Các biểu diễn kiểu thực, phức hoặc quaternion

$\alpha )$ Hoán tập của V (Đại số, Chương VIII, § 5, no. 1) đẳng cấu với $\mathbf{R}$, và $A_{(\mathbf{C})}$-môđun $V_{(\mathbf{C})}$ là đơn;

$\beta )$ hoán tập của V đẳng cấu với $\mathbf{C}$; $A_{(\mathbf{C})}$-môđun $V_{(\mathbf{C})}$ là tổng trực tiếp của hai $A_{(\mathbf{C})}$-môđun con đơn không đẳng cấu, bị hoán đổi bởi $\sigma \otimes 1_V$;

$\gamma )$ hoán tập của V đẳng cấu với $\mathbf{H}$; $A_{(\mathbf{C})}$-môđun $V_{(\mathbf{C})}$ là tổng trực tiếp của hai $A_{(\mathbf{C})}$-môđun con đơn đẳng cấu, bị hoán đổi bởi $\sigma \otimes 1_V$.

Hoán tập E của V là một trường, một mở rộng hữu hạn của $\mathbf{R}($Đại số, Chương VIII, §3, no. 2, Mệnh đề 2), do đó đẳng cấu với $\mathbf{R},\mathbf{C}$ hoặc $\mathbf{H}($Đại số, Chương VIII, §15). $A_{(\mathbf{C})}$-môđun $V_{(\mathbf{C})}$ là nửa đơn (Đại số, Chương VIII, §11, no. 4), và hoán tập của nó có thể được đồng nhất với $\mathbf{C}\otimes_{\mathbf{R}}E ($Đại số, Chương VIII, §11, no. 2, Bổ đề 1).

Nếu E đẳng cấu với $\mathbf{R}$, thì hoán tập của $V_{(\mathbf{C})}$ đẳng cấu với $\mathbf{C}$, và $V_{(\mathbf{C})}$ là một $A_{(\mathbf{C})}$-môđun đơn (Đại số, Chương VIII, §11, no. 4).

Nếu E không đẳng cấu với $\mathbf{R}$, thì nó chứa một trường đẳng cấu với $\mathbf{C}$; suy ra V có một cấu trúc $A_{(\mathbf{C})}$-môđun, ký hiệu là $V^c$. Khi đó $V^c$ là một $A_{(\mathbf{C})}$-môđun đơn, và ánh xạ $\mathbf{C}$-tuyến tính $\psi : V_{(\mathbf{C})}\rightarrow V^c\oplus \overline{V}^c$ sao cho $\psi (\alpha \otimes v) =$ $(\alpha v,\overline{\alpha v})$ với $\alpha \in \mathbf{C},v\in V$, là một đẳng cấu (Đại số, Chương V, §10, no. 4, Mệnh đề 8). Hơn nữa, $\sigma \otimes 1_V$ tương ứng qua đẳng cấu này với tự đẳng cấu $\mathbf{R}$ $(v, v') \rightarrow (v', v)$ của $V^c\oplus \overline{V}^c$, và do đó hoán đổi hai $A_{(\mathbf{C})}$-môđun con $\psi^{-1}(V^c)$ và $\psi^{-1}(V^c)$.

Hoán tập $E_{(\mathbf{C})}$ của $V_{(\mathbf{C})}$ do đó chứa $\mathbf{C}\times \mathbf{C}$, tác động bằng các phép vị tự trên $V^c\oplus \overline{V}^c$. Không tồn tại đẳng cấu nào của các $A_{(\mathbf{C})}$-môđun từ $V^c$ đến $\overline{V}^c$ khi và chỉ khi $E_{(\mathbf{C})}$ thu về $\mathbf{C}\times \mathbf{C}$, tức là, khi E đẳng cấu với $\mathbf{C}$. Điều này hoàn tất chứng minh.

a) Tồn tại một $A_{(\mathbf{C})}$-đẳng cấu $\theta$ từ W lên $\overline{W}$ sao cho $\theta \circ \theta = 1_W$. Khi đó tập hợp V các điểm bất động của $\theta$ là một $\mathbf{R}$-cấu trúc trên W, và là một A-môđun đơn có hoán tập $\mathbf{R}.1_V$. Hơn nữa, $W_{[\mathbf{R}]}$ là tổng trực tiếp của hai A-môđun đơn đẳng cấu.

b) Các $A_{(\mathbf{C})}$-môđun W và $\overline{W}$ không đẳng cấu; khi đó $W_{[\mathbf{R}]}$ là một A-môđun đơn có hoán tập $\mathbf{C}.1_W$.

c) Tồn tại một $A_{(\mathbf{C})}$-đẳng cấu $\theta$ từ W đến $\overline{W}$ sao cho $\theta \circ \theta =-1_W$. Khi đó A-môđun $W_{[\mathbf{R}]}$ là đơn, và hoán tập của nó là trường $\mathbf{C}.1_W\oplus \mathbf{C}.\theta$, đẳng cấu với $\mathbf{H}$.

