên K′K'.

Ta dùng tính chất (v) trong Định lý 2 bằng cách nhận thấy rằng nếu K-đại số L là étale, thì K′K'-đại số L(K′)L_{(K')} cũng vậy (V, §6, No. 5, p. 32, Hệ quả 2), rằng ta có đẳng thức [L(K′):K′]=[L:K][L_{(K')}: K'] = [L : K], và rằng vành các bất biến của G trong L(K′)L_{(K')} là (LG)(K′)(L^G)_{(K')}, trong đó LGL^G là vành các bất biến của G trong L.

Mệnh đề 11 00JC

Cho G1G_1 và G2G_2 là các nhóm. Cho L1L_1 và L2L_2 là các đại số Galois trên K với các tác động tương ứng λ1:G1→\lambda_1: G_1\rightarrow AutK(L1)_K(L_1) và λ2:G2→\lambda_2: G_2\rightarrow AutK(L2)_K(L_2). Đặt L=L1⊗KL2,G=G1×G2L = L_1\otimes_KL_2,G = G_1\times G_2, và λ(g1,g2)=λ1(g1)⊗λ2(g2)\lambda (g_1, g_2) =\lambda_1(g_1)\otimes \lambda_2(g_2) với (g1,g2)∈G(g_1, g_2)\in G. Khi đó K-đại số L được trang bị tác động λ\lambda là một đại số Galois trên K.

Ta suy luận như trước, đồng thời xét rằng: Nếu L1L_1 và L2L_2 là étale, thì đại số L=L1⊗KL2L = L_1\otimes_KL_2 cũng vậy (V, §6, No. 5, p. 32, Hệ quả 1), và ta có các đẳng thức

[L:K]=[L1:K][L2:K][L : K] = [L_1: K][L_2: K] và Card(G) = Card(G1_1) Card(G2_2).

Hơn nữa, nếu LiGiL^{G_i}_i ký hiệu vành các bất biến của GiG_i trong LiL_i, thì từ Bổ đề 11 dưới đây suy ra rằng L1G1⊗KL2G2L^{G_1}_1\otimes_KL^{G_2}_2 là vành các bất biến của G1×G2G_1\times G_2 trong L1⊗KL2L_1\otimes_KL_2.

Bổ đề 11 00JD

Cho G1G_1 và G2G_2 là các nhóm, và cho W1W_1 và W2W_2 là các K-không gian vectơ. Ta trang bị cho W1(W_1(resp. W2)W_2) một tác động của G1(G_1(resp. G2)G_2) được cho bởi một đồng cấu nhóm ρ1:G1→\rho_1: G_1\rightarrow AutK(W1)(_K(W_1) (resp. ρ2:G2→\rho_2: G_2\rightarrow AutK(W2))_K(W_2)). Ta xét đồng cấu nhóm

ρ1⊗ρ2:G1×G2⟶\rho_1\otimes \rho_2: G_1\times G_2\longrightarrow AutK(W1⊗KW2)_K(W_1\otimes_KW_2)

được xác định bởi quan hệ (ρ1⊗ρ2)(g1,g2)(w1⊗w2)=ρ1(g1)(w1)⊗ρ2(g2)(w2)(\rho_1\otimes \rho_2)(g_1, g_2)(w_1\otimes w_2) =\rho_1(g_1)(w_1)\otimes \rho_2(g_2)(w_2) với g1∈G1,g2∈G2,w1∈W1g_1\in G_1,g_2\in G_2,w_1\in W_1, và w2∈W2w_2\in W_2. Khi đó ánh xạ tuyến tính từ W1G1⊗KW2G2W^{G_1}_1\otimes_KW^{G_2}_2 đến W1⊗KW2W_1\otimes_KW_2 được cho bởi tích tenxơ của các đơn ánh chính tắc cảm sinh một đẳng cấu của các K-không gian vectơ từ W1G1⊗KW2G2W_1^{G_1}\otimes_KW^{G_2}_2 đến (W1⊗KW2)G1×G2(W_1\otimes_KW_2)^{G_1\times G_2}.

Điều này suy ra từ Bổ đề 1 của VIII, p. 213 áp dụng cho các K[G]-môđun M1=M2=KM_1= M_2= K được trang bị tác động tầm thường của G,N1=W1G, N_1= W_1, và N2=W2N_2= W_2.

Nhận xét 00JE

Cho L là một mở rộng Galois của trường K có bậc hữu hạn, và cho G là nhóm Galois của nó; ta ký hiệu ánh xạ đồng nhất trên G bởi λ\lambda. Khi đó L được trang bị λ\lambda là một đại số Galois trên K với nhóm G. Cho K′K' là một mở rộng của K. Theo Mệnh đề 10, đại số L(K′)L_{(K')} là Galois trên K′K', nhưng nói chung nó không phải là một mở rộng của K′K'. Tương tự, theo Mệnh đề 11, tích tenxơ của các mở rộng Galois E và F của K có bậc hữu hạn có thể được xem như một đại số Galois; nói chung, nó không phải là một mở rộng Galois của K. Tuy nhiên, nó là một mở rộng Galois nếu E và F hơn nữa là các mở rộng con rời nhau tuyến tính của một mở rộng của K (V, §2, No. 5, p. 13 và V, §10, No. 1, p. 57, Mệnh đề 1).

9. Tích chéo

Cho K là một trường, và cho G là một nhóm mà phần tử đơn vị của nó được ký hiệu bởi ee. Cho L là một đại số giao hoán trên K, và cho λ\lambda là một đồng cấu từ G vào nhóm tự đẳng cấu của đại số trên K L. Với mọi gg trong G, cho τ(g)\tau (g) là tự đẳng cấu của nhóm nhân L∗L^* của L cảm sinh bởi λ(g)\lambda (g).

Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một mở rộng-τ\tau của nhóm G bởi L∗L^*. Định nghĩa một tác động phải của nhóm L∗L^* lên tập hợp L×ΓL\times \Gamma bởi

(β,γ).α=(βα,ι(α)−1γ)(20) (\beta , \gamma ).\alpha = (\beta \alpha , \iota (\alpha )^{-1}\gamma ) \tag{20}

với α∈L∗,β∈L\alpha \in L^*,\beta \in L, và γ∈Γ\gamma \in \Gamma. Ta ký hiệu bởi E tập hợp các quỹ đạo của L∗L^* trong L×ΓL\times \Gamma và bởi [β;γ][\beta ;\gamma ] quỹ đạo của cặp (β,γ)(\beta , \gamma ). Do đó, theo phép dựng, ta có quan hệ

[βα;γ]=[β;ι(α)γ](21) [\beta \alpha ;\gamma ] = [\beta ;\iota (\alpha )\gamma ] \tag{21}

với α∈L∗,β∈L\alpha \in L^*,\beta \in L, và γ∈Γ\gamma \in \Gamma.

Cho β\beta trong L và γ\gamma trong Γ, ta ký hiệu bởi γβ^{\gamma}\beta biến đổi của β\beta dưới tự đẳng cấu λ∘π(γ)\lambda \circ \pi (\gamma ) của L; ta có các quan hệ

(22) γ(γ′β)=γγ′β,γ(β+β′)=γβ+γβ′^{\gamma}(^{\gamma'}\beta ) =^{\gamma \gamma'}\beta ,^{\gamma}(\beta +\beta ') =^{\gamma}\beta +^{\gamma}\beta ', và γ(ββ′)=γβγβ′^{\gamma}(\beta \beta ') =^{\gamma}\beta^{\gamma}\beta '

với γ,γ′\gamma , \gamma ' trong Γ và β,β′\beta , \beta ' trong L. Có một luật hợp thành trên E được đặc trưng bởi quan hệ

[β;γ][β′;γ′]=[βγβ′;γγ′](23) [\beta ;\gamma ][\beta ';\gamma '] = [\beta^{\gamma}\beta ';\gamma \gamma '] \tag{23}

Thật vậy, chỉ cần kiểm tra rằng vế phải không thay đổi nếu ta lần lượt thay thế β,γ,β′\beta ,\gamma ,\beta ', và γ′\gamma ' bởi βα,ι(α)−1γ,β′α′\beta \alpha ,\iota (\alpha )^{-1}\gamma ,\beta '\alpha ', và ι(α′)−1γ′\iota (\alpha ')^{-1}\gamma ' với mọi α,α′\alpha ,\alpha ' trong L∗L^*. Điều này suy ra ngay lập tức bằng cách áp dụng cho E\mathscr{E} công thức (1) của VIII, p. 285, công thức này cũng có thể được viết là γι(α)=ι(γα)γ\gamma \iota (\alpha ) =\iota (^{\gamma}\alpha )\gamma với γ∈Γ\gamma \in \Gamma và α∈L∗\alpha \in L^*. Theo các công thức trong (22), tập hợp E được trang bị luật này là một nửa nhóm có phần tử đơn vị [1;e][1;e].

Vì π∘ι\pi \circ \iota là hằng với giá trị là ee, tồn tại một ánh xạ π~\widetilde{\pi} từ E vào G sao cho ta có

π~([β;γ])=π(γ)(24) \widetilde{\pi}([\beta ;\gamma ]) =\pi (\gamma ) \tag{24}

với β∈L\beta \in L và γ∈Γ\gamma \in \Gamma.

Cho gg là một phần tử của G, và cho Eg=π~−1(g)E_g=\widetilde{\pi}^{-1}(g). Nếu γ0\gamma_0 là một phần tử cố định của π−1(g)\pi^{-1}(g), thì ánh xạ β↦[β;γ0]\beta \mapsto [\beta ;\gamma_0] là một song ánh từ L đến EgE_g, nhờ đó ta sẽ chuyển sang EgE_g cấu trúc không gian vectơ trên K của L. Vì π−1(g)\pi^{-1}(g) gồm các phần tử có dạng ι(α)γ0\iota (\alpha )\gamma_0, trong đó α\alpha chạy qua L∗L^*, và ta có

[β;ι(α)γ0]=[βα;γ0] [\beta ;\iota (\alpha )\gamma_0] = [\beta \alpha ;\gamma_0]

nên cấu trúc không gian vectơ trên EgE_g không phụ thuộc vào lựa chọn của γ0\gamma_0.

Cho gg và g′g' là các phần tử của G; theo các công thức (22) và (23), luật hợp thành trên E do hạn chế mà cảm sinh một ánh xạ K-song tuyến tính từ Eg×Eg′E_g\times E_{g'} đến Egg′E_{gg'}. Do đó, không gian vectơ P=⨁g∈GEgP =\bigoplus_{g\in G}E_g được trang bị cấu trúc của một đại số kết hợp và có đơn vị, mà phép nhân của nó cảm sinh ánh xạ song tuyến tính trước đó từ Eg×Eg′E_g\times E_{g'} đến Egg′E_{gg'} với mọi gg và g′g' trong G. Đại số P được gọi là tích có hướng của L và E\mathscr{E} và được ký hiệu bởi A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]; phần tử đơn vị của nó là phần tử [1;e][1;e] của EeE_e.

