Vì W hoán vị các buồng được xác định bởi $\mathfrak{H}$ một cách bắc cầu (§ 3, no. 2, Định lý 1), nên ta được quy về việc chứng minh điều sau: cho $(C, (H_i)_{1 \leq i \leq l})$ là một buồng có thứ tự và $\pi \in S_l$; khi đó $s_{H_1} s_{H_2} \cdots s_{H_l}$ và $s_{H_{\pi(1)}} s_{H_{\pi(2)}} \cdots s_{H_{\pi(l)}}$ là liên hợp trong W. Có tính đến § 4, no. 8, Mệnh đề 8, điều này sẽ suy ra ngay lập tức từ bổ đề sau:

1) Ta tiến hành bằng quy nạp theo $n = \mathrm{Card}\, X$. Trường hợp $n = 1$ là ngay lập tức, vậy giả sử rằng $n \geqslant 2$. Tồn tại trong $X$ một đỉnh tận cùng $a$ (Chương IV, Phụ lục, no. 3, Mệnh đề 2). Gọi $b \in X - \{a\}$ là một đỉnh nối với $a$ nếu có một đỉnh như vậy; nếu $a$ không nối với đỉnh nào trong $X - \{a\}$, lấy $b$ trong $X - \{a\}$ là tùy ý. Trong mọi trường hợp, $g_a$ giao hoán với $g_x$ với $x \neq b$. Gọi $\eta \in \mathscr{T}$ sao cho $a$ là phần tử lớn nhất của $X$ và $b$ là phần tử lớn nhất của $X - \{a\}$; ta lấy $\xi \in \mathscr{T}$ và chứng minh rằng $p_{\xi}, p_{\eta}$ là liên hợp.

2) Trước hết giả sử rằng, đối với $\xi$, $a$ là phần tử lớn nhất của $X$ và $b$ là phần tử lớn nhất của $X - \{a\}$. Gọi $X'$ là đồ thị con đầy đủ $X - \{a\}$, là một rừng. Định nghĩa một ánh xạ $x \mapsto g'_x$ từ $X'$ vào $\Gamma$ bằng cách đặt $g'_x = g_x$ nếu $x \neq b$, $g'_b = g_bg_a$. Gọi $\xi', \eta'$ là các hạn chế của $\xi, \eta$ trên $X'$. Giả thiết quy nạp áp dụng được, nên $p_{\xi'}$ và $p_{\eta'}$ liên hợp. Nhưng hiển nhiên $p_{\xi'} = p_{\xi}, p_{\eta'} = p_{\eta}$, chứng minh bổ đề trong trường hợp này.

3) Giả sử rằng $a$ là phần tử lớn nhất của $X$ đối với $\xi$. Gọi $X_1$ (resp. $X_2$) là tập hợp các phần tử của $X - \{a\}$ lớn hơn hẳn (resp. nhỏ hơn hẳn) $b$; gọi $\xi_i$ là hạn chế của $\xi$ lên $X_i$. Khi đó

và phần tử này liên hợp với $p_{\xi_2} p_{\xi_1} g_b g_a$. Do đó ta được quy về trường hợp 2).

4) Trong trường hợp tổng quát, gọi $X_3$ (tương ứng $X_4$) là tập hợp các phần tử của $X$ lớn hơn hẳn (tương ứng nhỏ hơn hẳn) $a$; gọi $\xi_i$ là hạn chế của $\xi$ lên $X_i$. Khi đó $p_{\xi} = p_{\xi_3} g_a p_{\xi_4}$, và phần tử này liên hợp với $p_{\xi_4} p_{\xi_3} g_a$. Như vậy ta được quy về trường hợp 3).

Suy ra từ Mệnh đề 1 rằng tất cả các phép biến đổi Coxeter đều có cùng một cấp $h = h(W)$. Số này được gọi là số Coxeter của $W$.

