(1) cl(A $\otimes_KB$) $=$ cl(A) cl(B).

Cho A, B và C là các đại số trên K bậc hữu hạn, với các lớp tương ứng $\alpha$, $\beta$, và $\gamma$. Các đại số trên K A và $\alpha$ là đẳng cấu, cũng như B và $\beta$. Do đó, các đại số trên K $A\otimes_KB$ và $\alpha \otimes_K\beta$ là đẳng cấu, và ta có cl(A$\otimes_KB$) $=$ cl($\alpha \otimes_K\beta$ ), suy ra công thức (1). Suy ra $(\alpha \beta )\gamma$ là lớp của đại số trên K $(A\otimes_KB)\otimes_KC$ và $\alpha (\beta \gamma )$ là lớp của đại số trên K $A\otimes_K(B\otimes_KC)$. Bây giờ, các đại số trên K này là đẳng cấu (III, §4, No. 1, p. 461), nên ta có đẳng thức $(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )$. Tương tự, quan hệ $\alpha \varepsilon =\varepsilon \alpha =\alpha$ suy ra từ việc các đại số trên K $A\otimes_KK, K\otimes_KA$, và A là đẳng cấu, và quan hệ $\alpha \beta =\beta \alpha$ suy ra từ việc các đại số $A\otimes_KB$ và $B\otimes_KA$ là đẳng cấu.

Trong tập hợp $\mathscr{C}_K$, quan hệ “$\alpha$ và $\beta$ là các đại số tương đương Morita” là một quan hệ tương đương (VIII, p. 100). Theo Mệnh đề 13, d) của VIII, p. 111, nó tương thích với luật hợp thành trên $\mathscr{C}_K$. Ta ký hiệu $\mathscr{M}_K$ là monoit thương của $\mathscr{C}_K$ theo quan hệ tương đương này và $\varphi$ là đồng cấu chính tắc từ $\mathscr{C}_K$ tới $\mathscr{M}_K$. Với mọi K-đại số A có bậc hữu hạn, ta ký hiệu [A] là ảnh của cl(A) bởi $\varphi$. Nếu A và B là các K-đại số có bậc hữu hạn, thì ta có [A] = [B] khi và chỉ khi các K-đại số A và B tương đương Morita; hơn nữa, ta có quan hệ

trong monoit $\mathscr{M}_K$.

Theo định nghĩa, ta có [A] = [D] khi và chỉ khi tồn tại một song môđun $(A$, D) khả nghịch, tức là (VIII, p. 101, Định lý 1), một không gian vectơ phải V có số chiều hữu hạn khác không trên D được trang bị một đẳng cấu các K-đại số $A\rightarrow$ End$_D(V)$. Bổ đề 1 suy ra.

Cho A là một đại số đơn tâm bậc hữu hạn trên K. Đại số $A^o$ là đơn tâm và bậc hữu hạn trên K (VIII, p. 251). Đại số $A\otimes_KA^o$ đẳng cấu với một đại số ma trận $\mathbf{M}_n$(K), trong đó $n^2=$ dim(A) (VIII, p. 252, Định lý 1). Vì vậy ta có $[A][A^o] = [A\otimes_KA^o] = [K]$ (Bổ đề 1), điều này chứng minh rằng [A] là khả nghịch, với nghịch đảo là $[A^o]$.

Ngược lại, cho A là một đại số trên K có bậc hữu hạn. Nếu [A] khả nghịch trong $\mathscr{M}_K$, thì tồn tại một đại số trên K B có bậc hữu hạn sao cho [A][B] = [K]; theo công thức (2) và Bổ đề 1, điều đó có nghĩa là đại số trên K $A\otimes_KB$ đẳng cấu với một đại số ma trận $\mathbf{M}_n(K)$ với $n\geqslant 1$. Theo Nhận xét 1 của VIII, p. 251, khi đó đại số A là đơn tâm.

