a) $A$ soit entier sur l’anneau $B = k[x_1, \ldots, x_n]$.

b) Il existe une suite croissante $(h(j))_{1 \leq j \leq p}$ d’entiers telle que, pour tout $j$ l’idéal $a_j \cap B$ de $B$ soit engendré par $x_1, \ldots, x_{h(j)}$.

Remarquons d’abord qu’il suffit de démontrer le théorème lorsque $A$ est une algèbre de polynômes $k[Y_1, \ldots, Y_m]$. En effet, dans le cas général, $A$ est isomorphe au quotient d’une telle algèbre $A'$ par un idéal $a'_0$; notons $a'_j$ l’image réciproque de $a_j$ dans $A'$ et soient $x'_i (1 \leq i \leq r)$ des éléments de $A'$ vérifiant les conditions de l’énoncé pour l’anneau $A'$ et la suite croissante d’idéaux $a'_0 \subset a'_1 \subset \cdots \subset a'_p$. Alors les images $x_i$ des $x'_i$ dans $A$ pour $i > h(0)$ vérifient les conditions voulues; c’est évident pour la condition b), et pour la condition a) cela résulte du § 1, no 1, prop. 2; enfin, si les $x_i (h(0) + 1 \leq i \leq r)$ n’étaient pas algébriquement indépendants sur $k$, il y aurait un polynôme non nul $Q \in k[X_{h(0)+1}, \ldots, X_r]$ tel que $Q(x'_{h(0)+1}, \ldots, x'_r) \in a'_0 \cap B'$, en posant $B' = k[x'_1, \ldots, x'_r]$; mais par hypothèse, tout élément de $a'_0 \cap B'$ peut s’écrire d’une seule manière comme polynôme par rapport aux $x'_j (1 \leq j \leq r)$ à coefficients dans $k$, et dont chaque monôme contient au moins un des $x'_j$ pour $1 \leq j \leq h(0)$; on aboutit donc à une contradiction, ce qui prouve notre assertion.

Nous supposerons donc dans toute la suite de la démonstration que $A = k[Y_1, \ldots, Y_m]$, et nous raisonnons par récurrence sur $p$.

A) $p = 1$. Distinguons deux cas : A 1) L’idéal $a_1$ est un idéal principal engendré par un élément $x_1 \in k$.

On a $x_1 = P(Y_1, \ldots, Y_m)$, où $P$ est un polynôme non constant. Nous allons voir que, pour un choix convenable d’entiers $r_i > 0$, l’anneau $\mathbf{A}$ est entier sur $\mathbf{B} = k[x_1, x_2, \ldots, x_m]$, avec (1)

Il suffit pour cela de choisir les $r_i$ de sorte que $Y_1$ soit entier sur $\mathbf{B}$ (§ 1, n° 1, prop. 4). Or, on a la relation (2) Soit $P = \sum_p a_p Y^p$ où $p = (p_1, \ldots, p_m)$, les $p_i$ étant des entiers $\geq 0$, $Y^p = Y_1^{p_1} \cdots Y_m^{p_m}$, les $a_p$ des éléments $\neq 0$ de $k$, et un des indices $p$ au moins étant distinct de $(0, \ldots, 0)$; la relation (2) s’écrit (3) Posons $f(p) = p_1 + r_2 p_2 + \cdots + r_m p_m$, et supposons les $r_i$ choisis de sorte que tous les $f(p)$ soient distincts (il suffit par exemple de prendre $r_i = h^i$, où $h$ est un entier strictement supérieur à tous les $p_j$ (Ens., chap. III, § 5, n° 7, prop. 8)). Il y aura alors un système $p = (p_1, \ldots, p_m)$ et un seul tel que $f(p)$ soit maximum, et la relation (3) s’écrit (4) où les $Q_j$ sont des polynômes de $k[Y_1, \ldots, Y_m]$; comme $a_p \neq 0$ est inversible dans $k$, (4) est bien une équation de dépendance intégrale à coefficients dans $\mathbf{B}$, d’où notre assertion.