Đặt

u(β)=[β;e](25) u(\beta ) = [\beta ;e] \tag{25}

với β\beta trong L. Khi đó u:L→A[E;L]u: L\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}; L] là một đơn cấu của K-đại số. Theo (23), với mọi γ∈Γ\gamma \in \Gamma, phần tử [1;γ][1;\gamma ] là khả nghịch trong A[E,L]\mathbf{A}[\mathscr{E},L], và ánh xạ v:Γ→A[E,L]∗v: \Gamma \rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E},L]^* gửi γ\gamma đến [1;γ][1;\gamma ] là một đơn cấu nhóm. Các đồng cấu uu và vv được gọi là chính tắc. Ta có các hệ thức

u(α)=v(ι(α))(26) u(\alpha ) =v(\iota (\alpha )) \tag{26}
u(γβ)=v(γ)u(β)v(γ)−1(27) u(^{\gamma}\beta ) =v(\gamma )u(\beta )v(\gamma )^{-1} \tag{27}
[β;γ]=u(β)v(γ)(28) [\beta ;\gamma ] =u(\beta )v(\gamma ) \tag{28}

với α∈L∗,β∈L\alpha \in L^*,\beta \in L, và γ∈Γ\gamma \in \Gamma.

Ngược lại, ta có tính chất phổ quát sau của đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L].

Mệnh đề 12 00JF

Cho B là một K-đại số, u′:L→Bu': L\rightarrow B là một đồng cấu đại số trên K, và v′:Γ→B∗v': \Gamma \rightarrow B^* là một đồng cấu nhóm. Ta giả sử các hệ thức sau được thỏa mãn

u′(α)=v′(ι(α))(29) u'(\alpha ) =v'(\iota (\alpha )) \tag{29}
u′(γβ)=v′(γ)u′(β)v′(γ)−1(30) u'(^{\gamma}\beta ) =v'(\gamma )u'(\beta )v'(\gamma )^{-1} \tag{30}

với α∈L∗,β∈L\alpha \in L^*,\beta \in L, và γ∈Γ\gamma \in \Gamma. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số ff từ A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] đến B sao cho ta có u′=f∘uu'=f\circ u và v′=f∘vv'=f\circ v.

Để chứng minh tính duy nhất của ff, hãy lưu ý rằng không gian vectơ A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] trên trường K được sinh bởi tập hợp các phần tử có dạng [β;γ]=u(β)v(γ)[\beta ;\gamma ] =u(\beta )v(\gamma ). Nếu đồng cấu f′:A[E;L]→Bf':\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]\rightarrow B thỏa mãn f′∘u=u′f'\circ u=u' và f′∘v=v′f'\circ v=v', thì nó gửi [β;γ][\beta ;\gamma ] vào u′(β)v′(γ)u'(\beta )v'(\gamma ) và do đó trùng với ff.

Theo công thức (29), ta có

u′(βα)v′(ι(α)−1γ)=u′(β)v′(γ)(31) u'(\beta \alpha )v'(\iota (\alpha )^{-1}\gamma ) =u'(\beta )v'(\gamma ) \tag{31}

với α\alpha thuộc L∗,βL^*,\beta thuộc L, và γ\gamma thuộc Γ. Theo định nghĩa của E, do đó tồn tại một ánh xạ f0:E→Bf_0: E\rightarrow B sao cho f0([β;γ])=u′(β)v′(γ)f_0([\beta ;\gamma ]) =u'(\beta )v'(\gamma ). Theo các công thức (23) và (30), ta có f0(xx′)=f0(x)f0(x′)f_0(xx') =f_0(x)f_0(x') với xx và x′x' thuộc E. Hạn chế của f0f_0 lên EgE_g là K-tuyến tính với mọi phần tử gg của G; do đó, tồn tại một ánh xạ K-tuyến tính duy nhất ff từ A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] vào B trùng với f0f_0 trên E. Ánh xạ ff là một cấu xạ đại số thỏa mãn u′=f∘uu'=f\circ u và v′=f∘vv'=f\circ v.

Nhận xét 00JG

Cho σ:G→Γ\sigma : G\rightarrow \Gamma là một tiết diện của ánh xạ π\pi. Đặt εg=v(σ(g))\varepsilon_g=v(\sigma (g)) với mọi gg thuộc G, và ký hiệu cσc_{\sigma} là 2-cocycle liên kết với σ\sigma (VIII, p. 296). Đặc biệt, ta có

εgεg′=u(cσ(g,g′))εgg′(32) \varepsilon_g\varepsilon_{g'}=u(c_{\sigma}(g, g'))\varepsilon_{gg'} \tag{32}

với mọi g,g′∈Gg, g'\in G. Hơn nữa, hãy đồng nhất L với một đại số con của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] qua đồng cấu uu. Khi đó mọi phần tử của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] có thể được viết duy nhất dưới dạng ∑g∈Gagεg\sum_{g\in G}a_g\varepsilon_g, trong đó (ag)(a_g) là một họ các phần tử của L có giá hữu hạn. Phép nhân trong A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] có thể được biểu diễn bởi công thức

(∑gagεg)(∑gbgεg)=∑gdgεg(33) (\sum_ga_g\varepsilon_g)(\sum_gb_g\varepsilon_g)=\sum_gd_g\varepsilon_g \tag{33}

với

dg=∑hh′=gah(λ(h)⋅bh′)cσ(h,h′)(34) d_g=\sum_{hh'=g}a_h(\lambda (h)\cdot b_{h'})c_{\sigma}(h, h') \tag{34}

