Soit $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $A$ tel que $\mathfrak{p} \cap S = \emptyset$. Alors $a' \to S^{-1}a'$ est une application surjective de l’ensemble $\mathscr{F}$ des idéaux de $A'$ au-dessus de $\mathfrak{p}$ sur l’ensemble $\mathscr{F}_1$ des idéaux de $S^{-1}A'$ au-dessus de $S^{-1}\mathfrak{p}$, et l’application $a'_1 \to {i'}^{-1}(a'_1)$ est une bijection de $\mathscr{F}_1$ sur l’ensemble des idéaux appartenant à $\mathscr{F}$ et saturés pour $h(S)$; en particulier $\mathfrak{p}' \to S^{-1}\mathfrak{p}'$ est une bijection de l’ensemble des idéaux premiers de $A'$ au-dessus de $\mathfrak{p}$ sur l’ensemble des idéaux premiers de $S^{-1}A'$ au-dessus de $S^{-1}\mathfrak{p}$.

On sait que $S^{-1}\mathfrak{p}$ est un idéal premier de $S^{-1}A$ et que $i^{-1}(S^{-1}\mathfrak{p}) = \mathfrak{p}$ (chap. II, § 2, no 5, prop. 11); s’il existe un idéal $\mathfrak{b}'$ de $S^{-1}A'$ au-dessus de $S^{-1}\mathfrak{p}$, on a donc $h^{-1}({i'}^{-1}(\mathfrak{b}')) = i^{-1}(h_1^{-1}(\mathfrak{b}')) = \mathfrak{p}$; comme $S^{-1}.{i'}^{-1}(\mathfrak{b}') = \mathfrak{b}'$ (loc. cit.), cela montre déjà que l’image de $\mathscr{F}$ par l’application $a' \to S^{-1}a'$ contient $\mathscr{F}_1$. D’autre part, si $a' \in \mathscr{F}$, $a \in A$ et $s \in S$, on a les équivalences suivantes

Donc on a $h_1^{-1}(S^{-1}a') = S^{-1}\mathfrak{p}$, ce qui achève de prouver que l’image de $\mathscr{F}$ par l’application $a' \to S^{-1}a'$ est égale à $\mathscr{F}_1$; les autres assertions résultent du chap. II, § 2, no 5, prop. 11.

Posons en effet $B = A/\mathfrak{p}$, $B' = A'/\mathfrak{p}'$ et soit $h_1 : B \to B'$ l’homomorphisme déduit de $h$ par passage aux quotients; $B$ et $B'$ sont intègres et $B'$ est entier sur $B$ (§ 1, no 1, prop. 2). Dire que $\mathfrak{p}$ (resp. $\mathfrak{p}'$) est maximal signifie que $B$ (resp. $B'$) est un corps. La proposition résulte donc du lemme suivant:

Si $A$ est un corps, alors, pour tout $y \neq 0$ dans $B$, $A[y]$ est par hypothèse (§ 1, th. 1) un $A$-module de type fini; comme $A[y]$ est intègre, c’est un corps (Alg., chap. V, § 2, no 1, prop. 1), et a fortiori $y$ est inversible dans $B$, donc $B$ est un corps. Inversement, supposons que $B$ soit un corps, et soit $z \neq 0$ dans $A$; comme $z^{-1} \in B, z^{-1}$ est entier sur $A$, autrement dit on a une équation de dépendance intégrale

où les $a_i \in A$; or cette relation montre que l’on a

donc $A$ est bien un corps.

Posons $S = A - \mathfrak{p}$; alors $S^{-1}A'$ est entier sur $S^{-1}A$ ($§ 1$, n° 5, prop. 16), $S^{-1}\mathfrak{p}$ est un idéal maximal de $S^{-1}A$ (chap. II, $§ 2$, n° 5, prop. 11), $S^{-1}\mathfrak{a}'$ et $S^{-1}\mathfrak{p}'$ sont des idéaux de $S^{-1}A'$ au-dessus de $S^{-1}\mathfrak{p}$ (lemme 1) et l’on a $S^{-1}\mathfrak{a}' \supset S^{-1}\mathfrak{p}'$. Comme $S^{-1}\mathfrak{p}'$ est premier, il est maximal en vertu de la prop. 1, donc $S^{-1}\mathfrak{p}' = S^{-1}\mathfrak{a}'$; par suite $\mathfrak{a}'$ est contenu dans le saturé de $\mathfrak{p}'$ pour $h(S)$, qui est égal à $\mathfrak{p}'$ (chap. II, $§ 2$, n° 5, prop. 11).

