Annexe

Compléments sur les représentations linéaires

La proposition suivante généralise la prop. 13 du chap. I, § 3, n° 8.

Proposition 1

Soient K un corps commutatif, A une K-algèbre, V et W deux A-modules à gauche qui sont des espaces vectoriels de dimension finie sur K. S’il existe une extension L de K telle que les (A \otimes_K L)-modules V \otimes_K L et W \otimes_K L soient isomorphes, alors les A-modules V et W sont isomorphes.

a) Supposons d’abord que L soit une extension de K de degré fini n. Comme V \otimes_K L et W \otimes_K L sont isomorphes en tant que (A \otimes_K L)-modules, ils sont isomorphes en tant que A-modules; mais, en tant que A-modules, ils sont isomorphes respectivement à V^n et W^n. Or V et W sont des A-modules de longueur finie; donc V (resp. W) est somme directe d’une famille (M_i^{r_i})_{1 \leq i \leq p} (resp. (N_j^{s_j})_{1 \leq j \leq q}) de sous-modules tels que les M_i (resp. N_j) soient indécomposables, et que deux M_i (resp. N_j) d’indices distincts soient non isomorphes (Alg., chap. VIII, § 2, n° 2, th. 1). Alors V^n (resp. W^n) est somme directe des M_i^{n r_i} (resp. N_j^{n s_j}); on en conclut (loc. cit.) que p = q et qu’après permutation éventuelle des N_j, M_i est isomorphe à N_i et n r_i égal à n s_i pour 1 \leq i \leq p. Donc V est isomorphe à W.

b) Supposons que K soit un corps infini. L’hypothèse entraîne que V et W ont même dimension sur K. Soient (e_i)_{1 \leq i \leq m}, (e'_i)_{1 \leq i \leq m} des bases de V et W sur K, (a_\lambda) une base de A sur K. Un isomorphisme u : V \otimes_K L \to W \otimes_K L est une application L-linéaire bijective qui est en même temps un (A \otimes_K L)-homomorphisme, autrement dit qui vérifie les conditions :

(1)

a_\lambda u(e_i) = u(a_\lambda e_i) \quad \text{pour tout } \lambda \text{ et tout } i.

Posons $a_\lambda e_i = \sum_j \gamma_{\lambda i j} e_j, \quad a_\lambda e'_i = \sum_j \gamma'_{\lambda i j} e'_j,$ où les $\gamma_{\lambda i j}$ et $\gamma'_{\lambda i j}$ appartiennent à K, et $u(e_i) = \sum_j \xi_{i j} e'_j,$ où les $\xi_{i j}$ appartiennent à L. Les conditions (1) s’écrivent

(2)

\sum_j \xi_{i j} \gamma'_{\lambda j k} = \sum_j \gamma_{\lambda i j} \xi_{j k}

quels que soient $\lambda, i, k$ . Par hypothèse, les équations linéaires homogènes (2) ont une solution $(\xi_{ij}) \in L^{m^*}$ telle que $\det(\xi_{ij}) \neq 0$ . Comme les coefficients du système (2) appartiennent à $K$ , on sait (Alg., chap. II, 3e éd., § 8, no 5, prop. 6) que ce système admet aussi des solutions non triviales dans $K^{m^*}$ ; soit $E$ le sous-espace vectoriel de $M_m(K) = K^{m^*}$ , non réduit à 0, formé par ces solutions. Soit $(c_l)_{1 \leq l \leq p}$ une base de $E$ , et posons $(\xi_{ij}) = \sum_i \eta_i c_i$ pour toute matrice $(\xi_{ij}) \in E$ ; alors $\det(\xi_{ij})$ est un polynôme $P(\eta_1, \eta_2, \ldots, \eta_p)$ à coefficients dans $K$ . En outre, on sait (loc. cit.) que les solutions de (2) dans $L^{m^*}$ sont de la forme $\sum_i \zeta_i c_i$ , avec cette fois $\zeta_i \in L$ ; pour une telle solution, $\det(\xi_{ij})$ est égal à $P(\zeta_1, \ldots, \zeta_p)$ . Ceci posé, si on avait $P(\eta_1, \ldots, \eta_p) = 0$ quels que soient $\eta_1, \ldots, \eta_p \in K$ , les coefficients de $P$ seraient nuls puisque $K$ est infini; on aurait alors $P(\zeta_1, \ldots, \zeta_p) = 0$ quels que soient $\zeta_1, \ldots, \zeta_p \in L$ , ce qui est contraire à l’hypothèse. On peut donc trouver une matrice $(\xi_{ij}) \in E$ telle que $\det(\xi_{ij}) \neq 0$ , et l’application linéaire correspondante $V \to W$ est un isomorphisme.