Nếu mở rộng E\mathscr{E} là nửa tầm thường, thì ta có thể chọn một tiết diện σ\sigma của π\pi là một cấu xạ nhóm từ G vào Γ; do đó, cocycle cσc_{\sigma} là hằng với giá trị 1, và công thức (34) được đơn giản thành

dg=∑hh′=gahλ(h)⋅bh′(35) d_g=\sum_{hh'=g}a_h\lambda (h)\cdot b_{h'} \tag{35}

Cho K′K' là một mở rộng của trường K. Ký hiệu L′L' là đại số K′K'-đại số L(K′)L_{(K')}, và với mọi gg thuộc G, ký hiệu λ′(g)\lambda '(g) là tự đẳng cấu λ(g)(K′)\lambda (g)_{(K')} cảm sinh bởi λ(g)\lambda (g) trên L(K′)L_{(K')}. Hơn nữa, ký hiệu τ′(g)\tau '(g) là tự đẳng cấu của L′∗L^{'*} cảm sinh bởi λ′(g)\lambda '(g). Cuối cùng, cho hh là đồng cấu từ L∗L^* vào L′∗L^{'*} gửi xx thành x⊗1x\otimes 1. Cho E′=(Γ′,ι′,π′)\mathscr{E}'= (\Gamma ', \iota ', \pi ') là ảnh trực tiếp của mở rộng của E\mathscr{E} bởi hh (VIII, p. 289). Cho A[E′,L′]\mathbf{A}[\mathscr{E}',L'] là đại số K′K'-tích có hướng của E′\mathscr{E}' và L′L', và cho u′:L′→A[E′,L′]u': L'\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}',L'] và v′:Γ′→A[E′,L′]∗v': \Gamma '\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}',L']^* là các đồng cấu chính tắc.

Mệnh đề 13 00JH

Tồn tại duy nhất một đẳng cấu của các K′K'-đại số φ\varphi từ A[E;L](K′)\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]_{(K')} vào A[E′;L′]\mathbf{A}[\mathscr{E}'; L'] thỏa mãn các hệ thức

u′(h(β))=φ(1⊗u(β))(36) u'(h(\beta )) =\varphi (1\otimes u(\beta )) \tag{36}

với β∈L\beta \in L và

v′(h(γ))=φ(1⊗v(γ))(37) v'(h(\gamma )) =\varphi (1\otimes v(\gamma )) \tag{37}

với γ∈Γ\gamma \in \Gamma.

Chứng minh suy ra ngay lập tức từ các cấu tạo.

Đẳng cấu φ\varphi được gọi là chính tắc.

10. Ứng dụng vào nhóm Brauer

Trong tiểu mục này, K là một trường, và L là một đại số Galois trên K với tác động λ:G→\lambda : G\rightarrow AutK(L)_K(L). Ta ký hiệu bậc của L trên K bởi nn. Ta có n=n= Card(G).

Định lý 3 00JI

Cho E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một mở rộng τ\tau của G bởi L∗L^*. Đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] là đơn tâm và có bậc n2n^2 trên K. Hơn nữa, đồng cấu chính tắc uu từ L vào A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] là một đẳng cấu từ L vào một đại số con giao hoán cực đại của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L].

Bổ đề 12 00JJ

a) Không tồn tại iđêan nào của L, ngoài {0}\{0\} và L, bất biến dưới G.

b) Cho gg là một phần tử của G phân biệt với phần tử đơn vị, và cho ag\mathfrak{a}_g là iđêan của L sinh bởi các phần tử có dạng x−λ(g)xx-\lambda (g)x, trong đó x chạy qua L. Ta có ag=L\mathfrak{a}_g= L.

Cho S\mathscr{S} là tập các iđêan cực đại của L; với mọi tập con S của S\mathscr{S}, đặt a(S)=⋂m∈Sm\mathfrak{a}(S) =\bigcap_{\mathfrak{m}\in S}\mathfrak{m}. Vì vành L là giao hoán và nửa đơn (VIII, p. 310, Nhận xét 6), ánh xạ W↦a(W)W\mapsto \mathfrak{a}(W) là một song ánh từ tập hợp các tập con của S\mathscr{S} đến tập hợp các iđêan của L (VIII, p. 142, Mệnh đề 9). Iđêan a(S)\mathfrak{a}(S) là bất biến dưới G khi và chỉ khi S là như vậy. Vì G tác động bắc cầu trên S\mathscr{S} (VIII, p. 308, Định lý 2, vi)), các tập con duy nhất của S\mathscr{S} bất biến dưới G là ∅\emptyset và S\mathscr{S}. Vì a(∅)=L\mathfrak{a}(\emptyset ) = L và a(S)={0}\mathfrak{a}(\mathscr{S}) =\{0\}, ta đã chứng minh mệnh đề a).

Bây giờ chứng minh b) bằng phản chứng; giả sử rằng ta có ag≠L\mathfrak{a}_g\not= L. Cho m\mathfrak{m} là một iđêan cực đại của L chứa ag\mathfrak{a}_g. Khi đó ta có λ(g)x≡x\lambda (g)x\equiv x mod m\mathfrak{m} với mọi xx trong L. Đặc biệt, m\mathfrak{m} là bất biến dưới gg, và λ(g)\lambda (g) được cảm sinh bởi đồng nhất trên trường L/mL/\mathfrak{m}. Theo tính chất (vi) trong Định lý 2 của VIII, p. 308, phần tử gg của GmG_{\mathfrak{m}} là tầm thường, điều này mâu thuẫn với giả thiết của b).

Bây giờ chứng minh Định lý 3. Không gian vectơ A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] có số chiều hữu hạn Card(G)[L:K]=n2: K] =n^2 trên K, theo VIII, p. 316 và đẳng thức giả thiết Card(G) =[L:K]=n= [L : K] =n.