Sự tồn tại của một song ánh $k$-tuyến tính $\varphi$ có tính chất được phát biểu trong bổ đề suy ra từ tính tương thích của tích tenxơ với các tổng trực tiếp (II, §3, No. 7, p. 255, Mệnh đề 7). Việc $\varphi$ là một đồng cấu đại số suy ra từ định nghĩa của tích hai ma trận.

(i) Ta có [A] = [B] trong nhóm Brauer Br(K).

(ii) Tồn tại một số nguyên $t\geqslant 1$ sao cho đại số trên K $A\otimes_KB^o$ đẳng cấu với đại số ma trận $\mathbf{M}_t(K)$.

(iii) Tồn tại các số nguyên dương ngặt $r$ và $s$ sao cho các đại số trên K $A\otimes_K\mathbf{M}_r(K)$ và $B\otimes_K\mathbf{M}_s(K)$ là đẳng cấu.

(iv) Tồn tại một trường D chứa K và các số nguyên $m\geqslant 1$ và $n\geqslant 1$ sao cho A đẳng cấu với $\mathbf{M}_m(D)$ và B với $\mathbf{M}_n(D)$.

(v) Các K-đại số A và B tương đương Morita.

Giả sử rằng ta có [A] = [B]. Vì $[B^o]$ là nghịch đảo của [B] trong nhóm Brauer, nên ta có $[K] = [B][B^o] = [A][B^o] = [A\otimes_KB^o]$. Theo Bổ đề 1, tồn tại một số nguyên $t\geqslant 1$ sao cho các đại số $A\otimes_KB^o$ và $\mathbf{M}_t(K)$ đẳng cấu. Vậy (i) suy ra (ii).

Giả sử rằng (ii) đúng. Vì $B^o\otimes_KB$ đẳng cấu với một đại số ma trận $\mathbf{M}_s(K)$ với $s\geqslant 1$ (VIII, p. 252, Định lý 1), nên đại số $A\otimes_KB^o\otimes_KB$ một mặt đẳng cấu với $A\otimes_K\mathbf{M}_s$(K), mặt khác đẳng cấu với $\mathbf{M}_t(K)\otimes_KB$. Vậy tính chất (ii) suy ra tính chất (iii).

Giả sử rằng (iii) đúng. Theo định lý của Wedderburn (VIII, p. 120, Định lý 1), tồn tại các số nguyên $m\geqslant 1$ và $n\geqslant 1$ và các trường D và $D'$ có bậc hữu hạn trên K với tâm là K sao cho A đẳng cấu với $\mathbf{M}_m(D)$ và B với $\mathbf{M}_n(D')$. Khi đó đại số $A\otimes_K\mathbf{M}_r(K)$ đẳng cấu với $\mathbf{M}_{mr}$(D), và đại số $B\otimes_K\mathbf{M}_{r'}(K)$ đẳng cấu với $\mathbf{M}_{nr'}(D')$ (Bổ đề 2). Theo Hệ quả 2 của VIII, p. 121, các K-đại số D và $D'$ là đẳng cấu. Vậy (iii) suy ra (iv).

Giả sử rằng (iv) đúng. Các đại số A và D tương đương Morita, cũng như các đại số B và D (VIII, p. 114, Ví dụ 2). Do đó, A và B tương đương Morita, nên (iv) suy ra (v).

Cuối cùng, suy ra (v)$\Rightarrow$(i) là định nghĩa của tập hợp Br(K).

Khi các tính chất tương đương của mệnh đề được thỏa mãn, ta nói rằng các đại số A và B là tương tự.

Điều này suy ra từ tính tương đương của các tính chất (i) và (iv) của Mệnh đề 3 và từ việc dim$_K(\mathbf{M}_n(D)) =$ dim$_K(D)\times n^2$.

Điều này suy ra từ Bổ đề 1 của VIII, p. 278 và định lý của Wedderburn (VIII, p. 120, Định lý 1).

(i) Mở rộng L là một trường phân rã của A.

(ii) Tồn tại một đại số đơn tâm trên K có bậc hữu hạn, tương tự với A, chứa một đại số con giao hoán cực đại đẳng cấu với L.