Cho $(e^1, \ldots, e^l)$ là cơ sở của V sao cho $(e^i|e_j) = \delta_{ij}$. Khi đó C là nón đơn hình mở được xác định bởi các $e^i$ (§ 3, no. 9, Mệnh đề 7). Hiển nhiên $V'$ được sinh bởi $e^{r+1}, \ldots, e^l$ và $V''$ bởi $e^1, \ldots, e^r$. Gọi q là tự đồng cấu của V sao cho $q(e^1) = e_1, \ldots, q(e^l) = e_l$. Ma trận của nó đối với $(e^1, \ldots, e^l)$ là $Q = ((e_i|e_j))$. Ta có $(e_i|e_j) \leq 0$ với $i \neq j$ (§ 3, no. 4, Mệnh đề 3). Vì W là bất khả quy, không tồn tại phân hoạch nào $\{1, 2, \ldots, l\} = I_1 \cup I_2$ sao cho $(e_i|e_j) = 0$ với $i \in I_1$ và $j \in I_2$. Do đó (§ 3, no. 5, Bổ đề 4) Q có một vectơ riêng $(a_1, \ldots, a_l)$ mà mọi tọa độ đều > 0; gọi a là trị riêng tương ứng. Đặt

và gọi $P$ là mặt phẳng sinh bởi $z'$ và $z''$. Khi đó $P \cap C$ là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của $z'$ và $z''$ với các hệ số $> 0$. Quan hệ $q(z) = az$ cho $\sum_{j=1}^l a_j e_j = \sum_{j=1}^l aa_j e^j$; lấy tích vô hướng với $e_k$ (với $k \leq r$) cho

Do đó, $(a-1)z'' + z'$ trực giao với $e^1, \ldots, e^r$, tức là với $V''$. Suy ra $s''$ giữ ổn định mặt phẳng sinh bởi $z''$ và $(a-1)z'' + z'$, tức là $P$. Tương tự, $s'$ giữ $P$ ổn định. Vì $z' \in P \cap V'$ và $z'' \in P \cap V''$, $s'|P$ và $s''|P$ là các phép đối xứng qua $Rz'$ và $Rz''$.

Ta giữ ký hiệu trước đó. Hạn chế của $c = s's''$ lên $P$ là phép quay có góc $2(\widehat{z'', z'})$ (§ 2, no. 5, Hệ quả của Mệnh đề 6). Vì $c$ có cấp $h$, nên $h$ phần tử $1, c, \ldots, c^{h-1}$ của $W$ từng đôi một phân biệt; do đó các phần tử $s', s'c, \ldots, s'c^{h-1}$ cũng từng đôi một phân biệt, và phân biệt với các phần tử đứng trước vì $c^i|P$ là một phép quay còn $s'c^j|P$ là một phép đối xứng. Tập hợp

là nhóm con $W'$ của $W$ sinh bởi $s'$ và $s''$, và cảm sinh trên $P$ nhóm $W''$ sinh bởi các phép đối xứng trực giao đối với $Rz', Rz''$. Biến đổi của $C$ bởi một phần tử của $W'$ hoặc rời nhau với $-C$ hoặc bằng $-C$. Do đó, biến đổi của $P \cap C$ bởi một phần tử của $W''$ hoặc rời nhau với $-(P \cap C)$ hoặc bằng $-(P \cap C)$. Vậy, với một hướng thích hợp của P, tồn tại một số nguyên $m > 0$ sao cho $(\overline{z''}, z') = \frac{\pi}{m}$ (§ 2, no. 5, Hệ quả của Mệnh đề 7). Hơn nữa, các tập hợp $g'(C)$, với $g' \in W'$, từng đôi một rời nhau; do đó các tập hợp $g''(P \cap C)$, với $g'' \in W''$, từng đôi một rời nhau; vì thế $W''$ có cấp $2h$. Suy ra $m = h$. Theo định nghĩa, $c|P$ là một phép quay có góc $\frac{2\pi}{m}$, nên có các giá trị riêng $\exp \frac{2i\pi}{h}$, $\exp \frac{2i\pi(h-1)}{h}$. Điều này chứng tỏ rằng $m_1 = 1, m_l = h - 1$.

