Bài tập 2, § 19

a) Cho A là một vành đơn có hạng hữu hạn trên tâm K của nó, và cho $s$ là một phản tự đẳng cấu đối hợp của A. Cho $s'$ là một phản tự đẳng cấu đối hợp của A trùng với $s$ trên K. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $a$ của A sao cho ta có $s'(x) =as(x)a^{-1}$ với mọi $x\in A$ và $s(a) =a$ hoặc $s(a) =-a$ (áp dụng định lý Skolem–Noether và Định lý 3 của V, §11, No. 6, p. 85). Cũng chứng minh đảo lại.

b) Giả sử rằng hạn chế của $s$ lên K không phải là đồng nhất; gọi $K_0$ là trường con của K gồm các phần tử cố định bởi $s$. Chứng minh rằng tập hợp $A_0$ (tương ứng $A_1$) gồm các phần tử $a$ của A sao cho $s(a) =a$ (tương ứng $s(a) =-a$) là một không gian con tuyến tính trên $K_0$ của A có chiều [A : K] và rằng $A_0$ là một cấu trúc $K_0$ trên A (dùng V, §10, No. 4, p. 63, Mệnh đề 7).

c) Giả sử rằng hạn chế của $s$ lên K là đồng nhất; đặt $[A : K] =m^2$. Chứng minh rằng $A_0$ là một không gian con tuyến tính trên $K_0$ của A có chiều $m(m+ 1)/2$ hoặc $m(m-1)/2$ (quy về trường hợp A là một đại số ma trận trên K và dùng a)).