Cho a\mathfrak{a} là một iđêan hai phía khác không của đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]. Ta dùng ký hiệu của VIII, p. 316. Mỗi phần tử aa của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] có thể viết duy nhất là a=∑g∈Gagεga=\sum_{g\in G}a_g\varepsilon_g với ag∈La_g\in L với mọi g∈Gg\in G; ta ký hiệu bởi Φ(a)\Phi (a) tập hợp các phần tử gg của G sao cho ag≠0a_g\not= 0. Theo công thức (32) của VIII, p. 316, ta có quan hệ

εgεg′=cσ(g,g′)εgg′(38) \varepsilon_g\varepsilon_{g'}=c_{\sigma}(g, g')\varepsilon_{gg'} \tag{38}

với mọi g,g′∈Gg, g'\in G và do đó

Φ(aεg)=Φ(a).g(39) \Phi (a\varepsilon_g) = \Phi (a).g \tag{39}

với mọi g∈Gg\in G và a∈A[E;L]a\in \mathbf{A}[\mathscr{E}; L].

Cho aa là một phần tử khác không của a\mathfrak{a} sao cho Φ(a)\Phi (a) là cực tiểu theo bao hàm; theo công thức (39), nếu cần thay thế aa bởi một phần tử có dạng aεg−1a\varepsilon_{g^{-1}} với g∈Φ(a)g\in \Phi (a), ta có thể giả sử rằng e∈Φ(a)e\in \Phi (a). Cho ss là một phần tử của Φ(a)\Phi (a) phân biệt với ee. Theo Bổ đề 12, b), tồn tại một phần tử xx của L sao cho as(x−λ(s)⋅x)≠0a_s(x-\lambda (s)\cdot x)\not= 0. Nhưng ta có quan hệ

xa−ax=∑gag(x−λ(g)⋅x)εg(40) xa-ax=\sum_ga_g(x-\lambda (g)\cdot x)\varepsilon_g \tag{40}

trong đó tổng được lấy trên các phần tử gg của Φ(a)\Phi (a) phân biệt với ee. Do tính tối tiểu của Φ(a)\Phi (a), ta có xa−ax=0xa-ax= 0, nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết về xx. Do đó, bằng phản chứng, ta đã chứng minh rằng Φ(a)\Phi (a) chỉ chứa phần tử đơn vị ee của G, nên a∈La\in L.

Suy ra L∩aL\cap \mathfrak{a} là một iđêan của L không giảm về {0}\{0\}. Hơn nữa, với mọi xx trong L, ta có εgxεg−1=λ(g)⋅x\varepsilon_gx\varepsilon^{-1}_g=\lambda (g)\cdot x, nên L∩aL\cap \mathfrak{a} bất biến dưới G. Theo Bổ đề 12, do đó ta có L∩a=LL\cap \mathfrak{a}= L, tức là L⊂aL\subset \mathfrak{a}. Vì L chứa phần tử đơn vị của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L], ta có a=A[E;L]\mathfrak{a}=\mathbf{A}[\mathscr{E}; L].

Vì đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] có chiều hữu hạn khác không trên K và các iđêan hai phía duy nhất của nó là {0}\{0\} và A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L], nên nó là đơn.

Ta hãy chứng minh rằng mọi phần tử aa của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] giao hoán với L đều thuộc L. Ta viết aa dưới dạng ∑g∈Gagεg\sum_{g\in G}a_g\varepsilon_g với các hệ số aga_g trong L. Với mọi xx trong L, ta có xa−ax=0xa-ax= 0, và quan hệ (40) cho thấy rằng

ag(x−λ(g)⋅x)=0(41) a_g(x-\lambda (g)\cdot x) = 0 \tag{41}

với mọi g∈Gg\in G và x∈Lx\in L. Theo Bổ đề 12, do đó ta có ag=0a_g= 0 với g≠eg\not=e; do đó, a∈La\in L.

Cuối cùng, ta hãy xác định tâm của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]. Nếu zz thuộc tâm, thì nó giao hoán với L, nên thuộc L. Nhưng khi đó ta có

0=εgz−zεg=(λ(g)⋅z−z)εg 0 =\varepsilon_gz-z\varepsilon_g= (\lambda (g)\cdot z-z)\varepsilon_g

với mọi gg của G. Suy ra zz bất biến dưới nhóm tự đẳng cấu λ(G)\lambda (G) của L. Do đó, theo giả thiết, ta có z∈Kz\in K.

Định lý 4 00JK

Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K, và cho L là một đại số con giao hoán cực đại của A. Khi đó tồn tại một τ\tau-mở rộng E\mathscr{E} của G bởi L∗L^* sao cho A đẳng cấu với A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L].

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng L là một đại số con giao hoán cực đại của A. Gọi Γ là nhóm nhân gồm các phần tử khả nghịch γ\gamma của A sao cho tồn tại một gg trong G với

γxγ−1=λ(g).x(42) \gamma x\gamma^{-1}=\lambda (g).x \tag{42}

với mọi phần tử xx của L. Nếu γ∈Γ\gamma \in \Gamma được cho, thì phần tử gg thỏa mãn quan hệ này là duy nhất; ta ký hiệu nó là π(γ)\pi (\gamma ). Hiển nhiên π\pi là một đồng cấu từ Γ vào G và hạt nhân của nó bằng L∗L^*. Tính toàn ánh của π\pi suy ra từ định lý Skolem–Noether (VIII, p. 263, Hệ quả).