c) Cas général. Soient $\Omega$ une extension algébriquement close de $L$ , $K_0$ la clôture algébrique de $K$ dans $\Omega$ . L’hypothèse entraîne que $V \otimes_K \Omega$ et $W \otimes_K \Omega$ sont des $(A \otimes_K \Omega)$ -modules isomorphes. Comme $K_0$ est infini, la partie b) montre que $V \otimes_K K_0$ et $W \otimes_K K_0$ sont des $(A \otimes_K K_0)$ -modules isomorphes. Gardant les notations de b), le système (2) admet une solution $(\xi_{ij}) \in K_0^{m^*}$ telle que $\det(\xi_{ij}) \neq 0$ . Mais les $\xi_{ij}$ appartiennent à une même extension algébrique $K_1$ de degré fini de $K$ . Les $(A \otimes_K K_1)$ -modules $V \otimes_K K_1$ et $W \otimes_K K_1$ sont isomorphes, et on conclut à l’aide de a).

Proposition 2 (Maschke). — Soient A un anneau ayant un élément unité, E un A-module à gauche, F un sous-module facteur direct, G un groupe fini d’ordre q, ρ une représentation linéaire de G dans E. On suppose que q.1 est inversible dans A et que F est stable par G. Il existe alors un supplémentaire de F dans E stable par G.

Soit $p$ un projecteur de $E$ sur $F$ . Pour tout $x \in E$ , posons

f(x) = q^{-1} \sum_{s \in G} \rho(s)^{-1} p(\rho(s)x).

On a $f(x) \in F$ et $f(y) = y$ pour tout $y \in F$ , donc $f$ est un projecteur de $E$ sur $F$ . D’autre part, si $t \in G$ , on a

\begin{align*} \rho(t)f(x) &= q^{-1} \sum_{s \in G} \rho(st^{-1})^{-1} p(\rho(s)x) \\ &= q^{-1} \sum_{s \in G} \rho(s)^{-1} p(\rho(st)x) \\ &= f(\rho(t)x). \end{align*}

Donc $f$ commute à $\rho(G)$ , de sorte que $\operatorname{Ker} f$ est un supplémentaire de $E$ stable par $G$ .

Corollaire

Soient $G$ un groupe fini d’ordre $q$ , $K$ un corps commutatif dont la caractéristique ne divise pas $q$ . Alors l’algèbre de $G$ relativement à $K$ est semi-simple. En effet, d’après la prop. 2, tout module sur cette algèbre est semi-simple.

Proposition 3

Soient $A$ un anneau commutatif, $M$ un $A$ -module, $G$ un groupe fini opérant dans $M$ , et $A'$ un $A$ -module. On suppose que l’ordre $q$ de $G$ est inversible dans $A$ . Soit $M^G$ l’ensemble des éléments de $M$ invariants par $G$ . Alors l’homomorphisme canonique de $M^G \otimes_A A'$ dans $M \otimes_A A'$ définit un isomorphisme de $M^G \otimes_A A'$ sur le module $(M \otimes_A A')^G$ des éléments de $M \otimes_A A'$ invariants par $G$ . En effet, soit $Q$ le projecteur de $M$ sur $M^G$ défini par $Q(x) = q^{-1} \sum_{g \in G} g(x)$ pour tout $x \in M$ . Si $i$ désigne l’injection canonique de $M^G$ dans $M$ , $Q \circ i$ est l’application identique de $M^G$ , donc $(Q \otimes 1_{A'}) \circ (i \otimes 1_{A'})$ est l’application identique de $M^G \otimes_A A'$ . Comme $Q \otimes 1_{A'} = q^{-1} \sum_{g \in G} (g \otimes 1_{A'})$ , l’image de $i \otimes 1_{A'}$ est $(M \otimes A')^G$ . D’autre part, $i \otimes 1_{A'}$ est injectif d’après ce qui précède.

Remarque

La proposition précédente s’applique notamment lorsque $A'$ est une $A$ -algèbre. Dans ce cas, $M^G \otimes_A A'$ est un sous- $A'$ -module de $M \otimes_A A'$ .

Exercises