Le corps des fractions $k(Y_1, \ldots, Y_m)$ de $\mathbf{A}$ est donc algébrique sur le corps des fractions $k(x_1, \ldots, x_m)$ de $\mathbf{B}$, ce qui prouve (Alg., chap. V, § 5, n° 3, th. 4) que les $x_i$ ($1 \leq i \leq m$) sont algébriquement indépendants. De plus, on a $a_1 \cap \mathbf{B} = B x_1$; en effet, tout élément $z \in a_1 \cap \mathbf{B}$ s’écrit $z = x_1 z'$ avec $z' \in \mathbf{A} \cap k(x_1, \ldots, x_m)$; mais on a $\mathbf{A} \cap k(x_1, \ldots, x_m) = k[x_1, \ldots, x_m] = \mathbf{B}$ puisque $\mathbf{B}$ est intégralement clos (§ 1, n° 3, cor. 2 de la prop. 13); on a par suite $z' \in \mathbf{B}$, ce qui achève de démontrer les propriétés a) et b) dans ce cas.

A 2) Cas général ($p = 1$).

On raisonne par récurrence sur $m$, le cas $m = 0$ étant trivial. On peut évidemment supposer $a_1 \neq 0$ (sans quoi on peut prendre $x_i = Y_i$ pour $1 \leq i \leq m$ et $h(1) = 0$). Soit $x_1$ un élément non nul de $a_1$; en vertu de A 1), il existe $t_2, \ldots, t_m$ tels que $x_1, t_2, \ldots, t_m$ soient algébriquement indépendants sur $k$, que $A$ soit entier sur $C = k[x_1, t_2, \ldots, t_m]$ et que $x_1 A \cap C = x_1 C$. En vertu de l’hypothèse de récurrence, il existe des éléments $x_2, \ldots, x_m$ de $k[t_2, \ldots, t_m]$ et un entier $h$ tels que $k[t_2, \ldots, t_m]$ soit entier sur $B' = k[x_2, \ldots, x_m]$, que $x_2, \ldots, x_m$ soient algébriquement indépendants sur $k$ et que l’idéal $a_1 \cap B'$ soit engendré par $x_2, \ldots, x_h$. Alors $C$ est entier sur $B = k[x_1, x_2, \ldots, x_m]$ ($§ 1$, no 1, cor. de la prop. 5), donc il en est de même de $A$ ($§ 1$, no 1, prop. 6); le même raisonnement que dans le cas A 1) montre que $x_1, \ldots, x_m$ sont algébriquement indépendants sur $k$; enfin, comme $x_1 \in a_1$ et $B = B'[x_1]$, on a $a_1 \cap B = Bx_1 + (a_1 \cap B')$, et comme $a_1 \cap B'$ est engendré (dans $B'$) par $x_2, \ldots, x_h$, $a_1 \cap B$ est engendré (dans $B$) par $x_1, x_2, \ldots, x_h$.

B) Passage de $p - 1$ à $p$.

Soient $t_1, \ldots, t_m$ des éléments de $A$ satisfaisant aux conditions du théorème pour la suite croissante d’idéaux $a_1 \subset \cdots \subset a_{p-1}$, et posons $r = h(p - 1)$. En vertu de A 2), il existe des éléments $x_{r+1}, \ldots, x_m$ de $k[t_{r+1}, \ldots, t_m]$ et un entier $s$ tels que

soit entier sur $B' = k[x_{r+1}, \ldots, x_m]$, que $x_{r+1}, \ldots, x_m$ soient algébriquement indépendants sur $k$ et que l’idéal $a_p \cap B'$ soit engendré par $x_{r+1}, \ldots, x_s$. En posant $x_i = t_i$ pour $i \leq r$, la famille $(x_i)_{1 \leq i \leq m}$ obtenue répond à la question avec $h(p) = s$. En effet, $A$ est entier sur $C[t_1, \ldots, t_r] = C[x_1, \ldots, x_r]$, donc aussi sur $B = k[x_1, \ldots, x_m] = B'[x_1, \ldots, x_r]$, puisque $C$ est entier sur $B'$ ($§ 1$, no 1, cor. de la prop. 5 et prop. 6); on montre comme dans le cas A 1) que les $x_i$ sont algébriquement indépendants sur $k$. D’autre part, pour $j \leq p - 1$, l’idéal