Nếu ta ký hiệu đơn ánh chính tắc của L∗L^* vào Γ bởi ι\iota, thì từ các xây dựng suy ra rằng E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ) là một τ\tau-mở rộng của G bởi L∗L^*. Gọi

u:L→A[E;L]u: L\rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}; L] và v:Γ→A[E;L]v: \Gamma \rightarrow \mathbf{A}[\mathscr{E}; L]

là các đồng cấu chính tắc. Theo tính chất phổ quát của A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] (VIII, p. 315, Mệnh đề 12), tồn tại duy nhất một đồng cấu đại số f:A[E;L]→Af:\mathbf{A}[\mathscr{E}; L]\rightarrow A sao cho f∘u(x)=xf\circ u(x) =x và f∘v(γ)=γf\circ v(\gamma ) =\gamma với x∈Lx\in L và γ∈Γ\gamma \in \Gamma. Vì đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] là đơn, nên đồng cấu ff là đơn ánh. Hơn nữa, đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] có bậc n2n^2 trên K và A cũng có bậc ấy vì L là một đại số con giao hoán nửa đơn cực đại của A và ta có n=[L:K]n= [L : K] (VIII, p. 262, Mệnh đề 3, (ii)). Do đó ff là song ánh.

Định nghĩa 2 00JL

Cho S\mathscr{S} là tập hợp các iđêan cực đại của L. Ta định nghĩa

Br(L/K/K) =⋂m∈S=\bigcap_{\mathfrak{m}\in\mathscr{S}} Ker(r(L/m)/Kr_{(L/\mathfrak{m})/K}), trong đó r(L/m)/K:r_{(L/\mathfrak{m})/K}: Br(K) →\rightarrow Br(L/m/\mathfrak{m}) là đồng cấu mở rộng vô hướng (VIII, p. 281).

Định lý 5 00JM

Tồn tại một đẳng cấu nhóm

Ψ : Exτ(G,L∗)⟶_{\tau}(G,L^*)\longrightarrow Br(L/K/K)

gửi lớp của một τ\tau-mở rộng E\mathscr{E} của G bởi L∗L^* tới lớp trong Br(L/K/K) của đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L].

Để định nghĩa Ψ và kiểm tra rằng nó là một song ánh, ta phải thiết lập các điểm sau:

a) Nếu E\mathscr{E} và E′\mathscr{E}' là các τ\tau-mở rộng đẳng cấu của G bởi L∗L^*, thì các đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] và A[E′;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}'; L] đẳng cấu.

b) Ngược lại, nếu các đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] và A[E′;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}'; L] đẳng cấu, thì các τ\tau-mở rộng E\mathscr{E} và E′\mathscr{E}' của G bởi L∗L^* đẳng cấu.

c) Trong mỗi lớp của Br(L/K/K), có một đại số E chứa L như một đại số con giao hoán cực đại.

d) Nếu E là một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K chứa L như một đại số con giao hoán cực đại, thì tồn tại một τ\tau-mở rộng E\mathscr{E} của G bởi L∗L^* sao cho E đẳng cấu với A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L].

Mệnh đề a) suy ra từ phép dựng của tích có hướng; b) suy ra từ VIII, p. 263, Hệ quả. Mệnh đề c) suy ra từ Mệnh đề 5 của VIII, p. 281, và d) đơn giản là Định lý 4 ở trên.

Vẫn còn phải kiểm tra rằng Ψ là một đồng cấu nhóm; để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng nếu E1=(Γ1,ι1,π1)\mathscr{E}_1= (\Gamma_1, \iota_1, \pi_1) và E2=(Γ2,ι2,π2)\mathscr{E}_2= (\Gamma_2, \iota_2, \pi_2) là các mở rộng τ\tau, thì đại số A[E1E2;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}_1\mathscr{E}_2; L] tương đương với đại số A[E1;L]⊗A[E2;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}_1; L]\otimes \mathbf{A}[\mathscr{E}_2; L]. Ta ký hiệu mở rộng tích E1E2\mathscr{E}_1\mathscr{E}_2 bởi E=(Γ,ι,π)\mathscr{E}= (\Gamma , \iota , \pi ). Nhóm Γ đẳng cấu với đối hạt nhân của đồng cấu ρ\rho từ L∗L^* vào tích sợi Γ1×GΓ2\Gamma_1\times_G\Gamma_2, gửi μ\mu tới (ι1(μ),ι2(μ)−1)(\iota_1(\mu), \iota_2(\mu)^{-1}). Với i∈{1,2}i\in \{1,2\}, đặt Ai=A[Ei;L]A_i=\mathbf{A}[\mathscr{E}_i; L]. Gọi ui:L→Aiu_i: L\rightarrow A_i và vi:Γi→Ai∗v_i: \Gamma_i\rightarrow A^*_i là các đồng cấu chính tắc. Ta đồng nhất L với các ảnh của nó qua các đồng cấu uiu_i, các đồng cấu này biến L thành các đại số con giao hoán cực đại của các AiA_i. Ta ký hiệu bởi ViV_i không gian vectơ L được xác định bởi phép nhân trái trong AiA_i. Vành L⊗KAioL\otimes_KA^o_i tác động trên ViV_i. Vì nó đơn và có chiều n2n^2 trên L, ta thu được một đẳng cấu từ L⊗KAioL\otimes_KA^o_i vào EndL(Vi)_L(V_i). Do đó vành L⊗KA1o⊗KA2oL\otimes_KA^o_1\otimes_KA^o_2, mà ta có thể đồng nhất với (L⊗KA1o)⊗L(L⊗KA2o)(L\otimes_KA^o_1)\otimes_L(L\otimes_KA^o_2), đẳng cấu với EndL(V1⊗LV2)_L(V_1\otimes_LV_2). Đặt C = EndA1o⊗KA2o(V1⊗LV2)_{A^o_1\otimes_KA^o_2}(V_1\otimes_LV_2). Theo Bổ đề 3 của VIII, p. 282, vành C tương tự với A1⊗KA2A_1\otimes_KA_2, và L⊗1⊗1L\otimes 1\otimes 1 là một đại số con giao hoán cực đại của C. Với mỗi cặp (γ1,γ2)∈Γ1×Γ2(\gamma_1, \gamma_2)\in \Gamma_1\times \Gamma_2 thỏa mãn π1(γ1)=π2(γ2)\pi_1(\gamma_1) =\pi_2(\gamma_2), ta ký hiệu bởi w(γ1,γ2)w(\gamma_1, \gamma_2) tự đồng cấu λ(π1(γ1\lambda (\pi_1(\gamma_1))-nửa tuyến tính (II, §1, No. 13, p. 223) duy nhất sao cho

