Exercice 2, § 19

a) Soient A un anneau simple, de rang fini sur son centre K et $s$ un antiautomorphisme involutif de A. Soit $s'$ un antiautomorphisme involutif de A qui coïncide avec $s$ sur K. Prouver qu’il existe un élément $a$ de A tel qu’on ait $s'(x) =as(x)a^{-1}$ pour tout $x\in A$ et $s(a) =a$ ou $s(a) =-a$ (appliquer le th. de Skolem-Noether et le th. 3 de V, p. 81). Réciproque.

b) On suppose que la restriction de $s$ à K n’est pas l’identité ; soit $K_0$ le sous-corps de K formé des éléments fixés par $s$. Démontrer que l’ensemble $A_0$ (resp. $A_1$) des éléments $a$ de A tels que $s(a) =a$ (resp. $s(a) =-a$) est un sous-K$_0$-espace vectoriel de A de dimension [A : K] et que $A_0$ est une $K_0$-structure de A (utiliser V, p. 61, prop. 7).

c) On suppose que la restriction de $s$ à K est l’identité ; on pose $[A : K] =m^2$. Prouver que $A_0$ est un sous-K$_0$-espace vectoriel de A de dimension $m(m+ 1)/2$ ou $m(m-1)/2$ (se ramener au cas où A est une algèbre de matrices sur K et utiliser a)).