est par hypothèse l’ensemble des polynômes en $x_1, \ldots, x_r, t_{r+1}, \ldots, t_m$ dont tous les monômes contiennent un des éléments $x_1, \ldots, x_{h(j)}$ comme $x_{r+1}, \ldots, x_m$ sont des polynômes en $t_{r+1}, \ldots, t_m$ à coefficients dans $k$, on voit aussitôt qu’un polynôme en $x_1, \ldots, x_r, x_{r+1}, \ldots, x_m$ (à coefficients dans $k$) ne peut appartenir à $a_j$ que si tous ses monômes contiennent un des éléments $x_1, \ldots, x_{h(j)}$. Enfin, comme $x_1, \ldots, x_r$ appartiennent à $a_{p-1}$, donc aussi à $a_p$, $a_p \cap B'[x_1, \ldots, x_r]$ est formé des polynômes en $x_1, \ldots, x_r$ à coefficients dans $B'$, dont le terme constant appartient à $a_p \cap B'$; par suite cet idéal est engendré par $x_1, \ldots, x_r, x_{r+1}, \ldots, x_t$.

C.Q.F.D.

Posons $S = A - \{0\}$, et soit $k = S^{-1}A$ le corps des fractions de $A$; il est clair que $S^{-1}B$ est une $k$-algèbre de type fini, et comme elle contient par hypothèse $k$ (chap. II, § 2, no 4, th. 1) elle n’est pas réduite à 0. En vertu du th. 1 (appliqué pour $p = 1$ et $a_1 = 0$) il existe donc une suite finie $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’éléments de $S^{-1}B$ algébriquement indépendants sur $k$ et tels que $S^{-1}B$ soit entier sur $k[x_1, \ldots, x_n]$. Soit $(z_j)_{1 \leq j \leq m}$ un système de générateurs de la $A$-algèbre $B$; dans $S^{-1}B$, chacun des $z_j/1$ vérifie une équation de dépendance intégrale

où les $P_{hj}$ sont des polynômes en les $x_i$ à coefficients dans $k$. Il existe un élément $s \neq 0$ de $A$ tel que l’on puisse écrire $x_i = y_i/s$ avec $y_i \in B$ pour $1 \leq i \leq n$, et que tous les coefficients des $P_{hj}$ soient de la forme $c/s$ avec $c \in A$; enfin, remplaçant au besoin $s$ par un produit d’éléments de $S$, on peut supposer que l’on ait, dans $B$

où les $Q_{hj}$ sont des polynômes en $y_1, \ldots, y_n$, à coefficients dans $A$; si on pose $z'_j = sz_j$, on voit, en multipliant (6) par $s^{q_j-1}$, que $z'_j$ est entier sur $B' = A[y_1, \ldots, y_n]$. Montrons que les $y_i$ sont algébriquement indépendants sur $A$; en effet, si on a une relation de la forme $\sum_p a_p y_1^{p_1} \ldots y_n^{p_n} = 0$ avec $a_p \in A$ pour tout $p$, on en déduit $\sum_p a'_p x_1^{p_1} \ldots x_n^{p_n} = 0$ dans $S^{-1}B$, avec $a'_p = a_p s^{p_1+\cdots+p_n}$ dans $k$; par hypothèse, on a donc $a'_p = 0$ pour tout $p$, d’où $a_p = 0$ pour tout $p$. En outre, dans l’anneau $B[s^{-1}]$, chacun des $z'_j/1$ est entier sur $B'[s^{-1}]$ ($§ 1$, no 1, prop. 2), et comme $z_j/1 = (z'_j/1)(1/s)$ dans $B[s^{-1}]$, on voit que les $z_j/1$ sont entiers sur $B'[s^{-1}]$, ce qui achève la démonstration ($§ 1$, no 1, prop. 4).

En effet, il résulte du cor. 1 qu’il existe des éléments $x_1, \ldots, x_n$ de $K$ et un élément $a \neq 0$ de $A$ tels que $x_1, \ldots, x_n$ soient algébriquement indépendants sur $A$ (et par suite sur $L$) et que $K$ soit entier sur le sous-anneau $A[x_1, \ldots, x_n, a^{-1}]$. Il résulte donc du § 2, no 1, lemme 2 que $A[x_1, \ldots, x_n, a^{-1}]$ est un corps. Mais les seuls éléments inversibles d’un anneau de polynômes $C[Y_1, \ldots, Y_n]$ sur un anneau intègre $C$ sont les éléments inversibles de $C$; appliquant cette remarque à $C = A[a^{-1}]$, on voit qu’on a nécessairement $n = 0$ et que $A[a^{-1}]$ est un corps, égal à $L$ par définition de ce dernier. Comme $K$ est entier sur $L$ et est une $L$-algèbre de type fini, le degré $[K : L]$ est fini ($§ 1$, no 1, prop. 4).

