(1) cl(A $\otimes_KB$) $=$ cl(A) cl(B).

Soient A, B et C des K-algèbres de degré fini, de classes respectives $\alpha ,\beta$ et $\gamma$. Les K-algèbres A et $\alpha$ sont isomorphes, ainsi que B et $\beta$; donc les K-algèbres $A\otimes_KB$ et $\alpha \otimes_K\beta$ sont isomorphes et l’on a cl(A $\otimes_KB$) $=$ cl($\alpha \otimes_K\beta$ ), d’où la formule (1). Il en résulte que $(\alpha \beta )\gamma$ est la classe de la K-algèbre $(A\otimes_KB)\otimes_KC$, et $\alpha (\beta \gamma )$ celle de la K-algèbre $A\otimes_K(B\otimes_KC)$. Or ces K-algèbres sont isomorphes (III, p. 34), d’où l’égalité $(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )$. De manière analogue, la relation $\alpha \varepsilon =\varepsilon \alpha =\alpha$ résulte de ce que les K-algèbres $A\otimes_KK, K\otimes_KA$ et A sont isomorphes, et la relation $\alpha \beta =\beta \alpha$ de ce que les algèbres $A\otimes_KB$ et $B\otimes_KA$ sont isomorphes.

Dans l’ensemble $\mathscr{C}_K$, la relation « $\alpha$ et $\beta$ sont des algèbres équivalentes au sens de Morita » est une relation d’équivalence (VIII, p. 96) ; elle est compatible avec la loi de composition de $\mathscr{C}_K$ d’après la prop. 13, d) de VIII, p. 107. On note $\mathscr{M}_K$ le monoïde quotient de $\mathscr{C}_K$ par cette relation d’équivalence et $\varphi$ l’homomorphisme canonique de $\mathscr{C}_K$ sur $\mathscr{M}_K$. Pour toute K-algèbre A de degré fini, on note [A] l’image de cl(A) par $\varphi$. Si A et B sont des K-algèbres de degré fini, on a [A] = [B] si et seulement si les K-algèbres A et B sont équivalentes au sens de Morita ; de plus, on a la relation

dans le monoïde $\mathscr{M}_K$.

Par définition, on a [A] = [D] si et seulement s’il existe un $(A$, D)-bimodule inversible, c’est-à-dire (VIII, p. 97, th. 1) un espace vectoriel à droite V de dimension finie non nulle sur D muni d’un isomorphisme de K-algèbres $A\rightarrow$ End$_D(V)$. Le lemme 1 résulte de là.

Soit A une algèbre centrale, simple et de degré fini sur K. L’algèbre $A^o$ est centrale, simple et de degré fini sur K (VIII, p. 247). L’algèbre $A\otimes_KA^o$ est isomorphe à une algèbre de matrices $\mathbf{M}_n(K)$ où $n^2=$ dim(A) (VIII, p. 248, th. 1). On a donc $[A][A^o] = [A\otimes_KA^o] = [K]$ (lemme 1), ce qui démontre que [A] est inversible, d’inverse $[A^o]$.

Inversement, soit A une K-algèbre de degré fini. Si [A] est inversible dans $\mathscr{M}_K$, il existe une K-algèbre B de degré fini telle que [A][B] = [K] ; d’après la formule (2) et le lemme 1, cela signifie que la K-algèbre $A\otimes_KB$ est isomorphe à une algèbre de matrices $\mathbf{M}_n$(K), avec $n\geqslant 1$. D’après la remarque 1 de VIII, p. 247, l’algèbre A est alors centrale et simple.

L’existence d’une bijection $k$-linéaire $\varphi$ satisfaisant à la condition de l’énoncé résulte de la compatibilité du produit tensoriel aux sommes directes (II, p. 61, prop. 7) ; le fait que $\varphi$ est un homomorphisme d’algèbres résulte de la définition du produit matriciel.

(i) On a [A] = [B] dans le groupe de Brauer Br(K) ;

(ii) Il existe un entier $t\geqslant 1$tel que la K-algèbre $A\otimes_KB^o$ soit isomorphe à l’algèbre de matrices $\mathbf{M}_t(K)$;

(iii) Il existe des entiers strictement positifs $r$ et $s$ tels que les K-algèbres $A\otimes_K\mathbf{M}_r(K)$et $B\otimes_K\mathbf{M}_s(K)$soient isomorphes ;

(iv) Il existe un corps D contenant K et des entiers $m\geqslant 1$et $n\geqslant 1$tels que A soit isomorphe à $\mathbf{M}_m(D)$et B à $\mathbf{M}_n(D)$.

Supposons que l’on ait [A] = [B]. Comme $[B^o]$ est l’inverse de [B] dans le groupe de Brauer, on a $[K] = [B][B^o] = [A][B^o] = [A\otimes_KB^o]$. D’après le lemme 1, il existe un entier $t\geqslant 1$ tel que les algèbres $A\otimes_KB^o$ et $\mathbf{M}_t(K)$ soient isomorphes. Donc (i) entraîne (ii).

Supposons (ii) satisfaite. Comme $B^o\otimes_KB$ est isomorphe à une algèbre de matrices $\mathbf{M}_s(K)$ avec $s\geqslant 1$ (VIII, p. 248, th. 1) l’algèbre $A\otimes_KB^o\otimes_KB$ est isomorphe d’une part à $A\otimes_K\mathbf{M}_s(K)$ et de l’autre à $\mathbf{M}_t(K)\otimes_KB$. Ainsi l’assertion (ii) entraîne l’assertion (iii).