Không gian vectơ phức Hom$_{A_{(\mathbf{C})}}(W,W)$ có chiều $\leq 1 ($Đại số, Chương VIII, §3, no. 2); nếu $\theta \in$ Hom$_{A_{(\mathbf{C})}}(W,W)$, thì tự đồng cấu $\theta \circ \theta$ của W là một phép vị tự, có tỷ số $\alpha \in \mathbf{C}$. Với mọi $w\in W$, ta có $\alpha \theta (w) =\theta \circ \theta \circ \theta (w) =$ $\theta (\alpha w) = \overline{\alpha \theta}(w)$, nên $\alpha$ là thực. Nếu $\theta '=\lambda \theta$, với $\lambda \in \mathbf{C}$, thì $\theta '\circ \theta '=|\lambda |^2\theta \circ \theta$; do đó, chính xác một trong ba khả năng sau đây xảy ra:

a) Tồn tại $\theta \in$ Hom$_{A_{(\mathbf{C})}}(W,W)$ sao cho $\theta \circ \theta = 1_W$;

b) Hom$_{A_{(\mathbf{C})}}(W,W) =\{0\}$;

c) Tồn tại $\theta \in$ Hom$_{A_{(\mathbf{C})}}(W,W)$ sao cho $\theta \circ \theta =-1_W$.

Trong trường hợp a), tập hợp V các điểm bất động của $\theta$ là một cấu trúc $\mathbf{R}$ trên W (Đại số, Chương V, p. 61, Mệnh đề 7); vì $V_{(\mathbf{C})}$ đẳng cấu với W, A-môđun V là đơn với hoán tập $\mathbf{R}.1_V$ (Mệnh đề 1), và $W_{[\mathbf{R}]}$ không đơn.

Ngược lại, nếu $W_{[\mathbf{R}]}$ không đơn, cho V là một A-môđun con đơn của $W_{[\mathbf{R}]}$; vì $A_{(\mathbf{C})}$-môđun W là đơn, nên $V +iV = W$ và $V\cap iV =\{0\}$, nghĩa là $W = V\oplus iV$. Do đó, V là một cấu trúc $\mathbf{R}$ trên W, và đẳng cấu $\theta$ từ W đến $\overline{W}$ sao cho $\theta (v+iv') =v-iv'$ với $v$ và $v'$ trong V thỏa mãn $\theta \circ \theta = 1_W$.

Do đó, trong các trường hợp b) và c), A-môđun $W_{[\mathbf{R}]}$ là đơn; theo Mệnh đề 1, hoán tập E của nó đẳng cấu với $\mathbf{C}$ trong trường hợp b), và với $\mathbf{H}$ trong trường hợp c). Hơn nữa, hiển nhiên là E chứa $\mathbf{C}.1_W$, và chứa $\mathbf{C}.\theta$ trong trường hợp c), suy ra mệnh đề.

Với các giả thiết trong mệnh đề, $A_{(\mathbf{C})}$-môđun W được gọi là thuộc kiểu thực, kiểu phức hoặc kiểu quaternion (đối với A) tương ứng trong các trường hợp $a),b)$ hoặc c).

Đối với $K =\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$, ký hiệu $\mathfrak{S}_K(A)$ là tập hợp các lớp của các $A_{(K)}$-môđun đơn hữu hạn chiều trên K. Nhóm $\Gamma =$ Gal($\mathbf{C}/\mathbf{R}$) tác động trên $\mathfrak{S}_{\mathbf{C}}(A)$; hai mệnh đề trước thiết lập một sự tương ứng song ánh giữa $\mathfrak{S}_{\mathbf{R}}(A)$ và tập thương $\mathfrak{S}_{\mathbf{C}}(A)/\Gamma$.

a) Biểu diễn $\rho$ có kiểu thực nếu và chỉ nếu tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng khác không B trên W, bất biến dưới G. Trong trường hợp này dạng B là phân ly; tập hợp V gồm các $w\in W$ sao cho $H(w, x) = B(w, x)$ với mọi $x\in W$ là một cấu trúc $\mathbf{R}$ trên W bất biến dưới G.

b) Biểu diễn $\rho$ có kiểu phức nếu và chỉ nếu không tồn tại dạng song tuyến tính khác không nào trên W bất biến dưới G.

c) Biểu diễn $\rho$ có kiểu quaternion nếu và chỉ nếu tồn tại một dạng song tuyến tính phản xứng khác không trên W, bất biến dưới G; một dạng như vậy tất yếu là phân ly.

