(3)

En effet, $S$ s’identifie au produit tensoriel $K[x_1] \otimes K[x_2] \otimes \cdots \otimes K[x_m]$, muni de la graduation totale. La série de Poincaré de $K[x_i]$ est

et il suffit d’appliquer (2).

Sous les hypothèses de la prop. 1, nous dirons que $S$ est une $K$-algèbre graduée de polynômes.

En effet, l’inverse de $P_S(T)$ est le polynôme $N(T) = \prod_{i=1}^m (1 - T^{d_i})$, qui est donc déterminé de manière unique. Si $q$ est un entier $\geq 1$ et si $\zeta \in \mathbf{C}$ est une racine primitive $q$-ème de l’unité, la multiplicité de la racine $\zeta$ de $N(T)$ est égale au nombre des $d_i$ qui sont multiples de $q$. Ce nombre est nul pour $q$ suffisamment grand. Le nombre des $d_i$ égaux à $q$ est ainsi déterminé de manière unique par récurrence descendante.

On dit que les entiers $d_i$ sont les degrés caractéristiques de $S$. Leur nombre est égal au degré de transcendance de $S$ sur $K$ lorsque $K$ est un corps ; nous l’appellerons encore le degré de transcendance de $S$ sur $K$ dans le cas général. C’est la multiplicité de la racine 1 du polynôme $N(T)$.

Soient $S = \bigoplus_{n \geq 0} S_n$ une K-algèbre graduée commutative, $R = \bigoplus_{n \geq 0} R_n$ une sous-algèbre graduée de S. On suppose que chaque $R_n$ est libre de type fini, et que le R-module S admet une base finie formée d’éléments homogènes $z_1, z_2, \ldots, z_N$ de degrés $f_1, f_2, \ldots, f_N$. Alors, si l’on note M le K-module gradué $\sum_{j=1}^N Kz_j$, le K-module gradué S est isomorphe à $R \otimes_K M$, donc chaque $S_n$ est libre de type fini et l’on a

(i) R et S ont même degré de transcendance r sur K.

(ii) Soient $p_1, \ldots, p_r$ (resp. $q_1, \ldots, q_r$) les degrés caractéristiques de S (resp. R). On a

(iii) $N p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_r$.

La formule (4) prouve d’abord que la multiplicité de la racine 1 est la même dans les polynômes $P_S(T)^{-1}$ et $P_R(T)^{-1}$ et, compte tenu de (3), prouve (i) puis (ii).

On déduit de (ii) que

Faisant $T = 1$ dans cette relation, on obtient (iii).

a) Comme chaque sous-module de $S/(R_+ S)$ est libre sur $R_0 = K$, il suffit de montrer (en vertu d’*Alg.*, chap. II, 3e éd., § 11, no 4, prop. 7) que l’homomorphisme canonique de $R_+ \otimes_R S$ dans $S$ est injectif. Pour tout $R$-module $E$, notons $T(E)$ le $R$-module $\mathrm{Ker}(R_+ \otimes_R E \to E)$ (\*autrement dit $T(E) = \mathrm{Tor}_1^R(R/R_+, E)$\*). Si $E, E'$ sont deux $R$-modules et si $u$ est un homomorphisme de $E$ dans $E'$, l’homomorphisme $1 \otimes u$ de $R_+ \otimes E$ dans $R_+ \otimes E'$ définit par restriction à $T(E)$ un homomorphisme de $T(E)$ dans $T(E')$ que nous noterons $T(u)$. Si $u'$ est un homomorphisme de $E'$ dans un $R$-module $E''$, on a $T(u' \circ u) = T(u') \circ T(u)$. Donc, si $G$ opère sur $E$ de façon $R$-linéaire, $G$ opère dans $T(E)$.

b) Le groupe $G$ opère dans $S$ de façon $R$-linéaire, donc aussi dans $T(S)$. Par ailleurs, $T(S)$ est muni de manière naturelle d’une structure de $S$-module gradué. Montrons d’abord que, si $g \in G$, $g$ transforme tout élément $x$ de $T(S)$ est un élément congru à $x$ modulo $S_1 T(S)$. Il suffit de le faire quand $g$ est une pseudo-réflexion. Il existe alors un vecteur non nul $v$ de $V$ tel que $g(x) - x \in K v$ pour tout $x \in V$. Comme $V$ engendre $S$, on en déduit que $g_S$ opère trivialement sur $S/Sv$. Donc, pour tout $y \in S$, il existe un élément $h(y)$ de $S$ tel que