En effet, si $\mathfrak{a}'$ est le noyau de $f$, l’hypothèse signifie que $\mathfrak{a}' \cap A = (0)$; comme $A'$ est intègre, on peut appliquer le cor. 1 en prenant pour $\mathfrak{p}$ et $\mathfrak{p}'$ l’idéal (0) de $A$ et l’idéal (0) de $A'$ respectivement, d’où $\mathfrak{a}' = (0)$.

(i) Dans l’anneau $A'/q'_j$, les diviseurs de zéro sont les éléments de $m'_j/q'_j$ et ils sont nilpotents ($1 \leq j \leq n$).

(ii) On $a \ mA' = \bigcap_j q'_j = \prod_j q'_j$.

(iii) L’homomorphisme canonique $A'/mA' \to \prod_j (A'/q'_j)$ est bijectif.

Pour qu’un idéal premier de $A'$ contienne $mA'$, il faut et il suffit que son image réciproque par $h$ contienne $m$, donc qu’il soit au-dessus de $m$, puisque $m$ est maximal dans $A$; les $m'_j$ sont donc les seuls idéaux premiers de $A'$ contenant $mA'$ (prop. 1), et par suite $r' = \bigcap_j m'_j$ est la racine de $mA'$ (chap. II, $§ 2$, n° 6, cor. 1 de la prop. 13). Par définition de $q'_j$, la classe mod. $q'_j$ d’un élément de $A' - m'_j$ n’est pas diviseur de 0 dans $A'/q'_j$; d’autre part, comme les $m'_j$ sont des idéaux maximaux distincts, pour tout indice $j$ il existe un élément $a'_j$ appartenant à $\bigcap_{i \neq j} m'_j$ et non à $m'_j$ (chap. II, $§ 1$, n° 1, prop. 4); pour tout $x \in m'_j$, on a alors $a'_j x \in r'$, donc la classe mod. $q'_j$ de $a'_j x$ est nilpotente, et comme celle de $a'_j$ n’est pas diviseur de 0, on en conclut que la classe de $x$ est nilpotente;

autrement dit $m_j'$ est la racine de $q_j'$, ce qui prouve (i). Il en résulte que les $q_j'$ sont deux à deux étrangers (chap. II, , no 1, prop. 3); (iii) sera donc une conséquence de (ii), compte tenu du chap. II, § 1, no 2, prop. 5. Pour établir (ii), notons que dans l’anneau $A'/mA'$, les $m_j'/mA'$ sont les seuls idéaux maximaux et $q_j'/mA'$ est le saturé de (0) pour $m_j'/mA'$ (chap. II, § 2, no 4); on peut donc se borner au cas où $mA' = (0)$; l’assertion de (ii) résulte alors du chap. II, § 3, no 3, cor. 2 du th 1

Supposons d’abord que $A$ soit un anneau local et $\mathfrak{p}$ l’idéal maximal de $A$; alors, pour tout idéal maximal $m'$ de $A'$, $h^{-1}(m')$ est un idéal maximal de $A$ (prop. 1), donc est égal à $\mathfrak{p}$, ce qui démontre le théorème dans ce cas (puisque $A'$ contient $A$ par hypothèse, et n’est donc pas réduit à 0). Dans le cas général, posons $S = A - \mathfrak{p}$; alors $S^{-1}A$ est un anneau local dont $S^{-1}\mathfrak{p}$ est l’idéal maximal (chap. II, § 2, no 5, prop. 11), $S^{-1}h : S^{-1}A \to S^{-1}A'$ est injectif (chap. II, § 2, no 4, th. 1) et $S^{-1}A'$ est entier sur $S^{-1}A$ (§ 1, no 5, prop. 16); il existe donc un idéal premier $q'$ de $S^{-1}A'$ au-dessus de $S^{-1}\mathfrak{p}$, et on sait que $q' = S^{-1}\mathfrak{p}'$, où $\mathfrak{p}'$ est un idéal premier de $A'$ au-dessus de $\mathfrak{p}$ (lemme 1).

