Exercice 2, § 10

Soient K un corps, f₀ un polynôme irréductible et séparable de K[X], de degré n ; soient α_i (1 ≤ i ≤ n) ses racines dans un corps de décomposition N de f₀. Soient F le corps de fractions rationnelles N(X₁, X₂, ..., Xₙ), E le sous-corps K(X₁, X₂, ..., Xₙ) de F ; F est une extension galoisienne de E, et Gal(F/E) est canoniquement isomorphe à Gal(N/K) (V, p. 68, th. 5 ; V, p. 147, exerc. 8). Montrer que si θ = α₁X₁ + α₂X₂ + ... + αₙXₙ, on a F = E(θ), et le polynôme minimal g₁ de θ dans E[T] est un facteur irréductible du polynôme

Chaque permutation σ ∈ Sₙ définit un K-automorphisme de E, encore noté σ, par la condition σ(X_i) = X_{σ(i)} pour 1 ≤ i ≤ n ; montrer que Gal(N/K) est isomorphe au sous-groupe de Sₙ formé des permutations telles que σ(g₁) = g₁. En outre, si f = g₁g₂ ... g_r est une décomposition de f en facteurs irréductibles dans E[T], montrer que pour tout indice j tel que 1 ≤ j ≤ r, il existe une permutation σ_j ∈ Sₙ telle que σ_j(g₁) = g_j.