Bài tập 2, § 10

Cho K là một trường, $f_0$ là một đa thức bất khả quy và tách được trong $K[X]$, bậc n; gọi $\alpha_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các nghiệm của nó trong một trường phân rã N của $f_0$. Cho F là trường các phân thức hữu tỉ $N(X_1, X_2, ..., X_n)$, E là trường con $K(X_1, X_2, ..., X_n)$ của F; F là một mở rộng Galois của E và $\mathrm{Gal}(E/F)$ đẳng cấu chính tắc với $\mathrm{Gal}(N/K)$ (V, p. 71, Định lý 5; V, p. 154, Bài tập 8). Chứng minh rằng nếu $8 = \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + ... + \alpha_n X_n$ thì $F = E(8)$ và đa thức tối tiểu $g_1$ của 8 trong $E[T]$ là một nhân tử bất khả quy của đa thức

Mỗi phép hoán vị $\sigma \in S_n$, xác định một tự đẳng cấu K của E, vẫn ký hiệu là a, bởi điều kiện $\sigma(X_i) = X_{\sigma(i)}$ với $1 \leq i \leq n$; chứng minh rằng $\mathrm{Gal}(N/K)$ đẳng cấu với nhóm con của $S_n$, gồm các phép hoán vị a sao cho $\sigma(g_1) = g_1$. Hơn nữa, nếu $f = g_1 g_2 ... g_r$ là một phân tích của f thành các nhân tử bất khả quy trong $E[T]$, hãy chứng minh rằng với mọi chỉ số j sao cho $1 \leq j \leq r$ tồn tại một phép hoán vị $\sigma_j \in S_n$, sao cho $\sigma_j(g_1) = g_j$.