Comme $S$ est intègre et que $v$ est non nul, cet élément est déterminé de manière unique par $y$; il est immédiat que $h$ est un endomorphisme de degré — 1 du $R$-module $S$. Ainsi, $g_S - 1_S = m_v \circ h$ en notant $m_v$ l’homothétie de rapport $v$ dans $S$. Donc

dont l’image est contenue dans $vT(S)$, ce qui prouve notre assertion.

c) Montrons maintenant que tout élément de $T(S)$ invariant par $G$ est nul. En effet, soit $Q$ l’endomorphisme du $R$-module $S$ défini par

pour tout $y \in S$. On a $Q(S) = R$. On peut donc écrire $Q = i \circ Q'$ où $Q'$ est un homomorphisme du $R$-module $S$ sur le $R$-module $R$ et où $i$ désigne l’injection canonique de $R$ dans $S$. Donc $T(Q) = T(i) \circ T(Q')$, et $T(Q') = 0$ puisque $T(R) = \mathrm{Ker}\,(R_+ \otimes R \to R) = 0$. Donc

Or $q^{-1} \sum_{g \in G} T(g_S)$ laisse fixes les éléments de $T(S)$ invariants par $G$. Ceux-ci sont donc nuls.

d) Supposons $T(S) \neq 0$. Il existe dans $T(S)$ un élément homogène $u \neq 0$ de degré minimum. D’après b), $u$ est invariant par $G$. D’après c), $u = 0$. On a ainsi une contradiction, d’où $T(S) = 0$. C.Q.F.D.

(i) Il existe un sous-espace vectoriel gradué de $S$, supplémentaire de $R_+ S$ dans $S$, stable par $G$.

(ii) Soit $U$ un tel supplémentaire. L’homomorphisme canonique de $U \otimes_K R$ dans $S$ est un isomorphisme de $G$-modules, et la représentation de $G$ dans $U$ (resp. $S$) est isomorphe à la représentation régulière de $G$ sur $K$ (resp. $R$).

En effet, pour tout entier $n \geq 0$, les $K$-espaces vectoriels $S_n$ et $(R_+ S) \cap S_n$ sont stables par $G$, et il résulte du th. de Maschke (Annexe, prop. 2) qu’il existe un supplémentaire $U_n$ de $(R_+ S) \cap S_n$ dans $S_n$ stable par $G$. Alors $\sum_{n \geq 0} U_n$ est un supplémentaire de $R_+ S$ dans $S$ stable par $G$, d’où (i).

Soit $U$ un sous-espace vectoriel gradué de $S$, supplémentaire de $R_+ S$ dans $S$, stable par $G$. D’après la remarque 1, toute base du $K$-espace vectoriel $U$ est aussi une base du $R$-module $S$, et par suite une base du corps des fractions $N$ de $S$ sur le corps des fractions $L$ de $R$. Ainsi, le $L$-espace vectoriel $N$ s’identifie à $U \otimes_K L$. Comme $U$ est stable par $G$, cette identification est compatible avec les opérations de $G$. L’algèbre $L[G]$ du groupe $G$ sur $L$ s’identifie à l’algèbre $K[G] \otimes_K L$. L’extension galoisienne $N$ de $L$ admet une base normale ($Alg.$, chap. V, § 10, th. 5 et $Alg.$, chap. VII, § 5, no 7), ce qui peut s’interpréter en disant que $N$, considéré comme $L[G]$-module, est isomorphe au module de la représentation régulière de $G$ sur $L$. Comme $U$ est de dimension finie sur $K$, il résulte alors de l’Annexe, prop. 1, que le $K[G]$-module $U$ est isomorphe au module de la représentation régulière de $G$ sur $K$. Nos assertions en résultent aussitôt.

L’hypothèse faite sur les $k_i$ est superflue, mais n’est pas gênante pour les applications aux groupes de Coxeter finis, puisqu’on a alors $K = R$. Cf. le no 5, où l’on donnera d’ailleurs une autre démonstration du th. 3.

(*) On trouvera une classification de ces groupes dans G. C. Shephard et J. A. Todd, Finite unitary reflection groups, Canad. J. of Maths., t. VI (1954), p. 274-304.

Le th. 3 résultera de la prop. 2 (i), du th. 1, et du lemme suivant:

D’après Alg., chap. II, § 11, no 4, prop. 7, l’hypothèse faite sur les $\alpha_i$ équivaut à dire qu’ils sont homogènes et que leurs images dans le $K$-espace vectoriel $R_+/((R_+)^2$ forment une base de cet espace. Cette condition est invariante par extension du corps de base; on peut donc se ramener au cas où celui-ci est parfait.