w(γ1,γ2)(x1⊗x2)=v1(γ1)x1⊗v2(γ2)x2 w(\gamma_1, \gamma_2)(x_1\otimes x_2) =v_1(\gamma_1)x_1\otimes v_2(\gamma_2)x_2

với x1∈V1x_1\in V_1 và x2∈V2x_2\in V_2. Ta có w(γ1,γ2)∈C∗w(\gamma_1, \gamma_2)\in C^*, và ww là một đồng cấu nhóm từ tích sợi Γ1×GΓ2\Gamma_1\times_G\Gamma_2 vào C∗C^*. Đồng cấu này tầm thường trên ảnh của ρ\rho và cảm sinh một đồng cấu vv từ Γ vào C∗C^*. Ký hiệu u:L→Cu: L\rightarrow C là cấu xạ cho bởi u:ℓ↦ℓ⊗1⊗1u:\ell \mapsto \ell \otimes 1\otimes 1. Ta có thể kiểm tra các quan hệ

u(α)=v(ι(α))u(\alpha ) =v(\iota (\alpha )) và u(γβ)=v(γ)u(β)v(γ)−1u(^{\gamma}\beta ) =v(\gamma )u(\beta )v(\gamma )^{-1}

với α∈L∗,β∈L\alpha \in L^*,\beta \in L, và γ∈Γ\gamma \in \Gamma. Mệnh đề 12 của VIII, p. 315 cho một đồng cấu ff từ đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] vào C. Vì đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] là đơn, đồng cấu ff là đơn ánh. Các đại số C và A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] có cùng chiều trên K, nên ff là một đẳng cấu.

Nhận xét 1 00JN

Nếu L là một đại số étale trên K và G là nhóm tự đẳng cấu của L, thì không phải lúc nào đại số A[E;L]\mathbf{A}[\mathscr{E}; L] cũng là đơn tâm (chẳng hạn, ta có thể lấy L=KnL = K^n và G=SnG =\mathfrak{S}_n).

Nhận xét 2 00JO

Ta có thể tính một 2-cocycle cc liên kết với một đại số A được tách bởi một mở rộng Galois hữu hạn L với nhóm G như sau. Trước hết, tồn tại một đồng cấu K φ:A→Mm\varphi : A\rightarrow \mathbf{M}_m(L), trong đó [A:K]=m2[A : K] =m^2. Với g∈Gg\in G, gọi φg\varphi^g là đồng cấu từ A vào Mm(L)\mathbf{M}_m(L) được xác định bởi a↦φ(g−1ag)a\mapsto \varphi (g^{-1}ag). Theo định lý Skolem–Noether (VIII, p. 256, Định lý 3), với mọi g∈Gg\in G, tồn tại một phần tử ugu_g của GLm(L)\mathbf{G}\mathbf{L}_m(L) sao cho

φg(a)=ugφ(a)ug−1 \varphi^g(a) =u_g\varphi (a)u^{-1}_g

với a∈Aa\in A. Khi đó đặt

c(g,g′)=ugug′ugg′−1 c(g, g') =u_gu_{g'}u^{-1}_{gg'}

Ta cũng có thể định nghĩa một mở rộng của G bởi L∗L^* sử dụng φ:\varphi : ta xét nhóm Γ⊂GLm(L)\Gamma \subset \mathbf{G}\mathbf{L}_m(L) gồm các γ\gamma sao cho tồn tại một g∈Gg\in G với

φg(a)=γφ(a)γ−1 \varphi^g(a) =\gamma \varphi (a)\gamma^{-1}

với mọi a∈Aa\in A. Lớp của mở rộng này là ảnh ngược bởi Ψ của lớp của A trong Br(L/K/K).

Hệ quả 00JP

Ánh xạ ΦL/K=Θ∘Ψ−1\Phi_{L/K}= \Theta \circ \Psi^{-1} xác định một đẳng cấu nhóm từ Br(L/K/K) vào H2(G,L∗)H^2(G,L^*).

Cho K′K' là một mở rộng của K và φ:K′→L\varphi : K'\rightarrow L là một cấu xạ của các K-đại số. Tập hợp H gồm các phần tử hh của G sao cho λ(h)∘φ=φ\lambda (h)\circ \varphi =\varphi là một nhóm con của G, và đại số trên K′K' L được trang bị hạn chế của λ\lambda lên H là một đại số Galois trên K′K'.

Mệnh đề 14 00JQ

Biểu đồ sau giao hoán:

Br(L/K/K)ΦL/K/^{\Phi_{L/K}}// H2(G,L∗)H_2(G,L_*)

rK′/Kr_{K'/K} ResHG^G_H

Br(L/K′/K')ΦL/K′/^{\Phi_{L/K'}}// H2(H,L∗)H_2(H,L_*) .