Si $h : A \to A'$ n’est pas injectif, le th. 1 n’est plus nécessairement exact, comme le montre l’exemple de l’homomorphisme $\mathbf{Z} \to \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \ (n > 1)$. On peut toutefois appliquer le th. 1 à l’injection canonique $h(A) \to A'$; autrement dit, l’énoncé du th. 1 est valable pour les idéaux premiers $\mathfrak{p}$ contenant $\mathrm{Ker}(h)$.

En effet, on a $\mathfrak{p}A' \subset \mathfrak{p}'$ et $h^{-1}(\mathfrak{p}') = \mathfrak{p}$.

Si $h_1 : A/a \to A'/a'$ est l’homomorphisme déduit de $h$ par passage aux quotients, $h_1$ est injectif par hypothèse et $A'/a'$ est entier sur $A/a$ ($§ 1$, n° 1, prop. 2); il existe donc un idéal premier $\mathfrak{p}'/a'$ de $A'/a'$ ($\mathfrak{p}'$ premier dans $A'$) au-dessus de $\mathfrak{p}/a$ (th. 1), et $\mathfrak{p}'$ répond à la question.

Soit $\mathfrak{R}$ le radical de $A$. Pour tout idéal maximal $m'$ de $A'$, $m' \cap A$ est un idéal maximal de $A$ (prop. 1), donc $\mathfrak{R} \subset m' \cap A$ et par suite $\mathfrak{R} \subset \mathfrak{R}' \cap A$ (Alg., chap. VIII, § 5, n° 3, déf. 3). Inversement, soit $x \in \mathfrak{R}' \cap A$; pour tout idéal maximal $m$ de $A$, il existe un idéal premier de $A'$ au-dessus de $m$ (th. 1) et cet idéal $m'$ est nécessairement maximal (prop. 1), donc on a $x \in m' \cap A = m$ et par suite $x \in \mathfrak{R}$.

En effet, soit $\mathfrak{p}$ le noyau de $f$, qui est un idéal premier puisque $f(A) \subset L$ est intègre; soit $\mathfrak{p}'$ un idéal premier de $A'$ au-dessus de $\mathfrak{p}$ (th. 1). Alors $A/\mathfrak{p}$ s’identifie canoniquement à un sous-anneau de $A'/\mathfrak{p}'$ et $A'/\mathfrak{p}'$ est entier sur $A/\mathfrak{p}$ ($§ 1$, n° 1, prop. 2). L’homomorphisme $f$ définit, par passage au quotient, un isomorphisme de $A/\mathfrak{p}$ sur le sous-anneau $f(A)$ de $L$, qui se prolonge en un isomorphisme $g$ du corps des fractions $K$ de $A/\mathfrak{p}$ sur un sous-corps de $L$. Comme le corps des fractions $K'$ de $A'/\mathfrak{p}'$ est algébrique sur $K$, $g$ se prolonge en un isomorphisme $g'$ de $K'$ sur un sous-corps de $L$ (Alg., chap. V, § 4, n° 2, cor. du th. 1); si $\pi' : A' \to A'/\mathfrak{p}'$ est l’homomorphisme canonique, $g' \circ \pi'$ est un homomorphisme de $A'$ dans $L$ prolongeant $f$.