La famille $(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$ engendre l’algèbre $R$ d’après Alg. comm., chap. III, § 1, no 2, prop. 1. Raisonnons par l’absurde et supposons que cette famille soit algébriquement liée sur $K$.

1) Nous allons d’abord montrer qu’il existe des familles

d’éléments homogènes de $S$, avec les propriétés suivantes:

(7) $\beta_i \in R$ pour tout $i$, et les $\beta_i$ sont non tous nuls;

(8) $\deg \gamma_k > 0$ pour tout $k$;

(9) $\alpha_i = \sum_{k=1}^r d_{ik} \gamma_k$ pour tout $i$;

(10) $\sum_{i=1}^s \beta_i d_{ik} = 0$ pour tout $k$.

Soient $X_1, \ldots, X_s$ des indéterminées et munissons $K[X_1, \ldots, X_s]$ de la structure d’algèbre graduée pour laquelle $X_i$ est de degré $k_i$. Il existe des éléments homogènes non nuls $H(X_1, \ldots, X_s)$ de $K[X_1, \ldots, X_s]$ tels que $H(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) = 0$; choisissons $H$ de manière que son degré soit minimum. Si $\partial H / \partial X_i \neq 0$, le polynôme $\frac{\partial H}{\partial X_i} (\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$ est donc un élément homogène non nul de $R$; si $p \neq 1$, $H$ n’est pas de la forme $H_1^p$ avec $H_1 \in K[X_1, \ldots, X_s]$. Prenons alors

Comme $K$ est parfait, les polynômes $\partial H / \partial X_i \in K[X_1, \ldots, X_s]$ ne sont pas tous nuls (Alg., chap. V, § 1, no 3, prop. 4); vu l’hypothèse faite sur les $k_i$, il en est de même des $\beta_i$.

D’autre part, S s’identifie à une algèbre graduée de polynômes

en notant $x_1, \ldots, x_r$ des indéterminées affectées de degrés $m_i > 0$ convenables. Soit $D_k$ la dérivation partielle par rapport à $x_k$ dans S. Nous prendrons $d_{ik} = k_i^{-1} D_k(\alpha_i)$. Alors l’égalité (10) est vraie car son premier membre est $D_k(H(\alpha_1, \ldots, \alpha_s))$. D’autre part, si on pose $y_1 = m_1 x_1, \ldots, y_r = m_r x_r$, l’égalité (9) résulte de l’égalité (5) du no 1.

2) Soit $h$ l’idéal de R engendré par les $\beta_i$; il existe une partie J de

telle que $(\beta_i)_{i \in J}$ soit un système générateur minimal de $h$. On a $J \neq \emptyset$ car $h \neq 0$. Nous allons déduire de (9) et (10) que, si $i \in J$, $\alpha_i$ est combinaison R-linéaire des $\alpha_j$ pour $j \neq i$, ce qui contredira la minimalité de $(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$ et achèvera la démonstration.

Il existe des éléments homogènes $\gamma_{ji}$ de R ($i \in J, j \in I - J$) tels que

En tenant compte de (11), la formule (10) donne

Posons

On a donc

Écrivons $u_{ik} = \sum_{\lambda \in \Lambda} \delta_{ik\lambda} z_\lambda$, où les $\delta_{ik\lambda}$ appartiennent à R. La relation (14) entraîne $\sum_{i \in J} \beta_i \delta_{ik\lambda} = 0$ quels que soient $k$ et $\lambda$. Si l’un des $\delta_{ik\lambda}$ avait une composante homogène de degré 0 non nulle, l’égalité précédente entraînerait que l’un des $\beta_i (i \in J)$ est combinaison R-linéaire des autres, contrairement à la minimalité de $(\beta_i)_{i \in J}$. Donc $\delta_{ik\lambda} \in \mathbf{R}_+$ et par suite $u_{ik} \in \mathbf{R}_+ S$ quels que soient $i$ et $k$. Il existe donc des $u_{ikh} \in S$ tels que $u_{ik} = \sum_{h=1}^s u_{ikh} \alpha_h$, autrement dit, d’après (13),

Multiplions les deux membres de (15)$_{ik}$ par $y_k$, et additionnons pour $i$ fixé dans $J$ et $k = 1, 2, \ldots, r$; en vertu de (9), on trouve

Prenons les composantes homogènes de degré $k_i$ des deux membres. Comme $\deg y_k > 0$, on voit que $\alpha_i$ est combinaison S-linéaire des $\alpha_j$ avec $j \neq i$. Comme S est libre sur $\mathbf{R}$ et que $\alpha_1, \ldots, \alpha_s \in \mathbf{R}$, on en déduit que $\alpha_i$ est combinaison R-linéaire des $\alpha_j$ avec $j \neq i$ (Alg. comm., chap. I, § 3, no 5, prop. 9 d)).