Các biến đổi của $Rz'$ và $Rz''$ bởi $W'$ là $h$ đường thẳng $D_1, \ldots, D_h$ của P, và các điểm của $P - (D_1 \cup \cdots \cup D_h)$ là các biến đổi, bởi các phần tử của $W'$, của các điểm của $P \cap C$. Vì thế, một siêu phẳng của $\mathfrak{H}$ tất yếu cắt P theo một trong các đường thẳng $D_i$, và do đó là một biến đổi, bởi một phép toán của $W'$, của một siêu phẳng của $\mathfrak{H}$ chứa $Rz'$ hoặc $Rz''$.

Bấy giờ, mọi $H \in \mathfrak{H}$ chứa $Rz'$ đều là một trong các siêu phẳng $H_1, \ldots, H_r$. Thật vậy, gọi $e_H$ là vectơ đơn vị trực giao với H và nằm về cùng phía của H như C. Khi đó $e_H = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_l e_l$ với các $\lambda_i$ đều $\geq 0$ (§ 3, no. 5, Bổ đề 6, (i)). Bây giờ $0 = (e_H|z') = \lambda_{r+1} a_{r+1} + \cdots + \lambda_l a_l$, do đó

Giả sử có hai trong các $\lambda_i$ khác không, chẳng hạn $\lambda_1$ và $\lambda_2$; vì $e_1, \ldots, e_r$ trực giao từng đôi một, ta sẽ có và các tọa độ của $s_1(e_H)$ sẽ không cùng dấu, điều này là vô lý (loc. cit.). Vậy $e_H$ tỉ lệ với một trong các vectơ $e_1, \ldots, e_r$, điều đó chứng minh mệnh đề của ta. Tương tự, mọi $H \in \mathfrak{H}$ chứa $Rz''$ đều là một trong các siêu phẳng $H_{r+1}, \ldots, H_l$.

Vì thế, số phần tử của $\mathfrak{H}$ chứa $Rz'$ hoặc $Rz''$ là $l$. Nếu $h$ chẵn thì $\mathrm{Card}(\mathfrak{H})$ do đó bằng $\frac{h}{2} l$. Nếu $h$ lẻ thì $\mathrm{Card}(\mathfrak{H})$ bằng $\frac{h-1}{2} l + r$, và cũng bằng $\frac{h-1}{2} l + (l - r)$; suy ra $r = l - r$, nên $r = \frac{l}{2}$, và $\mathrm{Card}(\mathfrak{H}) = \frac{h-1}{2} l + \frac{l}{2} = \frac{h}{2} l$.

với mọi $x \in V$.

Đặt $f(x) = \sum_{u \in R_0} (x|u)^2$. Hiển nhiên $f$ là một dạng toàn phương dương bất biến dưới $W$, và không suy biến vì các $e_i$ lập thành một cơ sở của $V$. Vì

W là bất khả quy, nên tồn tại một hằng $\beta$ sao cho $f(x) = \beta(x|x)$ (§ 2, no. 1, Mệnh đề 1). Nếu $(x_i)_{1 \leq i \leq l}$ là một cơ sở trực chuẩn của V đối với tích vô hướng $(x|y)$, thì

Vậy $\beta = h$, điều này chứng minh (4).

Ta dùng ký hiệu trong chứng minh của Định lý 1. Vì $c|P$ là một phép quay qua góc $\frac{2\pi}{h}$, $c^{h/2}$ biến đổi $z'$ thành $-z'$, $z''$ thành $-z''$, và do đó $z' + z'' = z$ thành $-z$. Bây giờ $z \in C$, nên buồng $c^{h/2}(C)$ tất yếu là $-C$.

