Bổ sung về các biểu diễn tuyến tính

a) Trước hết giả sử rằng L là một mở rộng của K có bậc hữu hạn n. Vì V \otimes_K L và W \otimes_K L đẳng cấu như các (A \otimes_K L)-môđun, nên chúng đẳng cấu như các A-môđun; nhưng, như các A-môđun, chúng lần lượt đẳng cấu với V^n và W^n. Mặt khác V và W là các A-môđun có độ dài hữu hạn; do đó V (tương ứng W) là tổng trực tiếp của một họ (M_i^{r_i})_{1 \leq i \leq p} (tương ứng (N_j^{s_j})_{1 \leq j \leq l}) các môđun con sao cho các M_i (tương ứng N_j) là không phân tích được, và hai M_i (tương ứng N_j) có các chỉ số phân biệt thì không đẳng cấu (Đại số, Chương VIII, § 2, no. 2, Định lý 1). Khi đó V^n (tương ứng W^n) là tổng trực tiếp của các M_i^{n r_i} (tương ứng N_j^{n s_j}); từ đó suy ra (loc. cit.) rằng p = q và, sau một phép hoán vị thích hợp của các N_j, rằng M_i đẳng cấu với N_i và n r_i bằng n s_i với 1 \leq i \leq p. Vậy V đẳng cấu với W.

b) Giả sử rằng K là một trường vô hạn. Giả thiết kéo theo rằng V và W có cùng chiều trên K. Gọi (e_i)_{1 \leq i \leq m} và (e'_i)_{1 \leq i \leq m} là các cơ sở của V và W trên K, và (a_\lambda) là một cơ sở của A trên K. Một đẳng cấu u : V \otimes_K L \to W \otimes_K L là một ánh xạ tuyến tính L song ánh và đồng thời là một đồng cấu (A \otimes_K L), nói cách khác nó thỏa mãn các điều kiện

Đặt $a_\lambda e_i = \sum_j \gamma_{\lambda ij} e_j, \ a_\lambda e'_i = \sum_j \gamma'_{\lambda ij} e'_j,$ trong đó các $\gamma_{\lambda ij}$ và $\gamma'_{\lambda ij}$ thuộc K, và $u(e_i) = \sum_j \xi_{ij} e'_j,$ trong đó các $\xi_{ij}$ thuộc L. Các điều kiện (1) có thể viết thành

với mọi $\lambda, i, k$. Theo giả thiết, các phương trình tuyến tính thuần nhất (2) có một nghiệm $(\xi_{ij}) \in L^{m^2}$ sao cho $\det(\xi_{ij}) \neq 0$. Vì các hệ số của hệ (2) thuộc K, ta biết (Đại số, Chương II, § 8, no. 5, Mệnh đề 6) rằng hệ này cũng có các nghiệm không tầm thường trong $K^{m^2}$; gọi E là không gian con vectơ của $M_m(K) = K^{m^2}$, khác không, gồm các nghiệm đó. Gọi $(c_l)_{1 \leq l \leq p}$ là một cơ sở của $E$, và đặt $(\xi_{ij}) = \sum_l \eta_l c_l$ với mọi ma trận $(\xi_{ij}) \in E$; khi đó $\det(\xi_{ij})$ là một đa thức $P(\eta_1, \ldots, \eta_p)$ với các hệ số trong $K$. Mặt khác, ta biết (loc. cit.) rằng các nghiệm của (2) trong $L^{m^2}$ có dạng $\sum_l \zeta_l c_l$, lần này với $\zeta_l \in L$; đối với một nghiệm như vậy, $\det(\xi_{ij})$ bằng $P(\zeta_1, \ldots, \zeta_p)$. Chấp nhận điều đó, nếu ta có $P(\eta_1, \ldots, \eta_p) = 0$ với mọi $\eta_1, \ldots, \eta_p \in K$, thì các hệ số của $P$ sẽ bằng không vì $K$ là vô hạn; khi đó ta sẽ có $P(\zeta_1, \ldots, \zeta_p) = 0$ với mọi $\zeta_1, \ldots, \zeta_p \in L$, trái với giả thiết của ta. Vậy ta có thể tìm được một ma trận $(\xi_{ij}) \in E$ sao cho $\det(\xi_{ij}) \neq 0$, và ánh xạ tuyến tính tương ứng $V \to W$ là một đẳng cấu.

c) Trường hợp tổng quát. Cho $\Omega$ là một mở rộng đóng đại số của $L$, và $K_0$ là bao đóng đại số của $K$ trong $\Omega$. Giả thiết kéo theo rằng $V \otimes_K \Omega$ và $W \otimes_K \Omega$ là các $(A \otimes_K \Omega)$-môđun đẳng cấu. Vì $K_0$ là vô hạn, phần b) cho thấy rằng $V \otimes_K K_0$ và $W \otimes_K K_0$ là các $(A \otimes_K K_0)$-môđun đẳng cấu. Giữ ký hiệu của b), hệ (2) có một nghiệm $(\xi_{ij}) \in K_0^{m^2}$ sao cho $\det(\xi_{ij}) \neq 0$. Nhưng các $\xi_{ij}$ đều thuộc một mở rộng đại số $K_1$ có bậc hữu hạn trên $K$. Các $(A \otimes_K K_1)$-môđun $V \otimes_K K_1$ và $W \otimes_K K_1$ là đẳng cấu, và chứng minh được hoàn tất bằng cách dùng a).

Cho $p$ là một phép chiếu của $E$ lên $F$. Với mọi $x \in E$, đặt

Ta có $f(x) \in F$ và $f(y) = y$ với mọi $y \in F$, nên $f$ là một phép chiếu của $E$ lên $F$. Mặt khác, nếu $t \in G$, Do đó $f$ giao hoán với $\rho(G)$, nên $\ker(f)$ là một phần bù của $F$ ổn định dưới $G$.

Thật vậy, theo Mệnh đề 2, mọi môđun trên đại số này đều là nửa đơn.

Thật vậy, cho $Q$ là phép chiếu của $M$ lên $M^G$ được xác định bởi $Q(x) = q^{-1} \sum_{g \in G} g(x)$ với mọi $x \in M$. Nếu $i$ ký hiệu đơn ánh chính tắc của $M^G$ vào $M$, thì $Q \circ i$ là ánh xạ đồng nhất của $M^G$, nên $(Q \otimes 1_{A'}) \circ (i \otimes 1_{A'})$ là ánh xạ đồng nhất của $M^G \otimes_A A'$. Vì $Q \otimes 1_{A'} = q^{-1} \sum_{g \in G} (g \otimes 1_{A'})$, ảnh của $i \otimes 1_{A'}$ là $(M \otimes A')^G$. Mặt khác, $i \otimes 1_{A'}$ là đơn ánh theo điều đã được nói trước đó.