L’hypothèse faite sur $b$ entraîne que si $h$ est l’homomorphisme canonique $x \to x/1$ de $B$ dans $B[b^{-1}]$, l’homomorphisme $h \circ \rho$ de $A$ dans $B[b^{-1}]$ est injectif. En vertu du cor. 1, il existe donc un élément $a \neq 0$ de $A$ et un sous-anneau $B'$ de $B[b^{-1}]$ tel que $B[b^{-1}, a^{-1}]$ soit entier sur $B'[a^{-1}]$ et que $B'$ soit isomorphe à une algèbre de polynômes $A[Y_1, \ldots, Y_n]$. Soit $f$ un homomorphisme de $A$ dans un corps algébriquement clos $L$, tel que $f(a) \neq 0$; il existe un homomorphisme de $A[Y_1, \ldots, Y_n]$ dans $L$ prolongeant $f$, donc il existe un homomorphisme $f'$ de $B'$ dans $L$ prolongeant $f$. Comme $f'(a) \neq 0$ dans $L$, il existe un homomorphisme $f''$ de $B'[a^{-1}]$ dans $L$ tel que

pour tout $x \in B'$ et tout $n > 0$ (chap. II, § 2, no 1, prop. 1). Enfin, comme $B[b^{-1}, a^{-1}]$ est entier sur $B'[a^{-1}]$, il existe un homomorphisme $f'''$ de $B[b^{-1}, a^{-1}]$ dans $L$ prolongeant $f''$ (§ 2, no 1, cor. 4 du th. 1). Si $j : x \to x/1$ est l’homomorphisme canonique de $B$ dans $B[b^{-1}, a^{-1}]$, $g = f''' \circ j$ répond à la question car $j(b)$ est inversible dans $B[b^{-1}, a^{-1}]$, donc $f'''(j(b)) \neq 0$, dans $L$.

On notera que si on suppose $B$ intègre et $A \subset B$ dans le cor. 3, l’hypothèse faite sur $b$ équivaut à $b \neq 0$.

En vertu du th. 1, il existe une sous-algèbre $C$ de $A$ isomorphe à une algèbre de polynômes $k[X_1, \ldots, X_n]$, et telle que $A$ soit entière sur $C$; $A'$ est évidemment la fermeture intégrale de $C$ dans $K'$ (§ 1, no 1, prop. 6); on peut donc se borner au cas où $A = k[X_1, \ldots, X_n]$. Soit $N$ l’extension quasi-galoisienne de $K'$ (dans une clôture algébrique de $K'$) engendrée par $K'$, qui est une extension algébrique de degré fini de $K$ (Alg., chap. V, § 6, no 3, cor. 1 de la prop. 9). Il suffira de prouver que la fermeture intégrale $B$ de $A$ dans $N$ est un $A$-module de type fini, car $A'$ est un sous-$A$-module de $B$ et $A$ est un anneau noethérien (chap. III, § 2, no 10, cor. 2 du th. 2). On peut donc se borner au cas où $K'$ est une extension quasi-galoisienne de $K$. On sait alors (Alg., chap. V, § 10, no 9, prop. 14) que $K'$ est une extension galoisienne (de degré fini) d’une extension radicielle $K''$ (de degré fini) de $K$. Si $A''$ est la fermeture intégrale de $A$ dans $K''$, $A'$ est la fermeture intégrale de $A''$ dans $K'$, et il suffira de prouver que $A''$ est un $A$-module de type fini et $A'$ un $A''$-module de type fini. Or, si l’on a prouvé que $A''$ est un $A$-module de type fini, c’est un anneau noethérien, intégralement clos par définition; le fait que $A'$ est un $A''$-module de type fini résultera du § 1, no 6, cor. 1 de la prop. 18.

