Comme $W$ permutte transitivement les chambres déterminées par $\mathfrak{H}$ (§ 3, n° 2, th. 1), tout revient à prouver ceci : soient $(C, (H_i)_{1 \leq i \leq l})$ une chambre ordonnée, et $\pi \in \mathfrak{S}_l$; alors $s_{H_1} s_{H_2} \cdots s_{H_l}$ et $s_{H_{\pi(1)}} s_{H_{\pi(2)}} \cdots s_{H_{\pi(l)}}$ sont conjugués dans W. Compte tenu du § 4, n° 8, prop. 8, ceci résultera aussitôt du lemme suivant:

1) Raisonnons par récurrence sur n = Card X. Le cas où n = 1 est immédiat, supposons n ≥ 2. Il existe dans X un sommet terminal a (chap. IV, Annexe, n° 3, prop. 2). Soit b ∈ X − {a} un sommet lié à a s’il en existe; si a n’est lié à aucun sommet de X − {a}, on prend b quelconque dans X − {a}. Dans tous les cas, g_a commute à g_x pour x ≠ b. Soit η ∈ T tel que a soit le plus grand élément de X et b le plus grand élément de X − {a}; soit ξ ∈ T, et prouvons que p_ξ, p_η sont conjugués.

2) Supposons d’abord que, pour ξ, a soit le plus grand élément de X et b le plus grand élément de X − {a}. Soit X’ le sous-graphe plein X − {a}, qui est une forêt. Définissons une application x ↦ g'_x de X’ dans Γ en posant g'_x = g_x si x ≠ b, g'_b = g_bg_a. Soient ξ’, η’ les restrictions de ξ, η à X’. L’hypothèse de récurrence est applicable, donc p_ξ’ et p_η’ sont conjugués. Mais il est clair que p_ξ’ = p_ξ, p_η’ = p_η, d’où le lemme dans ce cas.

3) Supposons que a soit le plus grand élément de X pour ξ. Soit X_1 (resp. X_2) l’ensemble des éléments de X − {a} strictement majorés (resp. minorés) par b; soit ξ_i la restriction de ξ à X_i. On a

et cet élément est conjugué de p_{ξ_1} p_{ξ_2} g_b g_a. On est donc ramené au cas 2).

4) Dans le cas général, soit X_3 (resp. X_4) l’ensemble des éléments de X strictement majorés (resp. minorés) par a; soit ξ_i la restriction de ξ à X_i. On a p_ξ = p_{ξ_3} g_a p_{ξ_4}, et cet élément est conjugué de p_{ξ_4} p_{ξ_3} g_a. On est donc ramené au cas 3).

Il résulte de la prop. 1 que toutes les transformations de Coxeter ont le même ordre h = h(W). Ce nombre s’appelle le nombre de Coxeter de W.

(iii) $z', z'' \in \overline{C}$, et $P \cap C$ est l’ensemble des combinaisons linéaires de $z'$, $z''$ à coefficients $> 0$.

Soit $(e^1, \ldots, e^l)$ la base de $V$ telle que $(e^i|e_j) = \delta_{ij}$. Alors $C$ est le cône simplicial ouvert déterminé par les $e^i$ (§ 3, no 9, prop. 7). Il est clair que $V'$ est engendré par $e^{r+1}, \ldots, e^l$ et $V''$ par $e^1, \ldots, e^r$. Soit $q$ l’endomorphisme de $V$ tel que $q(e^1) = e_1, \ldots, q(e^l) = e_l$. Sa matrice par rapport à $(e^1, \ldots, e^l)$ est $Q = ((e_i|e_j))$. On a $(e_i|e_j) \leq 0$ pour $i \neq j$ (§ 3, no 4, prop. 3). Puisque $W$ est irréductible, il n’existe pas de partition $\{1, 2, \ldots, l\} = I_1 \cup I_2$ telle que $(e_i|e_j) = 0$ pour $i \in I_1$ et $j \in I_2$. Donc (§ 3, no 5, lemme 4) $Q$ admet un vecteur propre $(a_1, \ldots, a_l)$ à coordonnées toutes $> 0$; soit $a$ la valeur propre correspondante. Posons

et soit $P$ le plan engendré par $z'$ et $z''$. Alors $P \cap C$ est l’ensemble des combinaisons linéaires de $z'$ et $z''$ à coefficients $> 0$. La relation $q(z) = az$ donne

en multipliant scalairement par $e_k$ (où $k \leq r$), il vient

Ainsi, $(a - 1)z'' + z'$ est orthogonal à $e^1, \ldots, e^r$, c’est-à-dire à $V''$. Donc $s''$ laisse stable le plan engendré par $z''$ et $(a - 1)z'' + z'$, c’est-à-dire $P$. De même, $s'$ laisse stable $P$. Comme $z' \in P \cap V'$ et $z'' \in P \cap V''$, $s'|P$ et $s''|P$ sont les réflexions par rapport à $Rz'$ et $Rz''$.