Điều này suy ra từ các Mệnh đề 7 của VIII, p. 299 và 13 của VIII, p. 317.

11. Chỉ số và số mũ

Định lý 6 00JR

Cho K là một trường giao hoán, và cho A là một đại số đơn tâm A có bậc hữu hạn trên K. Cho L là một mở rộng tách được của K có bậc hữu hạn, là một trường phân rã của đại số A. Khi đó [L : K][A] là không trong Br(K).

Tồn tại một mở rộng M của L là một mở rộng Galois của K có bậc hữu hạn (V, §10, No. 1, p. 57, Mệnh đề 2). Lớp [A] của A trong nhóm Brauer của K thuộc nhóm con Br(M/K/K). Gọi G là nhóm Galois của M trên K, và gọi α\alpha là ảnh của [A] trong H2(G,M∗)H^2(G,M^*) (VIII, p. 321, Hệ quả). Gọi H là nhóm Galois của M trên L. Khi đó H là một nhóm con có chỉ số [L : K] trong G (V, §10, No. 7, p. 68, Hệ quả 5). Vì ResHG(α)=ΦM/L(A(L))^G_H(\alpha ) = \Phi_{M/L}(A_{(L)}) (Mệnh đề 14), ta có ResHG(α)=0^G_H(\alpha ) = 0. Theo Mệnh đề 8 của VIII, p. 303, suy ra [L:K]α=0[L : K]\alpha = 0, và do đó [L : K][A] = 0.

Cho K là một trường giao hoán, và cho A là một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K. Khi đó A đẳng cấu với một đại số có dạng Mn\mathbf{M}_n(D), trong đó D là một trường có tâm K, và [A] = [D] trong Br(K). Bậc thu gọn của D chỉ phụ thuộc vào A. Ta gọi bậc thu gọn này là chỉ số của A. Chỉ số của A chia hết bậc thu gọn của A. Số mũ của A là cấp của lớp của A trong nhóm Brauer của K.

Hệ quả 1 00JS

Số mũ của một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên một trường giao hoán chia hết chỉ số của nó.

Chỉ cần chứng minh điều này đối với một trường D có bậc hữu hạn trên tâm K của nó. Cho L là một trường con giao hoán cực đại của D là một mở rộng tách được của K; ta có [D:K]=[L:K]2[D : K] = [L : K]^2 (VIII, p. 265, Hệ quả 2, b) và c)) và mở rộng L của K là một trường phân rã của đại số D (VIII, p. 281, Mệnh đề 5), và [L : K] trùng với bậc thu gọn của D. Khi đó áp dụng Định lý 6.

Hệ quả 2 00JT

Cho K là một trường giao hoán, và cho A là một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K. Cho pp là một số nguyên tố. Nếu pp chia hết chỉ số của A, thì nó chia hết số mũ của A.

Giả sử số nguyên tố pp không chia hết số mũ của A và chứng minh rằng nó không chia hết chỉ số của A. Chỉ cần chứng minh kết quả này trong trường hợp A là một trường. Cho L là một mở rộng Galois của K có bậc hữu hạn tách A. Gọi G là nhóm Galois của L trên K, và gọi H là một nhóm con Sylow pp của G (I, §6, No. 6, p. 78). Ta ký hiệu L′=LHL'= L^H là trường con của L gồm các phần tử bất biến bởi H. Số mũ của A(L′)A_{(L')} chia hết số mũ của A và do đó nguyên tố cùng nhau với pp. Theo Định lý 6, ta có [L:L′][A(L′)]=0[L : L'][A_{(L')}] = 0 trong nhóm Brauer của L′L'. Suy ra [A(L′)]=0[A_{(L')}] = 0 và trường L′L' tách A. Khi đó áp dụng Hệ quả 2 của VIII, p. 283; suy ra chỉ số của A chia hết [L′:K][L': K] và do đó không chia hết cho pp.

Hệ quả 3 00JU

Cho pp là một số nguyên tố và K là một trường hoàn hảo có đặc số pp. Cho A là một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K. Khi đó pp không chia hết cho chỉ số của A.

Ta chứng minh rằng nhóm Brauer của K không chứa phần tử nào có cấp pp. Mọi mở rộng Galois M của K có bậc hữu hạn đều là một trường hoàn hảo (V, §7, No. 1, p. 36, Mệnh đề 2). Do đó, phép lấy lũy thừa pp là một tự đẳng cấu của nhóm M∗M^*. Suy ra phép nhân với pp là một tự đẳng cấu của nhóm H2H^2(Gal(M/K/K),M∗,M^*) đẳng cấu với Br(M/K/K).

Do đó, cấp của [A] nguyên tố cùng nhau với pp và, theo Hệ quả 2, chỉ số của nó không chia hết cho pp.

Nhận xét 00JV

Bằng cách xét các tích tenxơ của các đại số quaternion, có thể xây dựng các trường có tâm K, số mũ 2 và chỉ số lớn tùy ý (xem VIII, p. 371, Bài tập 7 và 8).

∗*Ngược lại, nếu K là một mở rộng Galois hữu hạn của một trường pp-adic hoặc một trường chuỗi lũy thừa hình thức trên một trường hữu hạn, thì số mũ của một đại số đơn tâm có bậc hữu hạn trên K bằng chỉ số của nó (VIII, p. 332, Bài tập 17, e)).∗*

Bài tập

Xem các bài tập của § 16.

Machine translation of the English, by gpt-5-6-mini, gpt-5.4-mini, gpt-5-6, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.