En effet, par définition on a $h(S) \subset S'$, et comme

il suffit de prouver, en vertu du chap. II, § 2, n° 3, prop. 8, que si un idéal premier $q'$ de $A'$ ne rencontre pas $h(S)$, il ne rencontre pas non plus $S'$. Or, supposons que $q' \cap h(S) = \emptyset$, et soit $q = h^{-1}(q')$; on a donc $q \cap S = \emptyset$, autrement dit $q \subset \mathfrak{p}$. Comme $q'$ est au-dessus de $q$ par définition, il résulte du cor. 2 du th. 1 qu’il y a un indice $i$ tel que $q' \subset \mathfrak{p}'_i$, donc $q' \cap S' = \emptyset$, ce qui achève la démonstration.

Soit $S = A - \mathfrak{p}$; en vertu du lemme 1, on peut remplacer $A$ par $S^{-1}A$, $A'$ par $S^{-1}A'$ (qui est un $S^{-1}A$-module de type fini) et $\mathfrak{p}$ par $S^{-1}\mathfrak{p}$; autrement dit, on peut supposer que $A$ est un anneau local et $\mathfrak{p}$ son idéal maximal. On peut ensuite (d’après la remarque faite au début de ce n°) remplacer $A$ par $A/\mathfrak{p}$, $A'$ par $A'/\mathfrak{p}A'$ et $\mathfrak{p}$ par $(0)$, car $A'/\mathfrak{p}A' = (A/\mathfrak{p}) \otimes_A A'$ est un $(A/\mathfrak{p})$-module de type fini. On est donc finalement ramené à démontrer la proposition lorsque $A$ est un corps et $\mathfrak{p} = (0)$; $A'$ est alors une $A$-algèbre de rang fini, donc artinienne, et on sait que dans une telle algèbre il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux premiers (chap. IV, § 2, n° 5, prop. 9).

() La lettre Z est l’initiale du mot allemand « Zerlegung » qui signifie « décomposition ». (*) La lettre T est l’initiale du mot allemand « Trägheit » qui signifie « inertie ».

S une partie multiplicative de $A$ ne rencontrant pas $\mathfrak{p}'$. Alors on a $\mathscr{G}^z(S^{-1}\mathfrak{p}') = \mathscr{G}^z(\mathfrak{p}')$, $\mathscr{G}^T(S^{-1}\mathfrak{p}') = \mathscr{G}^T(\mathfrak{p}')$ et, si $\mathscr{G}$ est localement fini, $S^{-1}A^z(\mathfrak{p}') = A^z(S^{-1}\mathfrak{p}')$, $S^{-1}A^T(\mathfrak{p}') = A^T(S^{-1}\mathfrak{p}')$.

Comme les éléments de $S$ sont invariants par $\mathscr{G}$, il est clair que si $\sigma.\mathfrak{p}' = \mathfrak{p}'$, on a aussi $\sigma.(S^{-1}\mathfrak{p}') = S^{-1}\mathfrak{p}'$. Inversement, supposons que $\sigma \in \mathscr{G}$ soit tel que $\sigma.(S^{-1}\mathfrak{p}') = S^{-1}\mathfrak{p}'$; alors, si $x \in \mathfrak{p}'$, on a $(\sigma.x)/1 \in S^{-1}\mathfrak{p}'$ et il existe par suite $s \in S$ tel que $s(\sigma.x) \in \mathfrak{p}'$, d’où $\sigma.x \in \mathfrak{p}'$ puisque $\mathfrak{p}'$ est premier et $s \notin \mathfrak{p}'$; ceci prouve que $\sigma.\mathfrak{p}' \subset \mathfrak{p}'$ et on montre de même que $\sigma^{-1}.\mathfrak{p}' \subset \mathfrak{p}'$, donc $\sigma.\mathfrak{p}' = \mathfrak{p}'$ et $\sigma \in \mathscr{G}^z(\mathfrak{p}')$. Si $\sigma \in \mathscr{G}^T(\mathfrak{p}')$, on a $\sigma.x - x \in \mathfrak{p}'$ pour tout $x \in A'$, donc aussi, pour tout $s \in S$, $\sigma.(x/s) - (x/s) = (\sigma.x - x)/s \in S^{-1}\mathfrak{p}'$, et par suite $\sigma \in \mathscr{G}^T(S^{-1}\mathfrak{p}')$. Inversement, supposons que $\sigma \in \mathscr{G}^T(S^{-1}\mathfrak{p}')$; pour tout $x \in A'$ on a alors $\sigma.(x/1) - (x/1) \in S^{-1}\mathfrak{p}'$, et par suite il existe $s \in S$ tel que $s(\sigma.x - x) \in \mathfrak{p}'$, d’où comme plus haut $\sigma.x - x \in \mathfrak{p}'$, ce qui montre que $\sigma \in \mathscr{G}^T(\mathfrak{p}')$. Les dernières assertions résultent du § 1, no 9, prop. 23.