(i) $m_1 = 1,\ m_l = h - 1$. (ii) Card ($\xi$) = $\frac{1}{2} lh$.

Conservons les notations précédentes. La restriction de $c = s's''$ à P est la rotation d’angle $2(\overline{z''}, z')$ (§ 2, n° 5, cor. de la prop. 6). Comme $c$ est d’ordre $h$, les $h$ éléments $1, c, \ldots, c^{h-1}$ de W sont deux à deux distincts; les éléments $s'$, $s'c, \ldots, s'c^{h-1}$ sont donc deux à deux distincts, et sont distincts des précédents car $c^i|P$ est une rotation et $s'c^j|P$ est une réflexion. L’ensemble

est le sous-groupe $W'$ de W engendré par $s'$ et $s''$, et induit dans P le groupe $W''$ engendré par les réflexions orthogonales par rapport à $Rz', Rz''$. Le transformé de C par un élément de $W'$ est disjoint de — C ou égal à — C. Donc le transformé de $P \cap C$ par un élément de $W''$ est disjoint de — (P $\cap$ C) ou égal à — (P $\cap$ C). Donc, pour une orientation convenable de P, il existe un entier $m > 0$ tel que $(\overline{z''}, z') = \frac{\pi}{m}$ (§ 2, n° 5, cor. de la prop. 7). Par ailleurs, les ensembles $g'(C)$, pour $g' \in W'$, sont deux à deux disjoints; les ensembles $g''(P \cap C)$, pour $g'' \in W''$, sont donc deux à deux disjoints; ainsi, $W''$ est d’ordre $2h$. D’où $m = h$. En définitive, $c|P$ est une rotation d’angle $\frac{2\pi}{h}$, et admet par suite les valeurs propres $\exp \frac{2i\pi}{h}$, $\exp \frac{2i\pi(h-1)}{h}$. Ceci prouve que $m_1 = 1$, $m_l = h - 1$.

Les transformées de $Rz'$ et $Rz''$ par $W'$ sont $h$ droites $D_1, \ldots, D_h$ de P, et les points de $P - (D_1 \cup \cdots \cup D_h)$ sont transformés par des éléments de $W'$ de points de $P \cap C$. Donc un hyperplan de $\mathfrak{g}$ coupe nécessairement P suivant l’une des droites $D_i$, et par suite est transformé, par une opération de $W'$, d’un hyperplan de $\mathfrak{g}$ contenant $Rz'$ ou $Rz''$.

Or, tout $H \in \mathfrak{g}$ qui contient $Rz'$ est l’un des hyperplans $H_1, \ldots, H_r$. En effet, soit $e_H$ le vecteur unitaire orthogonal à H et situé du même côté de H que C. On a $e_H = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_l e_l$ avec des $\lambda_i$ tous $\geq 0$ (§ 3, n° 5, lemme 6, (i)). Or $0 = (e_H|z') = \lambda_{r+1} a_{r+1} + \cdots + \lambda_l a_l$, donc

Supposons que deux des $\lambda_i$ soient non nuls, par exemple $\lambda_1$ et $\lambda_2$; comme $e_1, \ldots, e_r$ sont deux à deux orthogonaux, on aurait

et les coordonnées de $s_1(e_H)$ ne seraient pas toutes de même signe, ce qui est absurde (loc. cit.). Donc $e_H$ est proportionnel à l’un des vecteurs $e_1, \ldots, e_r$, ce qui prouve notre assertion. De même, tout $H \in \mathfrak{g}$ qui contient $Rz''$ est l’un des hyperplans $H_{r+1}, \ldots, H_l$.