Supposons (iii) satisfaite. D’après le théorème de Wedderburn (VIII, p. 116, th. 1), il existe des entiers $m\geqslant 1$ et $n\geqslant 1$ et des corps D et $D'$ de centre K et de degré fini sur K, tels que A soit isomorphe à $\mathbf{M}_m(D)$ et B à $\mathbf{M}_n(D')$. Alors l’algèbre $A\otimes_K\mathbf{M}_r(K)$ est isomorphe à $\mathbf{M}_{mr}(D)$ et $B\otimes_K\mathbf{M}_{r'}(K)$ est isomorphe à $\mathbf{M}_{nr'}(D')$ (lemme 2) ; d’après le cor. 2 de VIII, p. 117, les K-algèbres D et $D'$ sont isomorphes. Donc (iii) entraîne (iv).

Enfin, supposons (iv) satisfaite. Les algèbres A et D d’une part, B et D de l’autre, sont équivalentes au sens de Morita (VIII, p. 109, exemple 2). On a donc [A] = [B], de sorte que (iv) entraîne (i).

Lorsque les conditions équivalentes de la proposition sont satisfaites, on dit que les algèbres A et B sont semblables.

Cela résulte de l’équivalence des propriétés (i) et (iv) de la prop. 3 et du fait que dim$_K(\mathbf{M}_n(D)) =$ dim$_K(D)\times n^2$.

Cela résulte du lemme 1 de VIII, p. 274 et du théorème de Wedderburn (VIII, p. 116, th. 1).

(i) L’extension L déploie A ;

(ii) Il existe une K-algèbre centrale, simple, de degré fini, semblable à A, contenant une sous-algèbre commutative maximale isomorphe à L.

Prouvons que (ii) entraîne (i) ; il suffit de traiter le cas où L est une sous-algèbre commutative maximale de A. Soit $\psi : A\otimes_KA^o\rightarrow$ End$_K(A)$ l’isomorphisme canonique qui applique $a\otimes a'$ sur l’application K-linéaire $x\rightarrow axa'$ (VIII, p. 248, th. 1). Considérons A comme un espace vectoriel à droite sur L ; alors $\psi$ applique $A\otimes_KL$ dans le sous-espace End$_L(A)$ de End$_K(A)$ et induit par restriction un homomorphisme injectif de L-algèbres $\psi ': A\otimes_KL\rightarrow$ End$_L(A)$. Posons $n= [L : K]$. D’après VIII, p. 258, prop. 3, on a $[A : L] =n$ d’où $[A\otimes_KL : L] = [A : K] =n^2$ et [End$_L(A) : L] =n^2$. Par conséquent $\psi '$ est un isomorphisme, ce qui prouve (i).

La réciproque résulte du lemme suivant.

Identifions A à un sous-anneau de $A_{(L)}$. Considérons V comme un K-espace vectoriel. L’anneau C est le commutant de $\varphi (A)$ dans End$_K(V)$. C’est une K-algèbre centrale, simple et de degré fini, et l’homomorphisme $a\otimes c\rightarrow ac$ de $A\otimes_KC$ dans End$_K(V)$ est un isomorphisme (VIII, p. 256, th. 6 a)). Par suite les K-algèbres A et $C^o$ sont semblables (VIII, p. 275, prop. 3).

Soit $L_V$ l’anneau des homothéties du L-espace vectoriel V ; c’est le commutant de End$_L(V)$ dans End$_K(V)$ (VIII, p. 78, cor. 1). Or la K-algèbre End$_L(V)$ est engendrée par $\varphi (A)$ et $L_V$; on a donc dans End$_K(V)$

$L_V=$ End$_L(V)'=\varphi (A)'\cap L'_V= C\cap L'_V$,

où pour toute partie B de End$_K$(V), le commutant de B dans End$_K(V)$ est noté $B'$. Ainsi $L_V$ est une sous-algèbre commutative maximale de C (VIII, p. 257, lemme 3), et donc aussi de $C^o$. L’application $\lambda \rightarrow \lambda_V$ est un isomorphisme de K-algèbres de L sur $L_V$; cela prouve le lemme.

Supposons qu’il existe un morphisme $\varphi$ de L dans A. Soit M une sous-algèbre commutative semi-simple maximale contenant $\varphi (L)$. Par la prop. 3 de VIII, p. 258, on a $[A : K] = [M : K]^2$, donc [M : K] = [L : K] et $M =\varphi (L)$. D’après la prop. 5, L déploie A. Inversement supposons que l’extension L déploie A, alors elle est isomorphe à une sous-algèbre commutative maximale d’une K-algèbre B centrale, simple et semblable à A (prop. 5). On a $[B : K] = [L : K]^2$ (VIII, p. 258, prop. 3), d’où [B : K] = [A : K] ; par suite B est isomorphe à A (VIII, p. 276, cor.), d’où le corollaire 1.

Notons $r$ le degré réduit de D (VIII, p. 249) ; par définition, $[D : K] =r^2$. D’après la prop. 5, il existe une K-algèbre B centrale simple semblable à D dont L est une sous-algèbre commutative maximale. Comme B est isomorphe à une algèbre de matrices $\mathbf{M}_n(D)$ (VIII, p. 274, lemme 1), on a [B : K] = $n^2r^2$, et par suite $[L : K] =nr$ (VIII, p. 258, prop. 3).