(i) Étant donnés deux idéaux premiers $\mathfrak{p}', \mathfrak{q}'$ de $A'$ au-dessus d’un même idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$, il existe $\sigma \in \mathscr{G}$ tel que $\mathfrak{q}' = \sigma.\mathfrak{p}'$; autrement dit, $\mathscr{G}$ opère transitiivement dans l’ensemble des idéaux premiers de $A'$ au-dessus de $\mathfrak{p}$.

(ii) Soient $\mathfrak{p}'$ un idéal premier de $A'$, $\mathfrak{p} = \mathfrak{p}' \cap A$, $k$ (resp. $k'$) le corps des fractions de $A/\mathfrak{p}$ (resp. $A'/\mathfrak{p}'$). Alors $k'$ est une extension quasi-galoisienne (*) de $k$, et l’homomorphisme canonique $\sigma \to \overline{\sigma}$ de $\mathscr{G}^z(\mathfrak{p}')$ dans le groupe $\Gamma$ des $k$-automorphismes de $k'$ définit, par passage au quotient, un isomorphisme de $\mathscr{G}^z(\mathfrak{p}')/\mathscr{G}^T(\mathfrak{p}')$ sur $\Gamma$.

(i) Si $x \in \mathfrak{q}'$, on a $\prod_{\sigma \in \mathscr{G}} \sigma.x \in \mathfrak{q}' \cap A = \mathfrak{p} \subset \mathfrak{p}'$; donc il existe $\sigma \in \mathscr{G}$ tel que $\sigma.x \in \mathfrak{p}'$, c’est-à-dire $x \in \sigma^{-1}.\mathfrak{p}'$. On en conclut que $\mathfrak{q}' \subset \bigcup_{\sigma \in \mathscr{G}} \sigma.\mathfrak{p}'$, donc (comme $\mathscr{G}$ est fini et les $\sigma.\mathfrak{p}'$ premiers) il existe $\sigma \in \mathscr{G}$ tel que $\mathfrak{q}' \subset \sigma.\mathfrak{p}'$ (chap. II, § 1, no 1, prop. 2); comme $\mathfrak{q}'$ et $\sigma.\mathfrak{p}'$ sont tous deux au-dessus de $\mathfrak{p}$, on a $\mathfrak{q}' = \sigma.\mathfrak{p}'$ (no 1, cor. 1 de la prop. 1).

(*) Afin d’éviter des confusions avec d’autres sens du mot « normal », nous emploierons désormais les termes « extension quasi-galoisienne » comme synonymes des termes « extension normale » définis en Alg., chap. V, § 6, no 2, déf. 2.

(ii) Pour voir que $k'$ est une extension quasi-galoisienne de $k$, il suffit de prouver que tout élément $\bar{x} \in A'/\mathfrak{p}'$ est racine d’un polynôme $P$ de $k[X]$ dont toutes les racines sont dans $A'/\mathfrak{p}'$ ($Alg.$, chap. V, , no 3, cor. 3 de la prop. 9). Or, soit $x \in A'$ un représentant de la classe $\bar{x}$; le polynôme $Q(X) = \prod_{\sigma \in \mathscr{G}} (X - \sigma.x)$ a tous ses coefficients dans $A$; soit $P(X)$ le polynôme de $(A/\mathfrak{p})[X]$ dont les coefficients sont les images de ceux de $Q$ par l’homomorphisme canonique $\pi : A \to A/\mathfrak{p}$. Comme $\pi$ peut être considéré comme la restriction à $A$ de l’homomorphisme canonique $\pi' : A' \to A'/\mathfrak{p}'$, on voit que, dans $(A'/\mathfrak{p'})[X]$, $P$ est produit des facteurs linéaires $X - \pi'(\sigma.x)$, et répond par suite à la question, puisque $\bar{x} = \pi'(x)$