On voit donc qu’on peut se borner au cas où $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ et où $K'$ est une extension radicielle de degré fini de $K = k(X_1, \ldots, X_n)$. Alors $K'$ est engendré par une famille finie d’éléments $(y_i)_{1 \leq i \leq m}$, et il existe une puissance $q$ de l’exposant caractéristique de $k$ telle que l’on ait $y_i^q \in k(X_1, \ldots, X_n)$. Soient $c_j$ ($1 \leq j \leq r$) les coefficients des numérateurs et dénominateurs des fractions rationnelles en $X_1, \ldots, X_n$ égales aux $y_i^q$ ($1 \leq i \leq m$). Alors $K'$ est contenu dans l’extension $L = k'(X_1^{q^{-1}}, \ldots X_n^{q^{-1}})$, où $k' = k(c_1^{q^{-1}}, \ldots c_r^{q^{-1}})$, (on se place dans une clôture algébrique de $K'$), et $A'$ est contenu dans la fermeture algébrique $B'$ de $A$ dans $L'$. Or, $k'$ est algébrique sur $k$, donc $C' = k'[X_1, \ldots, X_n]$ est entier sur $A$ ($§ 1$, no 1, prop. 5); comme $k'[X_1^{q^{-1}}, \ldots, X_n^{q^{-1}}]$ est intégralement clos ($§ 1$, no 3, cor. 2 de la prop. 13), on voit que cet anneau est la fermeture intégrale de $C'$ dans $L'$, donc aussi celle de $A$ ($§ 1$, no 1, prop. 6), autrement dit $B' = k'[X_1^{q^{-1}}, \ldots, X_n^{q^{-1}}]$. Or il est clair que $B'$ est un $C'$-module de type fini ($§ 1$, no 1, prop. 4), et comme $k'$ est une extension de degré fini de $k$, $C'$ est un $A$-module de type fini, donc $B'$ est un $A$-module de type fini; puisque $A$ est noethérien et $A' \subset B'$, $A'$ est un $A$-module de type fini.

C.Q.F.D.

(i) Si $A \neq \{0\}$, il existe un $k$-homomorphisme de $A$ dans $L$.

(ii) Soient $f_1, f_2$ deux $k$-homomorphismes de $A$ dans $L$. Pour que $f_1$ et $f_2$ aient même noyau, il faut et il suffit qu’il existe un $k$-automorphisme $s$ de $L$ tel que $f_2 = s \circ f_1$.

(iii) Soit $a$ un idéal de $A$. Pour que $a$ soit maximal, il faut et il suffit qu’il soit le noyau d’un $k$-homomorphisme de $A$ dans $L$.

(iv) Pour qu’un élément $x$ de $A$ soit tel que $f(x) = 0$ pour tout $k$-homomorphisme $f$ de $A$ dans $L$, il faut et il suffit que $x$ soit nilpotent.

L’assertion (i) résulte du no 1, cor. 3 du th. 1 appliqué en remplaçant $A$ par $k$, $B$ par $A$, $b$ par l’élément unité de $B$, $f$ par l’injection canonique de $k$ dans $L$.

Si $f$ est un $k$-homomorphisme de $A$ dans $L$, $f(A)$ est un sous-anneau de $L$ contenant $k$; comme $L$ est une extension algébrique de $k$, $f(A)$ est un corps ($Alg.$, chap. V, $§ 3$, no 2, prop. 3) et si $a$ est le noyau de $f$, $A/a$, isomorphe à $f(A)$, est donc un corps, ce qui prouve que $a$ est maximal. Inversement, si $a$ est un idéal maximal de $A$, il résulte de (i) qu’il existe un $k$-homomorphisme de $A/a$ dans $L$, donc un $k$-homomorphisme de $A$ dans $L$, dont le noyau $b$ contient $a$; mais comme $a$ est maximal, on a $b = a$; ceci prouve (iii).