Với $\theta \in$ Hom$_{\mathbf{C}^{(G)}}(W,W)$ và $x, y\in W$, đặt $B_{\theta}(x, y) = H(\theta x, y)$. Khi đó $B_{\theta}$ là một dạng song tuyến tính trên W, bất biến dưới G, và phân ly nếu $\theta$ khác không. Ký hiệu bởi $\mathscr{B}(W)^G$ không gian các dạng song tuyến tính trên W bất biến dưới G; ánh xạ $\theta \rightarrow B_{\theta}$ từ Hom$_{\mathbf{C}^{(G)}}(W,W)$ vào $\mathscr{B}(W)^G$ là một đẳng cấu của các $\mathbf{C}$-không gian vectơ. Điều này, đặc biệt, kéo theo mệnh đề b).

Cho $\theta$ là một $\mathbf{C}^{(G)}$-đẳng cấu từ W đến $\overline{W}$ sao cho $\theta \circ \theta =\alpha_W$, với $\alpha \in \{-1,+1\}$ (Mệnh đề 2); vì $\mathscr{B}(W)^G$ có chiều bằng 1, nên tồn tại $\varepsilon \in \mathbf{C}$ sao cho

$B_{\theta}(y, x) =\varepsilon B_{\theta}(x, y)$ với mọi $x, y$ trong $W$.

Lặp lại, ta được $B_{\theta}(y, x) =\varepsilon B_{\theta}(x, y) =\varepsilon^2B_{\theta}(y, x)$, do đó $\varepsilon^2$ = 1 và $\varepsilon \in \{-1,+1\}$. Hơn nữa, với $x$ trong W,

vì vậy $\varepsilon \alpha >0$ vì H là dương, nghĩa là $\varepsilon =\alpha$. Các khẳng định a) và c) bây giờ suy ra từ Mệnh đề 2.

Ký hiệu $dg$ là độ đo Haar có tổng khối lượng bằng 1 trên G.

Đặt $p=\int_G\rho (g)dg$; với $h\in G$,

và tương tự $p\circ \rho (h) =p$. Do đó, $p$ tương thích với các phép toán của G, và ảnh của nó được chứa trong $W^G$. Nếu $w\in W^G$, ta có $p(w) =\int_G\rho (g)w dg=w$, do đó bổ đề được chứng minh.

Tr $u^2=$ Tr $\mathbf{S}^2(u)-$ Tr $\wedge \wedge^2(u)$.

Cho $\chi_u(X) =\prod_{i=1}^n(X-\alpha_i)$ là một phân tích của đa thức đặc trưng của $u$ thành các thừa số tuyến tính trong một mở rộng thích hợp của K. Ta có Tr $u^2=\sum_i\alpha^2_i$, Tr $\wedge \wedge^2(u) =\sum_{i<j}\alpha_i\alpha_j$, Tr $\mathbf{S}^2(u) =\sum_{i\leq j}\alpha_i\alpha_j$ (x. Đại số, Ch. VII, §5, no. 5, Hệ quả 3), do đó suy ra kết quả.

Ký hiệu $\check{\rho}$ là biểu diễn phản biến của $\rho$ trên $W^*$ (được định nghĩa bởi $\check{\rho}(g) =^t\rho (g^{-1})$). Áp dụng Bổ đề 2 cho $\check{\rho}(g)$ và lấy tích phân trên G thu được

$\int_G$ Tr$\rho (g^2)dg=\int_G$ Tr $^t\rho (g^{-2})dg=\int_G$ Tr $\mathbf{S}^2( \check{\rho}(g))dg-\int_G$ Tr $\wedge \wedge^2( \check{\rho}(g))dg$

do đó, theo Bổ đề 1,

$\int_G$ Tr $\rho (g^2)dg=$ dim($\mathbf{S}^2W^*$)$^G-$ dim($\wedge \wedge^2W^*$)$^G$.

Nhưng $\mathbf{S}^2W^*$ (resp. $\wedge \wedge^2W^*$) có thể được đồng nhất với không gian các dạng song tuyến tính đối xứng (resp. phản xứng) trên W. Do đó, mệnh đề được suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 3.