Đặt $V' = V \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$, $S' = S(V') = S \otimes_{\mathbf{R}} \mathbf{C}$, và mở rộng tích vô hướng trên V thành một dạng Hermit trên $V'$. Nếu $c$ là một phép biến đổi Coxeter của W, thì tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(X_i)_{1 \leq i \leq l}$ của $V'$ gồm các vectơ riêng của $c \otimes 1$ (Đại số, Chap. IX, § 7, no. 3, Mệnh đề 4); hơn nữa, ta có thể giả sử rằng, với $1 \leq j \leq l$, $X_j$ ứng với trị riêng $\exp \frac{2i\pi m_j}{h}$ của $c \otimes 1$. Hiển nhiên $S'$ có thể được đồng nhất với đại số $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_l]$, và ta có thể viết $u_j \otimes 1 = f_j(X_1, \ldots, X_l)$, trong đó $f_j$ là một đa thức thuần nhất bậc $p_j$ trong $\mathbf{C}[X_1, \ldots, X_l]$. Đặt $D_j = \frac{\partial}{\partial X_j}$ và $J = \det(D_k f_j)$. Nhắc lại (§ 5, no. 4, Mệnh đề 5) rằng $J(X_1, \ldots, X_l)$ tỉ lệ với tích trong $S'$ của $\mathrm{Card}(\mathfrak{H})$ vectơ $y_k$ của V mà mỗi vectơ đều trực giao với một siêu phẳng của $\mathfrak{H}$. Vì ta có thể giả sử rằng $X_1 \notin H \otimes \mathbf{C}$ với mọi $H \in \mathfrak{H}$ (Nhận xét), thành phần theo $X_1$ của mỗi vectơ $y_k$ đều khác không, nên $J(1, 0, \ldots, 0) \neq 0$. Quy tắc khai triển định thức khi đó chứng minh sự tồn tại của một phép hoán vị $\sigma$ của $\{1, 2, \ldots, l\}$ sao cho $(D_{\sigma(j)} f_j)(1, 0, \ldots, 0) \neq 0$ với mọi $j$. Vì $D_{\sigma(j)} f_j$ là thuần nhất bậc $p_j - 1$, hệ số của $X_1^{p_j - 1} X_{\sigma(j)}$ trong $f_j(X_1, \ldots, X_l)$ là khác không. Mà $f_j(X_1, \ldots, X_l)$ là bất biến dưới $c \otimes 1$, và

Điều này chứng minh rằng $p_j - 1 + m_{\sigma(j)} \equiv 0$ (mod. $h$). Khi đó $h - m_{\sigma(j)}$ là một số mũ (công thức (2)). Hoán vị các $u_j$ nếu cần, ta có thể giả sử rằng $p_j - 1 \equiv m_j$ (mod. $h$) với mọi $j$. Vì $p_j - 1 \geq 0$ và $m_j < h$, ta có $p_j - 1 = m_j + \mu_j h$ với $\mu_j$ là một số nguyên $\geq 0$. Theo § 5, Mệnh đề 3, ta thấy rằng

Có tính đến công thức (3) và Định lý 1 (ii), ta thu được $h \sum_{j=1}^{l} \mu_j = 0$, nên $\mu_j = 0$ với mọi $j$, và cuối cùng $p_j - 1 = m_j$ với mọi $j$.

Điều này suy ra từ các hệ thức $m_j + 1 = p_j$ và § 5, Hệ quả của Định lý 3.

là các trị riêng của c với bội số 1.

Nếu không, sẽ tồn tại hai bất biến thuần nhất bậc 2 trong S không tỉ lệ với nhau, và do đó hai dạng toàn phương trên V* không tỉ lệ với nhau và bất biến dưới W, trái với § 2, no. 1, Mệnh đề 1.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ § 5, no. 3, Mệnh đề 4. Giả sử các số mũ của W đều lẻ. Khi đó h chẵn theo công thức (2), và

do đó $c^{h/2} = -1$ vì c là một tự đẳng cấu nửa đơn của V (Đại số, Chap. IX, § 7, no. 3, Mệnh đề 4).