En effet, on a $\mathrm{rg}_R(S) = \mathrm{Card}(G)$ (formule (6), no 2). Les degrés caractéristiques de S sont égaux à 1. Alors le corollaire résulte du no 1, prop. 2 (iii).

Quitte à étendre le corps de base, on peut supposer K algébriquement clos. Soit $(e_1, \ldots, e_r)$ une base de V par rapport à laquelle la matrice de s est triangulaire inférieure, et soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ les éléments diagonaux de cette matrice. Par rapport à la base $(e_1^{i(1)} \ldots e_r^{i(r)})_{i(1)+\ldots+i(r)=n}$ de $S_n$, ordonnée lexicographiquement, la matrice de $s^{(n)}$ est triangulaire inférieure, et ses éléments diagonaux sont les produits $\lambda_1^{i(1)} \ldots \lambda_r^{i(r)}$. Donc

et par suite

En effet, l’endomorphisme $f = q^{-1} \sum_{g \in G} g^{(n)}$ est un projecteur de $S_n$ sur $R_n$, donc $\operatorname{Tr}(f) = \dim_K S^G$. La série de Poincaré de $R$ est alors

et il suffit d’appliquer le lemme 2.

D’après la prop. 3 de l’Annexe, on peut supposer $K$ algébriquement clos. Pour tout $g \in G$, soient $\lambda_1(g), \ldots, \lambda_l(g)$ ses valeurs propres. Comme tout $g \in G$ est diagonalisable (Annexe, prop. 2), on a $g = 1$ si et seulement si tous les $\lambda_i(g)$ sont égaux à 1, et $g \in H$ si et seulement si le nombre des $\lambda_i(g)$ égaux à 1 est $l - 1$ (nous noterons alors $\lambda(g)$ la valeur propre distincte de 1). La prop. 1 du no 1 et le lemme 3 prouvent que

dans $K[[T]]$, donc dans $K(T)$. Par suite, on a dans $K(T)$ :

ce qui s’écrit

On voit que $q - \prod_{i=1}^l (1 + T + \cdots + T^{k_i-1})$ doit s’annuler pour $T = 1$, d’où $q = k_1 k_2 \ldots k_l$, ce que nous savions déjà par le cor. du th. 3. Cela étant dit, soit $Q(T)$ le polynôme $(1 - T)^{-1}(q - \prod_{i=1}^l (1 + T + \cdots + T^{k_i-1}))$. En dérivant l’égalité $(1 - T)Q(T) = q - \prod_{i=1}^l (1 + T + \cdots + T^{k_i-1})$ et en faisant $T = 1$, on voit que $- Q(1)$ est la valeur pour $T = 1$ de

d’où Revenant à (17), on a par ailleurs Donc Or les éléments de $G$ qui laissent fixes les points d’un hyperplan donné laissent stable une droite supplémentaire de l’hyperplan (Annexe, prop. 2), donc forment un sous-groupe cyclique $G'$ de $G$ d’après Alg., chap. V, § 11, n° 1, th. 1. Soit $t$ l’ordre de $G'$; les valeurs de $\lambda(g)$ pour $g \in G'$ sont $\theta, \theta^2, \ldots, \theta^{t-1}$ avec $\theta$ racine primitive $t$-ème de l’unité. On a $\frac{1}{1-\theta^i} + \frac{1}{1-\theta^{t-i}} = 1$, donc L’égalité (18) prouve alors la proposition.

Soit $f$ l’automorphisme de l’algèbre $S$ qui prolonge l’automorphisme $-1$ de $V$. On a $f(z) = (-1)^{\deg z} z$ pour tout $z$ homogène de $S$. Donc, si $-1 \in G$, tout élément homogène de degré impair de $\mathbf{R}$ est nul, et les $k_i$ sont pairs. Réciproquement, si les $k_i$ sont pairs, tout élément de $\mathbf{R}$ est invariant par $f$, et la théorie de Galois montre que $-1 \in G$.