Il est clair que pour tout $\sigma \in \mathscr{G}^z$, $\bar{\sigma}$ est un $k$-automorphisme de $k'$; il reste à voir que $\sigma \to \bar{\sigma}$ applique $\mathscr{G}^z$ sur le groupe de tous les $k$-automorphismes de $k'$. Posons $S = A - \mathfrak{p}$; on ne change pas $k$ et $k'$ en remplaçant $A'$ et $\mathfrak{p}'$ par $S^{-1}A'$ et $S^{-1}\mathfrak{p}'$ respectivement, en vertu du § 1, no 9, prop. 23 et de la relation $S^{-1}\mathfrak{p}' \cap S^{-1}A = S^{-1}(A \cap \mathfrak{p}') = S^{-1}\mathfrak{p}$ (chap. II, § 2, no 4); il résulte du lemme 3 que l’on ne change pas ainsi non plus $\mathscr{G}^z$ ni la façon dont opère $\mathscr{G}^z$ sur $k'$; on peut par suite se borner au cas où $\mathfrak{p}$ est maximal, auquel cas on sait qu’il en est de même de $\mathfrak{p}'$ (no 1, prop. 1), et tout élément de $k'$ est donc de la forme $\pi'(x)$ pour un $x \in A'$; on a vu ci-dessus qu’un tel élément est racine d’un polynôme de $k[X]$ de degré $\leqslant \mathrm{Card}(\mathscr{G})$. Comme toute extension séparable de degré fini de $k$ admet un élément primitif ($Alg.$, chap. V, § 7, no 7, prop. 12 et § 11, no 4, prop. 4), on voit que toute extension séparable de degré fini de $k$ contenue dans $k'$ est de degré $\leqslant \mathrm{Card}(\mathscr{G})$, d’où résulte que la plus grande extension séparable $k'_s$ de $k$ contenue dans $k'$ ($Alg.$, chap. V, § 7, no 6, prop. 11) est de degré $\leqslant \mathrm{Card}(\mathscr{G})$ ($Alg.$, chap. V, § 3, no 2, Remarque 2). Soit $y \in A'$ un élément tel que $\pi'(y)$ soit élément primitif de $k'_s$. Les idéaux $\sigma.\mathfrak{p}'$ pour $\sigma \in \mathscr{G} - \mathscr{G}^z$ sont maximaux et distincts de $\mathfrak{p}'$ par définition; il existe par suite $x \in A'$ tel que $x \equiv y \pmod{\mathfrak{p}'}$ et $x \in \sigma^{-1}\mathfrak{p}'$ pour $\sigma \in \mathscr{G} - \mathscr{G}^z$ (chap. II, § 1, no 2, prop. 5). Cela étant, soit $u$ un $k$-automorphisme de $k'$ et soit $P(X) = \prod_{\sigma \in \mathscr{G}} (X - \pi'(\sigma.x))$; comme $\pi'(x)$ est racine de $P$ et que $P \in k[X]$, $u(\pi'(x))$ est aussi racine de $P$ dans $k'$, donc il existe $\tau \in \mathscr{G}$ tel que

mais on a $u(\pi'(x)) \neq 0$ et pour $\sigma \in \mathscr{G} - \mathscr{G}^z$ on a $\sigma.x \in \mathfrak{p}'$, donc π′(σ.x) = 0; on en conclut que l’on a nécessairement τ ∈ G_f^z. Mais comme u et τ ont même valeur pour l’élément primitif π′(y) = π′(x) de k_s′, ils coïncident dans k_s′, et comme k′ est une extension radicielle de k_s′, ils coincident dans k′. C.Q.F.D.