Ta hãy chứng minh rằng (ii) suy ra (i); chỉ cần xét trường hợp L là một đại số con giao hoán cực đại của A. Cho $\psi : A\otimes_KA^o\rightarrow$ End$_K(A)$ là đẳng cấu chính tắc gửi $a\otimes a'$ lên ánh xạ K-tuyến tính $x\mapsto axa'$ (VIII, p. 252, Định lý 1). Ta xem A như một không gian vectơ phải trên L; khi đó $\psi$ gửi $A\otimes_KL$ vào không gian con End$_L(A)$ của End$_K(A)$ và, bởi hạn chế, cảm sinh một đồng cấu đơn cấu của các L-đại số $\psi ': A\otimes_KL\rightarrow$ End$_L(A)$. Đặt $n= [L : K]$. Theo VIII, p. 262, Mệnh đề 3, ta có $[A : L] =n$, và do đó $[A\otimes_KL : L] = [A : K] =n^2$ và [End$_L(A) : L] =n^2$. Do đó, $\psi '$ là một đẳng cấu, điều này chứng minh (i).

Mệnh đề đảo lại suy ra từ Bổ đề 3 dưới đây.

Ta đồng nhất A với một vành con của $A_{(L)}$. Ta xem V như một không gian vectơ trên K. Vành C là hoán tập của $\varphi (A)$ trong End$_K(V)$. Nó là một đại số đơn tâm trên K bậc hữu hạn, và đồng cấu $a\otimes c\mapsto ac$ từ $A\otimes_KC$ đến End$_K(V)$ là một đẳng cấu (VIII, p. 260, Định lý 6, a)). Do đó các đại số trên K A và $C^o$ là tương tự (VIII, p. 279, Mệnh đề 3).

Gọi $L_V$ là vành các phép vị tự của không gian vectơ V trên L; đó là hoán tập của End$_L(V)$ trong End$_K(V)$ (VIII, p. 82, Hệ quả 1). Bây giờ, đại số trên K End$_L(V)$ được sinh bởi $\varphi (A)$ và $L_V$; do đó, trong End$_K$(V), ta có

$L_V=$ End$_L(V)'=\varphi (A)'\cap L'_V= C\cap L'_V$,

trong đó với mọi tập con B của End$_K$(V), hoán tập của B trong End$_K(V)$ được ký hiệu bởi $B'$. Vậy $L_V$ là một đại số con giao hoán cực đại của C (VIII, p. 261, Bổ đề 3), và do đó cũng là một đại số con giao hoán cực đại của $C^o$. Ánh xạ $\lambda \mapsto \lambda_V$ là một đẳng cấu đại số trên K từ L tới $L_V$. Điều này chứng minh bổ đề.

Giả sử tồn tại một cấu xạ $\varphi$ từ L vào A. Gọi M là một đại số con giao hoán nửa đơn cực đại chứa $\varphi (L)$. Theo Mệnh đề 3 của VIII, p. 262, ta có $[A : K] = [M : K]^2$, nên [M : K] = [L : K] và $M =\varphi (L)$. Theo Mệnh đề 5, trường L phân rã A. Ngược lại, giả sử rằng trường L phân rã A; khi đó nó đẳng cấu với một đại số con giao hoán cực đại của một đại số đơn tâm trên K B đồng dạng với A (Mệnh đề 5). Ta có $[B : K] = [L : K]^2$ (VIII, p. 262, Mệnh đề 3), nên [B : K] = [A : K]. Do đó, B đẳng cấu với A (VIII, p. 280, Hệ quả). Hệ quả 1 được suy ra.

Ký hiệu bậc thu gọn của D (VIII, p. 253) là $r$; theo định nghĩa, ta có $[D : K] =r^2$. Theo Mệnh đề 5, tồn tại một đại số đơn tâm trên K B tương tự với D mà trong đó L là một đại số con giao hoán cực đại. Vì B đẳng cấu với một đại số ma trận $\mathbf{M}_n(D)$ (VIII, p. 278, Bổ đề 1), ta có $[B : K] =n^2r^2$ và do đó $[L : K] =nr$ (VIII, p. 262, Mệnh đề 3).