Le nombre d’éléments de $\mathfrak{g}$ contenant $Rz'$ ou $Rz''$ est donc $l$. Si $h$ est pair, Card($\mathfrak{g}$) est donc égal à $\frac{h}{2} l$. Si $h$ est impair, Card($\mathfrak{g}$) est égal à n° 6.2.

Posons $f(x) = \sum_{u \in R_0} (x|u)^2$. Il est clair que $f$ est une forme quadratique positive invariante par $W$, non dégénérée puisque les $e_i$ forment une base de $V$. Comme $W$ est irréductible, il existe une constante $\beta$ telle que $f(x) = \beta (x|x)$ (§ 2, n° 1, prop. 1). Si $(x_i)_{1 \leq i \leq l}$ est une base orthonormale de $V$ pour le produit scalaire $(x|y)$, on a

D’où $\beta = h$, ce qui prouve (4).

Posons $V' = V \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$, $S' = S(V') = S \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$, et prolongeons le produit scalaire de $V$ en une forme hermitienne sur $V'$. Si $c$ est une transformation de Coxeter de W, il existe une base orthonormale $(\mathbf{X}_i)_{1 \leq i \leq l}$ de $V'$ formée de vecteurs propres de $c \otimes 1$ (Alg., chap. IX, § 7, n° 3, prop. 4); on peut supposer en outre que, pour $1 \leq j \leq l$, $\mathbf{X}_j$ correspond à la valeur propre $\exp \frac{2i\pi m_j}{h}$ de $c \otimes 1$. Il est clair que $S'$ s’identifie à l’algèbre $\mathbf{C}[\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_l]$, et l’on peut écrire $u_j \otimes 1 = f_j(\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_l)$, où $f_j$ est un polynôme homogène de degré $p_j$ dans $\mathbf{C}[\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_l]$. Posons $D_j = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}_j}$, et $J(\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_l) = \det(D_k f_j)$. Rappelons (§ 5, n° 4, prop. 5) que $J(\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_l)$ est proportionnel au produit dans $S'$ de $\mathrm{Card}(\mathfrak{S})$ vecteurs $y_k$ de $V$ donc chacun est orthogonal à un hyperplan de $\mathfrak{S}$. Comme on peut supposer que $\mathbf{X}_1 \notin H \otimes \mathbf{C}$ pour tout $H \in \mathfrak{S}$ (Remarque), les composantes sur $\mathbf{X}_1$ de chacun des vecteurs $y_k$ sont $\neq 0$, donc $J(1, 0, 0, \ldots, 0) \neq 0$. La règle de développement d’un déterminant prouve alors l’existence d’une permutation $\sigma$ de $\{1, 2, \ldots, l\}$ telle que $(D_{\sigma(j)} f_j)(1, 0, 0, \ldots, 0) \neq 0$ pour tout $j$. Comme $D_{\sigma(j)} f_j$ est homogène de degré $p_j - 1$, le coefficient de $X_1^{p_j-1} X_{\sigma(j)}$ dans $f_j(\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_l)$ est non nul. Or $f_j(\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_l)$ est invariant par $c \otimes 1$, et

Ceci prouve que $p_j - 1 + m_{\sigma(j)} \equiv 0$ (mod. $h$). Or $h - m_{\sigma(j)}$ est un exposant (formule (2)). En permutant les $u_j$, on peut donc supposer que $p_j - 1 \equiv m_j$ (mod. $h$) pour tout $j$. Comme $p_j - 1 \geq 0$ et $m_j < h$, on a $p_j - 1 = m_j + \mu_j h$ avec $\mu_j$ entier $\geq 0$. D’après le § 5, prop. 3, on voit que

Compte tenu de la formule (3) et du th. 1 (ii), on obtient $h \sum_{j=1}^l \mu_j = 0$, donc $\mu_j = 0$, pour tout $j$ et finalement $p_j - 1 = m_j$ pour tout $j$.

sont des valeurs propres de multiplicité 1 de $c$.

Dans le cas contraire, il existerait deux invariants homogènes de degré 2 non proportionnels dans $S$, d’où deux formes quadratiques non proportionnelles sur $V^*$ invariantes par $W$, contrairement au § 2, n° 1, prop. 1.

La première assertion résulte du § 5, n° 3, prop. 4. Supposons les exposants de W impairs. Alors h est pair d’après la formule (2), et

donc $c^{h/2} = -1$ puisque c est un automorphisme semi-simple de V (Alg., chap. IX, § 7, n° 3, prop. 4).