Exercice 4, § 10

Soient N une extension galoisienne d’un corps K, (E_i)_{i∈I} une famille de sous-extensions de N, galoisiennes sur K, telles que : 1° pour chaque indice i, si F_i est le corps engendré par la réunion des E_j pour j ≠ i, on a E_i ∩ F_i = K ; 2° N est engendré par la réunion des E_i. a) Montrer que N est isomorphe au produit tensoriel $\bigotimes_{i\in I} E_i$ (III, p. 42) (définir un isomorphisme de ce produit tensoriel sur N, en utilisant le th. 5 de V, p. 68).

b) Montrer que Gal(N/K) est isomorphe au produit des groupes topologiques Gal(E_i/K).