Démontrons (ii). Si $s$ est un $k$-automorphisme de $L$ tel que $f_2 = s \circ f_1$, il est clair que $f_1$ et $f_2$ ont même noyau. Réciproquement, supposons que $f_1$ et $f_2$ aient même noyau; il existe alors un $k$-isomorphisme $s_0$ du corps $f_1(A)$ sur le corps $f_2(A)$ tel que $f_2 = s_0 \circ f_1$; mais en vertu de Alg., chap. V, , no 3, prop. 7, $s_0$ se prolonge en un $k$-automorphisme $s$ de $L$, et on a donc $f_2 = s \circ f_1$

Enfin, si $x \in A$ est tel que $x^n = 0$, pour tout $k$-homomorphisme $f$ de $A$ dans $L$, on a $(f(x))^n = f(x^n) = 0$, donc $f(x) = 0$ puisque $L$ est un corps. Inversement, supposons que $x \in A$ ne soit pas nilpotent; alors $A[x^{-1}]$ est une $A$-algèbre de type fini (donc une $k$-algèbre de type fini) non réduite à 0 (chap. II, § 2, no 1, Remarque 3), donc il existe un $k$-homomorphisme $g$ de $A[x^{-1}]$ dans $L$ en vertu de (i). Si $j : A \to A[x^{-1}]$ est l’homomorphisme canonique, $f = g \circ j$ est un $k$-homomorphisme de $A$ dans $L$, et on a $f(x)g(1/x) = g(x/1)g(1/x) = g(1) = 1$, d’où $f(x) \neq 0$.

C.Q.F.D.

Soient $k$ un corps et $L$ un surcorps de $k$; on dit qu’un élément $x = (x_1, \ldots, x_n)$ de $L^n$ est zéro dans $L^n$ d’un idéal $r$ de l’anneau de polynômes $k[X_1, \ldots, X_n]$ si l’on a

pour tout $P \in r$.

Il existe un homomorphisme $h$ de $k$-algèbres de $k[X_1, \ldots, X_n]$ sur $A$ et un seul tel que $h(X_i) = a_i$ pour $1 \leq i \leq n$, et par définition $r$ est le noyau de $h$. L’application $f \to f \circ h$ est une bijection de l’ensemble des $k$-homomorphismes de $A$ dans $L$ sur l’ensemble des $k$-homomorphismes de $k[X_1, \ldots, X_n]$ dans $L$, nuls dans $r$. Pour tout polynôme $P \in k[X_1, \ldots, X_n]$ et tout élément $x = (x_1, \ldots, x_n) \in L^n$, posons $h_x(P) = P(x)$; alors l’application $x \to h_x$ est une bijection de $L^n$ sur l’ensemble des $k$-homomorphismes de $k[X_1, \ldots, X_n]$ dans $L$ (un tel homomorphisme étant déterminé par ses valeurs aux $X_i (1 \leq i \leq n)$); dire que $h_x$ est nul dans $r$ signifie que $x$ est un zéro de $r$ dans $L^n$, d’où le lemme.

Si on applique la prop. 1 à l’algèbre $A = k[X_1, \ldots, X_n]/r$, où $r$ est un idéal de $k[X_1, \ldots, X_n]$ distinct de l’anneau tout entier, on obtient, en vertu du lemme 1, l’énoncé suivant:

(i) Tout idéal $r$ de $k[X_1, \ldots, X_n]$ ne contenant pas 1 admet au moins un zéro dans $L^n$.

(ii) Soient $x = (x_1, \ldots, x_n), y = (y_1, \ldots, y_n)$ deux éléments de $L^n$; pour que l’ensemble des polynômes de $k[X_1, \ldots, X_n]$ nuls en $x$ soit identique à l’ensemble des polynômes de $k[X_1, \ldots, X_n]$ nuls en $y$, il faut et il suffit qu’il existe un $k$-automorphisme $s$ de $L$ tel que $y_i = s(x_i)$ pour $1 \leq i \leq n$.

(iii) Pour qu’un idéal $a$ de $k[X_1, \ldots, X_n]$ soit maximal, il faut et il suffit qu’il existe un $x$ dans $L^n$ tel que $a$ soit l’ensemble des polynômes de $k[X_1, \ldots, X_n]$ nuls en $x$.

(iv) Pour qu’un polynôme $Q$ de $k[X_1, \ldots, X_n]$ soit nul dans l’ensemble des zéros dans $L^n$ d’un idéal $r$ de $k[X_1, \ldots, X_n]$, il faut et il suffit qu’il existe un entier $m > 0$ tel que $Q^m \in r$.